高等数学复旦大学出版社课后习题集规范标准答案

1. 利用定义计算下列定积分： （1）d ();bax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得22122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a n b a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .x x ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==- 记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ== 则和式111()innni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n nn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 3. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.x x ≤≤⎰4. 证明： （1） 12lim0;nn x →∞=⎰证明：当12x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是11120110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：12lim 0.nn x →∞=⎰(2) π4limsin d 0.n n x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰5.计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x ==-.221(2)d x x x --⎰;解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 解：原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解：原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=6. 计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 7. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 8. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 c o s s i n 1xy x '=-.9. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭解：原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n xnn n →+∞⎛⎫+++ ⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰21(2)limn n →+∞解：原式13200122lim ..33n x x n →+∞====+⎰ 10. 求下列极限：203ln(12)d (1)lim;xx t tx →+⎰解：原式21222300ln(12)22lim limln(12).333x x x x x x →→+==+=2220020e d (2)lim .e d x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解：原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使201limsin x bx t c x ax →=-⎰ 成立. 解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰.(2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰;解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx-⎛ ⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c-=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解：原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰; 解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=22arctan.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e5xc --+.12x -解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=2sin .c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=ln .c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.(21)x ;解：原式=12222d 1112(94)d(94)arcsin .2823x x x x c -⎛⎫ ⎪+--=+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰⎰arcsin .xa c a=⋅- d (23)e ex xx-+⎰; 解：原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式23(2.3x c x-=+(27)100d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) ;x 解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =+.(30)解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② － ① = ln |sin t +cos t | + c 2 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰1012cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d x x x -⎰;解：原式=dee e d e e .xx x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：ecos d e d sin e sin e sin d xx x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e d cos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;102解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x =----+(10)x ⎰.解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+17. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1xx +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰10332118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 2d 1x x x x x x ⎛=+-+⎝⎰⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=+故原式=1)x c -+.18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：104d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=+验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;105解：1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=++⎰验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;106解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sind cos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x xn n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.107解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰20. 计算下列积分：4(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e 1(2)⎰;解：原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰1(3);解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== π40sin (4)d 1sin xx x+⎰;108解：原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x xx x x x xx -=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ ln3ln 2d (5)e e x xx--⎰;解：原式=ln 3ln 32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x -==-+⎰(6)x ⎰;解：原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02xx==(7)x ⎰;解：原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=231(8)ln d x x x ⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解：ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.109120ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解：原式=111000111ln(1)ln(1)dd 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰ 101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰322d (11)2xx x +-⎰; 解：原式=3322111111d ln ln 2ln 5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰; 解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 212(14)e d t t t -⎰;解：原式=221212200ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰21. 计算下列积分（n 为正整数）：110（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342,253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数. (2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tan tan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 22. 证明下列等式：232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立.(2)若()[,]f x c a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.23. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰111解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数， 故s i n d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(aax x -⎰;解：因为ln(ln(x x -=-+即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln3xx+-是奇函数，故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰24. 利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰112故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令25. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos 1.bbb b b x b x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;113解：原式=()e e 011πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰解：原式=110+⎰21212211121202lim 2lim πππlim arcsin lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x k k +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰. 解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b kk b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散.28. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x x x x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .xx x +∞⎰114解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求c .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x c x c xc --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πc =. 30. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.*31. 计算下列广义积分的柯西主值：(1) V.P.x +∞-∞⎰;115解：原式=0lim AA x x -→+∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰lim lim 0.11A A A →+∞→+∞⎤=⎦==+212d (2) V.P.ln xx x⎰; 解：原式=121211001212d d lim lim ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰01lim ln ln(1)ln ln ln 2ln ln(1)0.ln 2εεε+→⎡⎤=--+-+=⎢⎥⎣⎦2d (3) V.P.32xx x +∞-+⎰; 解：x =1, x =2是奇点. 故 原式1222201200d d d lim323232b n b x x x x x x x x x εηεηε++--++→→→+∞⎡⎤=++⎢⎥-+-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 120000120222lim ln lim ln lim ln 111bb x x x x x x εηεεηεηη++++--→→→++→∞→⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0000112lim ln ln 2lim ln ln lim ln ln 1111ln 2ln .2b b b εεηηεηεηεηεη++++→→→→∞→⎡⎤⎡⎤+--⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=30d (4) V.P.1xx-⎰. 解：原式=1313010001d d lim lim ln ln 1111xx x xx x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤=--+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ []0lim ln 2ln ln 2ln εεε+→==---+.。

习题7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M(-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z)，则(1) 由x-1=0，y+2=0，z+3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2) 由x=-1，y+2=0，z+3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x=-1，y=2，z+3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.解: 设所求的点为M(0，0，z)，依题意有|MA|2=|MB|2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z=11，故所求的点为M(0，0，149). 4. 证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a=2,b=－3,c=5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z ++=-。

6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为Ay+Bz =0.又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A-B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y-3z =0.7. 求平行于y 轴且过M1(1,0,0)，M2(0,0,1)两点的平面方程.解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为Ax+Cz+D=0.又点M1和M2都在平面上，于是可得关系式：A=C=－D,代入方程得：－Dx －Dz+D=0. 显然D≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x+z －1=0.8. 方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0方程。

8-11. 解：23(224)(393)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c2. 证明：令四边形四顶点为A 、B 、C 、D ，,==AC a BD b 且AC 与BD 相交于点O .因为 22=-=-a b AB AO BO 22=-=-a bDC OC OD所以 =AB DC 同理=BC AD因此，对角线互相平分的四边形是平行四边形. 3. 解：11()()5=-+=-+a D A AB BD c222()()5=-+=-+a D A AB BD c 333()()5=-+=-+a D A AB BD c 444()()5=-+=-+a D A AB BD c 8-21. 解：(1)当a 与b 分别为正方形两邻边时+=-a b a b (2)当//a b 且a 与b 同向时+=+a b a b (3)当a 与b 同向时=a b a b2. 解：3(5)3(235)51010-=++--+=-+-a b i j k i j k i j k 故与3-a b 同方向的单位向量为510101223335144-+--=+-++i j k i j k 3. 解：因为 //a b 所以511,15,315m m n n ====- 4. 解：平行于a 的单位向量为67667611364936+-+-±=±++i j k i j k5. 解：令M 坐标为(,,)x y z111222(,,)(,,)x x y y z z x x y y z z λ---=---111222,,x x y y z z x x y y z zλλλ---===--- 121212,,111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++故M 坐标为121212,,111x x y y z z λλλλλλ+++⎛⎫⎪+++⎝⎭ 1λ=时，M 位于12M M上的中点位置.6. 解：合力设为F因此 12468=+=++F F F i j k又知 //,(1,2,193)(1,p q p q =-+-=-+M N F M N故1216,9,10468p q p q -+==== 7. 解：12(1,2,1)M M =--因此 121212M M =++=121cos ,cos ,cos 222αβγ-==-= 2π3ππ,,343αβγ=== 8. 解：设终点为(,,)x y z(2,,1)x y z =-+a2211111cos ,cos ,cos 13232442x y αβγ-=====--=7312,,2232z x y +===± 终点为7332(,,1)222-±3332(,,)222=±a 9. 解：(1)设终点为(,,)x y z(2,,5)(3,1,2),5,1,x y z x y z -+=-==-=-, 终点为(5,1,3)--.(2)设起点为(,,)x y z(2,1,7)(4,4,7),2,3x y z x y z ----=-=-== 起点为(2,3,0)- 10. 解：设B 坐标为(,,)x y z-217(2,1,7),8912x y z AB x y z λ+-=-+-===- 且因为 34AB =所以222648114434,2λλλλ++== 故B 坐标为(18,17,17)-8-2(2)1. 解：(1)(4,2,4)(6,3,2)38⋅=-⋅-=a b (2)32(12,6,12)(12,6,4)(0,0,8)-=---=a b2(4,2,4)(12,6,4)(18+=-+-=-a b (32)(2)6-⋅+=a b a b (3)3819cos(,)6721⋅===⋅a b ab a b19(,)arccos 21=ab2. 解：(32)3⋅=+-⋅=a i i j k i(32)2⋅=+-⋅=a j i j k j (32)1⋅=+-⋅=-a k i j k k3. 证明：因为(3,2,1)(2,3,0)0,⋅=⋅-=⊥所以a b a b4. 证明：令1111(,,)x y z =F 2222(,,)x y z =F 12121212(,,)x x y y z z +=+++F F12121212(,,)x x y y z z -=---F F 且1212()()0+⋅-=F F F F即2222221212120x x y y z z -+-++= 22222211112222x y z x y z =++=++=F F故两力大小相等.5. 解：()()+⨯-=⨯+⨯-⨯-⨯a b a b a a b a b b a b22sin(,)24=⨯=⋅=b a b a ab 6. 解：2π3sin12332⨯==⨯⨯=a b a b 7. 解：力矩(2,3,4)(2,1,3)M BA F =⨯=-⨯-2345148213=-=---ij ki j k 8. 解：1311055213=⨯=--=--+-i j kc a b i j k故2e 6--+=±=±c c i j kc 9. 解：362203010=-=--+ijkc i j k 故所求向量为2333(23)4913-+±⋅=±-++i k i k 10. 解：60,60,45αβγ=︒=︒=︒因此112cos ,cos ,cos 100210021002y x z F F F αβγ=====(,,)(50,50,502)x y z F F F ==F()(50,50,502)(1,3,32)500()W MP =⋅=⋅=焦F11. 解：Δ12OAB S =⨯OA OB 1033011⨯==--+i j kOA OB i j kΔ11191122OAB S =++=12. 解：23185113⨯=-=--+-ijka b i j k()(8,5,1)(1,2,0)2⨯⋅=--⋅-=a b c8-31.