机械振动学(第三章)-多自由度振动系统

《机械振动学》教学大纲一、一、课程性质和目标机械振动学是机械设计、制造及自动化专业的一门专业选修课，总学时32，学分3.2。

随着机器生产率的不断提高，导致了载荷的速度和加速度的增加，这就使得机械动力学的问题变得日益突出起来，机械动力学的一个重要组成部分机械振动同样也不会例外。

本课程就是为了适应生产实际的需要，为大学本科高年级学生开设的一门技术基础课。

本课程着重从工程实际的角度对机械振动的有关理论进行讨论，使学生在掌握基本理论的基础上，能够把工程中的实际机械抽象为力学模型，然后在正确的力学模型基础上运用已有的知识进行正确的力学分析，解决一些工程实际的问题，达到学与用的统一。

二、二、先选课程或知识理论力学、材料力学、高等数学、线性代数和相关的专业知识等。

三、三、教学内容基本要求绪论（1学时）第一章第一章单自由度系统的振动（10学时）振动系统的力学模型及自由度的概念；弹性元件的形式和刚度；振动微分方程的推导；无阻尼自由振动；固有频率的计算；粘性阻尼对自由振动的影响；无阻尼受迫振动；具有粘性阻尼的受迫振动；等效粘性阻尼的概念；单自由度系统振动的利用及振动分析；单自由度系统的减动；机械结构的动应力和动刚度的概念。

第二章第二章二自由度系统的振动（8学时）应用动静法建立方程式；应用拉格朗日方程建立方程式；振动方程的一般形式及其矩阵表示法；无阻尼二自由度系统的自由振动；无阻尼二自由度系统的受迫振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的自由振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的受迫振动；二自由度振动系统的利用及振动机械的振动分析；振动机械及测试机器的二次隔振；动力减振原理与动力减振器。

第三章第三章多自由度系统的自由振动（6学时）多自由度系统举例；刚度矩阵与刚度影响系数；柔度矩阵与柔度影响系数；惯性藕联和弹性藕联；固有频率与振型矩阵。

第四章第四章多自由度系统的受迫振动（3学时）无阻尼系统受迫振动的响应；多自由度系统的阻尼。

四、实践性环节基本要求25个自由度系统的计算机辅助振动分析4学时五、课程考核要求由主讲教师自定考核。

机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。

在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。

从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。

用函数关系式来描述其运动。

如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。

其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。

简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。

一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。

如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。

因此在物体运动前加速度是最早出现的量。

可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。

这是简谐振动的重要特征。

在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。

图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。

因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。

二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。

则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。

机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。

振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。

了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。

一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。

在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。

振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。

二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。

在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。

多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。

三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。

工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。

结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。

通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。

我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。

机械振动知识点总结机械振动的研究旨在分析和控制系统的振动特性，以提高系统的性能、减少系统的动态负荷、延长系统的使用寿命，并确保系统在工作过程中的稳定性和安全性。

本文将对机械振动的基本知识点进行总结，包括机械振动的分类、振动系统的建模分析、振动的控制和减振、以及振动的监测与诊断等内容。

一、机械振动的分类1. 根据振动形式的不同，机械振动可分为以下几类：（1）自由振动：系统在没有外部激励的情况下发生的振动，系统内部能量交换导致振幅逐渐减小直至停止，如钟摆的摆动。

（2）受迫振动：系统受到外部激励作用而发生的振动，外部激励可以是周期性的或非周期性的，如机械系统受到周期性力的作用而发生的振动。

（3）共振：当受迫振动的频率与系统的固有频率相近或一致时，系统的振幅将迅速增大，甚至造成系统破坏的现象。

2. 根据振动的传播方式，机械振动可分为以下几类：（1）固体振动：振动是在固体介质中传播的，如机械结构的振动。

（2）流体振动：振动是通过流体介质（如液体或气体）传播的，如管道中的水波振动。

（3）弹性振动：振动是由于材料的弹性变形而产生的，如弹簧振子的振动。

二、振动系统的建模分析1. 振动系统的建模方法（1）单自由度振动系统的建模：利用牛顿第二定律，可以建立单自由度振动系统的等效质点模型，然后通过能量方法或拉氏方程等方法，可以求解系统的振动特性。

（2）多自由度振动系统的建模：对于多自由度振动系统，可以利用连续系统的离散化方法，将系统离散化为多个质点的集合，并建立相应的动力学模型，然后求解系统的振动特性。

2. 振动系统的分析方法（1）频域分析：通过对系统的动力学方程进行傅里叶变换，可以将系统的运动响应转换到频域中进行分析，得到系统的频率响应特性。

（2）时域分析：通过对系统的动力学方程进行积分，可以得到系统的时域响应，包括系统的位移、速度、加速度等随时间的变化规律。

（3）模态分析：通过对系统的模态方程进行求解，可以得到系统的固有频率和振型，以及相应的阻尼比和阻尼比比例。

一、单自由度系统的振动2()()0()(nmx t kx t x t w x t +=⇔+120)cos sin cos n n A w t A w t x =+=2()()()0()2()()0n n mx t cx t kx t x t w x t w x t ξ++=++= 211)(nn w t w t e X e ξξ--=+自然频率 阻尼率 22n c c mw mkξ==w 2()2()(()cos(n n nw td x t w x t w x t t C ew t ξξψ-++=-：尼激0 ()cos(n x t C w t =-幅频曲线及其特性 ()H w 1：此时力与位移相位相反sin nwt c =/2/22T T T -=⎰周期函数将失去周期性，而离散频谱将转化为连续谱，此时傅里()()(mx t cx t kx t ++21)[1(/)n n c k w w ∞==-∑00sin n dx x ξωω+0sin n n x t ωω +自由振动是强迫振动的基础，任一时刻的强迫振动响应其实只是该时刻前被激起的一系列自由振动的叠加。

