习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：
A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);
D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；
点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.
2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？
答: 在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0;
在zOx面上的点，y=0.
3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？
答：x轴上的点，y=z=0;
y轴上的点，x=z=0;
z轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离：
（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；
（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.
解：（1）s=
(2) s==
(3) s==
(4) s==
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.
故
02
s=
x
s==
y
s==
5
z
s==.
6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222
(4)1(7)35(2)
z z
-++-=++--
解得
14
9 z=
即所求点为M （0，0，149
）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB |=|AC |=7.且有
|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.
故△ABC 为等腰直角三角形.
8. 验证：()()++=++a b c a b c .
证明：利用三角形法则得证.见图
7-1
图7-1
9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v
解：
232(2)3(3)
2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c
10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115
D A BA BD =-=--c a 2225
D A BA BD =-=--c a 3335
D A BA BD =-=--c a 444.5
D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则
1Pr j cos604 2.2
u OM OM =︒=⨯= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.
解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则
{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----
解得x =-2, y =3, z =0
故A 的坐标为A (-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：
（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；
（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.
解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==
12Pr j 1
,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-
(2) 12(7PP =
= (3) 12
cos 14x
a PP α== 12cos 14y
a PP β==
12cos 14
z
a PP γ==
(4) 12012{
14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点
. 求合力R 的大小和方向余弦
. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，
1，4）
||==R
cos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -
3j +5k 和
c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a
, b , c .
解：||=
=a
||==b ||3==c
, , 3. a b c ==a b c e
16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k
在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .
17.解：设{,,}x y z a a a a =则有
c o s (1,1)3x a i a a i a i
π⋅====⋅ 求得12x a =
. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =
则222cos 4a b
a b π⋅=⇒=⋅ 则214y a = 求得12
y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=
从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222
-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.
解：设向径OM ={x , y , z }
12{2,5,3}{3,2,5}
M M x y z MM x y z =--+=----
因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩
