【2014上海二模】上海市虹口区2014年高考模拟(二模)理科数学试题(含答案)(高清版)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则MN = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a = ( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++！！C .11112311++++ D .11112311++++！！！7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x = D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1)B .21(1,)22-C .21(1,]23-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b =,求ABC △面积的最大值. 18.（本小题满分12分） --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,122AA AC CB AB ===. （Ⅰ）证明：1BC ∥平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值.19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位：t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()e ln()xf x x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做，则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；（Ⅱ）若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.（Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】解不等式2(14)x -<，得13x <<-，即|13{}M x x =<<-，而1,0,1,,3{}2N =-，所以0,}2{1,M N =，故选A ．【提示】求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．【考点】集合的基本运算（交集），解一元二次不等式． 2.【答案】A【解析】2i 2i 1i 22i 1i 1i 1i 21+i z (+)-+====-(-)(+)-． 【提示】根据所给的等式两边同时除以1i -，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而219+109a a =，不满足题意，因此1q ≠.∵1q ≠时，33111(1)1+10a S a a q q q --==，∴3+0111q qq =--，整理得29q =.（步骤1） ∵4519a a q ==，即1819a =，∴119a =．（步骤2） 【提示】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可求出． 【考点】等比数列的通项和前n 项和． 4.【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以l α∥．同理可得l β∥．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D ．【提示】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．【考点】直线与平面的位置关系． 5.【答案】D【解析】因为5(1+)x 的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含x 2的项为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，所以10+55a =，1a =-.【提示由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数为221552C +C )0+5(1x ax x a x =，由此解得a 的值．【考点】二项式定理 6.【答案】B【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，11+2S =； 当k =3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k =4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；；（步骤1）当k =10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确．（步骤2）【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【考点】循环结构的程序框图． 7.【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图象为下图：第7题图则它在平面zOx 上的投影即正视，故选A ．【提示】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可． 【考点】空间直角坐标系，三视图． 8.【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg 5g 3l >>，所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<，即c b A <<．故选D ． 【提示】利用log ()log log (0)a a a xy x y x y =+>、，化简a ，b ，c 然后比较3log 2，5log 2，7log 2大小即可．【考点】对数函数的化简和大小的比较． 9.【答案】B【解析】由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2+1x y =，因为直线2+1x y =与直线1x =的交点坐标为(1,)1-，结合题意知直线(3)y a x =-过点(1,)1-，代入得12a =，所以12a =．第9题图【提示】先根据约束条件画出可行域，设2z x y =+，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线2zx y=+过可行域内的点B 时，从而得到a 值即可． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值．10.【答案】C【解析】由于2()32f x x ax b '=++是二次函数，()f x 有极小值点0x ，必定有一个极大值点1x ，若10x x <，则()f x 在区间0(,)x -∞上不单调递减，C 不正确．【提示】利用导数的运算法则得出()00f x '∆>∆≤，分与讨论，即可得出． 【考点】利用导数求函数的极值． 11.【答案】C【解析】设点M 的坐标为00(,)x y ，由抛物线的定义，得052|+MF x p ==|，则052x p =-．（步骤1）又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为00+0()()2p x y x x y y ⎛⎫⎪-- ⎝⎭-=.（步骤2）将0x =，2y =代入得00+840px y -=，即02+2480y y -=，所以04y =. 由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =.（步骤3）所以C 的方程为24y x =或216y x =．故选C ．【提示】已知抛物线焦点到抛物线上点的线段的距离和以这条线段为直径的圆上的一点，求出抛物线的方程．【考点】抛物线的定义和抛物线的标准方程． 12.【答案】B【解析】根据题意画出图形，如图（1），由图可知，直线BC 的方程为1x y +=．由1,,x y y ax b +=⎧⎨=+⎩解得1,11b a b M a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭． 可求()0,N b ，,0b D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线y ax b =+将△ABC 分割为面积相等的两部分，∴12S S =△△BDM ABC ．又12BOC ABC S S =△△，CMN ODN S S ∴=△△，即111(1)221b b b b a a -⎛⎫⨯-⨯=-⨯ ⎪+⎝⎭．整理得22(1)1b b a a -=+． 22(1)1b ab a-+∴=，11b ∴-=，11b =即b =，可以看出，当a 增大时，b 也增大．当a →+∞时，12b →，即12b <．当0a →时，直线+y ax b =接近于y b =．当y b =时，如图（2），2222(1)112CDM ABC S CN b S CO -===△△．1b ∴-1b =1b ∴>-． 由上分析可知1122b -<<，故选B ．第12题图（1） 第12题图（2）【提示】已知含有参数的直线将三角形分割为面积相等的两部分和点的坐标，求出参数的取值范围．【考点】函数单调性的综合应用．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】2【解析】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则1(),2AE =，)2(2,BD =-，所以2AE BD =．第13题图【提示】结合几何的关系，求出向量的数量积． 【考点】平面向量的数量积运算． 14.【答案】8【解析】从1，2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =.【提示】列出从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为114列式计算n 的值． 【考点】古典概型，排列组合的应用．15.【答案】 【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan 13θ=-，即1s 3in cos θθ-=．（步骤1）将其代入22sin +cos 1θθ=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以10cos θ-=0in 1s θ=，sin +cos 5θθ=-．（步骤2）【提示】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin cos θθ与的值，即可求出sin cos θθ+的值．【考点】两角和与差的正切，同角三角函数的基本关系． 16.【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则110110910+210+450S a d d a =⨯==，① 1151151415215+10525a d a d S =⨯==+.②（步骤1） 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n n n S -=-+⨯=-．（步骤2）令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220()3f n n n '=-．令()0f n '=，得0n =或203n =．（步骤3）当203n >时，()0f n '>，200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n ∈N ＋，则(6)48f =-，(7)49f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值－49.（步骤4）【提示】已知等差数列前10项和与前15项和，求出n 与前n 项和乘积的最小值． 【考点】等差数列的前n 项，利用导数求函数的最值． 三、解答题 17.【答案】（1）π4（2【解析】（1）由已知及正弦定理得sin sin cos +sin sin A B C C B =．①又()+A B C π=-，故sin sin +sin cos +co )s i (s n A B C B C B C ==．②由①，②和π()0,C ∈得sin cos B B =，即tan 1B =，又π()0,B ∈，所以π4B =．（步骤1） （2）△ABC的面积1sin 2S ac B ==． 由已知及余弦定理得22π2cos 44+ac a c =-．（步骤2）又22+2a c ac ≥，故ac ≤，当且仅当a c =时，等号成立．因此△ABC．（步骤3）【提示】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tan B 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，把sin B 的值代入，得到三角形面积最大即为ac 最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac 的最大值，即可得到面积的最大值．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦． 18.【答案】（1）连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（步骤1） （2）由AC CB AB ==，得AC BC ⊥ 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，12,()0,2A ，(1),1,0CD =，(0),2,1CE =，12,0,2()CA =． 设111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，则10,0,n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111+0,2+20.x y x z =⎧⎨=⎩ 可取1),(,11n =--．（步骤2）同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(),2m =-．（步骤3）从而3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>= 即二面角D －A 1C －E ．（步骤4）第18题图（1）【提示】（1）通过证明1BC 平行平面1ACD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明11BC ACD 平面∥ （2）．由AC CB AB ==，得AC BC ⊥以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ．设2CA =，111,(),n x y z =是平面A 1CD 的法向量，同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，由3cos ,3||||n m m n n m <>==，故6sin ,3m n <>=【考点】直线与平面的判定，空间直角坐标系，空间向量及其运算．19.【答案】（1）80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩ （2）0.7（3）59400【解析】（1）当100[),130X ∈时，50030013()080039000T X X X =--=-，当130[],150X ∈时，50013065000T =⨯=. 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩（步骤1）（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7（步骤2）（3所以450000.1+530000.2+610000.3+650000.459400ET =⨯⨯⨯⨯=.（步骤3）【提示】（1）由题意先分段写出，当100[),130X ∈时，当130[],150X ∈时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ≤≤再由直方图知需求量120[],150X ∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值．（3）利用利润T 的数学期望=各组的区间中点值x 该区间的频率之和即得．【考点】频率分布直方图，分段函数的模型，离散型随机变量的数学期望．20.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】（1）设11(),A x y ，22(),B x y ，00(),P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=--，由此可得22121221211b x x y y a y y x x (+)-=-=(+)-． 因为120+2x x x =，120+2y y y =，0012y x =，所以222a b =（步骤1）又由题意知，M的右焦点为，故223a b -=. 因此26a =，23b =.所以M 的方程为22163x y +=．（步骤2） （2）由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩因此||AB =．（步骤3） 由题意可设直线CD的方程为3y x n n ⎛=+-<< ⎝，设33(),C x y ，44(),D x y ．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得223+4+260x nx n -=.于是3,4x （步骤4） 因为直线CD 的斜率为1，所以43|||x x CD - 由已知，四边形ACBD 的面积186||||29S CD AB ==．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为．所以四边形ACBD ．（步骤5）【提示】（1）把右焦点(,0)c 代入直线可解得C ．设11(),A x y ，22(),B x y ，线段AB 的中点00(),P x y ，利用“点差法”即可得到a ，b 的关系式，再与222a bc =+联立即可得到a ，b ，c ．（2）把直线0x y +=与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||AB ，由CD AB ⊥，可设直线CD 的方程为y x n =+，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长||CD ．利用1||||2ACBD S AB CD =四边形即可得到关于n 的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系． 21.【答案】（1）1()e x f x x m=-+． 由0x =是()f x 的极值点得(0)0f '=，所以1m =.于是ln +)1(()xf e x x =-，定义域为()1,+-∞，1()e 1xf x x =-+．（步骤1）函数1()e 1x f x x =-+在()1,+-∞单调递增，且(0)0f '=.因此当,0()1x ∈-时，()0f x '<； 当+()0,x ∈∞时，()0f x '>.所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0,+)∞单调递增．（步骤2）（2）当2m ≤，,()+x m ∈-∞时，l ()()n +ln +2x m x ≤，故只需证明当2m =时，()0f x >. 当2m =时，函数1()e 2x f x x =-+在()2,+-∞单调递增． 又1()0f '-<，(0)0f '>，故()0f x '=在()2,+-∞有唯一实根x 0，且0)0(1,x ∈-．（步骤3） 当2+(),x ∈-∞时，()0f x '<；当0(),+x x ∈∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由0()0f x '=得001e 2x x =+，00ln +2()x x =-，故200000()()+11022f x f x x x x x ≥)=+++=(>. 综上，当2m ≤时，()0f x >.（步骤4）【提示】（1）求出原函数的导函数，因为0x =是函数()f x 的极值点，由极值点处的导数等于0求出m 的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间； （2）证明当2m ≤时，()0f x >，转化为证明当2m =时()0f x >求出当2m =时函数的导函数，可知导函数在(2,)-+∞上为增函数，并进一步得到导函数在(1,0)-上有唯一零点0x ，则当0x x =时函数取得最小值，借助于0x 是导函数的零点证出0()0f x >，从而结论得证． 【考点】利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决不等式问题． 22.【答案】（1）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF △∽△，所以DBC EFA ∠=∠．（步骤1）因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．（步骤2）（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又222BC DB BA DB ==，所以222 2.4+6CA DB BC DB ==而2223DC DB D CE DA B ===，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12． （步骤3）第22题图【提示】（1）已知CD 为ABC △外接圆的切线，利用弦切角定理可得DCB A ∠=∠，及BC DCFA EA=，可知CDB AEF △∽△，于是DBC EFA ∠=∠．利用B 、E 、F 、C 四点共圆，可得CFE DBC ∠=∠，进而得到90EFA CFE ∠=∠=︒即可证明CA 是ABC △外接圆的直径；（2）要求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B 、E 、F 、C 四点的圆的直径为CE ，及DB BE =，可得CE DC =，利用切割线定理可得222BC DB BA DB ==，222 2.4+6CA DB BC DB ==，都用DB 表示即可．【考点】弦切角，圆内接四边形的性质．23.【答案】（1）cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数， （2）d (02π)α<< M 的轨迹过坐标原点【解析】（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，因此cos +cos2,sin +i ()s n2M αααα．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩0()2παα<<为参数，．（步骤1）（2）M 点到坐标原点的距离d =(02π)α<<．当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（步骤2）【提示】（1）根据题意写出P ，Q 两点的坐标：2cos (n )2si P αα，，2cos2,2si 2()n Q αα，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；（2）利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d 证当πα=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点． 【考点】参数方程，轨迹方程．24.【答案】（1）由22+2b a ab ≥，22+2b c bc ≥，22+2c a ca ≥，得222++++a b c ab bc ca ≥．（步骤1）由题设得21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =.所以3+(+)1ab bc ca ≤，即1++3ab bc ca ≤．（步骤2） （2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a+≥，故222(++(2))a b c a b c a b c b c a +++++≥，（步骤3）即222++a b c a c a c b b ++≥． 所以2221a b c b c a++≥（步骤4）【提示】（1）依题意，由21)++(a b c =，即222+++2+2+21a b c ab bc ca =，利用基本不等式可得3+(+)1ab bc ca ≤，从而得证；（2）利用基本不等式可证得：22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，三式累加即可证得结论．【考点】不等式证明，均值不等式．。

