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实验10 二自由度系统的各阶固有频率与主振型一、实验目的1．学会用共振法确定二自由度系统的各阶固有频率。
2．观察二自由度系统的各阶振型。
3．将实验测得的各阶固有频率和振型与理论结果进行比较。
二、实验装置与仪器1．机械振动与控制实验台。
2．磁电式非接触激振器（JZF-1型）。
3．激振信号源（SJF-3型）。
4．重锤两个（1kg 与2kg 各一个），磁性表座，两质量块的钢丝绳一根，螺丝刀。
图4-12-1 二自由度横向振动系统的装置简图三、实验原理二自由度系统的装置示意如图4-12-1所示，两个质量块、m 的质量均为m （集中质量），钢丝绳的张力可以通过改变重锤的重量来调节，从而构成一个弦上有集中质量的横向振动系统，不计钢丝绳的质量，便将无限自由度系统简化为二自由度系统的模型，具有两个固有频率。
在激振力作用下，系统发生振动，该振动是两个主振型的叠加。
当激振频率等于某一阶固有频率时，系统的振动形态就是该阶固有频率的主振型，而另一阶振型的影响可以忽略不计。
A mB 在测定系统的固有频率时，需要连续调节激振频率，使系统出现某阶振型且振幅值达到最大，这时的激振频率就是该阶的固有频率。
由振动理论，两个集中质量的运动系统可由以下方程描述：0=+KX XM &&其中质量矩阵为：mm 00=M 刚度矩阵为：21123/6/3/3/6−−=−−=L T L T L T L T L T K 位移矩阵为：21x x X =系统的一阶固有频率为：mLT 31=ω 或者 mL T f 3π211= 系统的二阶固有频率为：mLT 92=ω 或者 mL T f 9π212= 在以上各式中， =0.0045kg 为集中质量， m T 为弦丝张力（N ）， =L 0.625m 为弦丝长度。
各阶主振型分别为()111++=A 以及()112−+=A ，参见图4-12-2。
（a ） （b ）图4-12-2 二自由度系统的一阶主振型（a ）和二阶主振型（b ）四、实验方法1．将磁电式非接触激振器接入激振信号源输出端，把激振器对准其中任一个质量块，保持一定的间隙（8—10mm ），使得振动时激振器与质量块不会发生碰撞。
机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
