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目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。
关键词：含参变量，积分函数，分析性质。
Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。
教材和参考书教材：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