虹口区2014学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：20151+1i i =+____.（i 是虚数单位） 2、已知函数()()()132,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()()3f f -=___. 3、函数()()1ln 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数()1f x -=_______.4、已知正实数,x y 满足31x y +=，则13xx y+的最小值为___________.5、已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =，且当θ为钝角时，tan θ=_______. 6、在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_________种.7、设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则n S =_________. 8、在极坐标系中，过点4π⎫⎪⎭且与圆2cos ρθ=相切的直线的方程为_______________.9、若二项式6x ⎛- ⎝展开式中含2x 项的系数为52，则()2lim 1n n a a a →∞++++=L __________.10、若行列式()51sin 0cos 24x x ππ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1行第2列的 元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为___________.11、如图所示，已知12,F F 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于,A B 两点，且2F AB ∆为正三角形， 则双曲线的实轴长为__________.12、随机变量ξ的分布列为其中,,a b c 成等差数列，若13E ξ=，则D ξ=_________.13、已知向量,a b r r ，满足2a b a b ==⋅=r r r r ，且()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则2b c -r r的最小值为_______.14、若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________.二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15、设全集R U =，已知2302x A x x ⎧+⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}12B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A. 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (]1,2-C. (]2,3D. [)2,316、设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件17、如图所示，PAB ∆所在平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且AD α⊥，BC α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，若tan 2tan 1ADP BCP ∠-∠=，则动点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分18、已知F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上的三点，O 为坐标原点，F 若为ABC ∆的重心，,,OFA OFB OFC ∆∆∆面积分别记为123,,S S S ，则222123S S S ++的值为（ ）三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19、（本题满分12分）本题共2小题，第1小题5分，第2小题7分. βαP BA D C已知函数()log a f x b x =+（0a >且1a ≠）的图像经过点()8,2和()1,1-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）令()()()21g x f x f x =+-，求()g x 的最小值及取最小值时x 的值. 20、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=o ，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.21、（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角60o 为的公路,AB AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）.记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来； （2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22、（本题满分16分）本题共3小题，第1小题5分，第2小题5分，第2小题6分. 已知圆()221:18F x y ++=，点()21,0F ，点Q 在圆1F 上运动，2QF 的垂直平分线交1QF 于点P .（1）求动点P 的轨迹的方程C ；（2）设,M N 分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限， 若122OM ON OF +=u u u u r u u u r u u u r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；（3）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交曲线C 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点T ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由. 23、（本题满分18分）本题共3小题，第1小题6分，第2小题6分，第2小题6分.已知数列{}n a 满足：121a a ==，且()*22N n n n a a n +-=∈，设3n n b a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，是否存在连续的三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项； 若不存在，请说明理由；（3）试证明：在数列{}n b 中，一定存在正整数(),1k l k l <<，使得1,,k l b b b 构成等比数列； 并求出,k l 之间的关系.虹口区2014学年度第二学期高三年级语文学科教学质量监控测试卷时间120分钟，满分150分 考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须写在答题纸上，A BCQPD M M B P N C做在试卷上一律不得分。

2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5}，若集合A ={2, 3}，则∁U A =________．2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为________． 3. 函数f(x)=|sinx 4cosx13|的最大值为________． 4. 已知直线l 1:ax −y +2a +1=0和l 2:2x −(a −1)y +3=0(a ∈R)，若l 1⊥l 2，则a =________．5. 函数y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，如果函数y =f(x)的图象过点(2, −2)，那么函数y =f −1(x)+1的图象一定过点________．6. 已知数列{a n }为等差数列，若a 1+a 3=4，a 2+a 4=10，则{a n }的前n 项的和S n =________．7. 一个与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为________．8. （理）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为________．9. 设a ∈R ，(ax −1)8的二项展开式中含x 3项的系数为7，则limn →∞(a +a 2+...+a n )=________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l:{x =t y =t −a ，（t 为参数）过椭圆C:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数）的右顶点，则常数a 的值为________．11. （理）已知随机变量ξ的分布列如表，若Eξ=3，则Dξ=________的周长为________．13. 抛物线y 2=4mx(m >0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点A(−m, 0)，则|PF||PA|的最小值为________．14. （理）已知函数f(x)的定义域为{1, 2, 3}，值域为集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集，设点A （1, f(1)），B （2, f(2)），C （3, f(3)），△ABC 的外接圆圆心为M ，且MA →+MC →=λMB →(λ∈R)，满足条件的函数f(x)有________个．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. “a >1”是“1a <1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件16. （理）已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位．若复数z1+i+i是实数，则|z|的最小值为（）A 0B 52C 5D √217. 能够把椭圆x24+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数不是椭圆的“可分函数”为（）A f(x)=4x3+xB f(x)=ln5−x5+x C f(x)=arctan x4D f(x)=e x+e−x18. 方程lg(x−100)2=72−(|x|−200)(|x|−202)的解的个数是（）A 2B 4C 6D 8三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19. （理）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝1，∠ABC=π4，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．20. 如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=π4（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．21. （理）已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x1，x2都有f(x1+x2)=1+f(x1)+f(x2)，且f(1)=1．（1）若对任意正整数n，有a n=f(12n)+1，求a1、a2的值，并证明{a n}为等比数列；（2）设对任意正整数n ，有b n =1f(n)，若不等式b n+1+b n+2+...+b 2n >635log 2(x +1)对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．22.（理）已知中心在原点O ，左焦点为F 1(−1, 0)的椭圆C 1的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为√77|OB|． （1）求椭圆C 1的方程；（2）过点P(3, 0)作直线l ，使其交椭圆C 1于R 、S 两点，交直线x =1于Q 点．问：是否存在这样的直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（3）若椭圆C 1方程为：x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0)，椭圆C 2方程为：x 2m 2+y 2n 2=λ(λ>0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．已知C 2是椭圆C 1的3倍相似椭圆，若直线y =kx +b 与两椭圆C 1、C 2交于四点（依次为P 、Q 、R 、S ），且PS →+RS →=2QS →，试研究动点E(k, b)的轨迹方程．23. （理）定义区间(c, d)，[c, d), (c, d]，[c, d]的长度均为d −c ，其中d >c ．（1）已知函数y =|2x −1|的定义域为[a, b]，值域为[0, 12]，写出区间[a, b]长度的最大值与最小值．（2）已知函数f M (x)的定义域为实数集D =[−2, 2]，满足f M (x)={x,x ∈M−x,x ∈M （M 是D 的非空真子集）．集合A =[1, 2]，B =[−2, −1]，求F(x)=f A∪B (x)f A (x)+f B (x)+3的值域所在区间长度的总和．（3）定义函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−1，判断函数f(x)在区间(2, 3)上是否有零点，并求不等式f(x)>0解集区间的长度总和．2014年上海市浦东新区高考数学二模试卷（理科）答案1. {1, 4, 5}2. y =±43x 3. 5 4. 135. (−2, 3)6. 32n 2−52n 7. 323π 8. 0.98 9. −1310. 3 11. 1 12. 6+6√6 13. √2214. 12 15. A 16. D 17. D 18. B19. 设AB 的中点为E ，连接EN ， 则EN // AC ，且EN =12AC ，所以∠MNE 或其补角即为异面直线MN 与AC 所成的角．…3分 连接ME ，在Rt △MEN 中，tan∠MNE =ME NE=2⋯5分所以异面直线MN 与AC 所成的角为arctan2．…6分 因为AB ＝AC ＝1，∠ABC =π4，所以AB ⊥AC ，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系A −xyz ，则：M(12,0,1)，N(12,12,0),D(0,1,12)，…8分设平面AND 的一个法向量为n →=(x,y,z)则{n →⋅AN →=0n →⋅AD →=0 ⇒{x +y =0y +z 2=0所以平面ADN 的一个法向量为n →=(1,−1,2)．…10 又AM →=(12,0,1)，所以点M 到平面OAD 的距离d =|AM →⋅n →||n →|=|12+2|√6=5√612．…12分．20. 解：（1）S =S ABCD −S △ABP −S △ADQ ...2分 =100−50tanθ−50tan(π4−θ)…4分 =100−50(tanθ+1−tanθ1+tanθ)，(0<θ<π4)…6分 （2）令t =1+tanθ，t ∈(1, 2)…8分 S =100−50[1+(t−1)2t ]=100−50(t +2t −2)=200−50(t +2t )…10分∵ t +2t≥2√t ⋅2t=2√2，（当且仅当t =2t时，即t =√2∈(1,2)，等号成立）…12分 ∴ 当t =√2时，搜索区域面积S 的最大值为200−100√2（平方海里） 此时，θ=arctan(√2−1)…14分．21. 解：（1）令x 1=x 2=12，得f(1)=1+f(12)+f(12)，则f(12)=0，a 1=f(12)+1=1...1分令x 1=x 2=14，得f(12)=1+f(14)+f(14)， 则f(14)=−12，a 2=f(14)+1=12...2分 令x 1=x 2=12n+1，得f(12n+1+12n+1)=1+f(12n+1)+f(12n+1)，即f(12n )=1+2f(12n+1)，…4分则f(12n )+1=2[1+f(12n+1)]，a n =2a n+1所以，数列{a n }是等比数列，公比q =12，首项a 1=1．…6分（2）令x 1=n ，x 2=1，得f(n +1)=1+f(1)+f(n)，即f(n +1)=f(n)+2 则{f(n)}是等差数列，公差为2，首项f(1)=1，故f(n)=1+(n −1)⋅2=2n −1，…8分 b n =1f(n)=12n−1．…9分设g(n)=b n+1+b n+2+⋯+b 2n =12n+1+12n+3+⋯+14n−1， 则g(n +1)−g(n)=14n+1+14n+3−12n+1=1(4n+1)(4n+3)(2n+1)>0， 所以{g(n)}是递增数列，g min =g(2)=15+17=1235，…11分 从而635log 2(x +1)<1235，即log 2(x +1)<2...12分 则{x +1>0x +1<4，解得x ∈(−1, 3)． …14分． 22. 解：（1）设椭圆C 1方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， ∴ 直线AB 方程为：x −a+yb=1...1分∴ F 1(−1, 0)到直线AB 距离为d =√a 2+b2=√77b ， ∴ a 2+b 2=7(a −1)2...2分又b 2=a 2−1，解得：a =2，b =√3...3分 故：椭圆C 1方程为：x 24+y 23=1．…4分（2）当直线l 与x 轴重合时，|PQ|=2，而|PR|⋅|PS|=1×5=5，∴ |PQ|2≠|PR|⋅|PS|若存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项， 则可设直线l 方程为：x =my +3...5分代人椭圆C 1的方程，得：3(my +3)2+4y 2=12，即：(3m 2+4)y 2+18my +15=0 ∴ △=(18m)2−4×15(3m 2+4)=48(3m 2−5) 记R(x 1, y 1)，S(x 2, y 2)，Q(x 0, y 0)， ∴ y 1y 2=153m 2+4，y 0=−2m...7分∵ |PQ|2=|PR|⋅|PS|，即|PR||PQ|=|PQ||PS|⇒y 1y 0=y0y 2，∴ y 1y 2=y 02∴153m 2+4=4m2，解得：m 2=163，符合△>0，∴ m =±4√33...9分 故存在直线l ，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，其方程为x =±4√33y +3，即：y =±√34(x −3)…10分（3）椭圆C 1的3倍相似椭圆C 2的方程为：x 212+y 29=1...11分设Q 、R 、P 、S 各点坐标依次为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)、(x 3, y 3)、(x 4, y 4) 将y =kx +b 代人椭圆C 1方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0 ∴ △1=(8kb)2−4(3+4k 2)(4b 2−12)=48(4k 2+3−b 2)>0(∗) 此时：x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2⇒|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2...13分将y =kx +b 代人椭圆C 2方程，得：(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−36=0 ∴ x 3+x 4=−8kb3+4k 2，x 3x 4=4b 2−363+4k 2⇒|x 3−x 4|=4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2...14分∴ x 1+x 2=x 3+x 4，可得线段PS 、QR 中点相同，∴ |PQ|=|RS|由PS →+RS →=2QS →⇒PQ →=QR →，∴ |PS|=3|QR|，可得：|x 3−x 4|=3|x 1−x 2| ∴4√3(12k 2+9−b 2)3+4k 2=3×4√3(4k 2+3−b 2)3+4k 2，∴ 12k 2+9=4b 2（满足(∗)式）． 故：动点E(k, b)的轨迹方程为4b 29−4k 23=1．…16分．23. 解：(1)|2x −1|=12，解得x =−1或x =log 232，|2x −1|=0，解得x =0，画图可得：区间[a, b]长度的最大值为log 23，最小值为log 232．（2）F(x)={x 3，x ∈A ∪Bx2x−3，x ∈(−1,1)当x ∈A ∪B ，F(x)∈[−23，−13]∪[13,23]， 当x ∈(−1, 1)，F(x)∈(−1,15)，所以x ∈[−2, 2]时，F(x)∈(−1,15)∪[13,23] 所以值域区间长度总和为2315．（3）由于当2<x <3时，取x =2.001，f(2.001)>0，取x=2.999，f(2.999)<0，所以方程f(x)=0在区间(2, 3)内有一个解考虑函数f(x)=1x−1+2x−2+3x−3+4x−4−2，由于当x<1时，f(x)<0，故在区间(−∞, 1)内，不存在使f(x)>0的实数x；对于集合{1, 2, 3, 4}中的任一个k，由于当k−1<x<k时，取x=k+0.001，f(x)>0，取x=k+1−0.001，f(x)<0又因为函数y=f(x)在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内单调递减，所以方程f(x)=0在区间(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, +∞)内各有一个解；依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，从而不等式f(x)>0的解集是E=(1, x1)∪(2, x2)∪(3, x3)∪(4, x4)，故得所有区间长度的总和为S=(x1−1)+(x2−2)+(x3−3)+(x4−4)=x1+x2+x3+x4−10…①对f(x)>0进行通分处理，分子记为p(x)p(x)=(x−2)(x−3)(x−4)+2(x−1)(x−3)(x−4)+3(x−1)(x−2)(x−4)+4(x−1)(x−2)(x−3)−2(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)如将p(x)展开，其最高项系数为−2，设p(x)=−2x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②又有p(x)=−2(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)…③对比②③中p(x)的x3系数，2(x1+x2+x3+x4)=1+2+3+4+2(1+2+3+4)=30可得：S=x1+x2+x3+x4−10=5．。

2014届高中数学·二模汇编（专题：立体几何）C DBA第12题2014届高中数学·二模汇编 立体几何一、填空题1、（2014年虹口二模理12）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、 △ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .2、（2014年崇明二模理10）已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同， 若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= ．3、（2014年崇明二模文10） 已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 的高与球O 直径 相等，则它们的体积之比:V V =圆柱球 (结果用数值作答).4、（2014年闵行二模理7）用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ， 则该球的体积是 cm 3.5、（2014年徐汇松江金山二模文理9）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．6、（2014年浦东二模文理7） 一个与球心距离为3的平面截球所得的圆的面积为π，则球的体积为 .7、（2014年黄浦二模文理10）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离 是3，则这个球的表面积是 ．8、（2014年长宁嘉定二模理8）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．9、（2014年长宁嘉定二模文8）已知函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=,21,2,10,)(x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________． 10、（2014年奉贤二模文8理7）若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________. 11、（2014年四区二模文理4)已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)． 12、（2014普陀二模文8）一个正方体内接于球，若球的体积为34π，则正方体的棱长为 .CDBA13、（2014普陀二模理12）若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .14、（2014闸北二模文理5）若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的 体积分别为1V 和2V ，则21:V V 的值为 ．15、（2014闸北二模理6）如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1CC 的中点，则直线DE 与平面11BC A 的夹角为______． 16、（2014闸北二模文理7）如右图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设x FB AE ==cm ．若要使包装盒的侧面积最大，则x 的值为______．二、选择题17、（2014年虹口二模文17）设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=， 0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）. .A 12.B 2 .C 4 .D 818、（2014年闵行二模文理15）下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行 （B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α （D ）垂直于同一个平面的两条直线平行19、（2014年徐汇松江金山二模文16理15）已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是 ① m l ⊥⇒βα// ② m l //⇒⊥βα ③ βα⊥⇒m l // ④ βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③BAC DA BC D 第15题（理）PMA BO20、（2014年黄浦二模文理16）已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等” 是“α||l ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件21、（2014年奉贤二模理15）已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ） A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅D ．1BD BC ⋅22、（2014年四区二模文理17）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别 记为1S 、2S ,则1S :2S =…（ ）. )(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:1三、解答题23、（2014年虹口二模理19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．24、（2014年虹口二模文19）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于60︒．（1）求圆的侧面积和体积．（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；25、（2014年崇明二模理19） 如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，2BC =，12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ； （2）求二面角1A A D E --的大小．BACED第19题图如图，在体积为3的正三棱锥BCD A -中，BD 长为23，E 为棱BC 的中点，求 （1）异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）正三棱锥BCD A -的表面积．27、（2014年徐汇松江金山二模理19）如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体． （1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．1C第19题图Ａ Ｃ 1B 1A ＤＢ如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，4ABC π∠=，D 、M 、N 分别是1CC 、11A B 、BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小； （2）求点M 到平面ADN 之间的距离.29、（2014年黄浦二模理19）已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示． (1) 求证：1DC ⊥平面BCD ； (2) 求二面角A BD C --的大小．ABCD PQ30、（2014年黄浦二模文19）已知矩形11ABB A 是圆柱体的轴截面，1O O 、分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示． (1) 求圆柱体的侧面积S 侧的值；(2) 若1C 是半圆弧11A B 的中点，点C 在半径OA 上，且12OC OA =， 异面直线1CC 与1BB 所成的角为θ，求sin θ的值．31、（2014年长宁嘉定二模理20）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．ADCFPB 32、（2014年奉贤二模理19）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.33、（2014年四区二模理19) 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. A 1 B 1C 1D B A C(理19题图)34、（2014普陀二模文20）如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且︒=∠120AOC . （1）求三棱锥CB A A 1-的体积；（2）求异面直线B A 1与OC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.35、（2014闸北二模理14）如图，平面α内一椭圆14:22=+y x C ，1F 、2F 分别是其焦点，P 为椭圆C 上的点，已知α⊥1AF ，α⊥2BF ，121==BF AF ，直线PA 、PB 和平面α所成角分别为θ、ϕ．（1）求证：4cot cot =+ϕθ； （2）若2πϕθ=+，求直线PA 与PB 所成角的大小．第2011 36、（2014闸北二模文13） 如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ， D 、E 分别为1AA 与11B A 的中点．（1）求异面直线D C 1与BE 的夹角；（2）求四面体1BDEC 体积．。

2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1 17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．218．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=a4=…b1=2b2=b3=b4=…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．2014年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，满分56分）1．（4分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】1E：交集及其运算．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查绝对值不等式、一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x ∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的单调性的应用，属于中档题．3．（4分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用正弦定理化简已知等式得到三边之比，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：已知sinA：sinB：sinC=1：：，利用正弦定理化简得：a：b：c=1：：，设a=k，b=k，c=k，且最大角为C，∴cosC===﹣，∴C=．故答案为：．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．4．（4分）已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．【点评】本题主要指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．5．（4分）复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】A8：复数的模；O1：二阶矩阵．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．6．（4分）已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）==﹣1，tanα=2，∴=﹣1，整理得：2+tanβ=﹣1+2tanβ，解得：tanβ=3．故答案为：3【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件推导出a2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线﹣y2=1的左焦点重合，∴a2+1=4，解得a=，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．8．（4分）某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题考查古典概型中利用排列组合求基本事件个数，再求概率的类型，有2个特殊元素，从其中一个数学开始讨论，分2种情况讨论即可．【解答】解：从元素入手，特殊元素优先，先排数学，分2类：①当数学在第一节时，其他5个元素全排列即可，②当数学不在第一节时，也不排在最后一节，则应为；再排体育，又不排在第一节，应为，然后剩下4个元素全排列，即本类排法为，综上共有+=504又基本事件共有=720所以概率P==，故答案为：．【点评】利用排列组合求概率，属于排列中的特殊元素特殊位置类型，从元素入手或者从位置入手都可，但讨论标准讨论完前，不可更换．9．（4分）已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．10．（4分）等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，下列四个命题．α1：数列{a n}是递增数列；α2：数列{na n}是递增数列；α3：数列{}是递增数列；α4：数列{a n2}是递增数列．其中真命题的是α1，α3．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的单调性直接进行判断，从而得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣8，∴数列{a n}是递增数列，故α1是真命题；∵na n=2n2﹣8n，∴数列{na n}是先减后增数列，故α2是假命题；∵=2﹣，∴数列{}是递增数列，故α3是真命题；∵a n2=4n2﹣32n+64，∴数列{a n2}不是递增数列，故α4是假命题．故答案为：α1，α3．【点评】本题考查数列的函数特性的应用，是基础题，解题时要注意函数的单调性的灵活运用，属于基础题．11．（4分）椭圆（a＞b＞0），参数φ的范围是（0≤φ＜2π）的两个焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且|F1F2|=4，则a等于+1．【考点】K4：椭圆的性质；QL：椭圆的参数方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将椭圆参数方程化为普通方程，可设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连接AF2，再由题设条件可知|AF1|=|F1F2|，∠F1AF2=90°，由|F1F2|=4，即c=2，由勾股定理求出|AF2|，再由椭圆的定义求出a即可．【解答】解：椭圆（a＞b＞0），可化为：（a＞b＞0）如图设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，连AF2，由题设条件知|AF1|=|F1F2|=c，∠F1AF2=90°，又|F1F2|=4，即2c=4，c=2，则|AF1|=2，|AF2|===2，由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a，则2a=2+2，∴a=+1．故答案为：+1．【点评】本题主要考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的简单性质和应用，解题时要注意运用定义，是快速解题的关键，本题属于基础题．12．（4分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足=0，•=0，•=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、ABD的面积，则S1+S2+S3的最大值是2．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2即最大值为：2故答案为2．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．13．（4分）在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m •，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、共面向量的基本定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．14．（4分）对于数列{a n}，规定{△1a n}为数列{a n}的一阶差分数列，其中△1a n=a n+1﹣a n（n∈N*）．对于正整数k，规定{△k a n}为{a n}的k阶差分数列，其中△k a n=a n+1﹣△k﹣1a n．若数列{a n}有a1=1，a2=2，且满足△2a n+△1a n﹣2=0（n∈△k﹣1N*），则a14=26．【考点】8B：数列的应用．【专题】23：新定义；54：等差数列与等比数列．【分析】利用新定义，可得{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，即可求出a14．【解答】解：∵△k a n=△k﹣1a n+1﹣△k﹣1a n，△2a n+△1a n﹣2=0，∴△1a n+1=2，∴a n+2﹣a n+1=2，∵a1=1，a2=2，∴{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列，∴a14=2+2（14﹣2）=26．故答案为：26．【点评】本题考查数列的应用，考查新定义，确定{a n}是从第2项起，2为公差的等差数列是关键．二、选择题（每小题5分，满分20分）15．（5分）已知α：“a=2”；β：“直线x﹣y=0与圆x2+（y﹣a）2=2相切”．则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据直线与圆相切的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若直线与圆相切则，圆心到直线的距离d=，即|a|=2，∴a=±2，∴α是β的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＜﹣1或a＞1D．﹣1＜a＜1【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．17．（5分）已知数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，若数列{cosa n}是等比数列，则其公比为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【考点】87：等比数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=，由积化和差得cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，再由和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，由此能求出公比q=﹣1．【解答】解：∵数列{a n}是首项为a1，公差为d（0＜d＜2π）的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∵数列{cosa n}是等比数列，∴=，①∴2cosa1cos（a1+nd）=2cos（a1+d）cos[a1+（n﹣1）d]，积化和差得cos（2a1+nd）+cosnd=cos（2a1+nd）+cos（n﹣2）d，∴cos（n﹣2）d﹣cosnd=0，和差化积得2sin[（n﹣1）d]sind=0，对任意的正整数n都成立，∴sind=0，0＜d＜2π，∴d=π．由①，公比q=﹣1．故选：B．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意积化和差公式与和差化积公式的灵活运用．18．（5分）函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8B．9C．10D．11【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．【点评】本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（满分74分）19．（12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，求θ的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】（1）过点M作MD⊥AO，从而MD∥PO，∠DMC即异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M﹣ACO的体积最大时，其高为，只需棱锥底面△ACO面积最大，即可，从而求得θ值．【解答】（12分）解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．又PO=，∴MD=．又OC=4，OM=3．又MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（5分）当∠MOC=60°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos当∠MOC=120°时，∴MC=．∴cos∠DMC==，∴∠DMC=arccos综上异面直线MC与PO所成的角等于arccos或arccos．…（8分）（2）∵三棱锥M﹣ACO的高为MD且长为，要使得三棱锥M﹣ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．…（10分）又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°．…（12分）【点评】本题考查异面直线所成的角，及三棱锥体积最值问题，数中档题．20．（14分）已知函数y=f（x）=2sinxcosx+2cos2x+a（x∈R），其中a为常数．（1）求函数y=f（x）的周期；（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】（1）先利用倍角公式对函数解析式化简，求得函数的周期．（2）利用（1）中的解析式及f（x）的值求得a，求得函数解析式，最后根据三角函数的性质求得答案．【解答】解（1）y=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1∴T==π（2）∵f（x）的最小值为0，∴﹣2+a+1=0∴a=1∴函数y=2sin（2x+）+2最大值等于为2+2=4当2x+=kπ+（k∈Z），即x=+（k∈Z）时函数有最大值或最小值，∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）．【点评】本题主要考查三角函数的周期，三角函数的图象及三角函数恒等变换的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．21．（14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a1=10a2=9.5a3=9a4=8.5…b1=2b2=3b3= 4.5b4= 6.75…（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？【考点】8B：数列的应用．【专题】12：应用题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可得﹣n2+17n﹣≥200，即可得出结论．【解答】解：（1）a1=10a2=9.5a3=9 a4=8.5 …b1=2b2=3b3=4.5 b4=6.75 ……（2分）当1≤n≤20且n∈N*，a n=10+（n﹣1）×（﹣0.5）=﹣0.5n+10.5；当n≥21且n∈N*，a n=0．∴a n=…（5分）而a4+b4=15.25＞15∴b n=，…（8分）（2）当n=4时，S n=a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3+b4=53.25．当5≤n≤21时，S n=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+b3+b4+b5+…+b n）=10n+++6.75（n﹣4）=﹣n2+17n﹣…（11分）由S n≥200得﹣n2+17n﹣≥200，即n2﹣68n+843≤0，得34﹣≤n≤21 …（13分）∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…（14分）【点评】本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（16分）函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数f（x）=2x，g（x）=x3是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由．（2）若f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值．（3）问实数k、b满足什么条件，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．【考点】3T：函数的值．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立进行判断，即可得到结论．（2）根据|f（x）|≥M|x|对一切实数x均成立，建立条件关系，即可求出结论，（3）利用函数是“圆锥托底型”函数．则满足条件|f（x）|≥M|x|对一切实数x 均成立，即可得到结论．【解答】解：（1）∵|2x|=2|x|≥2|x|，即对于一切实数x使得|f（x）|≥2|x|成立，∴f（x）=2x是“圆锥托底型”函数．…（2分）对于g（x）=x3，如果存在M＞0满足|x3|≥M|x|，而当时，由，∴，得M≤0，矛盾，∴g（x）=x3不是“圆锥托底型”函数．…（5分）（2）∵f（x）=x2+1是“圆锥托底型”函数，故存在M＞0，使得|f（x）|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立．∴当x≠0时，=|x|+，此时当x=±1时，|x|+取得最小值2，∴M≤2．…（9分）而当x=0时，|f（0）|=1≥M|0|=0也成立．∴M的最大值等于2．…（10分）（3）①当b=0，k=0时，f（x）=0，无论M取何正数，取x0≠0，则有|f（x0）=0＜M|x0|，f（x）=0不是“圆锥托底型”函数．…（12分）②当b=0，k≠0时，f（x）=kx，对于任意x有|f（x）|=|kx|≥|k||x|，此时可取0＜M＜k|，∴f（x）=kx是“圆锥托底型”函数．…（14分）③当b≠0，k=0时，f（x）=b，无论M取何正数，取|x0|．有|b|＜M|x0|，∴f（x）=b不是“圆锥托底型”函数．…（16分）④当b≠0，k≠0时，f（x）=kx+b，无论M取何正数，取x0=≠0，有|f（x0）|=0≤M|x0|，∴f（x）=kx+b不是“圆锥托底型”函数．由上可得，仅当b=0，k≠0时，f（x）=kx+b是“圆锥托底型”函数．…（18分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义，考查学生的推理能力和运算能力，综合性较强，难度较大．23．（18分）如图，直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py（常数p＞0）相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的切线的切点为C（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）直线l：y=kx+b代入抛物线x2=2py，求出D的坐标，设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程，求出C的坐标，即可证明结论；（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；（3）分别求出a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．【解答】解：（1）由直线l：y=kx+b与抛物线x2=2py，得x2﹣2pkx﹣2pb=0，∴x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pb∴点D（pk，pk2+b）…（2分）设切线方程为y=kx+m，代入抛物线方程可得x2﹣2pkx﹣2pm=0，得△=4p2k2+8pm=0，m=，切点的横坐标为pk，得C（pk，）…（4分）由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（6分）（2）∵=4p2k2+8pb，∴b=．…（8分）∴S△ABC=|CD||x2﹣x1|=．…（11分）∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（12分）（3）由（1）知CD垂直于x轴，|x C﹣x A|=|x B﹣x C|=，由（2）可得△ACE、△BCF的面积只与有关，将S△ABC=中的h换成，可得S△ACE =S△BCF=．…（14分）记a1=S△ABC=，a2=S△ACE+S△BCF=•，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{a n}的无穷项和，此数列公比为，∴封闭图形的面积S===…（18分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）D O C B A MP一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-；2、4；3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α； 111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==MD ∴=43OC OM ==，． //MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴arccos 13DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==∴DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos 13或arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）110a =29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 ………… 12b = 2b =33b = 4.5 4b = 6.75 ………… ………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =． ∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n N b n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++--216843444n n =-+- ………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得31316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M ≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分（2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0bx M >．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00b x k =-≠，有00()0<M b f x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分x23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分 设切线方程为y kx m =+，由222202y k x m x p k x p m x p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p -=．………8分 232211122216ABC pk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分 （本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C h x x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p ∆∆==⋅．……14分记3116ABC h a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。

2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2 16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2 18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．2014年上海市十三校联考高考数学二模试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每题4分．1．（4分）方程log2x+=1的解是1．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则和换底公式即可解出．【解答】解：原方程可化为log2x+log2（x+1）=1，∴log2x（x+1）=1，∴x（x+1）=2，又x＞0，解得x=1．因此方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点评】本题考查了对数方程的解法、对数的运算法则和换底公式，属于基础题．2．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1（4）1．【考点】4R：反函数；O1：二阶矩阵．【专题】17：选作题；5R：矩阵和变换．【分析】先求出函数，令3x+1=4，可得x．【解答】解：函数f（x）==3x+1，令3x+1=4，可得x=1故答案为：1．【点评】本题考查二阶矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）若实数x，y满足|xy|=1，则x2+4y2的最小值为4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵x2+4y2≥=4|xy|=4，当且仅当|x|=2|y|=时取等号，∴x2+4y2的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．4．（4分）设（1+2i）=3﹣4i（i为虚数单位），则|z|=．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】复数方程两边直接求模，即可得到复数z的模．【解答】解：∵（1+2i）=3﹣4i，∴|1+2i|||=|3﹣4i|=5，∵∴|z|=5，∴|z|=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查复数的模的求法，复数方程的灵活运应，考查计算能力．5．（4分）已知x∈R，则+arccos的值为0．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式组即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x（x+1）=0，∴原式=0+arccos1=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数值和函数定义域的求法，比较基础．6．（4分）﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311除以5的余数是3．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】所给的式子即（﹣1+3）11=2048=2045+3，显然它除以5的余数为3．【解答】解：∵﹣1+3﹣9+27﹣…﹣310+311=（﹣1+3）11=2048=2045+3，它除以5的余数显然为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，整除的有关知识，属于中档题．7．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为．【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，进而根据边长为a的等边三角形面积为得到答案．【解答】解：如图所示：过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，故等边△AB1C的边长为，故面积S==，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中分析出过点A、M、N的平面截正方体的截面即为平面AB1C，是解答的关键．8．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，则=2．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】先求出S n=n（），再由“”型极限的计算公式能求出的值．【解答】解：∵S n=na1+=n（），∴===2．故答案为：2．【点评】本题考查极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．9．（4分）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为50级需要的天数a50=2700．【考点】81：数列的概念及简单表示法；F1：归纳推理．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．10．（4分）若关于x的方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则k的取值范围为[1，）．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】构造辅助函数f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，求出f（x）在[0，]上的值域并作出图象，由两函数的图象有两个不同交点求得k的取值范围．【解答】解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=k，则f（x）=sin2x+cos2x=．∵x∈[0，]，∴，∴，函数f（x）=在[0，]内的图象如图所示：∴要使方程sin2x+cos2x=k在区间[0，]上有两个不同的实数解，则函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为[1，）．故答案为：[1，）．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了三角函数最值的求法，训练了数学转化思想方法和数形结合的解题思想解题思想方法，是中档题．11．（4分）已知直线l：ρ=交极轴于A点，过极点O作l的垂线，垂足为C，现将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】17：选作题；5S：坐标系和参数方程．【分析】直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出OA，OC的长度，利用将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即可得出结论．【解答】解：∵直线l：ρ=交极轴于A点，∴A（1，0），x﹣y﹣=0，过极点O作l的垂线，垂足为C，则OC=，将线段CA绕极点O旋转，则在旋转过程中线段CA所扫过的面积为两个扇形面积的差，即•π（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．（4分）给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=3，OC=2，=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：∵OB=3，OC=2，=3，∴∠BOC=60°，∴BC==，设O到BC的距离为h，则由等面积可得，∴h=，∴△ABC面积的最大值为••（+4）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键．13．（4分）对于非空实数集A，定义A*={z|对任意x∈A，z≥x}．设非空实数集C⊆D⊊（﹣∞，1]．现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；（2）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；（3）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*=∅；（4）对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b ∈C*，恒有a+b∈D*．以上命题正确的是（1）（4）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】5J：集合；5L：简易逻辑．【分析】由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．进而可通过举例否定②③，对于①④还需要利用集合间的关系去证明．【解答】解：由A*={z|∀x∈A，z≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．（1）分别用A max、A min表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．由C⊆D及A*的定义可知：C max≤C*min，D max≤D*min，C*min≤D max，∴C*min≤D*min，∴必有D*⊆C*．故（1）正确．（2）若设C=（﹣∞，1）=D，满足C⊆D，而C*={1}，此时C*∩D=∅，故（2）不正确．（3）若设C=（﹣∞，0），D=（﹣∞，1），满足C⊆D，而D*=（0，1），此时C ∩D*=（0，1）≠∅，故（3）不正确．（4）由（1）可知：对于C⊆D，必有D*⊆C*；取a=D*min﹣C*min，则对于任意的b∈C*，必恒有a+b∈D*．故（4）正确，故答案为：（1）（4）．【点评】本题考查了新定义，理解数集A*是数集A的所有上界组成的集合及集合间的关系是解决问题的关键．14．（4分）已知当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，根据以上信息，若对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a10=﹣455．【考点】F3：类比推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】对照已知，可得当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，要求a10即为x10的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案．