【2014上海二模】上海市黄浦区2014年高考模拟(二模)文科数学试题(含答案)(高清版)

静安、杨浦.青浦、宝山2013—2014学年数学试卷(理科)2014.4一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1-/ 0L二阶行列式的値是.(苴中?•为虚数单位)1+Z 1+/2.已知亍J是方向分别与兀轴和尹轴正方向相同的两个基本单位向量，贝U平面向量7 + 7的模等于—.3.二项式(x + 1)7的展开式中含*项的系数值为_______________ •4.已知圆锥的母线长为5，侧而积为15”，则此圆锥的体积为______ .(结果中保留兀)5.已知集合/ = ｛y y = sinx,xw7?｝, B = ｛兀x = 2n + l,n wZ｝,则A^\B= ___________ .6.在平面直角处标系兀0中，若鬪F +(y-厅=4上存在/ , B两点，月弦AB的中点为P(l,2),则直线AB的方程为 ________________ .7.已知1002 X +1002 7 = 1，则X +尹的最小值为__________ •8.已知首项q=3的无穷等比数列｛~｝(/7wNj的各项和等于4,则这个数列｛〜｝的公比是_________ •[x = 2cos/9.在平面直角坐标系Illi线G的参数方程为彳. (Q为参数)，O为坐标原点，[y = 2sina,M为G上的动点，P点满足0P = 20M，点P的轨迹为曲线C?.则C2的参数方程为.10.阅读右而的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______ •11.从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，若随机变量g表示所选3人中女志愿者的人数，则g的数学期望是________ ・12.设各项均不为零的数列｛c”｝中，所有满足q • c/+1 < 0的正整数i的个数称为这个数列｛c”｝的变号数.已知数列｛a n｝的前〃项和S“ = n2 - 4/7 + 4 , b n=l-— 5 w N * ),则数列｛b n｝的变号数为__ .%13.已知定义在[0,+oo)上的函数/(兀)满足/(x) = 3/(x + 2).当兀G [0,2)时/(x) = -，+ 2x .设f(x)在\2n - 2,2/7)上的最人值为碍，且数列｛%｝的第10题前斤项和为S”，贝ij lim S tJ = _______ .(其中〃wN*)"T814.正方形5和S?内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设ZA = a,若S】=441,S? =440,结束否输出上X二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. .............................................................................................................. 在实数集R 上定义运算*： x^y = x\\-y).若关于x 的不等式x*(x —°)> 0的解集是 集合｛x|-l<x<l ｝的子集，则实数a 的取值范围是 ..................................................... ().(A)[0,2](B) [-2,-l)U(-l,0] (C) [0,l)U(l,2]Q)[-2,0]16. “0 = 1”是“函/(x) = sin 2 air - cos 2 cox 的最小正周期为龙”的 ......... ( ).(A)充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分別记为$、52，则$ ： S?=...( ). (A) 1：1 3)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1兀 0 < x < 1,1对于任意的xeR 都有 (―广―1, -l<x<0.I 27/(x + 1) = /(x-1).若在区间［-1,3］上函数g(x) = f (x) -mx-m 恰有四个不同的零点，)•三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 小，底面ABCD 是平行四边形，ZCAD = 90° , PA 丄平面ABCD, PA = BC = \, AB=近,F 是 的中点. (1) 求证：D4 丄平[fri/UC ；(2) 若以M 为坐标原点，射线AC. AD 、MP 分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角处标系，已经计算得n = (1,1,1)是平面PCQ 的18.函数/(兀)的定义域为实数集R , /(x) = \ 则 sin 2a =________B法向量，求平面与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环血花坛是山以点O 为圆心的两个同心圆弧 AD>弧BC 以及两条线段和CQ 围成的封闭图形.花坛设计周长为30米，其中人圆弧/D 所在 圆的 半径为10米.设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（0 VXV10），圆心角为&弧度. （1） 求0关于x 的函数关系式； （2） 在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条 弧线部分的装饰费用为9元咪.设花坛的面积与装饰总费用的比为y , 当x 为何值时，尹取得授大值？& （第20题图）21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分Y 2 v 2已知椭PIC: —+ ^ = 1（6/>^>0）的右焦点为F （1,0）,短轴的端点分别为BE ，且 cT b" FB 、• FB 2 - -a.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 过点F 且斜率为k （kHO ）的直线/交椭圆于两点，弦的垂直平分线与x 轴相 交于点D.设眩的中点为戶，试求四的取值范围.MN22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分设函数 g(x) = 3v, h(x) = 9X .(1) 解方程:x + log 3(2g(x) -8) = log 3(/z(x) + 9):实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分8分设各项都是正整数的无穷数列｛。

2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=log2的定义域是．2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是．5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是．6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=．7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=，b=．10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是．11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是．（结果用反三角函数值表示）12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y﹣1的最大值是．13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则a+b的值是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）A．24B．18C．D．8三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．的值；（1）求圆柱体的侧面积S侧（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．（1）求|z1﹣z2|的最小值；（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；最小，并求出其面积的最小（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC值．22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；（用含n的式子表示）；（2）求a2n﹣1（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．【考点】4K：对数函数的定义域．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】函数y=log2的定义域满足，由此能求出结果．【解答】解：函数y=log2的定义域满足，解得﹣1＜x＜1，∴函数y=log2的定义域是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用．2．（4分）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（4分）已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0，x∈R}，B={x||x﹣1|≤3，x∈R}．若（∁U A）∩B=[﹣2，4]，则实数a的取值范围是a＜﹣4．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】5J：集合．【分析】表示出A中的解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，根据A补集与B的交集确定出a的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：x≥﹣a，即A=[﹣a，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=（﹣∞，﹣a），由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣1≤3，即﹣2≤x≤4，∴B=[﹣2，4]，∵（∁U A）∩B=[﹣2，4]，∴﹣a＞4，即a＜﹣4．故答案为：a＜﹣4【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4．（4分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，则的数值是2．【考点】6F：极限及其运算；85：等差数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质求出=，由此能求出的值．【解答】解：∵等差数列{a n}（n∈N*）的公差为3，a1=﹣1，前n项和为S n，∴a n=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4，S n=﹣n+=，∴=，∴==2．故答案为：2．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．5．（4分）函数f（x）=|log a x|（a＞0，且a≠1）的单调递增区间是[1，+∞）．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；4N：对数函数的图象与性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象和性质，结合a的取值范围即可得到结论．【解答】解：若a＞1，则f（x）=，若0＜a＜1，则f（x）=，∴当a＞1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），当0＜a＜1时，函数的单调递增区间为[1，+∞），综上：函数的单调递增区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查函数单调性的判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键．6．（4分）函数f（x）=﹣x2（x≤0）的反函数是f﹣1（x），则反函数的解析式是f﹣1（x）=﹣（x≤0）．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】令y=﹣x2（x≤0），开方可得x=﹣，可得反函数．【解答】解：∵y=﹣x2（x≤0），∴y≤0，开方可得x=﹣，∴f﹣1（x）=﹣，x≤0故答案为：﹣（x≤0）【点评】本题考查反函数，注意原函数的值域是反函数的定义域即可，属基础题．7．（4分）方程log2（4x﹣3）=x+1的解x=log23．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），由此能求出结果．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．故答案为：log23．【点评】本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2=ab，则∠C=．【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入计算求出cosC的值，即可确定出C的度数．【解答】解：∵a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∵∠C为三角形的内角，∴∠C=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9．（4分）已知x1=1﹣i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=﹣2，b=2．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵x1=1﹣i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+i+1﹣i）=﹣2．b=x1x2=（1+i）（1﹣i）=2．故答案分别为：﹣2，2．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．10．（4分）若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是100π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】5U：球．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积．【解答】解：∵截面的面积为16π，∴截面圆的半径为4，∵球心O到平面α的距离为3，∴球的半径为=5∴球的表面积为4π×52=100π．故答案为：100π【点评】本题考查球的表面积，解题的关键是求球的半径，属于基础题．11．（4分）（文）已知直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是artan7）．（结果用反三角函数值表示）【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则由题意可得tanθ=|=7，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得tanθ=|=7，解得θ=arctan7，故答案为：arctan7．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于中档题．12．（4分）（文）已知实数x、y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y﹣1的最大值是﹣．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y﹣1得y=x﹣1﹣z，平移直线y=x﹣1﹣z，由图象可知当直线经过点A时，直线y=x﹣1﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（），∴z==，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13．（4分）（文）某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】由题意可得袋子中共有2个白色球和5个黄色球，故一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是，计算求得结果．【解答】解：由题意可得从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是，得到的球是黄色乒乓球的概率是，故袋子中共有2个白色球和5个黄色球，∴一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．14．（4分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则a+b的值是﹣1．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】确定函数f（x）的性质，可得关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）在（﹣∞，﹣2]和[0，2]上是减函数，在[﹣2，0]和[2，+∞）上是增函数，∴x=0时，函数取极大值1，x=±2时，取极小值，|x|≥16时，f（x）≥1，∴关于x的方程[f（x）]2+a•f（x）+b=0（a、b∈R）有且只有7个不同实数根，则方程t2+at+b=0必有两个根x1，x2，其中x1=1，x2∈（，1），∴1+a+b=0，∴a+b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，正确确定函数的性质是关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A．a+b≥2B．+≥2C．|+|≥2D．a2+b2＞2ab 【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A，B，没有给出a、b∈R+，因此不一定成立，故不正确；C．若，则．∴=2，当且仅当a=b时取等号；同理时也成立．因此正确．D．∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2＞2ab不一定成立．综上可知：只有C正确．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了使用法则“一正二定三相等”，属于基础题．16．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和平面的位置关系是解决本题的关键．17．（5分）已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l：ax+by=0与圆：x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，表示出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由d=r可得出直线与圆位置关系是相切．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y+）2=，∴圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=，∵圆心到直线ax+by=0的距离d===r，则圆与直线的位置关系是相切．故选：B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．18．（5分）（文）四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S﹣ABCD的体积=（）A．24B．18C．D．8【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，代入棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知四棱锥的底面矩形的长、宽分别为3、4，四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积V=×3×4×2=8．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（文）已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面，O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2：1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．的值；（1）求圆柱体的侧面积S侧（2）若C1是半圆弧的中点，点C在半径OA上，且OC=OA，异面直线CC1与BB1所成的角为θ，求sinθ的值．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．的【分析】（1）利用圆柱体的体积为32π，求出R，即可求圆柱体的侧面积S侧值；（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1，因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，求出DC1=，CC1=，即可求sinθ的值．【解答】解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，∴πR2•AA1=32π，∴R=2．∴S=2πR•AA1=32π．侧（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．又R=2，∠C1CD=θ，∠C1O1D=90°，∴DC1=，CC1=．∴sinθ==．【点评】本题考查圆柱体的侧面积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（14分）已知复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R．（1）求|z1﹣z2|的最小值；（2）设z=z1•z2，记f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．试求函数g（x）的解析式．【考点】A5：复数的运算；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用已知条件直接求解|z1﹣z2|，得到表达式后，利用三角函数的最值求解复数的模的最小值；（2）化简z=z1•z2，求出函数f（x）的表达式，利用图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移个单位长度，求出函数g（x）的图象对应的函数g（x）的解析式．【解答】解（1）∵复数z1=cosx+i，z2=1﹣isinx，x∈R，∴|z1﹣z2|==．∴当sin（x﹣）=﹣1，即x=2k，k∈Z时，|z1﹣z2|min=．（2）∵z=z1•z2，∴z=z1•z2=sinx+cosx+（1﹣sinxcosx）i．f（x）=Imz（Imz表示复数z的虚部）．∴f（x）=1﹣sinxcosx=1﹣sin2x，x∈R．．将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图象所对应的函数是y1=1﹣sinx．把函数y=1﹣sinx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1﹣sin（x﹣）．∴g（x）=1﹣sin（x﹣）=1+，x∈R．【点评】本题以复数为载体，考查三角函数的化简求值，函数的图象的变换，基本知识的考查．21．（12分）某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC最小，并求出其面积的最小值．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】12：应用题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由图形知，S△BOC +S△AOB=S△AOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S△AOC的表达式，利用基本不等式求出S△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．【解答】解：（1）结合图形可知，S△BOC +S△AOB=S△AOC．于是，x（1+）sin30°+y（1+）sin45°=xysin75°，解得：y=，（其中3≤x≤6）．（2）由（1）知，y=（3≤x≤6），因此，S=xysin75°△AOC=•=[（x﹣2）++4]≥2+2（当且仅当x﹣2=，即x=4时，等号成立）．最小，最小面积是（2+2）×∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S△OAC104平方米．【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．22．（18分）已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*）．（1）求a3、a5、a7的值；（用含n的式子表示）；（2）求a2n﹣1（3）（文）记b n=a2n﹣1+a2n，数列{b n}（n∈N*）的前n项和为S n，求S n（用含n 的式子表示）．【考点】8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），分别令n=1，2，3可求结果；（2）累加法：a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），得a2n﹣1﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n ﹣1，a2n﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，…a5﹣a3=32+（﹣1）2，a3﹣a1=31+（﹣1）﹣31，以上各式累加可得；（3）首先根据b n=a2n﹣1+a2n，以及（2）中求出的a2n﹣1的表达式，求出数列{b n}的通项，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意得，a1=1，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+3n（n∈N*），∴a2=a1+（﹣1）n=0，a3=a2+31=3，a4=a3+1=4，a5=a4+32=13，a6=a5﹣1=12，a7=a6+33=39，∴a3、a5、a7的值分别为：3、13、39；（2）将a2n=a2n﹣1+（﹣1）n代入a2n+1=a2n+3n（n∈N*），得a2n+1﹣a2n﹣1=3n+（﹣1）n（n∈N*），∴a2n﹣a2n﹣3=3n﹣1+（﹣1）n﹣1，﹣1a2n﹣3﹣a2n﹣5=3n﹣2+（﹣1）n﹣2，…a5﹣a3=32+（﹣1）2，a3﹣a1=31+（﹣1）1，﹣a1=31+32+…3n﹣1+[（﹣1）1+（﹣1）2+…+（﹣1）n﹣1]．以上各式累加得，a2n﹣1=+=﹣2=﹣1（n∈N*）．∴a2n﹣1=﹣1（n∈N*）（3）（文）由（2）可知，a2n﹣1∴b n=a2n﹣1+a2n=2a2n﹣1+（﹣1）n=[﹣1]×2+（﹣1）n=3n﹣2（n∈N*）∴s n=b1+b2+b3+…+b n=（3﹣2）+（32﹣2）+（33﹣2）+…+（3n﹣2）=﹣2n=.3n+1﹣2n﹣（n∈N*）．【点评】本题考查了由数列递推式求数列通项，考查数列求和，考查学生的计算能力．23．（18分）（文）已知点D（1，）在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）上，且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）点D（1，）代入双曲线方程，结合且双曲线的一条渐近线的方程是x+y=0，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根的判别式，即可求实数k的取值范围；（3）存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．【解答】解：（1）由题知，有解得因此，所求双曲线C的方程是（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，∴直线l：y=kx+1．代入双曲线方程得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0．又直线l与双曲线C有两个不同交点，∴3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0解得k∈（﹣，﹣）∪（﹣，）∪（，）．（3）设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．由（2）可得x1+x2=，x1x2=又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则k OA•k OB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，∴，解得k=±1．又k=±1满足3﹣k2≠0且△=（﹣2k）2+8（3﹣k2）＞0，∴所求实数k=±1．【点评】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．。

数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页） 数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>，则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++，则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ，E ，F 分别为ABC △的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos(2)6y x =+，④πtan(2)4y x =-中，最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7，则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩＜≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=，C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=；从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ，则山高MN = m .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C .（Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高.20.（本小题满分12分）已知点(2,2)P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求M 的轨迹方程；（Ⅱ）当||||OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积.21.（本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE △为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0a >，0b >，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在a ，b ，使得236a b +=？并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得：{|11}MN x x =-<<，即选B ．【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）一、填空题（共14小题，每小题0分，满分39分） 1. 方程组{x −2y −5=03x +y =8的增广矩阵为________．2. 已知集合M ={x|x 2<4, x ∈R}，N ={x|log 2x >0}，则集合M ∩N =________．3. 若Z 1=a +2i ，Z 2=|12i23|，且z 1z 2为实数，则实数a 的值为________．4. 用二分法研究方程x 3+3x −1=0的近似解x =x 0，借助计算器经过若干次运算得下表：05. 已知e →1、e →2是夹角为π2的两个单位向量，向量a →=e →1−2e →2，b →=ke →1+e →2，若a → // b →，则实数k 的值为________．6. 某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96, 106]，样本中净重在区间[96, 100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100, 104)的产品个数是________．7. 一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的侧面积为________．8. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列{a n }中，若a 1=1，a n =65，则n +d 的最小值等于________．9. 设双曲线x 2−y 2=6的左右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线PA 1、PA 2的斜率分别为k 1、k 2，则k 1⋅k 2的值为________．10. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长依次为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且S =a 2−(b −c)2，则sinA 1−cosA=________．11. 袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为________．12. 设f(x)=ax 2+bx ，且1≤f(−1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(2)的最大值为________． 13. 已知△ABC 的重心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO →⋅BC →=________．14. 设f(x)是定义在R 上的函数，若f(0)=18，且对任意的x ∈R ，满足f(x +2)−f(x)≤3x ，f(x +4)−f(x +2)≥9×3x ，则f(8)=________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分） 15. 二项式(x −1x )6展开式中x 4的系数为（ ）A 15B −15C 6D −616. 在△ABC 中，“AB →⋅AC →<0”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 17. 