解：设平面法向量为n可取01023312==+-ij kn i k 故平面方程为2(3)0(1)3(2)0,230x y z x z ++-+-=+=即. 2.解：设平面法向量为n可取135862111==-+--i j kn i j k故平面方程为8(1)6(1)2(1)0,4360x y z x y z --++-+=-+-=即 3.解：设平面在y 轴上截距为b故平面方程为122x y z b b b++= 将(1,2,1) 2.b -=代入，得平面方程为1424x y z ++= 4.解：(1,4,1),(3,3,3)=-=--AB BC显然λ≠AB BC ，故B C A 、、不在同一直线上.可取平面法向量141909333=⨯=-=-+--ij kn AB BC i j k 故平面方程为9(1)9010.x z x z -+=+-=，即 5. 解：(1)平面平行知12//n n ，因为23218613l m l m ===-=--，， (2)两平面垂直可知12⊥n n 所以 (3,5,)(1,3,2)06l l -⋅==， 6.解：设平面法向量为(,,)A B C =n由(1,0,0)A ⊥，知=0n可设平面方程为(0)(2)0B y C z -++= 即 20By Cz C ++= 将(5,1,7)9B C =-代入，得 平面方程即为920y z -++=7. 解：可取直线方向向量(1,5,2)(0,5,1)15255051=-⨯-=-=-++-i j ks i j k易知(8,1,7)-在直线上 故点向式方程为817515x y z +--==- 参数式方程58157x t y t z t =--⎧⎪=+⎨⎪=+⎩8.解：可取直线方向向量为1123121=-=-+-ij kS i j k直线方程为+121311x y z --==- 9.解：可取平面向量为1213211=-=----ij kn i j k平面方程为1(2)(1)3(1)0x y z ------= 即 360x y z ++-= 10.解：可设这两平面为1122x y z ++=及1212x y z ++=- 即220x y z ++-=及220x y z +--= 设两平面夹角为θ 则2222222.1 1.2 1.11cos 2211121θ+-==++⋅++，π3θ=11.解：设平面法向量为(,,)A B C =n因为 平面过两直线所以 可设该平面方程为(3)(2)0A x B y Cz ++++= 且 (,,)(3,2,1)A B C ⊥-，即320A B C -+=(3,4,1)---在平面上，即20B C --= 所以 43A B =，2C B =- 平面方程即为4(3)(2)203x y z +++-=即436180x y z +-+=12.解：可取直线方向向量312463632=-=+--ij ks i j k 令直线与三坐标轴夹角为,,αβγ463cos ,cos ,cos 616161αβγ== 463arccos,arccos ,arccos616161αβγ=== 13.解(1)(2,7,3)(4,2,2)81460-⋅--=-+=直线//平面 令343273x y z t ++-===- 则23,74,33x t y t z t =-=-=-+代入平面方程，易知等式不成立，故直线与平面无交点. 因此直线//平面.(2)因为 直线方向向量(3,2,7)=-s 平面法向量(3,2,7)=-n 即=s n所以直线⊥平面. 14.解：令32321x y zt ++===- 33,22,x t y t z t =-=--=，代入平面方程得 3344260,13t t t t ---+-==交点为(36,28,13)- 设夹角为ϕ 则2222234222sin ,arcsin130130341122ϕϕ-+===++++8-41. 解：(1)配方可得22221(2)(1)()22x y z ++-++=球心为1(2,1,)2--，半径为2 (2)配方可得22211()416x y z ++-=球心为1(0,0,)4，半径为142. 解：设动点为(,,)x y z ,222222(2)(3)3(4)(6)(6)x y z x y z -+++=-+++-得22222(2)(3)9(4)(6)(6)x y z x y z ⎡⎤-+++=-+-+-⎣⎦即222888681081147790x y z x y z ++-+-+=为动点轨迹. 3. 解：圆在5z =±平面上，且圆在平面上方程为2223x y +=综上可知圆方程为22235x y z ⎧+=⎨=⎩或22235x y z ⎧+=⎨=-⎩4. 解：(1)是旋转曲面，由220490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转而成 (2)是旋转曲面，由220x y z ⎧+=⎨=⎩绕x 轴(y 轴)旋转而成(3)不是(4)是旋转曲面，由22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成 (5)是旋转曲面，由10y x =±⎧⎨=⎩绕z 轴旋转而成(6)不是5. 解(1)球心为(1,0,1)-，半径为1的球面(2)单叶双曲面(3)双叶双曲面(4)中心在原点的椭球面 (5)以z 轴为轴的圆柱面 (6)圆锥面(7)母线平行于z 轴的抛物柱面 (8)中心在原点的椭球面.6. 解：在0x =上截痕为2214250z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,为——双曲线在0y =上截痕为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，为椭圆 在0z =上截痕为2219250x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，为双曲线地1z =上截痕为22392541x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩,为双曲线在5y =上截痕为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，为椭圆 在22z =上截痕为22192522x y z ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，为双曲线7. 解：消去z 得221x x y -+=故在xoy 平面上投影曲线为2210x x y z ⎧-+=⎨=⎩8. 解：22222222222211(1)(1)1221x y z x y z x y z x y y z z ⎧⎧++=++=⇒⎨⎨+-+-=+-+-=-⎩⎩222y z ⇒--=-即1z y =-故222(1)1x y y ++-=即22220x y y +-=在xoy 平面上投影曲线为222200x y y z ⎧+-=⎨=⎩自测题八1. (1)3 (2)12λ=(3)2, 23j k --, (4)2π3,-3 (5)-3,0,0 (6)-1,1 (7)(1,-1,0),3 (8)2225x y z ⎧+=⎨=⎩2. (1) A (2)A (3)B (4)C (5)C (6)D (7)A (8)D3. 解：(1)设(,,)x y z a a a =a1cos ,122x x x a a a α====a 1cos ,122y yy a a a β===-=-a2222,2x y z z a a a a ++==±(1,1,2)=-a 或(1,1,2)--1(1,1,2)2=-a e 或1(1,1,2)2-- 4. 解：(1)(32)(5)(211)(17519)219-⋅+=--⋅++=-a b a b j k i j k (2)(2)(2)(6)(72)-⋅+=--⋅++a b a b i j k i j k1164448712=--=-+ij ki j k5. 解：(2,2,3),(4,0,6)=--=AB AC2231224846⨯=--=--+i j k AB AC i j k所以1142ABC S ∆=⨯=AB AC 6. 解：可取平面法向量为11123211=-=-++ij kn i j k 平面方程为2(1)(1)3(1)0x y z --+++-=即230x y z --= 7. 解：可取直线方向向量为(1,1,2)=-s直线方程为238112x y z --+== 8. 解：令221312x y z t +-+===- 32,2,21x t y t z t =-=-+=-，代入平面方程64366380t t t --++--=，1t =故交点为(1,1,1)夹角正弦为9977sin 154914491θ⋅===⋅++++n s n s 9. 解：绕x 轴旋转得2222544100x y z ++= 绕y 轴旋转得22225425100x y z ++=9-11. 解：(1)222222(,)()2y y y f x y x y x xy y x x x ⎛⎫+=+-=++- ⎪⎝⎭(2)令,,y u x y v x =+=则,11u uvx y v v==++， 222221(,)11(1)u uv v f u v u v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2221(,)(1)y f x y x y -=+ 2. 解：222πarctan()arctan194πarctan()16arctan 33x y z x y ⎛⎫⎪⎡⎤+⎛⎫==== ⎪⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭3. 解：22222(1,)1yy xy x f x x y y x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭4. 证明：因为(,)F x y xy =(,)()()F ax by cu dv ax by cu dv ++=++acxu bcyu adxv bdyv =+++(,)(,)(,)(,)acF x u bcF y u adF x u bdF y v =+++ 证毕5. 解：(1)220x y -≠故定义域为{}22(,)0x y x y -≠(2)110y xx ⎧-≤≤⎪⎨⎪≠⎩故定义域为(,)10y x y x x ⎧⎫≤≠⎨⎬⎩⎭且 (3)2480y x -+>，故定义域为{}2(,)480x y y x -+>(4)000x y z >⎧⎪>⎨⎪>⎩，故定义域为{}(,,)000x y z x y z >>>且且 6. 解：(1)0022sin sin limlim 2x x y y xy xyy x xy →→→→=⋅=(2)0000241limlim 4(24)x x y y xy xy xy xy xy →→→→-+-==-++(3)令y kx =则233330000lim lim 11x x y y x y k kx y k k →→→→==---极限值与k 值有关，故该极限不存在.(4)0,1x y →→时2210,sin1xy x y→<+ 所以22011lim sin0x y xy x y→→=+ 7. 解：(1)220x y +=时函数无定义，故函数在(0,0)处间断.(2)0x y -= 时函数无定义，故函数在y x =处间断.(3)220y x -= 时函数无定义，故函数在抛物线22y x =处间断.9-21. 解 2(1,0)1102(1,0)1102x y x f y x x--===++ 2(,1)11122(,1)12122y x x x f x y x x x xx===+++2. 解：(1)2sec 11tan sin cos xz y x x xx y y y y y ∂=⋅=∂ 222sec tan sin cosxz x x y x x x y y y y y y ∂--=⋅=∂(2)22111cos cos sin sin cos cos sin sin z y y x y x y y x y x y y x x y x y y x x y x∂⎛⎫=--=+ ⎪∂⎝⎭ 21cos cos sin sin z x x y x y y y y x x y x ∂=--∂(3) 12122(1)(1)yy y y y yx z yx x x x x x -∂==∂++ 21ln ln 22(1)(1)yy y y y x xz x x y x x x ∂==∂++(4) 111,ln ln (ln )z z y x x y y x y y x y ∂∂===∂+∂++ (5) 221sin cos sin 2cos 22z y y y x y y x x y x x x x x x x x∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-⋅=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ 11cos cos z y yx y x x x x∂=⋅=∂ (6)[]e cos()e sin()e cos()sin()x y x y x y zx y x y x y x y x+++∂=---=---∂ []e cos()e sin()e cos()sin()x y x y x y zx y x y x y x y y+++∂=-+-=-+-∂ (7)sec()tan(),sec()tan()z zy xy xy x xy xy x y ∂∂=∂∂(8)2222222221,11y z y z x x x y y xx y y x y x x-∂-∂====∂+∂+++ (9)2222222222cos(),2cos(),2cos()u u ux x y z y x y z z x y z x y z∂∂∂=++=++=++∂∂∂ (10)12ln ln ,,yy y z zzu yu x x u yx xx x zy z z z-∂∂∂===∂∂∂- 3. 解：设角度为α则(2,4,5)22πtan 1,44x z x x αα=∂===∂4. 解：设角度为β则22(1,1,3)(1,1,3)3πtan ,361z y y x y ββ∂====∂++5. 证明：21πππ,π2222lT T l gg l g l gl l g gg g-∂∂-====∂∂ π-π02T T l l lg l g g g∂∂+=+=∂∂ 证毕 6. 解：(1)2122,2ln y y z zyx x x x y-∂∂==∂∂ 2222222222(21),2ln 2ln 4ln y y y z z y y x x x x x x x y-∂∂=-=⋅⋅=∂∂ 2221212124ln 2(12ln )y y y z zx y x x x y x x y y x---∂∂==+⋅=+∂∂∂∂ (2)22,1()1()z y z xx y xy xy ∂∂==∂∂-- 2223322222221()1()(1)xy y xy zxy x xy x y --⋅-∂==∂--2222332222222211(1)x yx x y zx yy x y x y --⋅-∂==∂--2222222322222212111(1)x y x y yx y z zx y y x x yx y ----∂∂===∂∂∂∂--(3)e ,e xy xy z zy x x y∂∂==∂∂ 222222e ,e ,e (1)xy xy xyz z z z y x xy x y x y y x∂∂∂∂====+∂∂∂∂∂∂ (4),x y x y xyz e z e x e e y e e ∂∂==∂+∂+ 2222()()()x y x x x x yx y xy z e e e e e e x e e e e +∂+-⋅==∂++ 2222()()()y x y y y x yx y xy z e e e e e e y e e e e +∂+-⋅==∂++ 2222()()x y x yx y xy z z e e e x y y x e e e e +∂∂-⋅-===∂∂∂∂++ (5)222222,2,2x y z x y z x y z uu u e ye ze x y z++++++∂∂∂===∂∂∂ 22222222222222e ,2e (12),2e (12)x y z x y z x y z u u u y z x y z ++++++∂∂∂==+=+∂∂∂ 222222222e ,2e x y z x y zu u u u y z x y y x x z z x ++++∂∂∂∂====∂∂∂∂∂∂∂∂22224e x y z u uyz y z z y++∂∂==∂∂∂∂ 7. 证明：因为2()(,)sin ab tT x t ebx -=所以22()2()cos ,()sin ab t ab tT T be bx ab e bx x t--∂∂==-∂∂ 222()2sin ab t T b e bx x -∂=-∂222()sin ab t Ta b e bt t -∂=-∂2222()22(sin ),ab tTa b ebt a x -∂=-=∂ 证毕9-31. 解：3222,3z zxy x y x y∂∂==∂∂ 所以21d 4d 12d (4)0.02120.010.04x y z x y ===-+=-⨯+⨯=23232()()0.040792z x x y y x y ∆=+∆+∆-=2. 解：(1)223122,z z xxy x x y y y∂∂=+=-∂∂ 22312d (2)d ()d x z xy x x y y y=++- (2)e ,e xy xy z zy x x y∂∂==∂∂ d e (d d )xy z y x x y =+(3)424222,z xy z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+ 2421d (2d )d z xy x x y x y=-+ (4)222222,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+ 221d (d d )z x x y y x y =++(5)cos()sin(),sin()z zx y x x y x x y x y∂∂=-+-=-∂∂ []d cos()sin()d sin()d z x y x x y x x x y y =-+-+-(6)22222222221,,()()u xz u yz u x x y y x y z x y ∂-∂-∂===∂+∂+∂+ 222221d 2d 2d ()d ()u xz y yx y x y z x y ⎡⎤=--++⎣⎦+ (7)222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z ∂∂∂===∂++∂++∂++ 2222d (d d d )u x x y y z z x y z =++++(8)1,ln ,ln yz yz yz u u u yzx zx x yx x x y z-∂∂∂===∂∂∂ d d ln d ln d yz yz u x x z x y y x z x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3. 解：设3300,1,2,0.02,0.03u x y x y x y =+==∆=∆=-22333333,,d 22u x u y u u x y x y x y ∂∂==∆≈∂∂++ 所以00033330000()()d d x x x x y y y y u u x x y y x y x y x y====⎛⎫∂∂ ⎪+∆++∆≈+++ ⎪∂∂⎝⎭即331(1.02)(1.97)30.0220.0330.05 2.952⎛⎫+≈+⨯-⨯=-= ⎪⎝⎭4. 解：令00,1,2,0.04,0.02y u x x y x y ===∆=∆=1,ln ,d y y u u yx x x u u x y-∂∂==∆≈∂∂ 所以 2.022(1.04)120.040 1.08≈+⨯+=9-41. 解：(1)3323223(233)v v x y z z u z v e x ue x xe x xy x u x v x-∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++∂∂∂∂∂ 33232e 2e (3)e (233)v v x y z z u z vy u y y y yx y u y v y-∂∂∂∂∂=+=⋅+-=--∂∂∂∂∂(2)22222322ln ()ln()()z y u y y u v x y x x v x x y x ∂=⋅-+=--∂- 2222122ln ln()()z u y y u v x y y x v x x x y ∂=⋅-=--∂- (3)令2,1u x v y x ===+则(,)(,)arctanuz f x y f u v v=== 222211f y y x x x y y∂==∂++ 222222221d 1d 1(21)111uz f u f v x v v u u x u x v x x x x v v-∂∂∂∂=+=+⋅=∂∂∂∂+++++ (4)22222d d d e cos 2e 3e (cos 6)d d d x y x y x y z z x z yt t t t t x t y t---∂∂=+=-⋅=-∂∂ (5)u u x u y u z s x s y s z s∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ 232cos ()()2223()()rst r s t rs st rt rt r s t rs st rt r t ⎡⎤⎡⎤=-+++++++++++++⎣⎦⎣⎦2322222cos()cos()2cos()3()x y z rt x y z y x y z z r t =-++⋅-++⋅-++⋅+(6)1212122e ,(2)e 2e xy xy xy u v f x f y f y f x yf x f x y ∂∂''''''=⋅+=-+⋅=-+∂∂ (7)123233,,uu u f yf yzf f x xzf xyf xy z∂∂∂''''''=++=+=∂∂∂ 2. 证明：2222()2,()2uux y x x y y xyϕϕ∂∂''=+⋅=+⋅∂∂ 22222()2()0u u yx xy x y xy x y x yϕϕ∂∂''-=+-+=∂∂ 证毕 3. 证明：222222()2,()()(2)u uy x y x x y y x y y x yϕϕϕ∂∂'''=-⋅=-+--∂∂222222222()()2()u u yx xy x y x x y xy x y x yϕϕϕ∂∂''+=-+---∂∂ 2222()()x xx x y y x y u y yϕϕ=-=-= 证毕 4. 解：(1)令(,)y F x y y x =-11ln y x yy F dy yx dx F x x-=-=-- (2)令(,,)sin F x y z xyz z =-cos x z F z yzx F yz z∂=-=-∂- (3)令3(,,)31F x y z z xyz =--22333x z F z yz yzx F z xy z xy∂-=-=-=∂-- (4)11222(2)x z F F x xF zx F F z zF ''⋅∂=-=-=''∂⋅-9-51. 解(1)21111()(1)4t t t t x t t ==+-'==+ 2111()1t t t t y t t ==--'==-11()22t t z t t =='==1t =时1,2,12x y z === 切线为：11121124x z y --==-即1212148x y z ---==- 法平面为11()(2)(1)042x y z z ---+-=，即14802x y z -+-=(2)切向量(1,1,1)d d ,1,(2,1,4)d d x z y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭T 切线为111214x y z ---== 法平面为2(1)(1)4(1)0x y z -+-+-=，即2470x y z ++-= 2. 解：切向量2(1,2,3)t t =T因此21(1,2,1)0,1430,1,3t t t ⋅=++==--T所求点即为(1,1,1)--或111(,,)3927-- 3. 解：切向量(sin ,cos ,1)t t =-TT 与Oz 轴所成角余弦为2212cos 2sin cos 1t t θ==++，故θ为定角4. 解：(1)法向量为(1,1,1)(,,1)(1,1,1)x y z z ''=-=-n切平面方程为11(1)0x y z -+---=，即10x y z +--= 法线方程为111111x y z ---==- (2)法向量为()(2,1,3),,1(4,2,1)x y z z ''=-=--n切平面方程为4(2)2(1)(3)0x y z -----=，即4230x y z ---= 法线方程为：213421x y z ---==-- (3)令(,,)228xy zzF x y z =+- 法向量()(2,2,1),,x y z F F F '''=n2(2,2,1)112ln 2,2ln 2,2ln 2x y xz zz x y z z z z ⎛⎫-⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4ln 2,4ln 2,16ln 2)=-切平面为4ln 2(2)4ln 2(2)16ln 2(1)0x y z -+---= 即40x y z +-=法线为221114x y z ---==- (4)令(,,)e 3z F x y z z xy =-+- 法向量(2,1,0)(2,1,0)(,,)(,,1)(1,2,0)z x y z F F F y x e '''==-=n切平面为(2)2(1)0x y -+-=，即240x y +-=法线为21120x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩5. 解：法向量(,,1)y x =-n因此//(1,3,1)n 即11,1,331x y x y -===-=- 此时3z =(3,1,3)--为所求点6. 切平面法向量为(,,1)x y z z ''=-n2x y y y y y y z f xf f f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1y y y z xf f x x x ⎛⎫⎛⎫'''=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对平面上任意点000(,,)x y z则00000000,,1y y y y f f f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n 过000(,,)x y z 的切平面为00000000000()()()0y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即000000000y y y y f f x f y z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故切平面必过(0,0,0)点由000(,,)x y z 的任意性可知命题得证7. 解：法向量(,,)x y z F F F '''=n ，其中222(,,)21F x y z x y z =++-(2,4,2)x y z =n且//(1,1,2)-n ，即242112x y z ==- 12,2z x y x ==-设000(,,)x y z 为切点，则2220000221,11x y z x ++==±则切平面为0000002()2()4()0x x x x y y x z z ---+-= 即00022x y z x y z -+=-+1121122112x y z ⎛⎫-+=±=± ⎪ ⎪⎝⎭9-61. 解：(1)向量所在直线l 的方向余弦为2221cos ,cos 5521αβ-===+ e sin e sin ,e cos e cos x y x y zzy x y x xy∂∂=-=+∂∂ 所以π2πππ(0,)(0,)(0,)2222ecos cos 55z z z l x y αβ∂∂∂=+=-∂∂∂(2) l 的方向余弦为cos60cos ,cos30cos αβ︒=︒= 2222(1,1)(1,1)(1,1)221,1z x z y x x y y x y ∂∂====∂+∂+(1,1)131311222z l ∂+=⋅+⋅=∂ (3)向量(2,23)(1,2)(1,3)+-=为l 上的向量故方向余弦为13cos ,cos 22αβ== (1,2)(1,2)2,4zzx y ∂∂==∂∂132412322z l ∂=⋅+⋅=+∂ (4) l 的方向余弦为111cos ,cos ,cos 333αβγ===(1,0,1)(1,0,1)(2)2ux y x ∂=+=∂(1,0,1)1,2uu y z∂∂==∂∂ 11152123333z l ∂=⋅+⋅+⋅=∂ (5) l 的方向余弦为213cos ,cos ,cos 141414αβγ-=== 1,1,1u uu xyz∂∂∂===∂∂∂ 213411114141414z l ∂-=⋅+⋅+⋅=∂ 2. 解：23,42,66uuux y y x z x y z∂∂∂=+-=+-=-∂∂∂ grad u u u u x y z∂∂∂=++∂∂∂i j k 因此(0,0,0)grad 326(3,2,6)u =---=---i j k(1,1,1)grad 030(0,3,0)u =++=i j k3. 解：2,2zzx y x y x y∂∂=-=-+∂∂(1,1)grad (1,1)z =+=i j(1)z 在(1,1)沿(1,1)方向导数最大值 (2) z 在(1,1)沿(1,1)--方向导数最小值(3) z 在(1,1)沿(1,1)垂直的方向，即(1,1)-或(1,1)-方向，方向导数为04. 解：2,2zzx y x y∂∂=-=-∂∂ 所以(1,1)grad (2,2)z =--max grad 22z z l ∂⎛⎫== ⎪∂⎝⎭，此时l 的方向即为梯度方向(2,2)--5. 解：4,6zzx y x y∂∂=-=-∂∂ (1,1)grad 46(4,6)z =--=--i j为了尽可能快地升高，应沿(4,6)--方向移动因为旅行者在山上每一点处都沿其梯度方向行进，因此，在山上每一点处其路线在xOy 平面上的投影曲线()y f x =的切线方向应为梯度方向(4,6)x y --所以326(),4yf x y cx x-'==-将(1,1)代入知32y x =9-71. 解(1)2382,22x y f x x y f x y =-+=- 68,2,2xx yy xy f x f f =-=-=23820220x y f x x y f x y ⎧=-+=⎪⇒⎨=-=⎪⎩驻点为(0,0),(2,2) 1 对驻点(0,0),(0,0)8,(0,0)2,(0,0)2xx xy yy A f B f C f ==-====-因为0,A <且20AC B ->所以函数在(0,0)取极大值(0,0)0f =2 对驻点(2,2) 4,2,2A B C ===-0,A >且20AC B -<函数在(2,2)无极值 (2) 42,42x y f x f y =-=-- 2,2,0xx yy xy f f f =-=-=420420x y f x f y =-=⎧⇒⎨=--=⎩驻点为(2,2)- 所以20A =-<，且240AC B -=> 故函数在(2,2)-有极大值(2,2)8f -= (3)21,21x y f x y f x y =++=+- 2,2,1xx yy xy f f f ===210210x yf x y f x y =++=⎧⇒⎨=+-=⎩驻点为(1,1)- 所以20A =>，230AC B -=>， 故函数在(1,1)-取极小值(1,1)0f -= (4) 222(,,)0f x y z x y z =++≥故(,,)f x y z 在(0,0,0)有极小值(0,0,0)0f = 2. 解：(1)设(21)L xy x y λ=++-20110,42210y x Lx x y yLx y λλλ=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⇒==⎨∂⎪⎪∂=++=⎪∂⎩ 此时极值为111,428z ⎛⎫=⎪⎝⎭ (2)设222(1)L x y x y λ=-++-22120525220,5510Lx x Ly x y yL x y λλλ⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⇒==-⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩或525,55x y =-= 此时极值为525,555z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭及525,555z ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ (3)设111(1)(0,0,0)L x y z x y z x y zλ=+++++->>> 222101031011110L x xL yy x y z L z z L x y zλλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⇒===⎨∂⎪=-=⎪∂⎪∂⎪=++-=∂⎪⎩ 此时极值为(3,3,3)9u == 3. 解：设矩形两相邻边长为,x y则2(,0),πx y px y v x y +=>=设2π()L x y x y p λ=++-2202π0,330xy x L p x x p y yLx y p πλλλ=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⇒==⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩2,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭为唯一驻点. 故3max24π,3327p pV V p ⎛⎫== ⎪⎝⎭4. 解：设距离为d则23649x y d +-=+，且224x y +=设22236(4)13x y L x y λ+-=++-1 2360x y +->时222201334620,13131340L x x Ly x y yLx y λλλ∂⎧=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⇒==⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 2 2360x y +-<时222201334620,13131340L x x Ly x y yLx y λλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⇒=-=-⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 显然取46(,)1313y -=-时距离最近. 5. 解：设容器容积为V ，长为x ，宽为y ，则高为V xy表面积2(),(0,0)VS xy x y x y xy=++>>2332202,220S V y x x x V y V S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，此时高为322V 此为唯一驻点故长、宽、高取32V ，32V ，322V时用料最省 6. 解：设等腰三角形底边长为2x ，高为y ，则点(,2)x y ±-在椭圆上三角形面积12(,0)2S x y x y =⋅⋅>且，223(2)12x y +-= 设22(123)L xy x y y λ=+-+222012603,31230Ly x x Lx y x y y Lx y y λλλλ⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⇒==⎨∂⎪⎪∂=-+=⎪∂⎩(3,3)为唯一驻点，故底边为6，高为3时三角形面积最大.自测题九1. (1) B (2)B (3)D (4)C (5)C(6)B (7)C (8)240x y z ++-= (9)D (10)B2. 解：(1)111ln e xv v y z z u z v vu u u x u x v x x y y-∂∂∂∂∂=+=+⋅∂∂∂∂∂-[][][]111e ln()ln()ln ln()x xy yx e e yx y x y x y x y y -⎛⎫ ⎪=-+-- ⎪-⎝⎭121ln e xv v y z z u z v x vu u u y u y v y x y y -⎛⎫∂∂∂∂∂-=+=+⋅- ⎪∂∂∂∂∂-⎝⎭[][][]1e e 21e ln()ln()ln ln()x xy yx yx x y x y x y x y y -⎛⎫ ⎪=--+-- ⎪-⎝⎭ (2)d d d d z z du z v t u dt v t∂∂=+∂∂221e cose cosln sin e sin ln cos sin sin 1e cos cos cos ln t t t t t tu u v t v v t t+=+⋅= 3. 证明：222222()()z xyf x y x f x y '∂--=∂⎡⎤-⎣⎦，22222222()2()()z f x y y f x y y f x y '∂-+-=∂⎡⎤-⎣⎦则2222222222222112()()2()()()z z yf x y f x y y f x y x x y y f x y y f x y ''∂∂--+-+=+∂∂⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦2221()zyf x y y ==- 证毕.4. 证明：2z y y F x x x ∂⎛⎫⎛⎫'=⋅- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭，1z y F y x x ∂⎛⎫'= ⎪∂⎝⎭0z z y y y y xy F F x y x x x x ∂∂⎛⎫⎛⎫''+=-+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 证毕 5. 解：222()2uF x y z x x∂'=++⋅∂ 6. 证明：令222(,,)z F x y z x y z yf y ⎛⎫=++-⎪⎝⎭2,12z Fx xx Fzz z yf y y∂-=-=∂⎛⎫'-⋅⎪⎝⎭212z z z y f yf y y y z Fy y Fz z z yf y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-++- ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=∂⎛⎫'- ⎪⎝⎭ 故2322222422222()222z z xy xyf xzf y y z z x xy xz x y z xy x y z z z f z yf y y ⎛⎫⎛⎫'-+- ⎪⎪∂∂-++⎝⎭⎝⎭--+=+∂∂⎛⎫⎛⎫''-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222z z x x y z yf zf y y z z f y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'-+--+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫'- ⎪⎝⎭2222z xz z f y xz z z f y ⎡⎤⎛⎫'-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==⎛⎫'- ⎪⎝⎭证毕 7. 证明：2x y ux u u ϕϕϕϕ''=-='' 2y y uy u u ϕϕϕ'=-='' 1232,()2z z u u z u u u ϕϕϕϕϕϕϕ'''''=-==++⋅'' 所以1232()1,y x z u u u u x y z uϕϕϕϕ'''++++==' 证毕 8. 证明：u x y z x y z u ∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂ 1y x u z u x y zF F F F F F F F ---=-⋅⋅⋅= 证毕 9. 证明：()e (cos sin ),()e (sin cos )t t x t a t t y t a t t ''=-=+()e t z t a '=设切线与z 轴夹角γ 则222()e 3cos 3e 3(())(())(())t t z t a a x t y t z t '==='''++，证毕 10. 解：设在[]000,,x y z 处的切平面法向量为00(2,2,1)x y =-n 故切平面为000002()2()()0x x x y y y z z -+---=即220000022220x x y y z x y z +---+=,即为z x y a =++ 因此22220000000011,,22,22x y x y z a z x y ==--+==+ 故12a =- 11. 解：(1)显然(,)1z x y ≥故函数在(0,0)点取极子值1(2)令221(3)L x y x y λ=++++-20320230L x x L y x y y L x y zλλ⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⇒==⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩ 此时取极值为11212. 解：2222d x y z =++且25z xy x y =+-+令2222(5)L x y z xy x y z λ=++++-+-2220201,1,222050L x y x L y x y x y z L z z z L xy x y z λλλλλλ∂⎧=++=⎪∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎪⇒=-==⎨∂⎪=-=⎪∂⎪∂⎪=+--+=⎪∂⎩ 此时距离的最小值为222d 2x y z =++=13. 解：设圆锥高为x 米，圆柱高为y 米 则221ππ36π12π3V R y R x y x =+=+ 且212π2π362002Ry R x +⋅+=即212πy+6π36200x += 令236π12π(12π6π36200)L y x y x λ=++++-2212π6π036125509536π12π053π512πy 6π362000L x x x L x y y L x λλλ∂⎧=+⋅=⎪∂+⎪⎪∂=+=⇒==-⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 只有唯一驻点，故当锥高1255米，柱高50953π5-米时，仓库体积最大.。

习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2)s==(3)s=(4)s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故s==5s==.z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得14z=9）.即所求点为M（0，0，1497. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()a b c a b c.++=++证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a, b, c 表示23.-u v 解：10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A(x, y, z)，则 解得x=-2, y=3, z=0 故A 的坐标为A(-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模； （3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == (2)12(7PP ==(3)12cos 14x a PP α==12cos 14z a PP γ==(4)12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i+j+k, b=2i-3j+5k 和c=-2i-j+2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b, c. 解：||=a16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x 轴上的投影ax=13,在y 轴上分向量为7j. 17.解：设{,,}x y z a a a a =则有 求得12x a =.设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 42a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12y a =±又1,a=则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M 在线段M1M2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标. 解：设向径OM ={x, y, z}因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x, y, z ）,2222||(12)49PA x y z =++-= 得2229524x y z z ++=-+又122190cos 2, 749x x α==⇒==故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a, b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a·b; (2) (3a -2b)·(a+ 2b). 解：（1）a·b=2π1cos ||||cos 3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2)(32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b21. 已知a=(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：（1）a·b; (2) (2a -3b)·(a+ b)； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2)(23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影. 解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}23. 若向量a+3b 垂直于向量7a-5b,向量a-4b 垂直于向量7a-2b,求a 和b 的夹角.解: (a+3b)·(7a -5b)=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a-4b)·(7a -2b) =227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos23θ==. 24. 设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a －b,且a+b={2,4,-2} a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a -b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a+b)⊥(a-b).25. 已知a=3i+2j-k, b=i-j+2k,求： (1) a×b;(2) 2a×7b;(3) 7b×2a; (4) a×a. 解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3)7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算： (1) |(a ＋b)×(a－b)|； (2) |(3a ＋b)×(a－2b)|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b a27. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j+k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b 平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++=l l i j k 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l .即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为 故1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y zxyzi j ka b a a a b b b ⨯=则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（）若,,C a b 共面，则有 a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2）C x y z x y z xyza a a ab b b b C C C ⨯⋅=（）由行列式性质可得: 故C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A, B, C, D.则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k . 同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13BCDV Sh =⋅⋅，而11948222BCDSBC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h == 故1942323V =⋅⋅=33. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC = 显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯= 故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M(x, y, z)因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=. 即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程. 35.求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为: 且直线的参数方程为：37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+ 化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x –y=0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y=0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x –y=0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-642. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0 0, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩ 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得k=44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}(2) n1={3, -5,l }, n2={1,3,2}45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B+C+D=0，得D=0 故所求平面方程为即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k 的单位向量.解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}. 故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 47. 求下列直线与平面的交点： (1)11126x y z -+==-, 2x+3y+z-1=0; (2) 213232x y z +--==, x+2y-2z+6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩； （2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩ 解：（1）两直线的方向向量分别为：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=533321i j k--={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=221381i j k-={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为π2.(2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s1={4,-12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z ++==--和4x-2y-2z=3; （2）327x y z ==-和3x-2y+7z=8; （3）223314x y z -+-==-和x+y+z=3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程. 解：直线的方向向量为12123111-=++-i j k i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x+2y+3z=0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++=其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s=n={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 得23t =- 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离. 解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量 即11133211==-=---i jkn s j k故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d == 55. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R ==设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14 即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z)， 3.=化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8（3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11.（6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.(4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x2+y2+z2=a2与z=0,z=2a (a>0); (2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点： (1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为 代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为 代入曲面方程可解得t=1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程. 解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0; (3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x=2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y=5上的一个椭圆.(4) 截线方程为229252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z=2上的两条直线.64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为故曲线在xOy面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x2+y2=x+1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x, y)|x≠0};(2) {(x, y)|1≤x2+y2<4}; (3) {(x, y)|y<x2};(4) {(x, y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x, y)|x=0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x, y)|1≤x2+y2≤4}，边界：{(x, y)|x2+y2=1}∪{(x, y)| x2+y2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x, y)|y≤x2}， 边界：{(x, y)| y=x2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x, y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2=1}. 2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan x y,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.4. 求下列各函数的定义域： 解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>5. 求下列各极限： 解：(1)原式=0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=02.x y →→=(5)原式=0sin lim 100.x y xyy xy→→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3)222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O(0,0)处连续.(2)00sin lim lim 1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O(0,0)是z 的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P(x,y) 沿直线y=-x 趋于(0，0)点，则 故0lim x y z →→不存在.故函数z 在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x,y)=233x y x y-+; (2) f (x,y)=2222y xy x+-; (3) f (x,y)=ln(1－x2－y2);(4)f (x,y)=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y=-x 时，函数无定义，所以函数在直线y=-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续. (4)因为点P(x,y)沿直线y=x 趋于O(0,0)时.12lim (,)lime x x y x xf x y x -→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： (1)z = x2y+2x y ;(2)s =22u v uv+;; (4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy)y; (6)u = zxy; (7)u = arctan(x-y)z; (8)yzu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+ (4)21122sec csc ,tan z x xx x y y y yy∂=⋅⋅=∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+ 故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y yy x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- (8)1.yzu y x x z-∂=∂9.已知22x y u x y=+，求证：3u u xy u x y∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z x y z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x,y 的对称性得 故11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂ 11.设，求fx(x,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角. 解：(2,4,5)1,1,2z zx xx ∂∂==∂∂设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tanα=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z = x4+ y4-4x2y2; (2)z = arctan y x; (3)z = yx;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x,y 的对称性知 (2)222211z y y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂(4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx=+15.设z = x ln ( x y)，求32z x y ∂∂∂及32zx y∂∂∂. 解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y ∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()zx yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+ (3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1y zu y x x z-∂=∂1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ ln y z u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz zz y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy) 取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则 (1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d 0.05d 0.07(4.05,2.93)(4,3)d (4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998x y f f f ==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy ， 取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则1.05d 0.03d 0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d (2,1)20.0393 2.0393.x y f f f =-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm ，另一边长b=24cm, 当a 边增加4mm ，而b 边缩小1mm 时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l ，则d d ).l l x x y y ==+当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，d 0.4240.1)0.062l =⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm. 20.解：因为圆锥体的体积为21.3V r h π=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h ====-而221.33V V V dV r h yh r r h r h ππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂ 0030,0.1,60,0.5r r h h ====-时，2213.1430600.130(0.5)33V π≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-230()cm =-21.解：设水池的长宽深分别为,,x y z 则有:V xyz = 精确值为：50.242 2.850.22 3.6 2.80.2V =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯313.632()m =近似值为:V dV zx y xy z ≈=+ 0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.4540.2V dV ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； (2)z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v,y ＝u －v,求z u ∂∂,z v∂∂； (3)ln(e e )xyu =+,y ＝x3,求d d ux; (4)u ＝x2＋y2＋z2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u zt x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+25. 设22()yz f x y =-，其中f(u)为可导函数，验证：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭, (2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x y xf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z xf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y+++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程 22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u uuu u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22u η∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u ux x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂ 29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)2sin e 0xy xy +-=，求d d yx ;(2)ln arctan y x =，求d d y x；(3)20x y z ++-=，求,z zx y∂∂∂∂; (4)333z xyz a -=，求22,z z x y ∂∂∂∂.解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2, 则 2e ,cos 2,x x y F y F y xy =-=-故 22d e e d cos 2cos 2x xx y F y y y x F y xy y xy--=-=-=--. [解法2] 方程两边对x 求导，得()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅故 2e .cos 2xy y y xy-'=- (2)设()221(,)arctanln arctan ,2y y F x y x y x x==-+ ∵222222121,21x xx y y F x y x y x y x +⎛⎫=-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭222221211,21y yy x F x y x x y y x -=-⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴d .d x y F y x y x F x y+=-=- (3)方程两边求全微分，得d 2d d 0,x y z ++-=,z x y =则d ,z x y =+故z z x y ∂∂==∂∂ (4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--,23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-则223,33x z F z yz yz x F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xz y F z xy z xy∂-=-=-=∂-- ()()()()22222222322232222()z z z x xxz z xy xz y z y z xy y y z xy xz xz z x x xz z xy z xy x yzz xy xy z z xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--30. 设F(x, y, z)=0可以确定函数x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y),证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证明：∵,,,y x z x y zF F F x y zy F z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂ ∴ 1.y z x y z x F F F x y z F F F y z x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫---⋅⋅=⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 31. 设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数z = z(x,y),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222011111z y x z y zF F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F z y y F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩ 求：d d ,;d d y z x x (2)1,0,xu yv yu xv +=⎧⎨-=⎩求：,,,;u v u v x x y y ∂∂∂∂∂∂∂∂ (3)2(,),(,),u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩ 其中f,g 具有连续偏导数函数，求,;u v x x∂∂∂∂ (4)e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求,,,.u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：(1)原方程组变为222222320y z xy z x⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得d d 22d d d d 23d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z-==+≠21d 16(61),3d 622(31)22d 12.2d 6231x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-,,,,,,,,x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-22u v u vF F x yJ x y G G y x===---故 22xvx v F F u yG G v x uux yv x J J x y --∂-+=-=-=∂+。