【解答】解：∵当|x|＜时，有=1﹣2x+4x2﹣…+（﹣2x）n+…，①∴当|x|＜时，有=1+x3+x6+x9+…+（x3）n+…，②又对任意|x|＜，都有=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴a10即为x10的系数，可取①中的（﹣2x）9，②中的1，或①中（﹣2x）6，②中的x3，或①中的（﹣2x）3，②中的x6，或①中的1，②中的x9，∴a10=（﹣2）9+（﹣2）6+（﹣2）3+1=﹣455，故答案为：﹣455．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查形式上的类比，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题5分．15．（5分）集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣b）＜0}，若“a=﹣2”是“A ∩B≠∅”的充分条件，则b的取值范围是（）A．b＜﹣1B．b＞﹣1C．b≥﹣1D．﹣1＜b＜2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；7E：其他不等式的解法．【专题】5J：集合．【分析】求出集合A，B的元素，利用“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件即可得到结论．【解答】解：A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，当a=﹣2时，方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根分别为﹣2和b，∵﹣2＜﹣1，∴若“a=﹣2”是“A∩B≠∅”的充分条件，则b＞﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件的应用，利用不等式的性质求出集合A，B是解决本题的关键．16．（5分）函数f1（x）=，f2（x）=，…，f n+1（x）=，…，则函数f2014（x）是（）A．奇函数但不是偶函数B．偶函数但不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【考点】RG：数学归纳法．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】先判断f n（x）不可能是偶函数，再用数学归纳法证明f n（x）是奇函数，即可得出结论．【解答】解：当x＜0时，f1（x）=＜0，f2（x）=＜0，…，f n+1（x）=＜0，…，同理，x＞0时，函数值均大于0，∴f n（x）不可能是偶函数，∵f1（x）=是奇函数，假设f k（x）是奇函数，则f k+1（﹣x）===﹣f k+1（x），∴f k+1（x）是奇函数，从而f n（x）是奇函数，故选：A．【点评】本题考查数学归纳法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0C．α＜βD．α2＞β2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；H5：正弦函数的单调性．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=xsinx是偶函数且在（0，）上递增，∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D．【点评】本题考查函数值的符号，要根据三角函数的定义来判定三角函数的符号再由相关的不等式得出角的大小来，判断上有一定的思维难度．18．（5分）设B、C是定点，且均不在平面α上，动点A在平面α上，且sin∠ABC=，则点A的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【考点】J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】以BC为轴线，B为顶点作圆锥面，使圆锥面的顶角为60°，则圆锥面上的任意一点与B连线，都能满足∠ABC=30°，用平面α截圆锥所得的交线即为点A的轨迹．【解答】解：以BC为轴线，B为顶点，顶角是60°（半顶角是30°），则A就是这个锥面与平面α的交线．如果平面α只与圆锥面一面相交，如图（1），（1）那么A的轨迹是圆或椭圆或抛物线；如果A与圆锥面两侧都相交（圆锥面两侧指以B为顶点向上的圆锥和向下的圆锥，就像沙漏的形状），如图（2），则轨迹是双曲线．∴点A的轨迹为圆或椭圆或抛物线或双曲线．故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的空间想象能力和思维能力，正确作出图形是解答此题的关键，是中档题．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）19．（12分）如图，设S﹣ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心．K是棱SC的中点．试求直线AK与平面SBC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；5G：空间角．【分析】法1：设AK与平面SBC所成角为θ，利用余弦定理求出AK，利用等面积求出A到平面SBC的距离，即可求直线AK与平面SBC所成角的大小．法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．求出平面SBC的一个法向量，，利用向量的夹角公式，可求直线AK与平面SBC所成角的大小．【解答】解：（理）法1：设AK与平面SBC所成角为θ．因为，…（2分）所以．所以．…（4分）所以．所以．…（6分）因为，…（8分）所以，…（10分）因此…（11分）则…（12分）解法2：AC∩BD=O，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间坐标系．则．…（4分）所以．…（6分）设是平面SBC的一个法向量，易求得．…（8分）设θ为AK与平面SBC所成的角，因为．…（10分）所以：．…（11分）所以…（12分）【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查等体积，考查向量方法的运用，确定向量的坐标是关键．20．（14分）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx﹣4a（a，b∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】23：新定义．【分析】（1）根据“局部奇函数”的定义，只要判断条件f（﹣x）=﹣f（x）是否成立即可得到结论．（2）根据“局部奇函数”的定义，解方程f（﹣x）=﹣f（x），即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）+f（x）=0有解．即f（x）+f（﹣x）=0⇒2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，∴f（x）为“局部奇函数”．（2）当f（x）=2x+m时，f（x）+f（﹣x）=0可转化为2x+2﹣x+2m=0，∵f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令，则．∵在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴，∴，即．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．21．（14分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】12：应用题；5I：概率与统计．【分析】（1）1名顾客摸球2次停止摸奖的情况有，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．【解答】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则P（A）==，…（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．P（X=0）=，P（X=10）==，P（X=20）==，P（X=30）==，P（X=40）==…（9分）所以，随机变量X的分布列为：X010203040P…（12分）．…（14分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识和排列组合知识的灵活运用．22．（16分）已知抛物线y2=4x．（1）若圆心在抛物线y2=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；（2）抛物线y2=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若=﹣4，求直线MN的斜率；（3）（理）若过x正半轴上Q（t，0）点的直线与该抛物线交于M，N两点，P 为抛物线上异于M，N的任意一点，记PM，QP，PN连线的斜率为k PM，k QP，k PN，试求满足k PM，k QP，k PN成等差数列的充要条件．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）首先由抛物线的方程可得直线x=﹣1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案；（2）设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，求出y2=±1，故有m=±，即可求直线MN的斜率；（3）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，利用等差数列的性质，可得，即可得出结论．【解答】解：（1）设动圆的圆心到直线x+1=0的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．（2）由题意得到F（1，0），则设AB方程是x=my+1代入到y2=4x，得y2﹣4my ﹣4=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4．因为=﹣4，得到（x1﹣1，y1）=﹣4（x2﹣1，y2），所以有y1=﹣4y2代入到上面得到y2=±1，故有m=±，所以直线MN的斜率为±；（3）（理）设直线MN的方程为x=ky+t，代入y2=4x，得：y2﹣4ky﹣4t=0，则y1+y2=4k，y1y2=﹣4t，…（11分）若，即有，即：由此得：，因为，所以k=0…（15分）所以当直线MN的方程为x=t时，也就是k PM+k PN=2k PQ成立的充要条件是直线MN与x轴相垂直．…（16分）【点评】本题考查抛物线的定义，以及抛物线的有关性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确联立方程是关键．23．（18分）设等差数列{a n}的公差为d，且a1，d∈N*．若设M1是从a1开始的前t1项数列的和，即M1=a1+…+（1≤t1，t1∈N*），M2=at1+1+at1+2+…+at2（1＜t2∈N*），如此下去，其中数列{M i}是从第t i﹣1+1（t0=0）开始到第t i（1＜t i）项为止的数列的和，即M i=at i﹣1+1+…+at i（1≤t i，t i∈N*）．（1）若数列a n=n（1≤n≤13，n∈N*），试找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）试证明对于数列a n=n（n∈N*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M n}中的各数都为平方数；（3）若等差数列{a n}中a1=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t n}，（1≤t1＜t2＜t3＜…＜t n），n∈N*，使得{M n}为等比数列，如存在，就求出数列{M n}；如不存在，则说明理由．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】15：综合题；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）利用定义，可以找出一组满足条件的M1，M2，M3，使得：M22=M1M3；（2）先证明第二段可取3个数，t2=1+3=4；再证明第三段可取9个数，即，由此即可得出结论；（3）利用反证法进行证明即可．【解答】（1）解：由题意，M1=1，M2=2+3+4=9，M3=5+6+…+13=81；…（4分）（2）证明：记t1=1，即M1=1，又由2+3+4=9=32，，∴第二段可取3个数，t2=1+3=4；再由5+6+…+13=81=34，即，因此第三段可取9个数，即，依次下去，一般地：，…（6分）∴，…（8分）…（9分）则．由此得证．…（11分）（3）解：不存在．令，则假设存在符合题意的等差数列，则{M n}的公比必为大于1的整数，（∵，因此q＞1），即此时，注意到，…（14分）要使成立，则1+q+q2必为完全平方数，…（16分）但q2＜1+q+q2＜（q+1）2，矛盾．因此不存在符合题意的等差数列{M n}．…（18分）【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．。

C DBA第12题上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）数学试卷（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ． 2、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .3、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:2:5A B C =，则最大角等于 ．4、已知函数()y f x =是函数xy a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．5、复数z 满足11z ii i=+，则复数z 的模等于_______________． 6、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．7、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后 一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 9、已知(12)nx -关于x 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .10、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ． 11、椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ， 以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124F F =，则a 等于 ．12、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=， 0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、 △ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .PMABO13、在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界）， 则实数m 的取值范围是 ．14、对于数列{}n a ，规定{}1n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 有11=a ，22a =，且满足2120()n n a a n N *∆+∆-=∈，则14a = ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） .A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列， 则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 218、函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，……，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） .A 8 .B 9 .C 10 .D 11三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成的角； （2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．20、（本题满分14分）已知函数()2()23sin cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数．（1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车 2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的 牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数 为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？22、（本题满分16分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切 实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．23、（本题满分18分）如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的DCBAyxO切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线， 切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线 围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．上海市虹口区2014届高三4月高考模拟（二模）数学答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）D OCBAMP1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 5、5； 6、3； 7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；11、31+； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又226425PO =-=，5MD ∴=．又43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角． //MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴13MC =．∴65cos 13MD DMC MC ∠==，∴65arccos 13DMC ∠=当120MOC ∠=︒时，∴37MC =．∴185cos 37MD DMC MC ∠==，∴185arccos 37DMC ∠=综上异面直线MC 与PO 所成的角等于65arccos13或185arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD 且长为5，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分 20、（14分）解（1）1cos 23sin 22sin(2)16y x x a x a π=+++=+++．…………4分T π=.……………………6分（2）)(x f 的最小值为0，所以210a -++= 故1=a …………8分 所以函数2)62sin(2++=πx y .最大值等于4……………………10分()262x k k Z πππ+=+∈，即()26k x k Z ππ=+∈时函数有最大值或最小值， 故函数)(x f 的图象的对称轴方程为()26k x k Z ππ=+∈.………………14分 21、（14分）解：（1） ………………………………2分110a = 29.5a = 3a = 9 4a = 8.5 …………12b =2b =33b = 4.54b = 6.75………… 当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-………………………………11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得3431316.3021n -≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当2Mx =时，由322M MM≥， ∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分 （2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x ≤+=+，此时当1x =±时，1x x+取得最小值2，∴2M ≤． (7)DCBAyxO分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分 （3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k<≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分23、（18分）解：（1）由222202y kx bx pkx pb x py=+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分设切线方程为y kx m =+，由222202y kx mx pkx pm x py=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pk C pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．……………………6分 （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=．………8分 232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分（本小题也可以求21AB k h =+⋅，切点到直线l 的距离222222181pk pk bh d kp k-+==++，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积 只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅．……14分记3116ABCh a S p ∆==，321416ACE BCF h a S S p∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C 与线段AB 所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a 的 无穷项和，此数列公比为14． 所以封闭图形的面积3114131214a h S a p ===-…………………………18分。