设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x ∈[−π2，π2]，则函数f(x)的最小值是（ ） A −1 B 0 C 12D 9818. 给出下列四个命题：①如果复数z 满足|z +i|+|z −i|=2，则复数z 在复平面的对应点的轨迹是椭圆．②若对任意的n ∈N ∗，(a n+1−a n −1)(a n+1−2a n )=0恒成立，则数列{a n }是等差数列或等比数列．③设f(x)是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，|f(x)|=|f(−x)|恒成立，则f(x)是R 上的奇函数或偶函数． ④已知曲线C ：√x 29−√y 216=1和两定点E(−5, 0)、F(5, 0)，若P(x, y)是C 上的动点，则||PE|−|PF||<6．上述命题中错误的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4三、解答题（共5小题，满分74分） 19.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =π2，AB =AC =2，AA 1=6，点E 、F 分别在棱AA 1、CC 1上，且AE =C 1F =2．(1)求三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积；(2)求异面直线BE 与A 1F 所成的角的大小．20. 如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g(θ)，求g(θ)的表达式，并写出θ的范围．②设BC=x(cm)，矩形ABCD的面积为S=f(x)，求f(x)的表达式，并写出x的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．21. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2,1),N(2√2，0)两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b(b<0)，直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22. 已知函数f(x)=x|x−a|−1，x∈R．4（1）当a=1时，指出f(x)的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；（2）当a=1时，求函数y=f(2x)的零点；（3）若对任何x∈[0, 1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．23. 过坐标原点O作倾斜角为60∘的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120∘的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60∘的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120∘的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n−1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n项的和为S n．（1）求a1，a2；（2）求a n，S n；（3）设b n=a a n(a>0且a≠1)，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p<q<r<s，试比较T p⋅T s与T q⋅T r的大小．2014年上海市某校高考数学二模试卷（六）（文科）答案]1. [1−253182. {x|1<x<2}3. −324. 5.35. −126. 447. 8π8. 179. 1 10. 4 11. 1712. 14 13. −283 14.6561815. D 16. A 17. B 18. B19. 解：(1)在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，FC 1⊥平面A 1B 1C 1， 故FC 1=2是三棱锥A 1−B 1C 1F 的高．而直角三角形的S △A 1B 1C 1=12A 1B 1×A 1C 1=12×2×2=2．∴ 三棱锥A 1−B 1C 1F 的体积=V F−A 1B 1C 1 =13S △A 1B 1C 1×FC 1 =13×2×2=43． (2)连接EC ，∵ A 1E // FC ，A 1E =FC =4， ∴ 四边形A 1ECF 是平行四边形， ∴ A 1C // EC ，∴ ∠BEC 是异面直线A 1F 与BE 所成的角或其补角．∵ AE ⊥AB ，AE ⊥AC ，AC ⊥AB ，AE =AB =AC =2， ∴ EC =EB =BC =2√2． ∴ △BCE 是等边三角形．∴ ∠BEC =60∘，即为异面直线BE 与A 1F 所成的角．20. 解：如图所示，（1）①连接OC ，设∠BOC =θ，矩形ABCD 的 面积为S ，则BC =20sinθ，OB =20cosθ（其中0<θ<π2）；∴ S =AB ⋅BC =2OB ⋅BC =400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=π4时，S 取最大值为400，此时BC =10√2；所以，取BC =10√2时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．②连接OC ，设BC =x ，矩形ABCD 的面积为S ；则AB =2√400−x 2（其中0<x <30）， ∴ S =2x√400−x 2=2√x 2(400−x 2)≤x 2+(400−x 2)=400，当且仅当x 2=400−x 2，即x =10√2时，S 取最大值400；所以，取BC =10√2cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2．（2）由（1）知，取∠BOC =π4时，得到C 点，从而截得的矩形ABCD ，此时截得的矩形ABCD 的面积最大，最大值为400cm 2． 21. 解：（1）设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m >0, n >0, m ≠n) 将M(2,1),N(2√2，0)代入椭圆E 的方程，得{4m +n =18m =1解得m =18，n =12，所以椭圆E 的方程为x 28+y 22=1．（2）∵ 直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为b ，又k OM =12， ∴ 直线l 的方程为y =12x +b ．由{y =12x +bx 28+y 22=1得x 2+2bx +2b 2−4=0，设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−2b ，x 1x 2=2b 2−4． 又k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2，故k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)．又y 1=12x 1+b ，y 2=12x 2+b ，所以上式分子=(12x 1+b −1)(x 2−2)+(12x 2+b −1)(x 1−2)=x 1x 2+(b −2)(x 1+x 2)−4(b −1)=2b 2−4+(b −2)(−2b)−4(b −1)=0 故k 1+k 2=0．22. 解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为[12，1]…函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．…（2）当a=1时，f(x)=x|x−1|−14，由f(2x)=0得2x|2x−1|−14=0…即{2x≥1(2x)2−2x−14=0或{2x<1(2x)2−2x+14=0…解得2x=1+√22或2x=1−√22(舍)，或2x=12所以x=log21+√22=log2(1+√2)−1或x=−1．…（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f(x)<0恒成立，故只需考虑x∈(0, 1]，此时原不等式变为|x−a|<14x即x−14x <a<x+14x…故(x−14x )max<a<(x+14x)min，x∈(0,1]又函数g(x)=x−14x 在(0, 1]上单调递增，∴ (x−14x)max=g(1)=34…函数ℎ(x)=x+14x 在(0,12]上单调递减，在[12，1]上单调递增，∴ (x+14x )min=ℎ(12)=1；所以34<a<1，即实数a的取值范围是(34，1)．…23. 解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为(a12，√3a12)，又∵ P1(a12，√3a12)在抛物线y2=x上，∴ 3a124=a12，得a1=23…同理根据P2(23+a22，−√3a22)在抛物线y2=x上，可得a2=43…（2）如图，因为点Q n−1的坐标为(a 1+a 2+a 3+...+a n−1, 0)，即点(S n−1, 0)（点Q 0与原点重合，S 0=0）， 所以直线Q n−1P n 的方程为y =√3(x −S n−1)或y =−√3(x −S n−1)，因此，点P n 的坐标满足{y 2=x|y|=√3(x −S n−1)消去x 得√3y 2−|y|−√3S n−1=0，所以|y|=√1+12S n−12√3…又|y|=a n ⋅sin60∘=√32a n，故3a n =1+√1+12S n−1从而3a n 2−2a n =4S n−1…①由①有3a n+12−2a n+1=4S n …②②-①得3(a n+12−a n 2)−2(a n+1−a n )=4a n即(a n+1+a n )(3a n+1−3a n −2)=0，又a n >0，于是a n+1−a n =23 所以{a n }是以23为首项、23为公差的等差数列，a n =a 1+(n −1)d =23n由此可得：S n =(a 1+a n )n2=13n(n +1)…（3）∵b n+1b n=a2(n+1)3a 2n 3=a 23，∴ 数列{b n }是正项等比数列，且公比q 0=a 23≠1，首项b 1=a 23=q 0，∵ 正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，设其公差为d ，则d 为正整数， ∴ q =p +d ，r =p +2d ，s =p +3d 则T p =b 1(1−q 0p)1−q 0，T q =b 1(1−q 0p+d)1−q 0，T r =b 1(1−q 0p+2d)1−q 0，T s =b 1(1−q 0p+3d)1−q 0…T p ⋅T s −T q ⋅T r =b 12(1−q0)2⋅[(1−q 0p)(1−q 0p+3d)−(1−q 0p+d)(1−q 0p+2d )]=b 12(1−q0)2⋅[(q 0p+d+q 0p+2d)−(q 0p+q 0p+3d)]…而(q 0p+d +q 0p+2d )−(q 0p +q 0p+3d )=q 0p (q 0d −1)−q 0p+2d (q 0d −1)=(q 0d −1)(q 0p −q 0p+2d )=(q 0d −1)q 0p (1−q 02d )=−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)… 由于a >0且a ≠1，可得q 0=a 23>0且q 0≠1，又∵ d 为正整数，∴ (q 0d −1)与(q 02d −1)同号，因此，−q 0p (q 0d −1)(q 02d−1)<0，可得T p ⋅T s <T q ⋅T r ．综上所述，可得若正整数p ，q ，r ，s 成等差数列，且p <q <r <s ，必定有T p ⋅T s <T q ⋅T r ．…。

静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试数学试卷文科（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式ii i ++-1101的值是 . （其中i 为虚数单位）2. 已知j i,是方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量j i +的模等于 .3．二项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值为_______________.4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)5.已知集合{}sin ,A y y x x R ==∈，{}21,B x x n n Z ==+∈，则AB = .（文）若),(ππ-∈x ，则方程12cos 2sin 3=-x x 的解是_____________. 9．（文）满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,32,42y x y x y x 的目标函数y x f +=的最小值为_______.10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 .11．（文）在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线过点()2,3，且它的一个顶点与抛物线24y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 .12． （文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．13.（文）若三个数c a ,1,成等差数列（其中c a ≠），且22,1,c a 成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值为 ． 14． （文） 函数()f x 的定义域为实数集R ，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤≤=.01,1)21(,10,)(x x x x f x 对于任意的x R ∈都第10题图有(1)(1)f x f x +=-.若在区间[1,3]-上函数()()g x f x mx m =--恰有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.（文） 不等式12x x->的解集为……………………………………………（ ）. )(A }01|{>-<x x x 或 )(B }1|{-<x x )(C }1|{->x x )(D }01|{<<-x x16．“1=ω”是“函数x x x f ωω22cos sin )(-=的最小正周期为π”的…………（ ）.)(A 充分必要条件 )(B 充分不必要条件 )(C 必要不充分条件 )(D 既不充分又必要条件17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =………………………………………………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:118. （文）已知向量，满足：1||||==，且||3||k k -=+（0>k ）．则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.)(A 3π )(B 32π )(C 6π )(D 65π三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm ）如图所示．设两条异面直线1AQ 和PD 所成的角为θ，求cos θ的值．1A 1D C 1 Q1A 正视图侧视图俯视图20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O 为圆心的两个同心圆弧AD 、弧BC 以及两条线段AB 和CD 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD 所在圆的半径为10米．设小圆弧BC 所在圆的半径为x 米（100<<x ），圆心角为θ弧度． （1）求θ关于x 的函数关系式；（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，当x 为何值时，y 取得最大值？21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分（文）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右焦点F (1,0)，长轴的左、右端点分别为12,A A ,且121FA FA ⋅=-. （1）求椭圆C 的方程；（2）过焦点F 斜率为k （0>k ）的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于D 点. 试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（文）已知数列}{n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥=+==-+).2(,,8,21121n ca a a a a n n n （c 为常数，*N n ∈）（１）当2=c 时，求n a ； （２）当1=c 时，求2014a 的值；(第20题图)（3）问：使n n a a =+3恒成立的常数c 是否存在？并证明你的结论．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分（文）设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=. （1）解方程：0)1()(8)(=--h x g x h ； （2）令3)()()(+=x g x g x p ，求证：22013)20142013()20142012()20142()20141(=++++p p p p ； （3）若bx g ax g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.四区2013学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答参考答案及评分标准 2014.04说明1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数． 4．给分或扣分均以1分为单位．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 理1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6． 30x y +-= 7. 22； 8．41 9． ⎩⎨⎧==,sin 4,cos 4ααy x （α为参数）；10. 13811．.895613561525630156100=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 12．3． 13.2314．1012sin =α 文1．2； 2．2 3．35； 4．π125．{}1,1-；6．}2,6,2,65{ππππ--7.30x y +-= ； 8．22 9．37； 10. 4111. 2213y x -=； 12．1253381556C C C = 13．当1-=ac 时，0lim 622222=⎪⎭⎫⎝⎛++∴⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n c a c a c a c a ； 当1=ac 时，c a =舍去． 14.]41,0(二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15．D ；16．B ；17．C ；18．理D ；文A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（理）1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --. (1) 证明方法一：Q 四边形是平行四边形，Q PA ⊥平面ABCD ∴PA DA ⊥，又AC DA ⊥，AC PA A =I ，∴DA ⊥平面PAC .方法二：证得DA uu u r是平面PAC 的一个法向量，∴DA ⊥平面PAC .(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =u r， 又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =r，所以||cos ,||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴. （文）由//PQ CD ，且PQ CD =，可知//PD QC ，故1AQC ∠为异面直线1AQ 、PD 所成的角（或其补角）．由题设知2222111126AQ A B B Q =+=+=，12AC = 取BC 中点E ，则QE BC ⊥，且3QE =，222223110QC QE EC =+=+=．由余弦定理，得2221111cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅== 20．(1)设扇环的圆心角为θ，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210xxθ+=+， (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<． 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+，所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++，令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号， 此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．21．理（1）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =--，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-. 又因为221a b -=，解得2,a b =.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）依题意直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k-++.所以MN ==2212(1)43k k +=+. 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4.（文）（1）依题设1(,0)A a -，2(,0)A a ，则1(1,0)FA a =--，2(1,0)FA a =-. 由121FA FA ⋅=-，解得22a =，所以21b =.所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),22y k x x y =-⎧⎨+=⎩得()2222214220k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,弦AB 的中点为00(,)M x y ，则2122421k x x k +=+，21222(1)21k x x k -=+，202221k x k =+，0221k y k -=+， 所以2222(,)2121k kM k k -++. 直线MD 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， 令0y =，得2221D k x k =+，则22(,0)21k D k +. 若四边形ADBE 为菱形，则02E D x x x +=，02E D y y y +=.所以22232(,)2121k kE k k -++. 若点E 在椭圆C 上，则2222232()2()22121k kk k -+=++.整理得42k =，解得2k =所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形.22．理（1）99)832(3+=-⋅⋅xx x ，93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p ，2163)21()20141007(===q q ．因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--xxx xx xx x p x p ，1393399399399)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x x x q x q所以，211006)20142013()20142()20141(+=+++p p p ， 211006)20142013()20142()20141(+=+++q q q ． )20142013()20142()20141(p p p +++ =)20142013()20142()20141(q q q +++ ． （3）因为bx ax x f +++=)()1()(ϕϕ是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a .)1321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h 即23132-⋅>-x xk 对任意的R x ∈都成立，即x xk 313+<对任意的R x ∈都成立，2<k . （文）（1）46)1(62-=-+=n n a n （2） 21=a ，82=a ，63=a ，24-=a ，85-=a ，66-=a ，27=a ，88=a ，69=a ，210-=a ，811-=a ， 612-=a ，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由n n n a a a =+-+11有n n n n a a a a -=-=+++123，n n n n a a a a =-==++++3336．……8分(理由和结论各2分)因为 463352014+⨯=，所以242014-==a a ．（3）假设存在常数c ，使n n a a =+3恒成立．由n n n ca a a =+-+11 ○1，及n n a a =+3，有1112+-++=+⇒=+n n n n n n ca a a ca a a ○2○1式减○2式得0)1)((1=+-+c a a n n ． 所以01=-+n n a a ，或01=+c ．当*N n ∈，01=-+n n a a 时，数列｛n a ｝为常数数列，不满足要求．由01=+c 得1-=c ，于是n n n a a a -=+-+11，即对于2≥∈n N n 且，都有11-+--=n n n a a a ，所以 n n n n n n a a a a a a --=--=+++++12123,，从而n n n n n n n a a a a a a a =-+=--=+++++11123, )1(≥n ．所以存在常数1-=c ，使n n a a =+3恒成立．23．理（1）1111a b a a ===，242112211--====--n a n n n n a a b ； （2）根据反证法排除11a =和*113()a a N ≥∈证明：假设12a ≠，又*N a n ∈，所以11a =或*113()a a N ≥∈①当11a =时，1111a b a a ===与13b =矛盾，所以11a ≠；②当*113()a a N ≥∈时，即1113a a b a ≥==，即11a a a ≥，又1+<n n a a ，所以11a ≤与*113()a a N ≥∈矛盾；由①②可知21=a ．（3）首先{}n a 是公差为1的等差数列，证明如下：1n n a a +>*2,n n N ⇒≥∈时1n n a a ->，所以11n n a a -≥+()n m a a n m ⇒≥+-，*(,)m n m n N <∈、 1111[1(1)]n n a a n n a a a a ++++⇒≥++-+即11n n n n c c a a ++-≥-由题设11n n a a +≥-又11n n a a +-≥11n n a a +⇒-=即{}n a 是等差数列．又{}n a 的首项11a =，所以n a n =，)223222(32n n n S ⋅++⋅+⋅+-= ，对此式两边乘以2，得14322232222+⋅--⋅-⋅--=n n n S两式相减得=⋅-++++=+13222222n n n n S 22211-⋅-++n n n 22211-=⋅+++n n n n S ，5021>⋅++n n n S 即5221≥+n ，当5≥n 时，526421>=+n ，即存在最小正整数5使得5021>⋅++n n n S 成立．注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明n a n =．（文）（1）0)1()(8)(=--h x g x h 即：09389=-⋅-x x ，解得93=x ，2=x（2）21323)21()20141007(===p p . 因为1333333333333)1()(11=+++=+++=-+--x x x x x x xx p x p ， 所以，22013211006)20142013()20142()20141(=+=+++p p p ， （3）同理科22（3）．。

上海市黄浦区2014年⼆模数学卷（后附标答）黄浦区2014年九年级学业考试模拟考数学试卷（时间100分钟，满分150分） 2014.4.10⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列⼆次根式中，2的同类根式是（A ）4；（B ）6；（C ）8；（D ）10.2. 化简32(3)a 的结果是（A ）66a ；（B ）96a ；（C ）69a ；（D ）99a . 3. ⽅程2690x x -+=的根的情况是（A ）没有实数根；（B ）有且仅有⼀个实数根；（C ）有两个相等的实数根；（D ）有两个不相等的实数根. 4. 下列图形中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是（A ）正三⾓形；（B ）正⽅形；（C ）等腰直⾓三⾓形；（D ）等腰梯形. 5. 在平⾏四边形ABCD 中，下列条件中不能．．判定四边形ABCD 是菱形的是（A ）AB =BC ；（B ）AC =BD ；（C ）∠ABD =∠CBD ；（D ）AC ⊥BD .6. 某赛季甲、⼄两名篮球运动员各参加10场⽐赛，各场得分情况如图1所⽰，下列四个结论中，正确的是（A ）甲运动员得分的平均数⼩于⼄运动员得分的平均数；（B ）甲运动员得分的中位数⼩于⼄运动员得分的中位数；（C ）甲运动员得分的最⼩值⼤于⼄运动员得分的最⼩值；（D ）甲运动员得分的⽅差⼤于⼄运动员得分的⽅差. ⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分） 7.12的相反数是 . 8. 因式分解：24x y y -= .9. 不等式组36210x x ->-??+>?的解集是 .10. ⽅程2x x +=的根是 .11. 若反⽐例函数13ky x-=的图像经过第⼀、三象限，则 k 的取值范围是 . 12. 某校对部分学⽣家庭进⾏图书量调查，调查情况如图2所⽰，若本次调查中，有50本以下图书的学⽣家庭有24户，则参加本次调查的学⽣家庭数有户.13. 布袋中有1个⿊球和1个⽩球，这两个球除颜⾊外其他都相同，如果从布袋中先摸出⼀个球，放回摇匀后，再摸出⼀个球，那么两次都摸到⽩球的概率是 . 14. 将抛物线2y x x =+向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是.图115. 如图3，AB ∥CD ，直线MN 分别与AB 、CD 交于点E 、F ，FG 是∠NFD 的平分线，若∠MEB=80°，则∠GFD 的度数为 .16. 如图4，△ABC 中，D 为边AC 的中点，设BD =a ，BC =b ，那么CA ⽤a 、b可表⽰为 . 17. 当两个圆有两个公共点，且其中⼀个圆的圆⼼在另⼀圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果⊙1O 、⊙2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆⼼距d 的取值范围是 .18. 如图5，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =4，D 为边AC 上⼀点，且AD =3，如果△ABD 绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点D 旋转⾄D '，那么线段D D '的长为 . 三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）计算：()1122cot 302323(31)-?+?--+-.20. （本题满分10分）解⽅程：31131x x-=+-.21. （本题满分10分，第（1）、（2）⼩题满分各5分）如图6，D 是⊙O 弦BC 的中点，A 是 BC上⼀点，OA 与BC 交于点E ，已知AO =8，BC =12. （1）求线段OD 的长；（2）当EO =2BE 时，求∠DEO 的余弦值.EA DCBO图5 A B C D 图2 100~149本 50~99本 150本及以上35%30% 20%50本以下图4 A B C D 图3 E M FG N D C B A22. （本题满分10分，第（1）、（2）⼩题满分各5分）已知弹簧在其弹性限度内，它的长度y （厘⽶）与所挂重物质量x （千克）的关系可表⽰为y kx b =+的形式，其中k 称为弹⼒系数，测得弹簧A 的长度与所挂重物（不超过弹性限度）的关系如图7-1所⽰.（1）求弹簧A 的弹⼒系数；（2）假设在其它条件不变的情况下，弹簧的弹⼒系数k 与弹簧的直径d (如图7-2所⽰）成正⽐例.已知弹簧B 的直径是弹簧A 的1.5倍，且其它条件均与弹簧A 相同（包括不挂重物时的长度）.当弹簧B 挂⼀重物后，测得此时弹簧长度为9厘⽶，求该重物的质量. [来源学*科*⽹]23. （本题满分12分，第（1）、（2）⼩题满分各6分）如图8，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是边BC 上⼀点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF .[来源:学科⽹ZXXK]（1）求证：△CEF ≌△AEF ；（2）联结DE ，当BD=2CD 时，求证：DE=AF .FED C B A 图8 y (厘⽶） x (千克） 8104 8 O 图7-1 d图7-224. （本题满分12分，3分+4分+5分）在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知顶点为P（0, 2）的⼆次函数图像与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2, 0）.（1）求该⼆次函数的解析式，并写出点B坐标；（2）点C在该⼆次函数的图像上，且在第四象限，当△ABC的⾯积为12时，求点C坐标；（3）在（2）的条件下，点D在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标.25. （本题满分14分，第（1）⼩题满分4分，第（2）、（3）⼩题满分各5分）如图9，在平⾏四边形ABCD中，AB=4，BC=2，∠A=60°.（1）求证：BD⊥BC；（2）延长CB⾄G，使BG=BC，E是边AB上⼀点，F是线段CG上⼀点，且∠EDF=60°，设AE=x，CF=y.①当点F在线段BC上时(点F不与点B、C重合)，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；②当以AE为半径的⊙E与以CF为半径的⊙F相切时，求x的值.