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教师版-高中数学知识手册：选修4-2矩阵与变换- 57 -矩阵与变换1．矩阵：用A ，B ，C ，…或（ij a ）表示矩阵.(其中j i ,分别元素ij a 所在的行和列).2．零矩阵：所有元素都为0的矩阵.3．矩阵相等：对于矩阵B A ,,行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等时，B A =.4．二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0220210120110022211211y a x a y a x a y x a a a a 5．平面变换：①矩阵乘法形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x d c b a y x y x T :②坐标变换形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x T : （1）恒等变换矩阵(单位矩阵)：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001 E ，单位矩阵把平面上任意一点（向量）或图形变成自身. （2）伸压变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001沿着y 轴方向的伸压变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡100 k 沿着x 轴方向的伸压变换. （3）反射变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形. （4）旋转变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos M 绕定点作逆时针旋转θ的旋转变换. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθk k k k M k cos sin sin cos . （5）投影变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101 将平面内图形投影到某条直线（或某个点）. （6）切变变换矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡101 k 把平面上的点),(y x P 沿x 轴方向平移||ky 个单位. 6．矩阵乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡222212212122112122121211211211112221121122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a （1）矩阵乘法MN 的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换（先N T 后M T ）的复合变换（2）)(M n M M M M n个共⋅⋅⋅=（3）矩阵乘法的性质：① BA AB ≠(不具有交换律)；②)()(BC A C AB =(满足结合律)；③AC AB =≠＞C B =(不具有消去律)．7．逆矩阵：对于二阶矩阵，若E BA AB ==，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．（1）可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A (0≠-bc ad )的逆矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-bc ad a bc ad c bc ad b bc ad d A 1． （2）可逆矩阵积的逆矩阵：111)(---=A B AB ；二阶矩阵A 可逆，且AC AB =，则C B =．8．二阶行列式： d c b a 的运算结果是个数值：bc ad d c b a A -== )det(． （1）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax 的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D y D D x yx ，其中d c b a D =，d n b m D x =，n c m a D y =． （2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+n dy cx m by ax ，可记作矩阵方程B AX =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m y x d c b a ，则B A X 1-=．- 58 - 选修4-2数学知识点 选修4-2—矩阵与变换9．特征值与特征向量：设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得αλα=A ，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何观点：特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一直线上．0>λ方向不变；0<λ方向相反；0=λ，特征向量就被变换成零向量．代数方法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征多项式：bc d a d c b a f ---=----=))(()(λλλλλ ． 例：已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα． 解：矩阵A 的特征多项式为()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+， 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-．当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． 10．多次变换的计算:设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量21,αα，则任一向量β可表示为：21ααβn m +=，则)()()()()(22112121αλαλααααt t t t t t n m A n A m n m A A +=+=+=．例: 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4121A ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=47α ， (1) 求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α 、2α ；(2) 求α 5A 的值．解：(1) 矩阵A 的特征多项式为)3)(2(654121)(2--=+-=---=λλλλλλλf ， 令0)(=λf ，得21=λ或32=λ,将21=λ代入⎩⎨⎧=-+=--0)4(02)1(y x y x λλ，得⎩⎨⎧=-=-0202y x y x ，属于特征值2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121α ； 同理32=λ对应的特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α ．(2) 由21ααα n m +=得⎩⎨⎧=+=+472n m n m ，求得3=m ，1=n ．因此 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=+=+=+=339435113122333)3(5525215125152155αλαλααααα A A A A ．。
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念①OP → =→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3③ 概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示，叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 （仅有一列）⑤向量a →＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。
概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦三、二阶矩阵与线性变换— 2— 3— ⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9086 88231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1.旋转变换问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
逆变换与逆矩阵教学目标1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵4.理解二阶矩阵消去律的条件一．回顾复习，引入新课1.矩阵乘法的简单性质2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以y 轴为反射轴作反射变换；（2）绕原点逆时针旋转︒30作旋转变换；（3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的21作伸压变换； （4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换；（5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换.二．建构数学，新授内容1.逆变换2.逆矩阵3.相关结论（1）（2）（3）思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=有什么异同？三．应用示例，例题分析例1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001；（2）B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3001；（3）C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000；（4）D ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=12101例2.求矩阵A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1223的逆矩阵.例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，B ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10211； （2）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0211，B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021210.思考：1.已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？2.已知A,B,C为二阶矩阵，且BA=CA，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？四．小结。