2014年上海市虹口区高三年级二模试卷——数学（文科）2014年4月（考试时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}12A x x =-<，{}2B 4x x =<，则A B ⋂= ．2、223lim 2n n n n n→∞-+-=- ． 3、函数2()41f x x x =-++（[]1,1x ∈-）的最大值等于 .4、在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:A B C =，则最大角等于 ．5、已知函数()y f x =是函数xy a =(0a >且1a ≠）的反函数，其图像过点2(,)a a ，则()f x = ．6、复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模等于__________．7、已知tan 2α=，tan()1αβ+=-，则tan β= ．8若正三棱柱的主视图如图所示，则此三棱柱的体积等于 ．9、已知(12)n x -关于x 的展开式中，二项式系数和等于512，则展开式的系数之和为 .10、抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为 .11、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课，在所有可能的安排中，数学不排在最后一节，体育不排在第一节的概率．．是 ． 12、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是 ． 13、对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 的通项13n n a -=，则AB2122232n a a a a ∆+∆+∆++∆= ．14、如图ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知:α“2=a ”；:β“直线0=-y x 与圆2)(22=-+a y x 相切”．则α是β的（ ）.A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件16、若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）.A 1a > .B 1a <- .C 1a <-或1a > .D 11a -<<17、设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是（ ）..A 12.B 2 .C 4 .D 818、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ ）.A 1 .B 1- .C 1± .D 2三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于60︒． （1）求圆的侧面积和体积．（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；CBA20、（本题满分14分）已知函数()2()cos 2cos y f x x x x a x R ==++∈，其中a 为常数． （1）求函数()y f x =的周期；（2）如果()y f x =的最小值为0，求a 的值，并求此时)(x f 的最大值及图像的对称轴方程.21、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式； （2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．22、（本题满分16分）我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题： 已知抛物线22x py =(0)p >上的点)3,(0x 到焦点的距离等于4，直线l y kx b =+：与抛物线相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值）．设线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的抛物线的切点为C ．.（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程； （2）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴；（3）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关.23、（本题满分18分）函数)(x f y =的定义域为R ，若存在常数0>M ，使得x M x f ≥)(对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“圆锥托底型”函数．（1）判断函数x x f 2)(=，3()g x x =是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由． （2）若1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，求出M 的最大值． （3）问实数k 、b 满足什么条件，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．x参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、 (1,2)-； 2、12-； 3、4； 4、 43π； 5、2()log f x x =；67、3； 8、 9、1-； 10、3π； 11、710； 12、1α，3α； 13、232n ⋅-； 14、1344m <<；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、B ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）圆锥的侧面积24S rl ππ==侧．PO ==∴2133V r h π==…………4分 （2） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又，MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角． //MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………9分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==，∴DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 37MD DMC MC ∠==∴37DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos13或arccos 37．………………12分D OCBAMP21、（14分）解：（1）………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n N a n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）1220201911020()10522a a a ⨯+++=⨯+⨯-=……………………10分 4123452032[1()]2 6.7516=124.25312b b b b b b -++++++=+⨯-……………………13分∴从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．……………………14分22、（16分）解：（1） 423=+p，得2=p ，抛物线方程为y x 42=．…………2分 焦点坐标)1,0(F ，准线方程为1-=y ．…………4分（2）由224404y kx bx kx b x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，得124x x k +=，124x x b ⋅=-点2(2,2)D k k b +…………………………6分设切线方程为y kx m =+，由224404y kx mx kx m x y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得216160k m ∆=+=，2m k =-，切点的横坐标为2k ，得2(2,)C k k …………8分由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x 轴．……………………10分 （3）2222211212)41616h x x x x x x k b =-=+-=+（，∴221616h k b -=．………12分 322211122232ABCh S CD x x h k b k ∆=⋅-=+-=．……………………15分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………16分（本小题也可以求AB h =，切点到直线l的距离2d ==23、（18分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3xM x ≥，而当x=M≥，∴2MM ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………5分 （2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………9分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………10分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………12分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………14分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………16分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有00()0<M b f x M x k =-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数．由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………18分。

2014年4月虹口区初三数学二模一、选择题1、下列实数中，无理数是（ ）（A ）0；（B ）9；（C ）157；（D 32、下列运算中，正确的是（ ）（A ）222()a b a b ；（B ）236a a a ；（C ）236()a a ；（D ）523a a .3、下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）（A ）220x ；（B ）220x x ；（C ）2210x x ；（D ）220x x . 4、“上海地区明天降水概率是15%”，下列说法中，正确的是（ ）（A ）上海地区明天降水的可能性较小；（B ）上海地区明天将有15%的时间降水；（C ）上海地区明天将有15%的地区降水；（D ）上海地区明天肯定不降水.5、如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，BD=2DC ，BC a ，BC b ，那么AD 等于（A ）23a b ；（B ）23b a ； （C ）23b a ；（D ）23a b . 6、下列命题中，真命题是（ ）（A ）没有公共点的两圆叫两圆外离；（B ）相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称；（C ）联结相切两圆圆心的线段必经过切点；（D ）内含两圆的圆心距大于零.二、填空题782 . 8、分解因式：24(1)x x .9、不等式组2620x x 的解集是 . 10、方程(2)40x x 的根是 . 11、已知一次函数y kx b 的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出一个．．符合上述条件的一次函数解析式为 .12、已知点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在双曲线3y x 上，若120x x ，则1y 2y（用“>”或“<”或“=”号表示）.13、如果将抛物线22y x向下平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是.14、对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A.全部喝完；B.喝剩约13；C.喝剩约一半；D.开瓶但基本未喝。

2014年上海市某校高考数学二模试卷（理科）一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 若sin 2θ+2cosθ=−2，则cosθ=________．2. 若a 1−i =1−bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a +bi|=________．3. 现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m ≤7, n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．4. 抛物线y 2=2x 的准线方程是________；该抛物线的焦点为F ，点M(x 0, y 0)在此抛物线上，且|MF|=52，则x 0=________．5. 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：mg/m 3）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为________．6. 平行四边形ABCD 中，AB →=(1, 0)，AC →=(2, 2)，则AD →⋅BD →等于________．7. 已知关于x 的二项式(√x +√x 3)n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为________．8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，B ＝60∘．则b ＝________． 9. 用半径为10√2cm ，面积为100√2πcm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计），则该容器盛满水时的体积是________．10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右顶点与右焦点的距离为√3−1，短轴长为2√2，椭圆方程为________．11. 设a 为实常数，y =f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=9x +a 2x +7．若“∃x ∈[0, +∞)，f(x)<a +1”是假命题，则a 的取值范围为________．12. 已知θ∈(−π6,π6)，等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=√39tan 33θ，若数列{a n }的前2014项的和为0，则θ的值为________．13. [x]表示不超过x 的最大整数，已知f(x)=[x]x −a ，当x >0时，f(x)=[x]x −a 有且仅有三个零点，则a 的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O:x 2+y 2=16，点P(1, 2)，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足PM →⋅PN →=0．若PQ →=PM →+PN →，则|PQ →|的最小值为________．二．选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A AB BC CD D16. “limn→∞a n=A，limn→∞b n=B”是“limn→∞a nb n存在”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分条件D 既不充分也不必要条件17. 已知函数f(x)=sin x2，x∈R，将函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐不变），得到函数g(x)的图象，则关于f(x)⋅g(x)有下列命题，其中真命题的个数是（）①函数y=f(x)⋅g(x)是奇函数；②函数y=f(x)⋅g(x)不是周期函数；③函数y=f(x)⋅g(x)的图象关于点(π, 0)中心对称；④函数y=f(x)⋅g(x)的最大值为√33．A 1B 2C 3D 418. 如图，E、F分别为棱长为1的正方体的棱A1B1、B1C1的中点，点G、H分别为面对角线AC和棱DD1上的动点（包括端点），则下列关于四面体E−FGH的体积正确的是（）A 此四面体体积既存在最大值，也存在最小值B 此四面体的体积为定值C 此四面体体积只存在最小值D 此四面体体积只存在最大值三．解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. 如图，在四棱锥V−ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．20. 已知函数f(x)=sinx+acosx的一个零点是3π4．（1）求实数a的值；（2）设g(x)=[f(x)]2−2sin2x，求g(x)的单调递增区间．21. 已知函数f(x)=|x|x+2．（1）判断函数f(x)在区间(0, +∞)上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f(x)=kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围．22. 如图，已知椭圆x24+y23=1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．（1）若点G的横坐标为−14，求直线AB的斜率；（2）记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．23. 已知函数f(x)=a x+b(a>0, a≠1)的图象如图所示，数列{a n}的前n项的和S n=a n+1+b、T n为数列{b n}的前n项的和．且T n={2(n=1)−10n2−6n+2(n≥2)（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）找出所有满足：a n+b n+8=0的自然数n的值（不必证明）；（3）若不等式S n+b n+k≥0对于任意的n∈N∗．n≥2恒成立，求实数k的最小值，并求出此时相应的n的值．2014年上海市某校高考数学二模试卷（理科）答案1. −12. √53. 20634. x=−12,25. 15856. 47. 28. √79. 1000π3cm310. x23+y22=111. a≤−8712. −π913. (34，45]14. 3√3−√515. C16. D17. A18. A19. 取VD中点E，连接AE，BE，∵ △VAD是正三角形，∴ AE⊥VD,AE=√32AD∵ AB⊥面VAD，AE，VD⊂平面VAD∴ AB⊥VD，AB⊥AE∴ AE⊥VD，AB⊥VD，AB∩AE=A，且AB，AE⊂平面ABE，D VD⊥平面ABE，∵ BE⊂平面ABE，∴ BE⊥VD，∴ ∠AEB即为所求的二面角的平面角．在RT△ABE中，tan∠AEB=ABAE =23√3，cos∠AEB=√21 720. 解：（1）∵ f(x)=sinx+acosx，且f(3π4)=0，∴ sin3π4+acos3π4=0，即√22−√2a2=0，解之得a=1．（2）由（1）得f(x)=sinx+cosx．∴ g(x)=[f(x)]2−2sin2x=(sinx+cosx)2−2sin2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)．解不等式2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z．∴ 函数g(x)的单调递增区间为[kπ−3π8，kπ+π8]，k∈Z．21. 解：（1）函数f (x)在区间(0, +∞)上，证明如下：∵ f(x)=|x|x+2，∴ 当x>0时，f(x)=1−2x+2∵ y=2x+2在(0,+∞)上是减函数∴ f (x)在区间(0, +∞)上是增函数．（2）原方程即：|x|x+2=kx2①①由方程的形式可以看出，x=0恒为方程①的一个解．②当x<0且x≠−2时方程①有解，则−xx+2=kx2即kx2+2kx+1=0当k=0时，方程kx2+2kx+1=0无解；当k≠0时，△=4k2−4k≥0即k<0或k≥1时，方程kx2+2kx+1=0有解．设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1，x2则x1+x2=−2，x1x2=1k．当k>1时，方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根；当k=1时，方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根；当k<0时，方程kx2+2kx+1=0有一个负根③当x>0时，方程①有解，则xx+2=kx2，kx2+2kx−1=0当k=0时，方程kx2+2kx−1=0无解；当k≠0时，△=4k2+4k≥0即k>0或k≤−1时，方程kx2+2kx−1=0有解．设方程kx2+2kx−1=0的两个根分别是x3，x4∴ x3+x4=−2，x3x4=−1k∴ 当k>0时，方程kx2+2kx−1=0有一个正根，当k≤−1时，方程kx2+2kx+1=0没有正根．．综上可得，当k∈(1, +∞)时，方程f (x)=kx2有四个不同的实数解．．22. 解：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y= k(x+1)．将其代入x 24+y23=1，整理得(4k2+3)x2+8k2x+4k2−12=0．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，所以x1+x2=−8k24k2+3．故点G的横坐标为x1+x22=−4k24k2+3．依题意，得−4k 24k2+3=−14，解得k=±12．（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．由（1）可得G(−4k 24k2+3，3k4k2+3)．因为DG ⊥AB ，所以3k 4k 2+3−4k 24k 2+3−x D ×k =−1，解得x D =−k 24k 2+3，即 D(−k 24k 2+3，0)．因为△GFD ∽△OED ，所以S 1=S 2，所以|GD|=|OD|． 所以√(−k 24k 2+3−−4k 24k 2+3)2+(3k 4k 2+3)2=|−k 24k 2+3|，整理得8k 2+9=0．因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 S 1=S 2．23. 解：（1）由题意得：{a 0+b =−1a +b =0，解之得：{a =2b =−2， ∴ S n =2n+1−2∴ a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n 当n =1时，a 1=S 1=2符合上式故a n =2n ，n ∈N ∗． b n =T n −T n−1=4−20n当n =1时，b 1=T 1=2，b 2=T 2−T 1=−52不符合上式．故b n ={2,n =1−52,n =2−20n +4,n ≥3．（2）当n =1时．a 1=b 1=2、且a 1+b 1+8≠0不合． 由题意可得：a n +b n +8=2n −20n +12 而方程2n =20n −12只有n =7满足条件． 故当n =7时，a n +b n +8=0（3）由题得：S n +b n +k ≥0，∴ 2n+1−20n +2+k ≥0对于一切n ∈N ∗．n ≥2恒成立 即k ≥−2n+1+20n −2令f(n)=−2n+1+20n −2(n ∈N ∗．n ≥2) 则AB →⋅AP →+BC →⋅BP →+CA →⋅CP →=f(n +1)−f(n)=−2n+1+20 当n <4时，f(n +1)>f(n)；当n ≥4时．f(n +1)<f(n)而f(3)=−24+60−4=42，f(4)=−25+80−2=46 ∴ k ≥46故当n =4时，k 的最小值为46．。