图9 BDC A黄浦区2014年九年级学业考试模拟考数学参考答案与评分标准⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）1. C ；2. C ；3. C ；4. B ；5. B ；6. D .⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）7. 12-； 8. (2)(2)y x x +-； 9. 122x -<< ； 10. 2x = ； 11. 13k <；12. 160； 13. 14； 14. 2y x x =-； 15. 50°； 16. 22a b - ；17. 23d <<； 18.125. 三、解答题：（本⼤题共7题，满分78分） 19. 解：原式=323(23)(423)+-++- …………………………………………(8分)=32323423+--+- ………………………………………………(1分) =2………………………………………………………………………(1分)20. 解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分)整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分) (1)(3)0x x +-=.………………………………………………………(1分)解得 11x =-，13x =. …………………………………………………………(2分)经检验11x =-，13x =都是原⽅程的根. ………………………………………………(1分)21. 解：（1）联结OB . …………………………………………………………………………(1分)∵OD 过圆⼼，且D 是弦BC 中点，∴OD ⊥BC ，12BD BC =. ………………………………………………………………(2分) 在Rt △BOD 中，222OD BD BO +=.……………………………………………………(1分) ∵BO =AO =8，6BD =.∴27OD =. ……………………………………………………………………………(1分) （2）在Rt △EOD 中，222OD ED EO +=.设BE x =，则2EO x =，6ED x =-. 222(27)(6)(2)xx +-=.……………………………………………………………(2分)解得 116x =-（舍）， 24x =.………………………………………………………(1分) ∴ED =2，EO =42.[来源:Z,xx,/doc/ae1e8d56c5da50e2524d7f94.html ][来源:/doc/ae1e8d56c5da50e2524d7f94.html ]在Rt △EOD 中，2cos 4DEO ∠=.………………………………………………………(2分) 22. 解：（1）把（4,8），（8,10）代⼊y kx b =+得84108k bk b=+??=+? ………………………………………………………(2分)解得126k b ?==? ………………………………………………………(2分)∴弹簧A 的弹⼒系数为12. ………………………………………………………(1分) （2）设弹簧B 弹⼒系数为b k ，弹簧A 的直径为A d ，则弹簧B 的直径为32A d .由题意得 32b A A k kd d =. ∴ 3324b k k ==. ………………………………………………………(2分)⼜∵弹簧B 与弹簧A 不挂重物时的长度相同，∴弹簧B 长度与所挂重物质量的关系可表⽰为364y x =+. ……………………………(1分) 把9y =代⼊364y x =+得 4x =. …………………………………………………(2分) ∴此时所挂重物质量为4千克.23. 证明：(1)∵∠ACB=90°，且E 线段AB 中点，∴CE =12AB =AE . ………………………………………………………………………(2分)同理CF =AF . ……………………………………………………………………………(1分) ⼜∵EF =EF ，……………………………………………………………………………(1分) ∴△CEF ≌△AEF .……………………………………………………………………(2分) (2) ∵点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，∴12EF BD =，EF ∥BC . ………………………………………………………………(2分)∵BD=2CD ，∴EF CD =.⼜∵EF ∥BC ，∴四边形CEFD 是平⾏四边形. ……………………………………(2分) ∴DE =CF .…………………………………………………………………………………(1分) ∵CF =AF ，∴DE =AF .……………………………………………………………………(1分)H PA CB O x y24. 解：（1）设抛物线表达式为22y ax =+.把（2, 0）代⼊解析式，解得12a =-.…………………(1分)∴抛物线表达式为2122y x =-+………………………(1分)∴B （-2, 0）. ……………………………………………(1分)（2）过点C 作CH ⊥x 轴，垂⾜为H .设点C 横坐标为m ，则2122CH m =-.…………………………………………(1分)由题意得211[2(2)](2)1222m ?--?-=…………………(1分)解得4m =±. …………………………………………(1分) ∵点C 在第四象限，∴4m =. ∴C （4, -6）. ……(1分)（3）∵PO =AO =2，∠POA=90°，∴∠APO=45°. ………………………………………(1分) ∵BH =CH=6，∠CHB=90°，∴∠CBA=45°. ∵∠BAC <135°，∴点D 应在点P 下⽅，∴在△APD 与△ABC 中，∠APD=∠CBA . ………………………………………………(1分) 由勾股定理得P A =22，BC =62. 1°当PD PA AB BC =时，22462PD =.解得43PD =.∴12(0,)3D ……………………………(1分) 2°当PD PABC AB =时，22462PD =.解得6PD =.∴2(0,4)D -…………………………(1分) 综上所述，点D 坐标为2(0,)3或(0,4)-……………………………………………………(1分)25. 解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂⾜为H . …………………………………………………(1分) 在Rt △AHD 中，cos cos 1AH AD A BC A =?∠=?∠=.∵12AH AD =，12BC CD =，∴AH BC AD CD=，即AH ADBC CD =. ⼜∵∠C =∠A =60°，∴△AHD ∽△CBD . …………………………………………………(2分) ∴∠CBD =∠AHD =90°.∴BD ⊥BC . ……………………………………………………(1分) （2）①∵AD ∥BC ，∴∠ADB =90°，∵∠BDH +∠HDA =90°，∠A +∠HDA =90°.[来源:学§科§⽹Z §X §X §K]∴∠BDH =∠A =60°.∵∠EDF =60°，∴∠BDH =∠EDF ，即∠EDH +∠BDE =∠FDB +∠BDE .∴∠EDH =∠FDB . ………………………………………………………………………(2分) ⼜∵∠EHD =∠CBD =90°，∴△EHD ∽△FBD . ………………………………………(1分)∴DH EHBD BF =，∴31223x y-=-. ∴42y x =-(12)x <<.……………………………(2分) ②联结EF .1°当点F 在线段BC (点F 不与点B 、C 重合)上时，∵△EHD ∽△FBD ，∴DH DE BD DF =. 即DH BDDE DF=. ⼜∵∠BDH =∠EDF ，∴△BDH ∽△FDE . ∴∠DEF=90°.在Rt △EDH 中，22224DE EH DH x x =+=-+.∴2tan 6033612EF DE DE x x =??=?=-+.…………………………………………(1分) i) 当⊙E 与⊙F 内切时，2(42)3612x x x x --=-+. 解得，19576x +=（舍），29576x -=（舍）. ………………………………………(1分) ii)当⊙E 与⊙F 外切时，2(42)3612x x x x +-=-+.解得11x =（舍），22x =-（舍）. …………………………………………………………(1分) 2°点F 与点B 重合时，即 x =1 时，两圆外切.3°当点F 在线段BG (点F 不与点B 重合)上时，易得42CF x =-，且△BDH ∽△FDE 仍然成⽴. ∴23612EF x x =-+.由1°计算可知9576x -=时两圆内切. ………………………………………………(1分) 综上所述，当 x =1 时，两圆外切，当957 6x -=时，两圆内切．……………………(1分)。

2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B=．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．4．（4分）函数的值域．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取名学生．7．（4分）函数的最小正周期T=．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．10．（4分）已知实数x、y满足不等式组，则z=3x+4y的最大值是．11．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=．12．（4分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则这三个数位于不同行不同列的概率是．（结果用分数表示）13．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a10}，定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤10}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a10是公差大于零的等差数列，则S（A）=．14．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④17．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．18．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，若点M（，0），求证•为定值．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；（3）求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式．2014年上海市松江区、徐汇区、金山区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题：（本题满分56分，每小题4分）1．（4分）已知集合A={x|＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．【考点】1E：交集及其运算．【专题】51：函数的性质及应用；5J：集合．【分析】利用分式不等式和一元二次不等式分别求出集合A和B，由此能求出A ∩B．【解答】解：∵集合A={x|＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0，x∈R}={x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}．故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意分式不等式和一元二次不等式的合理运用．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．【考点】I2：直线的倾斜角．【专题】5B：直线与圆．【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．【解答】解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．（4分）函数y=cos（2x+）的单调递减区间是．【考点】HA：余弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z故函数的单调减区间为，故答案为：．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性的求法，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．4．（4分）函数的值域．【考点】34：函数的值域．【专题】11：计算题．【分析】因为自变量x是正数，所以可以用基本不等式进行求解：，所以函数的最小值为，当且仅当x=，即x=时取到等号，由此可得函数的值域．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x+，当且仅当x=，即x=时取到等号，因此该函数的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法，利用函数解析式的特点选择合适的方法求解函数的值域．利用基本不等式求值域是解决函数值域问题的一种方法，关键要用到基本不等式的放缩办法，要注明等号成立的条件．5．（4分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，则=1﹣3i．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足i（z+1）=﹣3+2i，∴﹣i•i•（z+1）=﹣i（﹣3+2i），化为z+1=2+3i，化为z=1+3i，∴=1﹣3i．故答案为：1﹣3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6．（4分）某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知高一有760名学生，高二有840名学生，则在该学校的高三应抽取40名学生．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I：概率与统计．【分析】由所给的学校的总人数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，做出高三年级的人数，乘以概率得到结果．【解答】解：∵某高中共有学生2400人，采用分层抽样法抽取容量为120的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，高三年级有2400﹣760﹣840=800人∴要在高三抽取800×=40人，故答案为：40．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数．7．（4分）函数的最小正周期T=π．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性；O1：二阶矩阵．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】先利用二阶矩阵化简函数式f（x），再把函数y=f（x）化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】解：函数=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）﹣2sinxcos（π﹣x）=cos2x+sin2x=sin（2x+），它的最小正周期是：T==π．故答案为：π【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．8．（4分）已知函数f（x）=arcsin（2x+1），则f﹣1（）=．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案为：【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题．9．（4分）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值．【解答】解：∵A1C1∥AC，∴异面直线A1B与AC所成角为∠BA1C1，易求，∴．故答案为：【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．10．（4分）已知实数x、y满足不等式组，则z=3x+4y的最大值是20．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+4y中z 表示在y轴上的截距，要求z得最大值，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由z=3x+4y得y=x+，则z表示直线在y轴上的截距，截距越大，z越大，要求z的最大值，则只要求解直线y=x+的截距的最大值结合图形可知，当直线z=3x+4y过点C（0，5）时，在y轴上截距最大，z最大由此时z取得最大值20故答案为：20【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11．（4分）若（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式中x﹣4的系数为a n，则（++…+）=2．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于﹣4，求得r的值，即可求得展开式中的x﹣4的系数a n，再用裂项法求得++…+的值，从而求得所给式子的值．【解答】解：（1﹣）n（n∈N*，n＞1）的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x﹣2r，令﹣2r=﹣4，r=2，故展开式中x﹣4的系数为a n==，∴==2（﹣）．