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机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第5章 两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。
但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。
多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。
本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。
平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。
这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
双质量弹簧系统的自由振动5.1.1 运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。
略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。
两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ⎭⎬⎫=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&&(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成下列形式⎭⎬⎫=+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2)图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统显然此时2212121,,m k d c m k b m k k a ===+=但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121α+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122A A p d c b p a (5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222=----=∆p d cbp a p展开后为0)(24=-++-bc ad p d a p(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。