高等数学上（修订版）黄立宏（复旦出版社）习题三答案详解1． 确定下列函数的单调区间： (1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>；解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5) e(0,0)n xy x n n -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11eee()n xn xxn y nx x xn x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈.(7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==,在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.2. 证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +>证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2esin 1.2xxx -+<+证明: 令2()=esin 12xxf x x -+--,则()=e cos x f x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x xf x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)f x f <=,即2esin 1.2xxx -+<+3. 试证:方程sin x x =只有一个实根. 证明:设()sin f x x x =-，则()c o s 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4. 求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==, 126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-.(3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=. 1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) ln(1)y x x =-+； 解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =.201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值.(5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==. 210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =+ 解: 1y '=-令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)y =解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =.(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++,令0y '=，得驻点122,0x x =-=. 2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=.(9) e cos x y x =； 解: e (cos sin )x y x x '=-, 令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±± .2e sin xy x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()e2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()e2k k y x +++=-.(10) 1x y x =；解: 11211ln (ln )x xx y x x x xx-''==,令0y '=，得驻点e x =.当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>,故极大值为1e (e)e y =. (11) 2e e xxy -=+；解: 2e ex xy -'=-,令0y '=，得驻点ln 22x =-.ln 222e e,0x xx y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=.(12) 232(1)y x =--； 解: y '=-，无驻点. y 的定义域为(,)-∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y '<，当x <1时， 0y '>，故有极大值为(1)2y =.(13) 1332(1)y x =-+； 解: y '=-.无驻点.y 在1x =-处不可导，但y '恒小于0，故y 无极值.(14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点.5. 试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值. 证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos 3)3x f a x x ='==+，得a =2.又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞；解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x+'==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) () [5,1]f x x x =+∈-；解：10y '=-=，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-=⎪⎝⎭ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545-.42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而 22(0)0,bb y y a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22bb y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9.求数列1000n +⎩⎭的最大的项.解：令1000y x =+,(1000)y x '===+令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，m ax (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为10002000a =10. 已知a >0，试证：11()11f x xx a=+++-的最大值为21a a++.证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x ax x a⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩ 当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎫=⎪+⎝⎭， 当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1a f f a a+==+.而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 {}m ax 242(),,0121a af x aa a++==+++.11. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高. 解：设圆柱体的高为h ,223πππ4V h r h h ⎛=⋅=-⎝令0V '=,得.3h =即圆柱体的高为3r 时，其体积为最大.12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x-==-截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x xxal x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =.即当x =.13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为()(03)()L x x L x =+<<'=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 14. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.15. 判定下列曲线的凹凸性：(1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2) y =sinh x ；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y xx'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4) y =x arctan x . 解：2arctan 1x y x x'=++，2220(1)y x ''=>+故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =.当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧； 当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) y =x e －x ；解：(1)e , e (2)x x y x y x --'''=-=-令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e xy x =++；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.(4) y =ln (x 2+1)； 解：222222(1), 1(1)x x y y xx -'''==++令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) exy =；解：arctan arctan 222112e,e 1(1)xxx y y xx -'''==++令0y ''=得12x =.当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan21(,e)2.(6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).17. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1)(0,0,,1)22nn nx y x y x y n x y+⎛⎫>>>≠>+⎪⎝⎭; 证明：令 ()n f x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭, 即 1()22nn nx y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e()2x yx y x y ++>≠ ;证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x xf x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y++<.(3) ln ln ()ln(0,0,)2x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠证明：令 f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>>则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即1ln(ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即 ln ln ()ln 2x y x x y y x y ++>+.18. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+ 解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xtxt+-==令22d 0d y x=，得t =1或t =－1则x =1，y =4或x =1，y =－4 当t >1或t <－1时，22d 0d y x>，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d y x<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==-⋅-222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y xa aθθθθθθ=-+⋅=⋅--令22d 0d y x=，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ-<<时，22d 0d y x>，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x<,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,32a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭及3,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.19. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上.证明：22221(1)x x y x -++'=+，(1)y x ''=+令0y ''=，得1,22x x x =-=+=-当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈--时0y ''>；当(22x ∈-+时0y ''<；当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，11(2(244---+-+.因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.20. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？ 解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=.21. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22. 试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=-令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ，法线方程为18y x k= . 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k =±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故18k =±=±.23. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果00()0,()0f x f x '''==，而0()0f x '''≠，试问x =x 0是否为极值点?为什么？又00(,())x f x 是否为拐点？为什么？答：因00()()0f x f x '''==，且0()0f x '''≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ中，00()()()()()()f x f x x x f xx f ηη''''''''''=+-=-，故()f x ''在0x 左侧与0()f x '''异号，在0x 右侧与0()f x '''同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24. 作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x xy x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，当x →∞时，y →0，故y =0是一条水平渐近线. 函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,4⎛- ⎝⎭(0，0)，4⎭，作图如上所示.(2) f(x)=x－2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx'=-+''=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=-=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞-=-=-故πy x=-是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=-，极大值π(1)12y-=-.(0，0)为拐点.作图如上所示.2(3) ()1xf xx=+；解：函数的定义域为,1x R x∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+-+'==≠-++''=+令0y'=得x=0，x=－2当(,2]x∈-∞-时，0,()y f x'>单调增加；当[2,1)x∈--时，0,()y f x'<单调减少；当(1,0]x∈-时，0,()y f x'<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0 又211lim ()lim1x x xf x x→-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1x f x x→∞=， 且2lim (())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y =x －1.综上所述，曲线图形为：(4)2(1)ex y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1.令0y ''=，得12x =±.当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加； 当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当(,1[1,)22x ∈-∞-++∞ 时，0y ''>，曲线是凹的；当[122x ∈-+时，0y ''<，曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1e),(1e)22A B ---+，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族,,,,01ecxA y x ABC B -=-∞<<+∞>+建立了动物的生长模型. (1) 画出B =1时的曲线()1ecx A g x -=+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？ 解：2e ()0(1e)cxcxAc g x --'=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244ee2(1e )ee(1e)()(1e)(1e )cxcxcxcxcxcxcxcxAc Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++当x >0时，()0,()g x g x ''<在(0，+∞)内是凸的. 当x <0时，()0,()g x g x ''>在(－∞，0)内是凹的. 当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2) 计算g (－x )+g (x )，并说明该和的意义；解：()()1e 1ecx cxA Ag x g x A --+=+=++.(3) 证明：曲线1e cxA yB -=+是对g (x )的图像所作的平移. 证明：∵()1e1eec x T cxcTA Ay B B -+--==++取e 1cT B -=，得ln B T c=即曲线1ecxA yB -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c=个单位的平移.26. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 324d π,π,.3d rV r A r v t===2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r vt rtAA r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d d ee .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a ttϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=29. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x y x y t t ⋅+⋅=由d d d d x y tt-=. 得 161832,9y x y x ==代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.30. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min －1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h 时，横截面为212s h =⋅=体积为22212V sh '====d d 2d d V h h tt=⋅当h =0.5m 时，31d 3m m in d V t-=⋅.故有d 320.5d h t=⋅，得d d 4h t=(m 3·min －1).31. 某人走过一桥的速度为4km ·h －1，同时一船在此人底下以8 km ·h－1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t s t==≈ (km ·h－1)32. 一动点沿抛物线y =x 2运动，它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s －1，求动点在点(2，4)时，沿y 轴的分速度.解： d d d 236.d d d y y xx x t x t =⋅=⋅=当x =2时，d 6212d y t=⨯= (cm ·s －1).33. 设一路灯高4 m ，一人高53m ，若人以56 m ·min －1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则 53456yy t=+化简得 d 7280,40,40d y y t y t t===(m ·min －1).即人影的长度的增长率为常值.34. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/22.(1)y k y ''=='+35. 计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/21.(1)y k y ''=='+36. 计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/21.(1)y k y ''=='+37. 求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径. 解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==.38. 求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yya t tt t x x a t t t===--， 22224d d d (tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x xxta t ta t tt--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t tk t a t==+- 且当t =t 0时， 023sin 2k a t =.39. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k xRx +===+显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+令0k '=，得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程. 解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,1 1.x x x x y xy x===='==''=-=-故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y -++=. 41. 一飞机沿抛物线路径210000xy =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O处飞机速度v =200 m ·s －1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力.解：0010,5000x x y y =='''== ，23/2(1)5000y R y '+==''飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000m v F R⋅=== (牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).42. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q =即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82.43. 设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出：C (q )=0.01q 3－0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？ 解：(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q q L q q q =-+-=-+-'=-+-令()0L q '=，得 231206000q q -+= 即 2402000q q -+=得20q =-(舍去) 2034.q =+≈ 此时， 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格，且应提高5元.44. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数.弹性为： 1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+.(2) y =a e bx；解：边际函数为：y ′=ab e bx弹性为： 1e e bxbx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=,增长率为： e ebxy bxab b a γ==.(3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为： 11a a Ey ax x a Ex x -=⋅⋅=,增长率为： 1.a y aax a xxγ-==45. 设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？ 解：因弹性的经济意义为：当自变量x 变动1%，则其函数值将变动%E y E x ⎛⎫⎪⎝⎭.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%. 46. 国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。