则（++…+）=2（+++…+）=2（1﹣）=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用裂项法进行数列求和，属于中档题．12．（4分）如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则这三个数位于不同行不同列的概率是．（结果用分数表示）【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，若三个数分别位于不同的三行，有三种方法；若三个数分别位于不同的三列，满足要求的选法共有6种，综合可得答案．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=．故答案为：．【点评】本题主要考查计数原理和组合数公式的应用、概率的计算公式，属于基础题．13．（4分）对于集合A={a1，a2，…，a10}，定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤10}，记集合S中的元素个数为S（A）．若a1，a2，…，a10是公差大于零的等差数列，则S（A）=17．【考点】12：元素与集合关系的判断；83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由已知条件，利用等差数列的性质，用列举法能求出S（A）．【解答】解：∵集合A={a1，a2，…，a10}，定义集合S={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤10}，a1，a2，…，a10是公差大于零的等差数列，∴集合S中的元素有：a1+a2，a1+a3，a1+a4，a1+a5，，a1+a7，a1+a8，a1+a9，a1+a10，a2+a10，a3+a10，a4+a10，，a6+a10，a7+a10，a8+a10，a9+a10，共17个，∴S（A）=17．故答案为：17．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．14．（4分）如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量=m+n（m、n为实数），则m+n的最大值为5．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】连接AE会发现它与AB垂直，所以构造，将条件中的代入，便会得到，而，所以经过化简就可得到．同样的办法你会得到，显然得到的这两式需相加便经过化简得到m+n=，而这正好是在方向上的投影，所以求这个投影的最大值即可，而投影的最大值，通过图形就能得到．【解答】解：如图所示，．∴==6n ①同理，②①+②得：；∵，∴．∵=．∴，其几何意义就是在上的投影．∴求m+n的最大值就转化为求在上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，在上的投影取到最大值5．【点评】本题需注意的是构造两组数量级，将求m+n的最大值转化为求在方向上投影的最大值．二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．（5分）命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的性质是解决本题的关键．16．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥βA．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题．【分析】①α∥β⇒l⊥m，可由线面垂直的性质进行判断；②α⊥β⇒l∥m，可以由面面垂直的性质进行判断；③l∥m⇒α⊥β面面垂直的判定定理进行判断；④l⊥m⇒α∥β，可由面面平行的判定定理进行判断．【解答】解：对于①l⊥α，α∥β，m⊂β⇒l⊥m正确；对于②l⊥α，m⊂β，α⊥β⇒l∥m；l与m也可能相交或者异面；对于③l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又因为m⊂β则α⊥β正确；对于④l⊥m，l⊥α则m可能在平面α内，也可能不在平面α内，所以不能得出α∥β；综上所述①③正确，故选：B．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，考查空间想像能力及组织材料判断面面间位置关系的能力，属于基本题型．17．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则等于（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】先根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化，再结合正弦定理即可得到答案．【解答】解：∵A+B+C=π，A=2B，∴===．再结合正弦定理得：=．故选：A．【点评】本题主要考查正弦定理的应用．解决本题的关键在于根据三角形的内角和以及∠A=2∠B把所求问题转化．18．（5分）函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．D．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．假设存在，则可计算出公比的范围，从而可下结论．【解答】解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：，设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq2，且ab=（aq）2=3，所以aq=；所以q=，当，则；当时，考查四个选项，只有B选项不符合上述范围故选：B．【点评】本题的考点是等比关系的确定，主要课程等比数列的定义，等比中项及切割线定理，属于基础题．三．解答题：（本大题共5题，满分74分）19．（12分）如图示，给出的是某几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图为半径等于1的圆．试求这个几何体的侧面积与体积．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可以分析出该几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆锥，进而可得到圆锥的高为，代入圆锥的体积公式和表面积公式，可得答案．【解答】解：根据几何体的三视图知，原几何体是以半径为1的圆为底面，母线长为2的圆锥则圆锥的高为的圆锥．…3分=πrl=2π，…7分则它的侧面积S侧体积．…11分【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面半径，母线长等几何量是解答的关键．20．（14分）如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC=120°，∠ADC=150°，BD=1（千米），AC=3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．（即从B点出发到达C点）【考点】HU：解三角形．【专题】12：应用题；58：解三角形．【分析】先利用正弦定理，求出AD，再在△ADC中，由余弦定理，求出DC，即可得出结论．【解答】解：由∠ADC=150°知∠ADB=30°，由正弦定理得，所以，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）在△ADC中，由余弦定理得：|AC|2=|AD|2+|DC|2﹣2|AD|•|DC|cos150°，即，即DC2+3•DC﹣6=0，解得（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以|BC|≈2.372（千米），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由于2.372＜2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰．﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．21．（14分）已知椭圆x2+2y2=a2（a＞0）的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于A、B两点，若点M（，0），求证•为定值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知条件推导出，，由此能求出椭圆方程．（2）由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理结合已知条件能证明为定值．【解答】（本题满分（14分）；第（1）小题（6分），第（2）小题8分）解：（1）设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则，由c2=a2﹣b2，得，由，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（6分）（2）由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，（8分）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：，∴=，====，∴为定值．（14分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的合理运用．22．（16分）定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）﹣f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．（1）证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；（2）试求一个函数y=g（x），使f（x）=g（x）+Asin（ωx+φ）（x∈R）（A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T 和周距M；（3）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数，当函数f（x）=﹣2x+g（x）在[1，3]上的值域为[﹣3，3]时，求f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【考点】3Q：函数的周期性．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】（1）由已知条件推导出f（x+2）﹣f（x）═2，由此证明函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（2）设g（x）=kx+b（k≠0），由=，推导出f（x）是广义周期函数，并能求出并求出它的一个广义周期T和周距M．（3）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4，知f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4，由此能求出f（x）在[﹣9，9]上的最大值和最小值．【解答】（本题满分（16分）；第（1）小题（4分），第（2）小题（5分），第（3）小题7分）（1）证明：∵f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z），∴f（x+2）﹣f（x）=[（x+2）+（﹣1）x+2]﹣[x+（﹣1）x]=2，（非零常数）∴函数f（x）=x+（﹣1）x（x∈Z）是广义周期函数，它的周距为2．（4分）（2）解：设g（x）=kx+b（k≠0），则f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）∵=（非零常数）∴f（x）是广义周期函数，且．（9分）（3）解：∵f（x+2）﹣f（x）=﹣2（x+2）+g（x+2）+2x﹣g（x）=﹣4，∴f（x）是广义周期函数，且T=2，M=﹣4．（10分）设x1，x2∈[1，3]满足f（x1）=﹣3，f（x2）=3，由f（x+2）=f（x）﹣4得：f（x1+6）=f（x1+4）﹣4=f（x1+2）﹣4﹣4=f（x1）﹣4﹣4﹣4=﹣3﹣12=﹣15，又∵f（x+2）=f（x）﹣4＜f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最小值是x在[7，9]上获得的，而x1+6∈[7，9]，∴f（x）在[﹣9，9]上的最小值为﹣15．（13分）由f（x+2）=f（x）﹣4，得f（x﹣2）=f（x）+4，∴f（x2﹣10）=f（x2﹣8）+4=f（x2﹣6）+4+4=…=f（x2）+20=23，又∵f（x﹣2）=f（x）+4＞f（x），∴f（x）在区间[﹣9，9]上的最大值是x在[﹣9，﹣7]上获得的，而x2﹣10∈[﹣9，﹣7]，f（x）在[﹣9，9]上的最大值为23．（16分）【点评】本题考查广义周期函数的证明，考查广义周期函数的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．23．（18分）一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n≥5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）为数表中第i行的第j个数．（1）求第2行和第3行的通项公式f（2，j）和f（3，j）；（2）证明：数表中除最后2行以外每一行的数都依次成等差数列；（3）求f（i，1）关于i（i=1，2，…，n）的表达式．【考点】F1：归纳推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）由已知，第一行是等差数列，若成等差数列求出公差d即可．（3）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．【解答】解：（1）f（2，j）=f（1，j）+f（1，j+1）=2f（1，j）+4=8j+4（j=1，2，…，n﹣1），f（3，j）=f（2，j）+f（2，j+1）=2f（2，j）+8=2（8j+4）+8=16j+16（j=1，2，…，n﹣2）（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i（1≤i≤n﹣3）行是以d i为公差的等差数列，则由f（i+1，j+1）﹣f（i+1，j）=[f（i，j+1）+f（i，j+2）]﹣[f（i，j）+f（i，j+1）]=f（i，j+2）﹣f（i，j）=2d i（常数）知第i+1（1≤i≤n﹣3）行的数也依次成等差数列，且其公差为2d i．综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列（3）由于d1=4，d i=2d i﹣1（i≥2），所以，，所以f（i，1）=f（i﹣1，1）+f（i﹣1，2）=2f（i﹣1，1）+d i﹣1由得f（i，1）=2f（i﹣1，1）+2i，于是，即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以f（i，1）=（i+1）•2i（i=1，2，…n）【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．。

