1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
400x x -≥⎧⎨
≠⎩ 即
40x x ≤⎧⎨
≠⎩
所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U .
(2)要使函数有意义,必须
30lg(1)010x x x +≥⎧⎪
-≠⎨⎪->⎩ 即
301x x x ≥-⎧⎪
≠⎨⎪<⎩
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U .
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤
即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π
66k x k +≤≤+,(k 为整数).
也即ππππ
66k x k -+≤≤+ (k 为整数).
所以函数的定义域是ππ
[π,π]
66k k -++, k 为整数.
3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x 可以是不为零的任意实数,此
时,
1sin
x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=
=+--1111().111x x f x x x --==++ 5.解: 1,
1101,01(1).
(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩
6.解: ()
ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅
()2(())22,
(())()ln ()ln ln(ln ).x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
7. 证:由
3
21y x =-
解得x =
故函数3
()21f x x =-
的反函数是
)y x =
∈R ,
这与
()g x =数,所以
3
()21f x x =-
和()g x =
.
8. 解: (1)由
11x y x -=
+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x -=≠-+.
(2)由ln(2)1y x =++得1
e 2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为
1
e 2()x y x -=-∈ R . (3)由25
3x y +=解得31
(log 5)2x y =
-
所以,函数25
3x y +=的反函数为31
(log 5)(0)2y x x =-> .
(4)由
3
1cos y x =+
得cos x =又[0,π]x ∈,
故x =又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为(02)y x =≤≤.
9. 解
: (1)()()f x f x -===Q
()f x ∴=.
(2)
222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x
f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-Q ∴函数22e e sin x x
y x -=-+是奇函数.
10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2
01x
x ≤+,当0x >时,有
2
1
122x x x x ≤=+,
故(,),x ∀∈-∞+∞有
12y ≤.即函数21x y x =
+有上界. 又因为函数
21x y x =
+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数
21x y x =
+有界.
又由
121212122222
1212()(1)
11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <.
故函数
21x
y x =
+在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ∀>∃>Q 且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>,
所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.
11. 解: (1)124
(1)y x =+是由12
4
,1y u u x ==+复合而成. (2)2sin (12)y x =+是由2
,sin ,12y u u v v x ===+复合而成.
(3)5
12(110
)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.
(4)
1
1arcsin 2y x =
+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;
又每批有产品610x 件,库存数为6
102x 件,库存费为6100.052x ⨯元.
设总费用为,则63
100.05102y x x ⨯=+
. 14. 解: 当x 能被20整除,即[]20
20x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=
; 当x 不能被20整除时,即[
]2020x x ≠
时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.
综上所述有
,02000;2520
200.80,02000.
1202020x x
x x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨
⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且