习题7-11. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3).(2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

261 习题十一3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d Lxy x ⎰ 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a )故 ()()()()()12π200π320ππ322003d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t xa t t ta t t t t a =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x ty t z tt 从1→0．262故()()32203221031041d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y zt t t tt tt t t Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰ 7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰ x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4，Q =3x +5y -6，3Q x∂=∂，1P y ∂=-∂，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD D Dx y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；解：(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--⎰； (3)()()1,221,1d d x y x x y -⎰沿在右半平面的路径；263 证：(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123P xy y y∂=-∂，2123Q xy y x ∂=-∂，有P Q y x ∂∂=∂∂，所以积分与路径无关． 取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xy y x y xy y x y y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰ (3)2y P x =，1Q x =-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P y x ∂=∂，21Q x x∂=∂，在右半平面内恒有P Q y x ∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关． 取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11x y x x y y -==--⎰⎰ 10．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )：(2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y ；(4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ．解：(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y x∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,020022d d ,0d d x y x yu xy x x y x y x x y x y=+=+=⎰⎰⎰ (3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y ，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy y x，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y )d y 是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e 412e 12e 12x y y x y y y y u x x y x y x y x x y y x y x x y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰。

261习题十一1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12x a b t b y t=⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故()()()221d ,d d 0d 0d b b Lb ba P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b LaP x y x P x,x =⎰⎰，其中P (x , y )在L 上连续． 证：L ：0x x a x b y =⎧≤≤⎨=⎩，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．故()(),d ,0d b LaP x y x P x x =⎰⎰3．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d Ly x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y yx y+--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d Lx y y z -+⎰ ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，262()()22222435001156d d 3515Lxyx x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t=+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故()()()()()12π200π32ππ3223d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L a xy x xy x xy xa a t a a t t xat t ta t t t ta=+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t tRt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故()()()()()()222π202π22d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx ya t a t a t a t a t a t ta a ta+--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰263(5)()()()2π220π322π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zkk a a a a kak a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰(6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x ty t z t t 从1→0．故()()3223221031041d 3d d 27334292d 87d 1874874xx zy y x y zt t t t t t t t tΓ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y xAB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1 ()01d d d 112ABx y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰．:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1264()()()101120d d d 112d 12232B Cx y y z z dzz zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰:1y C A z x =⎧⎨=-⎩，x 从0→1 []1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LAB BC C Ax y y z x y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lxxy x y xy yx x xxx xx x xx x xx---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰4．计算()()d d L x y x y x y ++-⎰，其中L 是(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．解：(1)L ：2x y y y⎧=⎨=⎩，y ：1→2，故()()()()()2221232124321d d 21d 2d 111232343Lx y x y x yy y y y y y yy y yy y y ++-⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2265故()()()()()2121221d d 32332d 104d 5411Lx y x y x yy y y y y y yy y ++-=-+⋅+-+⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎣⎦=⎰⎰⎰(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y=⎧⎨=⎩，y ：1→2；L 2：2x x y =⎧⎨=⎩，x ：1→4；故()()()()()12122211d d 101d 1d 212L x y x y x yy y y y y y y ++-=+⋅+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰()()()()()()24144211d d 220d 12d 22272L x y x y x yx x x x x x ++-=++-⋅⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰从而()()()()()12d d d d 1271422LL L x y x y x yx y x y x y++-=+++-=+=⎰⎰⎰(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故()()()()()()12213214320d d 32412d 10592d 10592432323Lx y x y x yt t t t t t ttt t tt t t t ++-⎡⎤=++++--⋅⎣⎦=+++⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．266解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t=⎧⎨=⎩，t ：0→π2()()()()π2022π20π22222d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 2222LW kx x ky yka t t kb t b t tk b at tk b at k b a=+=-+⋅⎡⎤⎣⎦-=--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=⎰⎰⎰(其中k 为比例系数)6．计算对坐标的曲线积分：(1)d Lxyz z ⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；(2)()()()222222d d d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．解:(1)Γ：2221x y z y z ⎧++=⎨=⎩即2221x z y z ⎧+=⎨=⎩其参数方程为：cos 22x ty tz t =⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ t ：0→2π 故：2π02π2202π202π0d cos d 222sin cos d 4sin 2d 161cos 4d 16216xyz z t t t t tt t t t t ttΓ===-==⎰⎰(2)如图11-3所示．267图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cos sin 0x ty t z =⎧⎪=⎨⎪=⎩t ：0→π2，故()()()()()1222222π2220π3320π320d d d sin sin cos cos d sin cos d 2sin d 24233yzx zxy xyz t t t t t t t tt tΓ-+-+-⎡⎤=--⋅⎣⎦=-+=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰又根据轮换对称性知()()()()()()1222222222222d d d 3d d d 4334yzx zxy xyzyzx zxy xyzΓΓ-+-+-=-+-+-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=-⎰⎰7．应用格林公式计算下列积分：(1)()()d d 24356+-++-⎰ x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--⎰ ，其中L 为正向星形线()2223330x ya a +=>；(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+⎰Lx y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)()()22d d sin Lx y x y x y --+⎰，L是圆周y =上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)()()d d e sin e cos x x L x y y my y m +--⎰，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax上半部分的路线（a 为正数）．268图11-4解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x∂=∂，1P y∂=-∂，由格林公式得()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432212LD DDx yx y x y Q P x y x y x yx y +-++-∂∂⎛⎫-= ⎪∂∂⎝⎭===⨯⨯⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x， 则2cos 2sin 2exP x x x x y y∂=+-∂，2cos 2sin 2e xQ x x x x y x∂=+-∂．从而P Q yx∂∂=∂∂，由格林公式得．()()222d d cos 2sin esin 2e d d 0++--∂∂⎛⎫-=⎪∂∂⎝⎭=⎰⎰⎰ xx LD x yxy x xy x y x x y Q Px y xy(3)如图11-5所示，记O A ，AB ， BO 围成的区域为D ．（其中 BO=-L ）图11-5P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2262cos P xy y xy∂=-∂，262cos Q xy y xx∂=-∂由格林公式有：269d d d d 0L OA ABD Q P P x Q y x y x y -++∂∂⎛⎫-+== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 故π21220012202d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4π4++=+=+++⎛⎫=+-+⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰LO A ABO A ABP x Q y P x Q yP x Q y P x Q yO x y y y y y y(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．图11-6由格林公式有d d d d ++∂∂⎛⎫-+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰L AB BOD Q P P x Q y x y x y而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．1∂=-∂P y，1∂=-∂Q x，即，0∂∂-=∂∂Q P xy于是()d d d d 0+++++=+=⎰⎰⎰⎰LABBOL AB BOP x Q y P x Q y从而()()()()()()()2222221122011300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 264LL BA O BP x Q y x y xy x y x y x yx y x y xy x y y x xy x y y +=--+=-+--+-+=-++⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5)L ，OA 如图11-7所示．图11-7270P =e xsin y -my ， Q =e xcos y -m ，e cos xP y my∂=-∂，e cos xQ yx∂=∂由格林公式得：22d d d d d d d d 1π22π8L O AD DDQ P P x Q y x y x y m x ym x y a m m a +∂∂⎛⎫-+=⎪∂∂⎝⎭==⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是：()()[]220202πd d d d 8πd 0esin 00e cos 08π0d 8π8+=-+=-+⋅⋅-⋅⋅-=-=⎰⎰⎰⎰LO A axxa m a P x Q y P x Q ym a xm m m a xm a8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ； (2)双纽线r 2 = a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2 = 2ax ． 解：(1)()()()()()2π322π2π2422222π202π22π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8LA y x a t a t tt a t t t at t ta tt t a tt t t t at t t a=-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a θ=sin y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：271[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22LA x y y x a aaθθθ--=⋅-===⎰⎰(3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩故()()[]()2π22π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y xa a aa a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --⎰；(2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy yx y xy +--⎰；(3)()()1,221,1d d xy x x y-⎰沿在右半平面的路径；(4)()()6,81,0⎰沿不通过原点的路径；证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且1P Q yx∂∂==-∂∂，故积分与路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是()()()()11,100,00d 0d d xx y x y ==--⎰⎰(2) P =6xy 2-y 3，Q =6x 2y -3xy 2．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且2123P xy yy∂=-∂，2123Q xy yx∂=-∂，有P Q yx∂∂=∂∂，所以积分与路径无关．取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则()()()()()()[]3,423221,2432214323212d d 663d d 63966434864236x y xy yx y xy y xy y x y y x x +--=+--=+⎡⎤--⎣⎦=⎰⎰⎰272(3)2y P x=，1Q x=-，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且21P yx∂=∂，21Q xx∂=∂，在右半平面内恒有P Q yx∂∂=∂∂，故在右半平面内积分与路径无关．取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则()()()21,2211,1d d d 11xy x x yy -==--⎰⎰(4) P =，Q =，且P Q yx∂∂==∂∂在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则()()686,811,081529x y=+⎡=+⎣=⎰⎰⎰10．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )： (1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；(3)(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y)d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．2P Q yx∂∂==∂∂，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()()()()(),0,0002222d d ,22d d 2222222x y xyyu x y x y x y x y x x yx y xy xy xyxy =+++=++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=++⎰⎰⎰(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x yx∂∂==∂∂，故2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．