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试卷(2014年4月10日)一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果， 每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数xxy -+=11log 2的定义域是 ． 2．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期=T ．3．已知全集R U =，集合{}|0,R A x x a x =+≥∈，{}||1|3,R B x x x =-≤∈．若U ()[2,4]C A B =-，则实数a 的取值范围是 ．4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是 ．5．函数)1,0(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间是 ． 6．函数)0()(2≤-=x x x f 的反函数是)(1x f-，则反函数的解析式是=-)(1x f ．7．方程1)34(log 2+=-x x的解=x ．8．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边的长度分别为c b a 、、，且ab c b a 3222=-+， 则=∠C .9．已知i (i 11-=x 是虚数单位，以下同)是关于x 的实系数一元二次方程02=++b ax x 的一个根， 则实数=a ，=b ．10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的 表面积是 ． 11．已知向量)1,0()4,3(-=-=b a，，则向量a 在向量b 的方向上的投影是．12．直线l 的参数方程是12,(R,2x t t y t =-+⎧∈⎨=-⎩t 是参数)，则直线l 的一个方向向量是 ．(答案不唯一)13．某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机 变量ξ表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量ξ的数学期望值=ξE ．1C第19题图ＡＣ1B1A ＤＢ14．已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数. 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x 的 方程2[()]()0f x a f x b +⋅+=(R)a b ∈、有且只有7个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ． 二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应 编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知R a b ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是 [答] ( )．A ． ab b a 2≥+B ．2≥+a b b a C ．2||≥+abb a D ．222a b ab +> 16．已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件17．已知22R,0a b a b ∈+≠、，则直线0=+by ax l ：与圆：022=+++by ax y x 的位置关系是[答] ( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18．给出下列命题：(1) 已知事件B A 、是互斥事件，若35.0)(,25.0)(==B P A P ，则60.0)(=B A P ；(2) 已知事件B A 、是互相独立事件，若60.0)(,15.0)(==B P A P ，则51.0)(=B A P (A 表示事件A 的对立事件)； (3) 183)1(xx +的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是 [答]( )．A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====， D 是棱1AA 的中点．如图所示．（1）求证：1DC ⊥平面BCD ； （3）求二面角A BD C --的大小．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．第21题图ABC O 已知复数12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈．（1）求||21z z -的最小值；（2）设21z z z ⋅=，记z z x f (Im Im )(=表示复数z 的虚部). 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长 到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移2π个单位长度，得到函数)(x g 的图像. 试求 函数)(x g 的解析式．21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在 区域BOC 内，乙中转站建在区域AOB 内．分界线OB 固定，且OB =(13)+百米，边界线AC 始终过点B ，边界线OC OA 、满足00075,30,45AOC AOB BOC ∠=∠=∠=． 设OA x =(36x ≤≤)百米，OC y =百米.（1）试将y 表示成x 的函数，并求出函数y 的解析式；（2）当x 取何值时？整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，并求出其面积的最小值．22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足nn n nn n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)．（1）求753a a a 、、的值；（2）求12-n a (用含n 的式子表示)；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程； （2）斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的 斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；（3）试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．参考答案和评分标准(2014年4月10日)一、填空题1．(1,1)-； 2．p ； 3．4a <-； 4．2； 5．[1,)+ ； 6．1()(0)f x x x -=-- ；第19题图 ＡO(Ｃ) 1B1AＤＢx y z1C7．2log 3x =； 8．6p； 9．2,2a b =-=； 10．100p ； 11．4； 12．111(2,1)(0,R)t t t ?刮；13．32； 14．524a -<<-．二、选择题： 15．C 16．B 17．B 18．D 三、解答题19．本题满分12分．证明：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点(0,0,0)C 、(2,0,0)A 、(0,2,0)B 、(2,0,2)D 、1(2,0,4)A 、1(0,0,4)C ．于是，1(2,0,2),(2,0,2),(2,2,2)DC DC DB =-=--=--．可算得110,0DC DC DC DB ⋅=⋅=．因此，11,DC DC DC DB ⊥⊥． 又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．（2）设(,,)n x y z =是平面ABD 的法向量．∴0,0.n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩又(2,2,0),(0,0,2)AB AD =-=，∴220,20.x y z -+=⎧⎨=⎩ 取1y =，可得1,1,0.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面ABD 的一个法向量是(1,1,0)n =． 由(1)知，1DC 是平面DBC 的一个法向量，记n 与1DC 的夹角为θ，则111c o s 2||||nD Cn D C θ⋅==-， 23πθ=．结合三棱柱可知，二面角A BD C --是锐角， ∴所求二面角A BD C --的大小是3π． 20．本题满分14分解：（1）∵12cos i,1isin ,R z x z x x =+=-∈， ∴2212||(cos 1)(1sin )z z x x -=-++322sin()4x π=+-.∴当sin()14x -=-π，即2(Z)4x k k π=π-∈时，12min ||322(21)z z -=-=-. （2）∵12z z z =⋅，∴12sin cos (1sin cos )i z z z x x x x =⋅=++-. ∴1()1sin cos 1sin 2(R)2f x x x x x =-=-∈. 将函数)(x f 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是111sin 2y x =-. 把函数11sin 2y x =-的图像向右平移2π个单位长度，得到的图像对应的函数是211sin()22y x π=--．∴11()1sin()1cos (R)222g x x x x π=--=+∈. 21．本题满分12分．解：（1）结合图形可知，BOC AOB AOC S S S ∆∆∆+=．于是，000111(13)sin 30(13)sin 45sin 75222x y xy +++=，解得2(36)2x y x x =≤≤-． （2）由（1）知，2(36)2xy x x =≤≤-， 因此，20113sin 75242AOCx S xy x ∆+==-134[(2)4]42x x +=-++- 223≥+(当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立)． 答：当400x =米时，整个中转站的占地面积OAC S ∆最小，最小面积是4(223)10+⨯平方米. 22．本题满分18分． 解：（1）n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)，1211324325465376(1)0,33,14,313,112,339.a a a a a a a a a a a a ∴=+-==+==+==+==-==+=（2）由题知，有*21213(1)(N )nnn n a a n +--=+-∈．112123222325121121211225311313(1)3(1)(333)[(1)(1)(1)]3(1)3(1)n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----------⎫∴-=+-⎪-=+-⎪⎪⇒-=++++-+-++-⎬⎪-=+-⎪⎪-=+-⎭．∴*213(1)1(N )2n nn a n ---=-∈．（3）∵*213(1)1(N )2n n n a n ---=-∈，∴*23(1)1(N )2n n n a n +-=-∈．∴21232n n n a a -+=-． 又1231n n n S a a a a a -=+++++，1当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++++122(32)(32)(32)n=-+-++-233322n n =⋅--．02当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++111221223(1)(32)(32)(32)12n n n ++---=-+-++-+-11223(1)322n n n ++-=---．综上，有2*1122333,22(N )3(1)3.22n n n n n n S n n n ++⎧⋅--⎪⎪=∈⎨⎪----⎪⎩为偶数为奇数 23．本题满分18分．解：（1）由题知，有22|4|2(1)x x y -=-+. 化简，得曲线C 的方程：22143x y +=． （2）∵直线l 的斜率为12，且不过3(1,)2P 点，∴可设直线l ：1(1)2y x m m =+≠且． 联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=．又交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩．∴1212332211PA PBy y k k x x --+=+--12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 0.= （3）答：一定存在满足题意的定圆N .理由：∵动圆M 与定圆N 相内切，∴两圆的圆心之间距离||MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.又(1,0)D 恰好是曲线(椭圆)C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点，记曲线C 的左焦点为(1,0)F -，联想椭圆轨迹定义，有||||4MF MD +=，∴若定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意. ∴定圆N 的方程为：22(1)16x y ++=.。

2014年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1）．(A) ；(B) ；(C) ；(D)2．据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（）．(A)608×108；(B) 60.8×109；(C) 6.08×1010；(D) 6.08×1011．3．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）．(A) y＝x2－1；(B) y＝x2＋1；(C) y＝(x－1)2；(D) y＝(x＋1)2．4．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（）．（此题图可能有问题）(A) ∠2；(B) ∠3；(C) ∠4；(D) ∠5．5．某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50，40，75，50，37，50，40 ，这组数据的中位数和众数分别是（）．(A)50和50；(B)50和40；(C)40和50；(D)40和40．6．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（）．(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．二、填空题（每小题4分，共48分）7．计算：a(a＋1)＝____________．8．函数11yx=-的定义域是_______________．9．不等式组12,28xx->⎧⎨<⎩的解集是_____________．10．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔________支．11．如果关于x的方程x2－2x＋k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是____________．12．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为_________米．13．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是__________． 14．已知反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0），在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是________________（只需写一个）．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3EB ．设AB a =，BC b =，那么DE ＝_______________（结果用a 、b 表示）．16．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是___________．17．一组数：2， 1， 3， x ， 7， y ， 23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a －b ”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y 表示的数为____________．18．如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为________（用含t 的代数式表示） 三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（本题满分101382-+．20．（本题满分10分）解方程：2121111x x x x +-=--+．21．（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知水银体温计的读数y （℃）与水银柱的长度x （cm ）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．（1）求y 关于x 的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm ，求此时体温计的读数．22．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH ．（1）求sinB 的值；（2）如果CD ，求BE 的值．23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P (t , 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图1，已知在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，cosB ＝45，点P 是边BC 上的动点，以CP 为半径的圆C 与边AD 交于点E 、F （点F 在点E 的右侧），射线CE 与射线BA 交于点G ．（1）当圆C 经过点A 时，求CP 的长； （2）联结AP ，当AP //CG 时，求弦EF 的长； （3）当△AGE 是等腰三角形时，求圆C 的半径长．图1 备用图参考答案： 1-6, BCCAAB,7,2a a + 8,1x ≠ 9,34x 10,352 11,1k 12,26 13,1314,1(0y k x =-即可）15,23a b - 16,乙 17,-918,19,=20,0;1(x x ==舍）21,(1) 1.2529.75y x =+, (2)37.52,sinB sinCAE B DCB CAE ∠=∠=∠∴==5;cos 4;25sin 2tanCAE 13CD AB BC B AC B CE AC BE BC CE =∴=∴====∴==∴=-=23,求证：四边形ACED 是平行四边形；,//DE //,,ABCD ADB DAC A CDE ABD CDE AC AD CE ADEC BD DCA DCA ∠∴∆≅∆∴∠=∠=∠∠∴∴∠∴＝等腰梯形，为为（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=． //,;,,;DG AD DF ADAD BC GB BE FB BCDF AD DF ADFB BC DFFB AD BCADEC AD CE AD BC BE DF AD DF AD DF FB AD BC DB BE DG DF GB DB ∴===∴=++∴=∴+=∴=⇒=++∴=为24，2517、（本小题满分13分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-。