2()2()()n nx t w x t w x t ξ++=1()()()2iwtt H w F w e dw π+∞-∞=⎰()()()mx t cx t kx t ++=拉普拉斯变换：()(0)(()()()F s mx ms X s D s D s ++=+拉氏反变换：11()[()]2jw jwx t L X s j γγπ+--==⎰牛顿第二定律、定轴转动方程、能量原理、拉格朗日方程一般情况采用解析法求解，对于非线性方程，常采用数值方法求解振动系统反作用力近似为位移和速度的函数：)x 泰勒展开并取cx 结论：弹簧刚度与阻尼系数实际上是泰勒展开式中定义：单位位移所需要的力。

弹簧串联、并联，关键在于共力还是共位移用积分计算结构运动时的动能，得到某结构的等效质量/d m ；经变形法；能量法：max V不变，响应振幅与激振力振幅正比，为滞后激励多少，Ψ初相位微小的阻尼就可以限制振幅的无限扩大共振需要一个较长的建立过程，机器需有足够的加速功率顺利通过共振区。

汽车多自由度振动系统动力学分析1 题目说明图1所示为包含动力总成和乘员座椅的7自由度汽车整车振动动力学模型。

模型参数如表1所示。

图1 汽车7自由度振动模型表1 振动模型参数列表项目参数说明车身参数符号物理意义数值单位bm车身质量3193 kg bI车身绕惯性轴的转动惯量7000*^2kg m悬架参数fk前悬架刚度96600/N m fc前悬架阻尼45200/Ns m fl前悬架到质心的距离 1.792m rk后悬架刚度150000/N m rc后悬架阻尼45200/Ns m rl后悬架到质心的距离 1.19m轮胎参数tfm前轮胎质量60kg tfk前轮胎刚度520000/N m trm后轮胎质量60kg根据上述模型说明及参数定义，进行以下规定内容的建模、计算与分析工作，撰写计算分析报告并进行分组汇报。

具体要求如下：（1）建模、计算与分析内容要求●采用适当的方法建立图1汽车多自由度振动系统的振动微分方程，并整理为矩阵表达方式。

●利用计算机仿真计算的方法求出系统的固有频率和模态振型（需要提供动画显示效果）；●建立从前轮路面不平度位移输入到座椅振动加速度间，及后轮路面不平度位移输入到动力总成俯仰角振动位移间的频率响应函数计算工时，以绘图方式进行显示，同时分析其特征。

●假设车辆通过图示的路面不平凸块，在车速为10m/s时，计算座椅的垂向加速度响应、车身质心位置的垂向加速度和俯仰角位移响应、动力总成质心的垂向加速度和俯仰角响应（时域），绘图病予以分析；●分析不同车速下（0-30m/s）对车辆通过所规定凸块的振动响应的影响机制。

●在此基础上，探讨动力总成悬置系同的固有特性与整车悬架系统固有振动特性之间的配置对振动响应的影响。

提示：（2）提交物及要求每个小组由组长负责提交并组织实施以下内容：●计算分析报告电子版本和打印版本各1份，格式规范，内容完整，须包括内容概要、数学建模、计算机仿真、结果分析、参考文献等基本内容，同时须将计算源程序以附录形式作为整个报告的一部分。

机械振动教学设计样例教学设计样例：机械振动教学目标：1. 了解机械振动的基本概念和原理；2. 掌握机械振动的基本方程和解法；3. 能够运用机械振动的知识解决实际问题。

教学内容：1. 机械振动的概念和分类；2. 简谐振动的基本概念和公式；3. 单自由度振动系统的分析方法；4. 多自由度振动系统的概念和解法。

教学过程：第一节：机械振动的概念和分类（40分钟）步骤1：引入概念（10分钟）-通过实例和图片引入机械振动的概念，如钟摆、弹簧振子等；-介绍机械振动的分类，包括简谐振动、非简谐振动等。

步骤2：简谐振动（15分钟）-介绍简谐振动的概念和特点；-讲解简谐振动的基本方程和表示方法，如x=Acos(ωt+φ)；-通过示波器演示简谐振动的图像。

步骤3：非简谐振动（15分钟）-介绍非简谐振动的概念和特点；-通过实例分析非简谐振动的原因；-讨论非简谐振动对系统的影响。

第二节：单自由度振动系统的分析方法（40分钟）步骤4：单自由度振动系统的建模（10分钟）-通过实例引入单自由度振动系统的概念；-讲解单自由度振动系统的建模方法。

步骤5：平衡位置和势能（10分钟）-介绍平衡位置和势能的概念；-讲解势能函数和势能曲线的概念；-通过实例计算势能函数和势能曲线。

步骤6：简谐振动的解法（20分钟）-介绍简谐振动的微分方程；-讲解简谐振动的解法，包括拉普拉斯变换法和复数法；-通过实例演示简谐振动的解法。

第三节：多自由度振动系统的概念和解法（40分钟）步骤7：多自由度振动系统的概念（10分钟）-介绍多自由度振动系统的概念和特点；-通过实例引入多自由度振动系统的建模方法。

步骤8：多自由度振动系统的解法（25分钟）-介绍多自由度振动系统的微分方程；-讲解多自由度振动系统的解法，包括模态分析法和矩阵法；-通过实例演示多自由度振动系统的解法。

步骤9：作业布置和讲解（5分钟）-布置相关的习题和实践作业；-解答学生提问和讲解作业答案。

教学评价方法：1. 课堂提问：通过提问学生的理解程度和应用能力；2. 作业评价：根据学生完成的习题和实践作业进行评价；3. 实验报告：要求学生完成机械振动实验并撰写实验报告，评价实验操作和实验分析能力。