()()(),20,020022d d ,0d d x y xy u xy x x y x y x x yx y=+=+=⎰⎰⎰(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y，2316∂∂=+=∂∂P Q x xy yx，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y)d y273是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),22320,03200322d ,38812e 0d d 812e412e 12e 12x y y xyyyyu x x y x y x y x x y y x yxx y y x y x y y =++++=+++=++-+⎰⎰⎰(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2sin y ，2sin 2cos P x y y xy∂=-+∂，2cos 2sin Q y x x yx∂=-∂，有P Q yx∂∂=∂∂，故(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分，()()()()()(),220,020022d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y xy u x y x y x y y x y x x y x x yy x xy y x x y=++-=+-=+⎰⎰⎰11．证明：22d d x x y y x y++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y=+，22y Q x y=+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且．()2222∂∂-==∂∂+P Q xyyxxy，(x ,y )∈G因此22d d x x y y x y++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y dx y x yx y++⎡⎤==+⎢⎥++⎣⎦知()()221ln ,2u x y x y =+．12．设在半平面x >0中有力()3k F xi yj r=-+构成力场，其中k为常数，r =，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．证：场力沿路径L 所作的功为．33d d Lk k W x x y yrr=--⎰其中3kx P r=-，3ky Q r=-，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶连续偏导数，并且53(0)P kxy Q x yrx∂∂==>∂∂因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑⎰⎰与二重积分有什么关系？274解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑=±⎰⎰⎰⎰当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰ ，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰ ，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰ y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π4222π222222202π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RRRxy z x y x yx yr r rR R r r R R RR r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=----⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8275故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz ，故30d d d d 3yzD x y z y z z yy∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：y =(x ,z )∈D xz ，故30d d d d 3xzD y z x z xz xx∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z xx x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=cos β=，cos γ=，图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：276()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x fz x yx y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x yf x f y f z x y f x x yx y z x y x y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD x xz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：277()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω，P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有()()()()()220000020204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aa a a aa a y y z x z x x yy xz x z P Q Rx y z x y z x y z x y x y zx y x a yx y y a x xy a a x ax a∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量3d d d d d d d 432d d d π2π33k y z y z x P Qx y z x y x y z ∑ΩΩΦ=+∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （由高斯公式）16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：(1)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立体的表面的外侧；(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ，其中Σ为球面x 2+y 2+z 2= a 2的外侧；(3)()()2232d d d d d d 2xz y z z x x y x y z xy y z ∑++-+⎰⎰ ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2，0z ≤≤(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ，其中Σ是界于z = 0和z = 3之间的圆柱体x 2+y 2 = 9的整个表面的外侧；278解：(1)由高斯公式()()2224d d d d d d d 2222d 6d 6d d d 3aaaxy z y z x z x yvx y z vx y z x vx x y za∑ΩΩΩ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 对称性(2)由高斯公式：()3332222ππ45d d d d d d d 3d 3d d sin d 12π5axy z y z x z x yP QR v x y z vx y zr ra∑ΩΩθϕϕ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)由高斯公式得()()()2232222π2π2220024π05d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5aaxzy z z x x yx y z xy y z P QR v x y z vz x yr r rr ra∑ΩΩθϕϕϕϕ++-+∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=++=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)由高斯公式得：2d d d d d d d 3d 3π3381πx y z y z x z x yP Q R v x y z v∑ΩΩ++∂∂∂⎛⎫++=⎪∂∂∂⎝⎭==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰ ，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2 = a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向； (2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：2790≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；(3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2= 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰ y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}111cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d 3y x z y x zR Q Q P P Rs y z x y z x ss aaΓ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰(2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为4长为2的正六边形）；Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式()()()(()()()222222d d d2222d22d3d2432492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡+----=--⎢⎣=-++=-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑18．把对坐标的曲线积分()()d d,,LP x Q yx y x y+⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；(2)沿抛物线y = x2从点(0,0)到点(1,1)；(3)沿上半圆周x2+y2 = 2x从点(0,0)到点(1,1)．解：(1)L的方向余弦πcos cos cos42αβ===，280281故()()d d ,,d ,,LLP x Q y x y x y P x Q x y x y s++=⎰⎰(2)曲线y =x 2上点(x ,y )处的切向量T={1,2x }．其方向余弦为cosα=cos β=故()()d d ,,d 2,,LLP x Q y x y x y P x xQ x y x y s++=⎰⎰(3)上半圆周上任一点处的切向量为1x-⎧⎨⎩其方向余弦为cos α=cos 1x β=-故()()()()()d d ,,d ,,1LLP x Q yx y x y s Q x y x y x +⎤=+-⎦⎰⎰19．设Γ为曲线x = t ，y = t 2，z = t 3上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分d d d P x Q y R z Γ++⎰化成对弧长的曲线积分．解：由x =t ，y =t 2，z =t 3得d x =d t ，d y =2t d t =2x d t ，d z =3t 2dt =3y d t ，d s t =．故d 1cos d d cos d d cos d x s y s z sαβγ======因而d d d P x Q x R x s ΓΓ++=⎰⎰20．把对坐标的曲面积分()()()d d d d d d ,,,,,,P y z Q z x R x y x y z x y z x y z ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中：282(1) Σ是平面326x y ++=在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z = 8-(x 2+y 2)在xOy 面上方的部分的上侧．解：(1)平面Σ：326x y ++=上侧的法向量为n ={3，2，，单位向量为n 0={35，25，5}，即方向余弦为3cos 5α=，2cos 5β=，cos 5γ=．因此：()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos 32d 555P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s P Q R ∑∑∑αβγ++=++⎛⎫=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)Σ：F (x ,y ,z )=z +x 2+y 2-8=0，Σ上侧的法向量n ={ F x ，F y ，F z }={ 2x ，2y ，1}其方向余弦：cos α=，cos β=，cos γ=故()()()()d d d d d d ,,,,,,d cos cos cos P y z Q z x R x y x y z x y z x y z sP Q R s∑∑∑αβγ++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

复旦大学出版社，高等数学上，第四版，教材习题答案第四章，一元函数积分学，，答案习题4-3第四小题，利用换元法，求下列不定积分。

答案东风冷雪有些换元我省略了，因为多此一举，自己体会。

本答案，只是为了赚点经验，如果喜欢，给好评，那么我将继续提供。

（4）（8）下面一题是第九题，序号标错了11题12题14题15题16题18题19题20题21题22题2,sin cos *cos sin (1sin )(1sin )(cos )1sin arcsin arcsin x a t a t a tdx dta x a a t t dt a a t dt a t t t a aa a cx x===---==+=--=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰-=+=====++++⎰⎰⎰⎰xx x x xx2x 2x 2dx ,e t e e e dx de dt arctan t arctan e c e 1e 1t 124题==+⎰⎰2lnx dxx 1lnxdlnx ln x c225题==-=-=-=-+⎰⎰⎰2322223434sin x cos xdx ,sinx t sin x(1sin x)dsinx t (1t )dt 1111t t sin x sin x c 3535----=-=====-=-+=-+++-==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2324344342132233,x sintsec t dt cos t 1sin t dt dt dsint tan t *sect tan tsint sin t sin tsin t 111(sin t sin t)dt sin t *x x 33x )3x (2x c 3x 3x27题===-=-+=-++++⎰⎰⎰t1(1)dt t ln |t 1|ln |1|c 1t 1t28题====-=-=-+⎰⎰⎰⎰22dx ,x 3sec t x 3tant *3sec t tant dt 3tan tdt 3(sec t 1)dt3sec t33tant 3t 3arccos cx29题=====+⎰⎰⎰23,x tantsec t dt cos tdt sint csec t30题=-+++===++++=++=+++⎰⎰⎰,x sint1cost sint sint cost 1d(sint cost)1dt dt dt t sint cost 2sint cost 2sint cost 21111ln |sint cost |t ln |x |arcsinx c 2222技术不高，只能做成这样，留下图片链接，比这清楚。

习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2)s==(3)s==(4)s==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故s==s==.5z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得14z=9）.即所求点为M（0，0，1497. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()a b c a b c.++=++证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a, b, c 表示23.-u v解：10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=--c a11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M 的投影为M '，则12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A(x, y, z)，则解得x=-2, y=3, z=0故A 的坐标为A(-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α==12cos 14za PP γ== (4) 12012{14PP PP ===+e j . 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15. 求出向量a= i+j+k, b=2i-3j+5k 和c=-2i-j+2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a, b, c. 解：||==a 16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x 轴上的投影ax=13,在y 轴上分向量为7j.17.解：设{,,}x y z a a a a =则有 求得12x a =. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =则222cos 4a ba b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222-± 18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M 在线段M1M2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x, y, z}因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}.19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x, y, z ）,2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+又122190cos 2, 749x x α==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a, b 的夹角2π3ϕ=，且3,4==b a ，计算： (1) a·b; (2) (3a-2b)·(a+ 2b).解：（1）a·b=2π1cos ||||cos 3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b21. 已知a=(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a+ b)； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}23. 若向量a+3b 垂直于向量7a-5b,向量a-4b 垂直于向量7a-2b,求a 和b 的夹角.解: (a+3b)·(7a-5b)=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a-4b)·(7a-2b) = 227||308||0-⋅+=a a b b ②由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==.24. 设a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a －b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)⊥(a-b).25. 已知a=3i+2j-k, b=i-j+2k,求：(1) a×b;(2) 2a×7b;(3) 7b×2a; (4) a×a.解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .26. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b)×(a －b)|；(2) |(3a ＋b)×(a －2b)|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a b(2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b a27. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j+k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b 平行的单位向量()||3⨯==±--+⨯a b e i j k a b||sin||||26θ⨯===⨯a b a b . 28. 一平行四边形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦.解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k 因为12|||2610|⨯=++=l l i j k所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.29. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯.30.（1）解: x y z x y z i j k a b a a a b b b ⨯=则 C=-C +-+-y z z y x z x x z y x y y x y a b a b a b a b a b C a b a b C ⨯⋅（）（）（）（） 若,,C a b 共面，则有 a b ⨯后与 C 是垂直的. 从而C 0a b ⨯⋅=（） 反之亦成立. （2）C xy z x y z x y z a a a a b b b b C C C ⨯⋅=（） 由行列式性质可得:故 C a ?b a b b C C a ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅（）（）（）31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积.解：设四顶点依次取为A, B, C, D.则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|22S AB AD =⨯=+-=ij k 同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S = 32.解：设四面体的底为BCD ∆，从A 点到底面BCD ∆的高为h ，则13BCD V S h =⋅⋅，而11948222BCD S BC BD i j k =⨯=--+= 又BCD ∆所在的平面方程为:48150x y z +-+=则43h == 故1942323V =⋅⋅= 33. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程.解：设动点为M(x, y, z)因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.35.求通过下列两已知点的直线方程：（1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）两点所确立的一个向量为s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 36. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:且直线的参数方程为：37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=039. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2. 故所求平面方程为1424x y z ++=40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+ 化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x-1=0;(3) 2x-3y-6=0; (4) x –y=0;(5) 2x-3y+4z=0.解：(1) y=0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x-1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x –y=0表示过z 轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-642. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0 0, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩ 所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.43. 决定参数k 的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成π4的角.解：（1） 因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2） 两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且1212πcos cos||||42θ⋅====n nn n解得2k=±44. 确定下列方程中的l和m:(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}(2) n1={3, -5,l }, n2={1,3,2}45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程为即2x-y-3z=046. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量.解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}.故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n=+-e i j k47. 求下列直线与平面的交点：(1) 11126x y z-+==-, 2x+3y+z-1=0; (2) 213232x y z +--==, x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x ty t z t=-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=533321i j k--={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=221381i j k-={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为π2.(2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s1={4,-12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量 故过点（0，2，4）的直线方程为（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为s={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z ++==--和4x-2y-2z=3; （2）327x y z ==-和3x-2y+7z=8; （3）223314x y z -+-==-和x+y+z=3.解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3} 平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直线与平面平行.又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线的平面方程. 解：直线的方向向量为12123111-=++-i jk i j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x+2y+3z=0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++=其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+=解得λ=-4.故所求平面方程为2x+15y+7z+7=053. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s=n={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x ty t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0 得23t =- 于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离. 解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量 即11133211==-=---i jk n s j k故过已知点的平面方程为y+z=1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-=即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为d==55. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212 x t y t z t=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t=.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d==即为点到平面的距离.56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为R==设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z)3. =化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7.（2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8（3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9.（4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11.（6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-1259. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15.(4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-17.图7-1760. 作出下列曲面所围成的立体的图形：(1) x2+y2+z2=a2与z=0,z=2a(a>0); (2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3) z=4-x2, x=0, y=0, z=0及2x+y=4; (4) z=6-(x2+y2),x=0, y=0, z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-18，7-19，7-20，7-21所示.图7-18 图7-19图7-20 图7-2161. 求下列曲面和直线的交点： (1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为代入曲面方程解得t=0,t=1.得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.(2) 直线的参数方程为代入曲面方程可解得t=1,得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程. 解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有 即为所求圆的方程.63. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面x=2; (2) 平面y=0; (3) 平面y=5; (4) 平面z=2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x=2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ==⎩为平面y=5上的一个椭圆.(4) 截线方程为229252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z=2上的两条直线.64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为 故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x2+y2=x+1即2215()24x y -+=.故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x, y)|x≠0};(2) {(x, y)|1≤x2+y2<4}; (3) {(x, y)|y<x2};(4) {(x, y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x, y)|x=0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x, y)|1≤x2+y2≤4}，边界：{(x, y)|x2+y2=1}∪{(x, y)| x2+y2=4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x, y)|y≤x2}，边界：{(x, y)| y=x2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x, y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2=1}. 2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan x y,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x. 4. 求下列各函数的定义域： 解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+> 5. 求下列各极限： 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=02.x y →→=(5)原式=0sin lim 100.x y xyy xy→→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3)222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y ++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O(0,0)处连续.(2)00sin lim lim 1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O(0,0)是z 的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P(x,y) 沿直线y=-x 趋于(0，0)点，则 故0lim x y z →→不存在.故函数z 在O(0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x,y)=233x y x y-+; (2) f (x,y)=2222y xy x+-;(3) f (x,y)=ln(1－x2－y2);(4)f (x,y)=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y=-x 时，函数无定义，所以函数在直线y=-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续. (4)因为点P(x,y)沿直线y=x 趋于O(0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： (1)z = x2y+2x y ;(2)s =22u v uv+;; (4)z = lntan x y; (5)z = (1+xy)y; (6)u = zxy; (7)u = arctan(x-y)z; (8)yzu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s vu =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+ (4)21122sec csc ,tan z x xx x y y y yy∂=⋅⋅=∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+ 故 []221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+ (6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂(7)11221()().1[()]1()z z z zu z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- (8)1.yzu y x x z-∂=∂9.已知22x y u x y=+，求证：3u u xy u x y∂∂+=∂∂. 证明：222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z zx y z x y∂∂+=∂∂. 证明：11112211e e x y x y z x x x ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x,y 的对称性得 故11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂ 11.设fx(x,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z zx xx ∂∂==∂∂设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tanα=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z = x4+ y4-4x2y2; (2)z = arctan y x;(3)z = yx;(4)z = 2e x y +.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x,y 的对称性知 (2)222211z y y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂(4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx=+15.设z = x ln ( x y)，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =;(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy) 取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则 (1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm, 当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20.解：因为圆锥体的体积为21.3V r hπ=⋅0030,0.1,60,0.5r r h h====-而221.33V VV dV r h yh r r hr hππ∂∂≈=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂0030,0.1,60,0.5r r h h====-时，2213.1430600.130(0.5)33Vπ≈⨯⨯⨯⨯+⨯⨯-230()cm=-21.解：设水池的长宽深分别为,,x y z则有:V xyz=精确值为：50.242 2.850.22 3.6 2.80.2V=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯313.632()m=近似值为:V dV zx y xy z≈=+0.4,0.4,0.2x y z ===430.4530.4540.2V dV ≈=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯314.8()m =22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； (2)z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v,y ＝u －v,求z u ∂∂,z v∂∂； (3)ln(e e )xyu =+,y ＝x3,求d d ux; (4)u ＝x2＋y2＋z2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx y u v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x y x x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1)22(,e );xyu f x y =- (2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xy z xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+25. 设22()yz f x y =-，其中f(u)为可导函数，验证： 211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,zf x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂ 由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,zy yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yzxf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u uuu u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22u η∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂ 29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(1)2sin e 0xy xy +-=，求d d yx ;(2)arctan y x =，求d d y x；(3)20x y z ++-=，求,z zx y∂∂∂∂; (4)333z xyz a -=，求22,z z x y ∂∂∂∂. 解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2, 则 2e ,cos 2,xx y F y F y xy =-=-故 22d e e d cos 2cos 2x xx y F y y y x F y xy y xy--=-=-=--. [解法2] 方程两边对x 求导，得()2cos e 02x y y y x yy '⋅+-='+⋅故 2e .cos 2xy y y xy-'=- (2)设()221(,)ln arctanln arctan ,2y y F x y x y x x==-+ ∵222222121,21x xx y y F x y x y x y x +⎛⎫=-⋅=- ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭222221211,21y yy x F x y x x y y x -=-⋅=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴d .d x y F y x y x F x y+=-=- (3)方程两边求全微分，得d 2d d 0,x y z ++-=,z x y =则d ,z x y =+故z z x y ∂∂==∂∂ (4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--,23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-则223,33x z F z yz yzx F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xzy F z xy z xy∂-=-=-=∂--()()()()22222222322232222()zz z x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xzxzz x x xz z xy z xyx yzz xy xy z zxy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--30. 设F(x, y, z)=0可以确定函数x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y),证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂. 证明：∵,,,y x z x y zF F F x y zy F z F x F ∂∂∂=-=-=-∂∂∂∴1.y z x y z x F F F x y z F F F y z x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫---⋅⋅=⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 31. 设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数z = z(x,y),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222011111z y x z y zF F F F F F F y F F F z x x F F x F F F F F y F zyy F F y F '''=⋅+⋅=⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'-'∂=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1)22222,2320,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩ 求：d d ,;d d y z x x (2)1,0,xu yv yu xv +=⎧⎨-=⎩求：,,,;u v u v x x y y ∂∂∂∂∂∂∂∂ (3)2(,),(,),u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩ 其中f,g 具有连续偏导数函数，求,;u v x x∂∂∂∂(4)e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求,,,.u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：(1)原方程组变为222222320y z xy z x⎧-=-⎪⎨+=-⎪⎩ 方程两边对x 求导，得d d 22d d d d 23d d y z y x x xy z y z x xx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 当 2162023y J yz y y z-==+≠21d 16(61),3d 622(31)22d 12.2d 6231x y xz x x z x z x J yz y y z y x z xy x y x x J yz y z ----+===--++-===-++(2)设(,,,)1,(,,,),F x y u v xu yv G x y u v yu xv =+-=-,,,,,,,,x y u v x y u v F u F v F x F y G v G u G y G x =====-===-22u v u v F F x yJ x y G G y x===---故 22xvx v F F u yG G v x uux yv x J J x y --∂-+=-=-=∂+ 222222,,.uxu x y v yvuy u y F F xuG G y v vvx uy x J J x y F F v yG G u x u vx uy yJ J x yF F x vG G y u vxu vy y J J x y-∂--=-=-=∂+-∂--=-=-=∂+∂-=-=-=∂+。