数学试卷 第1页（共30页）数学试卷 第2页（共30页） 数学试卷 第3页（共30页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）文科数学使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2,{2}0,A -=，2{|20}B x x x =--=，则A B =( )A .∅B .{2}C .{0}D .{2}- 2.13i =1i+-( )A .12i +B .12i -+C .12i -D .12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在.若p ：0()0f x '=；q ：0x x =是()f x 的极值点，则( ) A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4.设向量a ，b 满足|a +b |10=，|a -b |6=，则a b =( )A .1B .2C .3D .55.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = ( ) A .(1)n n +B .(1)n n -C .(1)2n n + D .(1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )A .1727B .59C .1027D .137.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A .3B .32C .1D .328.执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =( ) A .4 B .5 C .6D .79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =+的最大值为( ) A .8 B .7 C .2D .110.设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交于C 于A ，B 两点，则||AB =( )A .303B .6C .12D .7311.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是( )A .(,2]-∞-B .(,1]-∞-C .[2,)+∞D .[1,)+∞12.设点0(,1)M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是( )A .[1,1]-B .11[,]22-C .[2,2]-D .22[,]22-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为 .14.函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 .15.偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -= .16.数列{}n a 满足111n n a a +=-，82a =，则1a = .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共30页） 数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分） 设1F ，2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求a ，b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E ，证明：（Ⅰ）BE EC =； （Ⅱ）22AD DE PB =.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ρθ=，π[0,]2θ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：2y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围.3 / 10{2}A B =，选(1+3i)(1+i)-2+4i ==-1+2ii)(1+i)2【解析】由已知得，22210a a b b ++=，2226a a b b -+=，两式相减得，44a b =，故1a b =。

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2014．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A ．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是图1俯视图侧视图正视图 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 A．3 B．6C ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅ 的值为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.表2H FE DC BA 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：M OHFE DC B A{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM = ……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM = ∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分OHFEDCBA ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C = , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H = ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCFV EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分 ∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时,12x x +≥=当且仅当12x x =,即2x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥- ∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分② 当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分 第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =，∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1. 函数y=log21+x1−x的定义域是________．2. 函数y=cos2x−sin2x的最小正周期T=________．3. 已知全集U=R，集合A={x|x+a≥0, x∈R}，B={x||x−1|≤3, x∈R}．若(∁U A)∩B=[−2, 4]，则实数a的取值范围是________．4. 已知等差数列{a n}(n∈N∗)的公差为3，a1=−1，前n项和为S n，则limn→∞na nS n的数值是________．5. 函数f(x)=|log a x|(a>0，且a≠1)的单调递增区间是________．6. 函数f(x)=−x2(x≤0)的反函数是f−1(x)，则反函数的解析式是f−1(x)=________．7. 方程log2(4x−3)=x+1的解x=________．8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c，且a2+b2−c2=√3ab，则∠C=________．9. 已知x1=1−i（i是虚数单位，以下同）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则实数a=________，b=________．10. 若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是________．11. （文）已知直线l1:2x+y−1=0，l2:x−3y+5=0，则直线l1与l2的夹角的大小是________．（结果用反三角函数值表示）12. （文）已知实数x、y满足线性约束条件{3x−y≥0x+y−4≤0x−3y+5≤0，则目标函数z=x−y−1的最大值是________．13. 某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的7个乒乓球（袋中仅有白色和黄色两种颜色的球），若从袋中随机摸一个乒乓球，得到的球是白色乒乓球的概率是27，则从袋中一次随机摸两个球，得到一个白色乒乓球和一个黄色乒乓球的概率是________．14. 已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)={(12)x，0≤x<2log16x，x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+a⋅f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有7个不同实数根，则a+b的值是________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 已知a、b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（）A a+b≥2√abB ab +ba≥2 C |ab+ba|≥2 D a2+b2>2ab16. 已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l // α”的（ ）A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件17. 已知a 、b ∈R ，a 2+b 2≠0，则直线l:ax +by =0与圆：x 2+y 2+ax +by =0的位置关系是（ ）A 相交B 相切C 相离D 不能确定18. （文） 四棱锥S −ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥S −ABCD 的体积=( )A 24B 18C 8√53D 8三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19. （文） 已知矩形ABB 1A 1是圆柱体的轴截面，O 、O 1分别是下底面圆和上底面圆的圆心，母线长与底面圆的直径长之比为2:1，且该圆柱体的体积为32π，如图所示．（1）求圆柱体的侧面积S 侧的值；（2）若C 1是半圆弧A 1B 1̂的中点，点C 在半径OA 上，且OC =12OA ，异面直线CC 1与BB 1所成的角为θ，求sinθ的值．20. 已知复数z 1=cosx +i ，z 2=1−isinx ，x ∈R ．（1）求|z 1−z 2|的最小值；（2）设z =z 1⋅z 2，记f(x)=Imz （Imz 表示复数z 的虚部）．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得的图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象．试求函数g(x)的解析式．21. 某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=(1+√3)百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75∘，∠AOB=30∘，∠BOC=45∘．设OA=x(3≤x≤6)百米，OC=y百米．（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC最小，并求出其面积的最小值．22. 已知数列{a n}满足a1=1，a2n=a2n−1+(−1)n，a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)．（1）求a3、a5、a7的值；（2）求a2n−1（用含n的式子表示）；（3）（文）记b n=a2n−1+a2n，数列{b n}(n∈N∗)的前n项和为S n，求S n（用含n的式子表示）．23. （文）已知点D(1, √2)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上，且双曲线的一条渐近线的方程是√3x+y=0．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点(0, 1)且斜率为k的直线l与双曲线C有两个不同交点，求实数k的取值范围；（3）设（2）中直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．2014年上海市黄浦区高考数学二模试卷（文科）答案1. (−1, 1)2. π3. a<−44. 25. [1, +∞)6. −√−x(x≤0)7. log238. π69. −2,210. 100π11. artan7)12. −3213. 102114. −115. C16. B17. B18. D19. 解：（1）设圆柱的底面圆的半径为R，依据题意，有AA1=2AB=4R，∴ πR2⋅AA1=32π，∴ R=2．∴ S侧=2πR⋅AA1=32π．（2）设D是线段A1O1的中点，联结D1C，DC，O1C1，则C1O1⊥A1B1，CO // BB1．因此，∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角，即∠C1CD=θ．又R=2，∠C1CD=，∠C1O1D=90∘，∴ DC1=√5，CC1=√69．∴ sinθ=√5√69=√34569．20. 解（1）∵ 复数z1=cosx+i，z2=1−isinx，x∈R，∴ |z1−z2|=√(cosx−1)2+(1+sinx)2=√3+2√2sin(x−π4)．∴ 当sin(x−π4)=−1，即x=2kπ−π4，k∈Z时，|z1−z2|min=√3−2√2=√2−1．（2）∵ z=z1⋅z2，∴ z=z1⋅z2=sinx+cosx+(1−sinxcosx)i．f(x)=Imz（Imz表示复数z的虚部）．∴ f(x)=1−sinxcosx=1−12sin2x，x∈R．．将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后，得到的图象所对应的函数是y1=1−12sinx．把函数y=1−12sinx的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象对应的函数是y=1−1 2sin(x−π2)．∴ g(x)=1−12sin(x−π2)=1+12cosx，x∈R．21. 解：（1）结合图形可知，S△BOC+S△AOB=S△AOC．于是，12x(1+√3)sin30∘+12y(1+√3)sin45∘=12xysin75∘，解得：y=√2xx−2，（其中3≤x≤6）．（2）由（1）知，y=√2xx−2(3≤x≤6)，因此，S△AOC=12xysin75∘=1+√34⋅x2x−2=1+√34[(x−2)+4x−2+4]≥2+2√3（当且仅当x−2=4x−2，即x=4时，等号成立）．∴ 当x=400米时，整个中转站的占地面积S△OAC最小，最小面积是(2+2√3)×104平方米．22. 解：（1）由题意得，a1=1，a2n=a2n−1+(−1)n，a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)，∴ a2=a1+(−1)n=0，a3=a2+31=3，a4=a3+1=4，a5=a4+32=13，a6=a5−1=12，a7=a6+33=39，∴ a3、a5、a7的值分别为：3、13、39；（2）将a2n=a2n−1+(−1)n代入a2n+1=a2n+3n(n∈N∗)，得a2n+1−a2n−1=3n+(−1)n(n∈N∗)，∴ a2n−1−a2n−3=3n−1+(−1)n−1，a2n−3−a2n−5=3n−2+(−1)n−2，…a5−a3=32+(−1)2，a3−a1=31+(−1)1，以上各式累加得，a2n−1−a1=31+32+...3n−1+[(−1)1+(−1)2+...+(−1)n−1]．=3(1−3n−1)1−3+−[1−(−1)n−1]1−(−1)=3n−(−1)n2−2∴ a2n−1=3n−(−1)n2−1(n∈N∗)．（3）（文）由（2）可知，a2n−1=3n−(−1)n2−1(n∈N∗)∴ b n=a2n−1+a2n=2a2n−1+(−1)n=[3n−(−1)n2−1]×2+(−1)n=3n−2(n∈N∗)∴ s n=b1+b2+b3+...+b n=(3−2)+(32−2)+(33−2)+...+(3n−2)=3(1−3n)1−3−2n=12.3n+1−2n−32(n∈N∗)．23. 解：（1）由题知，有{1a2−2b2=1 ba=√3解得a2=13，b2=1因此，所求双曲线C的方程是x 213−y2=1（2）∵ 直线l过点(0, 1)且斜率为k，∴ 直线l:y=kx+1．代入双曲线方程得(3−k2)x2−2kx−2=0．又直线l与双曲线C有两个不同交点，∴ 3−k2≠0且△=(−2k)2+8(3−k2)>0解得k∈(−√6, −√3)∪(−√3, √3)∪(√3, √6)．（3）设点A、B的坐标为(x1, y1)、(x2, y2)．由（2）可得x1+x2=2k3−k2，x1x2=−23−k2又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则k OA⋅k OB=−1，即x1x2+y1y2=0，∴ x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=0，即(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0，∴ −2(1+k2)3−k2+2k23−k2+1=0，解得k=±1．又k=±1满足3−k2≠0且△=(−2k)2+8(3−k2)>0，∴ 所求实数k=±1．。