第3讲 因式分解2

第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2002年全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ； （2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．(第13届“希望杯’邀请赛试题)思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．(第14届“希望杯”邀请赛试题)思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学历训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为 ．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是 ． (第13届“希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝ ．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是 ．(2003年四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．(第17届江苏省竞赛题)a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 28．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（2000年武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++。

第三讲 因式分解法与韦达定理知识点一、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

常用方法有：提公因式法，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法等。

知识点二、一元二次方程的根与系数的关系若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有a b x x -=+21，a b x x =21 ，根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：（1）()2122122212x x x x x x -+=+ （2）21212111x x x x x x +=+ （3）()2212121))((a x x a x x a x a x +++=++；（4）│21x x -│=()221x x -=()212214x x x x -+例题:1.用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ； (5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．3.已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．4.若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．5.解方程组6.已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =7.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．提升练习:1.方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－82.下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3.方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 4.方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对5.方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝56.一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．47.已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．118.方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且 10．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2 B ．2- C ．12D ．92 11．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于() A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或12．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b a c ∆=-和完全平方式2(2)M a t b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定 13．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为( )A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或 14.方程t (t ＋3)＝28的解为_______．15.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．16.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．17.关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．18.方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．19.．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______20.．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．21．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．22．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．23．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．24．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0； (8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．25．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．26．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．27．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．28．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．29．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n 的值．30．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．31．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长．(1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．32．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x 。

教育教学讲义 学员姓名： 年 级： 学科教师： 上课时间：辅导科目：数学 课时数：2 课 a因式分解 教学目标 讲解因式分解的三种方法1提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解教学内容课前检测知识梳理6.1 Q 式今解谁能以最快速度求：当a=101 , b=99时，聲・*的值？概念•像这样,把一个多巩式化成几个整式的积的形式叫因式分解.有时■也把这一过程叫分解因式•下列代数式变形中，哪些足因武分解？哪些不是？为什么？①左边是多项式f 右边是整式；②右边是整式的乘积的形式・a( <a+l ) =a?+a;1 }; (a+b ) ( d —b )=^—62;決一bT ( a+5 ) ( a —b ) • 2十2a 十 1=( a+L )3运算运算 1・填空(整式乘法，因式分解) 2・这两种运算是什么关系？(互逆)图示表示：2譏3)3).例2；把下列各式分解因武：(1 ) am+im ：(2) a 2-底因式分解・ 3・解决问题•(1 > Ja( O+2 ) (3 > x J -4= (x*2 ) < x-2 );(5 ) &一 (7) zzA 2—( b —2 > ； (9) (2 ) 3a 2+6a=3a( a+2 ):(4 ) x 2—4+3x= ( x4-2、( x —2 ) +3客; (6)x 2-4+3x=( x-h4)(x-1 );(8 ) | J 2=X 2^-2^4(10 )元-4= ( +2)( y/~x~-2 )• 尤耳2+⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幕(3)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以宜接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：(1) x2-9；(2) 9x2-6x+l.二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

第3讲因式分解1.简单的因式分解2.用整体思想因式分解3.因式分解的运用【考点归纳】因式分解（1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式。

【例题1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2C．ax+bx+c=x（a+b）+c D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）【例题2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1）【例题3】下列式子变形是因式分解的是（）A．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4C．（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3 D．x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）（2）因式分解的方法：①提取公因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=m(a+b+c)；【公因式】【例题1】多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（）A．4ab2B．4abc C．2ab2 D．4ab【例题2】多项式4ab2+8ab2﹣12ab的公因式是（）A．4ab B．2ab C．3ab D．5ab【例题3】（2018春•乐亭县期末）2x3y2与12x4y的公因式是．【提取公因式】【例题1】（2018•大连）因式分解：x2﹣x=．【例题2】（2018•舟山）分解因式：m2﹣3m=．【例题3】（2018•潍坊）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=．【例题4】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）=．【练习1】（2018•繁昌县二模）因式分解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）=．【练习2】（2018•邵阳县模拟）因式分解：ma+mb+mc=．【练习3】（2018春•开江县期末）因式分解：3x3﹣6xy+3xy2=．②运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。