2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡B一、填空题 1. {}0,2 2. i 3. 04.89 5. 30- 6. 33(,)33-7. 2± 8. 30 9. 120010. 322-+ 11. 1：24 12. ()()+∞⋃-,50,513. [2,)+∞ 14. )111(222210nx x x a +++ 62π二、选择题15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D21.(本题满分12分）（I ）．因为34cos ,sin 55θθ==,所以24sin 22sin cos 25θθθ==（6分）（II ）因为AOB ∆为等边三角形,所以60AOC ∠=,所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC 34310-=同理, 433sin 10BOC +∠=,故点A 的坐标为343433(,)1010-+（6分）19.(本题满分14分）（I ）由题设AB AC SB SC====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以22OA OB OC SA ===，且AO BC ⊥，又SBC △ 为等腰三角形，SO BC ⊥，且22SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．（7分）（II ）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．由AO BC AO SOSO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM⊥，又32AM SA =，故26sin 33AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --的余弦值为33（7分）20.(本题满分14分）（I ）157a b =．证明如下：设11a b a ==，则0a ≠，且22a d aq +=……⑴，46a d aq +=……⑵，由⑴，⑵得：()2423a a q q =-，从而42320q q -+=，∴22q =或21q =．（∵0q >，∴1q =，此时0d =，不可，舍之）∴2 2.q =代入⑴得2a d =．61517148,8a a d a b aq a =+===，因此，157a b =．（7分）（II ）假设存在正整数,m n ，使得n m a b =，即()11m a n d aq-+-=，由(1)可知：22,2q a d ==，∴()1212m d n d dq -+-=，∴112m n q -+=，∴()()1221114422m m m n q--++==⨯=， 即存在正整数,m n ，使得n m a b =，,m n 之间所满足的关系式为()2112m n ++=，,m n N +∈．事实上，当()2112m n ++=，,m n N +∈时，有()()121n a a n d d n d =+-=+-()1212m n d d +=+=⋅()11212222m m m m d qa aqb ---=⋅=⋅==．故知结论成立． （7分）22.(本题满分16分）（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为3-．23.(本题满分18分）（I ）函数2(0)by x x x=+>的最小值是2b 2，则226b =，∴2log 9b =（4分）。

2014年虹口区初三数学中考练习题（满分150分，考试时间100分钟）2014.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1.下列实数中，无理数是A ．0 ； B． C ．157； D ..2.下列运算中，正确的是A ．()222b a b a +=+； B ．236a a a ⋅=； C .236()a a =； D . 523a a -=.3.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是A ．022=+x ；B ．022=++x x ；C .2210x x ++=；D .022=--x x . 4.“上海地区明天降水概率是15%”，下列说法中，正确的是 A . 上海地区明天降水的可能性较小；B .上海地区明天将有15%的时间降水；C . 上海地区明天将有15%的地区降水；D .上海地区明天肯定不降水.5．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上一点，2BD DC =，BA a =，BC b =，那么AD 等于A .23a b -；B .23b a -； C .23b a -； D .23a b -．6．下列命题中，真命题是A . 没有公共点的两圆叫两圆外离；B . 相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称；C . 联结相切两圆圆心的线段必经过切点；D . 内含两圆的圆心距大于零.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7= ▲ .8．分解因式：24(1)x x --= ▲ ．第5题图① ②9. 不等式组26,20x x >-⎧⎨-+>⎩的解集是 ▲ .10．方程()042=-+x x 的根是 ▲ ．11．已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出一个．．符合上述条件的一次函数解析式为 ▲ ． 12．已知点111(,)P x y 、222(,)P x y 在双曲线3y x=上，若120x x <<，则1y ▲ 2y （用“>”或“<”或“=”号表示）．13. 如果将抛物线22y x =+向下平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ▲ ． 14. 对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A .全部喝完；B .喝剩约31；C .喝剩约一半；D .开瓶但基本未喝.根据统计结果绘制如下的两个统计图（不完整），则情况“C ”所在扇形的圆心角度数为 ▲ ．Rt △ABC 中，∠C =90°，若Rt △ABC 是“好玩三角形”，则tanA = ▲ ．18．在锐角△ABC 中，AB =5，BC =6，∠ACB =45°（如图）,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△A ′BC ′（顶点A 、C 分别与A ′、C ′对应），当点C ′在线段CA 的延长线上时，则AC ′的长度为 ▲ .三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：⎪⎭⎫⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中1x =．20．（本题满分10分）解方程组：2220,2 5.x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，CD 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点F ，AO ⊥BC ，垂足为点E，BC（1）求AB 的长；（2）求⊙O 的半径．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量y （个）与甲品牌文具盒的数量x （个）之间的函数关系如图所示．（1）求y 关于x 的函数解析式（不必写出自变量x 的取值范围）；（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购了乙品牌的文具盒，乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数量．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC ． （1）求证：BE=DG ；（2）若∠BCD =120°，当AB 与BC 满足什么数量关系时， 四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．/ 个） A B COF 第21题图 E A DG C B F E 第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题3分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线243y mx m =-与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOBAOCSS=.（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C ′恰好落在抛物线223y mx m =++上时，求该抛物线的表达式； （3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，扇形OAB 的半径为4，圆心角∠AOB =90°，点C 是AB 上异于点A 、B 的一动点，过点C 作CD ⊥OB 于点D ，作CE ⊥OA 于点E ，联结DE ，过O 点作OF ⊥DE 于点F ，点M 为线段OD 上一动点，联结MF ，过点F 作NF ⊥MF ，交OA 于点N ．（1）当tan 13MOF ∠=时，求OMNE的值；（2）设OM=x ，ON=y ，当12OM OD =时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）在（2）的条件下，联结CF ，当△ECF 与△OFN 相似时，求OD 的长．第24题图2014年虹口初三数学中考练习题答案要点与评分标准2014.4一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．B ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．2； 8． 2(2)x -； 9．32x -<<； 10．4x =； 11．答案不惟一，满足0<k 且0>b 即可，如32+-=x y ， 12. >； 13．21y x =-； 14．72︒； 15．2a ； 16．7； 17；18． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=222212111x x x x x x ---+÷-+2222112x x x x x x -+=⋅--11x =-把1x =代入上式，得：原式2= 20．解：由①得：(2)()0x y x y -+=， ∴20x y -=或0x y +=把上式同②联立方程组得：20,25,x y x y -=⎧⎨+=⎩ 0,2 5.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 分别解这两个方程组得：112,1,x y =⎧⎨=⎩，225,5.x y =⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为112,1,x y =⎧⎨=⎩，225,5.x y =⎧⎨=-⎩．（注：代入消元法参照给分）21．解：（1）∵CD ⊥AB ，AO ⊥BC ， ∴∠AFO =∠CEO =90°.∵∠COE =∠AOF ，CO=AO ，∴△COE ≌△AOF . ∴CE=AF ∵CD 过圆心O ，且CD ⊥AB ∴AB=2AF 同理可得： BC=2CE∴AB=BC=（2）在Rt △AEB 中，由（1）知：AB =BC =2BE ，∠AEB=90°， ∴∠A=30°，又在Rt △AOF 中，∠AFO =90°，AF∴2cos30AFAO ===︒，∴圆O 的半径为2.22.解：（1）设所求函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）.由题意得：25050100200k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得：1300k b =-⎧⎨=⎩∴所求的y 关于x 的函数解析式为y ＝-x ＋300．（2）由题意得：3000300015300x x-=-+整理得，2100600000x x +-= 解得： 12200,300x x ==-经检验，12200,300x x ==-均为原方程的解，300x =-不符合题意舍去 ∴200x = ∴200300100-+=答：所选购的甲、乙文具盒的数量分别为200个、100个． 23．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD , AD //BC∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成．∴GC ⊥BC , ∴CG ⊥AD . ∴∠AEB =∠CGD =90⁰． ∵AE =CG ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDG ． ∴BE =DG ． （2）解:当32BC AB =时，四边形ABFG 是菱形． 证明：∵GF 是由AB 沿BC 方向平移而成，∴AB //GF ，且AB =GF ，∴四边形ABFG 是平行四边形． ∵在□ABCD 中，∠BCD =120°, ∴∠B =60°. ∴Rt △ABE 中，1cos602BE AB AB =⋅︒=． 又∵13,,22CF BE AB BC AB === ∴3122BF BC CF AB AB AB =-=-=． ∴四边形ABFG 是菱形．24．解：（1）由题意，得：点A （6，0），点B （0，-4m ）由2AOB AOC S S ∆∆=知，点C 是AB 的中点 ∴C （3，2m -）（2）由题意，得：C ′（3，2m ）把C ′（3，2m ）代入223y x mx m =++，得：292m m m =++ ， 解得 m =∴该抛物线的表达式为2y x =--（3）点M 的坐标为(3,或(-或25．解：（1）由题意，得：∠MOF +∠FOE =90°，∠FEN +∠FOE =90° ∴∠MOF =∠FEN由题意，得：∠MFO +∠OFN =90°，∠EFN +∠OFN =90° ∴∠MFO =∠NFE∴△MFO ∽△NFE ∴OM OFNE EF=由∠FEN=∠MOF 可得：tan tan FEN MOF ∠=∠， ∴13OF EF =, ∴13OM NE =.（2）法1：∵△MFO ∽△NFE , ∴OM OFNE EF =. 又易证得：△ODF ∽△EOF ， ∴OD OFOE EF=， ∴OD OM OE NE =， ∴12NE OM OE OD ==. 联结MN , 12MN DE =. 由题意，得四边形ODCE 为矩形，∴DE=OC =4 ，∴MN =2在Rt △MON 中，222OM ON MN +=,即224x y += ∴y =((02)x <<法2:易证:2OD DF DE =⋅, ∴2(2)4x DF =⋅，∴2DF x =,∴OF 又易证：△DMF ∽△OFN , ∴DM DFON OF =, ∴2x y =∴y =(02)x <<（3）法1：由题意，可得： OE =2y ，CE =OD =2x .∴由题意，可得：2OE EF DE =⋅ ， ∴22(2)4y EF y ==. OF ODEF OE=，∴222OF x y y =，∴OF xy =. 由题意，可得：∠NOF =∠FEC ，∴由△ECF 与△OFN 相似，可得：OF EF ON EC =或OF ECON EF=.①当OF FE ON CE=时，22xy y y x =，∴222y x =，又224x y +=，∴2224x x =-，解得：1x 2x =∴OD ②当OF ECON EF=时，22xy x y y =，∴22y =，又224x y +=，∴22x =，∴解得：1x =1x =∴OD =综上所述，OD =. 法2：由题意，可得：OE =2y ，CE =OD =2x ,2OE EF DE =⋅ ， ∴22(2)4y EF y ==. 又由题意，可得：∠NFO=∠NOF =∠FEC ， ∴由△ECF 与△OFN 相似，可得∠FEC =∠FCE 或∠FEC =∠EFC . ①当∠FEC =∠FCE 时，可证：∠FDC =∠FCD , ∴FD =FC , ∴FD =FE ，即DE =2EF ， ∴242y =，又224x y +=∴242(4)x =-，∴解得：1x 1x =∴OD =②当∠FEC =∠EFC 时，有CF =CE 时，过点C 作CG ⊥EF 于点G ，∴21122EG EF y ==.易证得：2EC EG DE =⋅， ∴22(2)2x y =，即222y x =，又224x y +=，∴2224x x =-，解得：1x =2x =∴OD综上所述，OD =.。

上海市虹口区2014届高三5月模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知θ为实数，若复数)sin 211z iθθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）A.2B.0C.2-D.2i -【答案】C 【解析】试题分析：sin 21sin 210410cos 2,2244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C . 考点：复数的概念.2．“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数； 反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A . 考点：充分与必要条件.3．如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()b am b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2212x --∆的取值范围（ ）.A.[0,3] B.3[,3]16 C.33[,]162 D.3[,3]2【答案】B【解析】试题分析：函数2()2x f x -=在区间[1,2]-上最大值为1，最小值为41216-=，即1,116m M ==，所以3()16m b a -=，()3M b a -=，即2212x --∆取值范围为3[,3]16，选B.考点：新定义概念与函数的最值. 4．如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM ON⋅的取值范围是（）xA.[1,1]-B.[C.[2,2]- D.[【答案】C【解析】试题分析：由题意O M O⊥，PM OM OP=-，则()PM ON OM OP ON OM ON OP ON⋅=-⋅=⋅-⋅ON OP=-⋅，由于1ON=，2OP =，所以ON OP⋅的最大值为2，最小值为2-，即ON OP=-⋅[2,2]∈-.也可以这样做，OMON⊥且长度为1，可设)sin,cos(ααM，)cos,sin(αα-N，然后用坐标求解.答案选C.考点：向量的线性表示，与向量的数量积及其性质.5．θ是第二象限角，则2θ是第象限角．【答案】一或三【解析】试题分析：θ是第二象限角，则有22,()2k k k Zππθππ+<<+∈，于是422k kπθπππ+<<+，因此2θ是第一、三象限角．考点：象限角的概念．6．复数z满足1z z i-=-，则此复数z所对应的点的轨迹方程是 .【答案】0x y-=【解析】试题分析：设z x yi =+(,)x y R ∈，则由题意得1x yi x yi i +-=+-，即2)0x y -=．考点：复数的模．7．已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .【答案】2 【解析】试题分析：由题意{|13}A x x x =<->或，则{|13U A x x =-≤≤ð，由(){}03U C A B x x ⋂=≤≤得2023m m -=⎧⎨+≥⎩，解得2m =．考点：集合的运算．8．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】3:1:2 【解析】试题分析：设底面半径为r ，则它们的高2h r =， 23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=，所以123::3:1:2V V V =.考点：旋转体的体积． 9．已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 【答案】35- 【解析】 试题分析：设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t = 则()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=-⎪+⎝⎭.考点：三角函数的变形与求值．10．定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22xf x a x b=+++（,a b 为常数），则()10f -的值为 . 【答案】993- 【解析】试题分析：由题意，()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x ，993)10()10(-=-=-f f .考点：奇函数的定义与性质，函数值.11．公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .【答案】8192 【解析】试题分析：等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则27720a a -=，70,2a =，取772b a ==，则13131213728192b b b b ⋅===.考点：等差数列与等比数列的性质.12．已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项．【答案】20【解析】试题分析：4x 项的系数为44456755C C C ++=，3555n -=，则20n =.考点：二项展开式的系数，数列的项与项数.13．已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 . 【答案】(0,0) 【解析】试题分析：由题意直线l 的直角坐标方程为y ，曲线C 的普通方程为212y x =，联立方程组解得00x y =⎧⎨=⎩或6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为2cos [2,2]x θ=∈-，所以解为00x y =⎧⎨=⎩，即交点为(0,0).考点：极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，曲线的交点.14．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 【答案】186 【解析】试题分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=.考点：古典概型.15．棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 . 【答案】54π 【解析】 试题分析：221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 考点：几何体的表面积.16．P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .【答案】9 【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，2min 2PN PF =-，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值为12maxmin 49PM PN PF PF -=-+=.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.17．设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y += .【答案】4028【解析】试题分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-， 令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=-则20142014x y -=-，即4028x y +=. 考点：函数的单调性与函数值.18．在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ． 【答案】1 【解析】试题分析：令5cos 5sin x y αα=⎧⎨=⎩，[]0,απ∈，则2225x y +=，[]0,5y ∈5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-，考察2225x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点， 故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 考点：方程的解与曲线的交点.19．如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.PDCBAD 1C 1B 1A 1（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .【答案】(1)arccos 6;（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）本题中由于有1,,DA DC DD 两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，(2,1,0)PB =，1(0,0,3)BB=，(BC =，易得10,0,PB BB PB BC ⋅=⋅=当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先1PB BB ⊥，这由已知可直接得到，而证明PB BC ⊥可在直角梯形ABCD通过计算利用勾股定理证明，3,PC PB BC ====222PC PB BC =+，因此PB BC ⊥，得证.（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P ，20B ，），1(0,4,3)C . 3分 于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =,1111cos 612PA BC PA BC θ⋅===⋅ ∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于arccos6. 6分y（2）过B 作BM CD ⊥交CD 于M ，在Rt B M C ∆中，BM =2MC =，则BC =1PC ==，1BC ==PB ==22211PC PB BC =+，1PB BC ∴⊥ 10分1B B ABCD ⊥平面，1B B PB ∴⊥.又1B B BC B ⋂=，∴PB ⊥平面11BCC B . 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直. 20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）当18λ≠-时，数列{}n b 是等比数列. 【解析】试题分析：（1）证明否定性命题，可用反证法.如本题中可假设存在λ，使123,,a a a 成等比数列，则可由2213a a a =来求λ，若求不出，说明假设错误，结论是不存在，224(3)(4)39λλλ-=-，但这个式子化简后为90=，不可能成立，即λ不存在；（2）要判定{}n b 是等比数列，由题意可先求出{}n b 的递推关系，123n n b b +=-，这时还不能说明{}n b 就是等比数列，还要求出1b ，1(18)b λ=-+，只有当10b ≠时，数列{}n b 才是等比数列，因此当18λ=-时，{}n b 不是等比数列，当18λ≠-时，{}n b 是等比数列.（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =, 即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以123,,a a a 不成等比数列. 6分 （2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=- 9分 又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列： 11分 当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ， 故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列. 14分 考点：（1）反证法；（2）等比数列的判定. 21．如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC B A【答案】(1)2AP km =；（2）6AQ =()km ． 【解析】 试题分析：（1）设AP x =，我们只要利用已知CPA DPB ∠=∠列出关于x 的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，1tan AC CPA AP x∠==，2tan 6DB DPB BP x ∠==-，因此有126x x=-，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，ACP BDP ∆∆，则AP ACBP BD=，由引开出方程解出x ；（2）要使得CQD ∠最大，可通过求tan CQD ∠，因为tan tan[()]CQD CQA DQB π∠=-∠+∠ tan()CQA DQB =-∠+∠，只要设AQ x =，则t a n ,t a n C Q A D Q B ∠∠都可用x 表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得26tan 62x CQD x x +∠=-+，这里我们用换元法求最值，令6t x =+，则有21tan 74187418t CQD t t t t∠==-++-，注意到612t <<，tan CQD ∠可取负数，即CQD ∠为钝角，因此在tan CQD ∠取负值中的最小值时，CQD ∠取最大值.（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-. 3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处. 6分（2）设AQ x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-，21266tan tan[()]tan()6216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅- 10分 令6t x =+，由06x <<，得6t <<，2261tan 62187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， 12分747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<， 当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x=时取得，故点Q 应选在距A 6-km 处. 14分考点：(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值. 22．阅读：已知a 、()0,b ∈+∞，1a b +=，求12y a b=+的最小值.解法如下：()1212233b a y a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b =，即1,2a b == 则12y a b=+的最小值为3+应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值； （2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++. 【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是121212()1()()y a b a b a b a b =+=+⨯=++，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）111111111()1()()y a b c a b c a b c a b c=++=++⨯=++++；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：2(12)1x x +-=，因此有1828()[2(12)]12212y x x x x x x=+=++---，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有12231()()()n a a a a a a ++++++=122(a a ++)2n a +=，因此有()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如212312()a a a a a ⋅++与221223()a a a a a ⋅++合并相加利用基本不等式有212312()a a a a a ⋅+++ 221223()a a a a a ⋅++122a a ≥，从而最终得出2122()1n S a a a ≥+++=.（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分而6b a c a c ba b a c b c+++++≥， 当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9. 5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， 7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x xx x-⋅+⋅≥-， 当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数1812y x x=+-的最小值为18. 10分 （3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥. 16分 考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.23．已知函数2()5bf x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=. （1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性； （2）若()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立. 【答案】（1）2a =，0b =时是偶函数，0b ≠时，非奇非偶函数；（2）2-；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）直接代入已知(1)(1)14f f +-=可求得2a =，根据奇偶函数的定义可说明函数是奇（偶）函数，如果要说明它不是奇（偶）函数，可举例说明，即()()f m f m ≠--或()()f m f m ≠-；（2）据题意，即当12x x <<12()()0f xf x ->成立，变形整理可得1212122()0x x x x bx x -++>，由于分母120x x >，故12122()0x x x x b -++>，即12122()b x x x x >+，注意到212x x >，122x x +<-从而12122()2x x x x +<-，因此有2b ≥-；（3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+，理论上讲应用求出零点q ，由函数表达式可看出，当0x <时，无零点，当0x >时，函数()f x 是递增函数，如有零点，只有一个，解方程()0f q =，即22250q q-+=，根据零点存在定理确定出1(,1)4q ∈，这个三次方程具体的解求不出，但可变形为3251qq=-，想到无穷递缩等比数列的和，有471031qq q q q q=++++-，因此可取32n a n =-.证毕.（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =.从而2()25bf x x x=++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，） 当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数 2分 当0b ≠时，(1)(1)14f f +-=≠从而(1)(1f f-≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶. 4分（2）对于任意的12x x <<，总有12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x b x x -++>. 6分12x x <<2312(xx >，122x x +<-，从而12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，∴2b ≥-，b 的最小值等于2-. 10分（3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+. 当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点. 12分当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>， ∴()f x 在114（，）是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈ 15分22()250f q q q =-+=，得3251qq=-， 又473231n qq q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =- 18分考点：（1）函数的奇偶性；（2）函数的单调性与参数取值范围问题；（3）函数的零点存在定理，与无穷弟缩等比数列的和.。

D OCBAMP虹口区2013学年高三年级二模数学答案（理科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、(1,2)-； 2、4； 3、43π； 4、2()log f x x =； 56、3；7、 3π； 8、710； 9、1； 10、1α，3α；111； 12、2； 13、304m <<； 14、26 ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、A ； 16、C ； 17、B ； 18、C ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒．……………5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos MD DMC MC ∠==，∴DMC ∠= 当120MOC ∠=︒时，∴MC =．∴cos MD DMC MC ∠==∴arccos37DMC ∠= 综上异面直线MC 与PO所成的角等于arccos13或arccos 37．………………8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MDM ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大．…………10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒………………12分21、（14分）解：（1）110a =29.5a =3a = 9 4a =8.5………… 12b = 2b =3 3b = 4.5 4b =6.75…………………………………………2分当120n ≤≤且n N *∈，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+； 当21n ≥且n N *∈，0n a =．∴21,120220,21n n n n Na n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且……………………5分 而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且………………8分 （2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=． 当521n ≤≤时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-………………………………11分由200n S ≥得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，得3416.3021n ≈≤≤ ……………………13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张．…………………………14分22、（16分）解：（1）．222x x x =≥，即对于一切实数x 使得()2f x x ≥成立，∴x x f 2)(=“圆锥托底型” 函数．…………………………2分对于3()g x x =，如果存在0M >满足3x M x ≥，而当x =时，由M≥，∴2M M ≥，得0M ≤，矛盾，∴3()g x x =不是“圆锥托底型” 函数．……………4分 （2）1)(2+=x x f 是“圆锥托底型” 函数，故存在0>M ，使得2()1f x x M x =+≥对于任意实数恒成立．∴当0x ≠时，11M x x x x≤+=+，此时当1x =±时，1x x +取得最小值2，∴2M ≤．…………………………7分而当0x =时，(0)100f M =≥=也成立．∴M 的最大值等于2．……………………8分（3）①当0b =，0k =时，()0f x =，无论M 取何正数，取00x ≠，则有00()0f x M x =<，()0f x =不是“圆锥托底型” 函数．………………10分②当0b =，0k ≠时，()f x kx =，对于任意x 有()f x kx k x =≥，此时可取0M k <≤∴()f x kx =是“圆锥托底型” 函数．………………12分③当0b ≠，0k =时，()f x b =，无论M 取何正数，取0b x M>．有0b M x <，∴()f x b =不是“圆锥托底型” 函数．………………14分④当0b ≠，0k ≠时，b kx x f +=)(，无论M 取何正数，取00bx k=-≠，有x00()0<M bf x M x k=-=，∴b kx x f +=)(不是“圆锥托底型” 函数． 由上可得，仅当0,0b k =≠时，b kx x f +=)(是“圆锥托底型” 函数．…………16分23、（18分）解：（1）由222202y k x b x p k x p b x p y =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-点2(,)D pk pk b +…………………………2分设切线方程为y kx m=+，由222202y k x m x p k x p mx p y=+⎧⇒--=⎨=⎩,得22480p k pm ∆=+=，22pk m =-，切点的横坐标为pk ，得2(,)2pkC pk …………4分 由于C 、D 的横坐标相同，∴CD 垂直于x （2）22222211212)448h x x x x x x p k pb =-=+-=+（，∴22248h p k b p-=． (8)分232211122216ABCpk h S CD x x h pk b p∆=⋅-=+-=．……………………11分 C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关．………………12分（本小题也可以求AB h =，切点到直线l 的距离2d ==，相应给分）（3）由（1）知CD 垂直于x 轴，2C A B C hx x x x -=-=，由（2）可得CE A ∆、CF B ∆的面积只与2h 有关，将316ABC h S p ∆=中的h 换成2h ，可得31816ACE BCF h S S p∆∆==⋅． (14)分记3116ABCha Sp∆==，321416ACE BCFha S Sp∆∆=+=⋅，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线C与线段AB所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列{}n a的无穷项和，此数列公比为14．所以封闭图形的面积3114131214a hS ap===-…………………………18分。