第十讲 因式分解及其应用

因式分解的知识点总结因式分解是数学中的重要知识点之一，它在代数运算、方程求解、解决实际问题等方面起到了重要作用。

因式分解的目的是将复杂的代数式或多项式表示为简单的因式乘积形式，从而揭示其内在的性质和关系。

下面将对因式分解的定义、方法和应用进行总结。

一、因式分解的定义因式分解是将一个代数式或多项式分解为若干个互不相等、不可再分的因式的乘积形式。

因式分解的基本原则是尽量找出能够整除原式的因式，然后重复这一过程，直到无法再分解为止。

二、因式分解的方法1.提取公因式：当一个多项式的各项中存在一个公因式时，可以通过提取公因式来进行因式分解。

具体步骤是找出各项的最高公因式，然后提取出来，余下的部分就是新的因式。

2.公式法：对于一些特定的多项式，可以利用已知的公式进行因式分解。

常用的公式有平方差公式、差平方公式、和差积公式等。

3.配方法：对于一个二次多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次多项式的乘积形式。

具体步骤是将二次项拆解成两个一次项相乘的形式，然后根据一次项的系数和常数项进行组合。

4.完全平方公式：对于一个二次多项式，如果能够表示为两个一次多项式的平方和的形式，则可以利用完全平方公式进行因式分解。

5.分组法：对于一个含有四个以上项的多项式，可以通过将其分成两组或多组来进行因式分解。

具体步骤是找出各组之间的公因式，然后进行提取，最后再对各组的公因式进行提取。

6.根据题目的要求进行因式分解：在实际问题中，可能会给出一些特殊的条件或要求，可以根据这些特殊条件进行因式分解。

三、因式分解的应用因式分解在数学中起到了重要的作用，它不仅可以简化代数式的计算，还可以帮助我们解决实际问题和证明数学定理。

以下列举了因式分解的一些常见应用。

1.求解方程和不等式：通过因式分解，可以将复杂的方程或不等式转化为简单的乘积形式，从而更容易求解。

2.展开与合并式子：通过因式分解，可以将复杂的多项式展开成为简单的乘积形式，或者将多个因式合并成为一个多项式。

因式分解的原理及应用1. 原理因式分解是一种数学方法，它将一个多项式表示为多个较简单的乘积形式。

原理是找出多项式中的公因子，并将其分解为乘积的形式。

因式分解在代数中有广泛的应用，并且是解决多项式方程、简化计算和推导其他数学概念的重要工具。

因式分解的原理可以归结为以下几个关键步骤：1.找出多项式中的公因子。

这是因式分解的第一步，通过找到多项式中的公因子，可以将多项式分解为较简单的乘积形式。

2.使用分配律。

使用分配律来展开多项式，将多个项拆分为更小的乘积形式。

3.使用特定的因式分解公式。

对于一些特定的多项式形式，有一些常用的因式分解公式可以应用。

例如，平方差公式可以将一个差的平方形式因式分解为两个乘积。

4.检查是否可以再次分解。

在应用上述步骤后，检查是否可以进一步分解多项式，直到无法再分解为止。

2. 应用因式分解在数学中有广泛的应用。

以下是因式分解的一些常见应用场景：2.1 多项式方程的解通过因式分解多项式方程，可以更容易地找到方程的解。

对于一元多项式方程，通过将方程化简为乘积形式，可以把解的问题转化为求解每个因子为零的问题。

举例来说，考虑方程x2−4x=0。

通过因式分解，可以将方程化简为x(x−4)=0，然后求解得到x=0和x=4为方程的解。

2.2 多项式的简化计算因式分解可以简化多项式的计算，特别是在进行加法、减法和乘法操作时。

通过将多项式分解为较简单的乘积形式，可以减少计算的复杂度。

举例来说，考虑多项式x2+4x+4。

通过因式分解，可以将多项式简化为(x+ 2)2，从而减少了计算乘法的步骤。

2.3 推导其他数学概念因式分解在推导其他数学概念时也起着重要的作用。

例如，平方差公式可以通过因式分解的方法推导得到。

平方差公式描述了两个数的平方之差的因式分解形式。

通过因式分解，可以将差的平方形式分解为两个乘积，这是许多数学推导中常用的一种技巧。

3. 总结因式分解是一种重要的数学方法，它可以将多项式表示为多个较简单的乘积形式。

第13讲 因式分解及其应用考点·方法·破译1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解经典·考题·赏析【例１】⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________【解法指导】形如222a ab b ±+的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式，∴6kxy xy =± ∴6k =±； ⑵22225522y x xy ky x x ky -+=-⋅⋅+是完全平方式，∴225()2ky y = ∴254k = 【变式题组】01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值04．（四川省初二联赛试题）已知a 、b 、c 满足22|24||2|22a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-⑵42224(2)(2)(2)(x x x x x x -=+-=+⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++--【变式题组】⑴3223223612x y x y x y -+⑵2222(1)2a x ax +-⑶222045a bx bxy -⑷2249()16()a b b a --+⑸222(5)8(5)16a a -+-+【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数多个【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知，在整数范围内分解因式25x x p -+，p 为(5)n n -的积为整数，∴p 有无数多个，因而选D【变式题组】⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个【例4】分解因式：⑴221112x x -+⑵22244x y z yz --+⑶22(52)(53)12x x x x ++++-⑷226136x xy y x y +-++-【解法指导】解：⑴ ∴221112(23)(4)x x x x -+=--⑵222244x y z y --+222(44)x y yz z =--+22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =+--+ ⑶设2525x x ++=，则原式可变为2(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++ 2 1 －3 －422(51)(56)x x x x =+-++2(51)(2)(3)x x x x =+-++⑷226136x xy y x y +-++-22(6)(13)6x xy y x y =+-++-(2)(3)(13)6x y x y x y =-+++-(23)(32)x y x y =-++-【变式题组】01．分解因式：⑴2224912x y z yz --- ⑵224443x x y y --+-⑶236ab a b --+ ⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++⑸261910y y -+【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=的整数解；⑵（希望杯）设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解； ⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x 、y 为正整数的特点，结合不等式求解. 解：⑴64970xy x y +--=，(64)(96)1xy x y +-+=，2(32)3(32)1x y y +-+=，∴(23)(32)1x y -+=，∵x 、y 都是整数 ∴{{(23)1(23)1(32)1(32)1x x y y -=-=-+=+=-或 ∴{21113x x y y =⎧⎪=⎨=-=-⎪⎩（舍去）或，∴方程的整数解为{11x y ==-， ⑵224960x y y ++-=，2244100y y x ++=-，22(2)100y x +=-，∵21000x -≥∴2100x ≤ ∵x 为正整数，∴x ＝1，2，…，10 ，又∵2(2)y +是平方数，∴x ＝6或8当x ＝6时2(2)y +＝64，y ＝6，当x ＝8时2(2)y +＝36，y ＝4，∴xy ＝36或32【变式题组】01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y+-+的值是___________ 02.（第二届宗沪杯）已知a 、b 为整数，则满足a ＋b ＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有__________03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种04．方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不少于3个05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.【例6】已知k 、a 都是正整数，2004k ＋a 、2004（k ＋1）＋a 都是完全平方数⑴请问这样的有序正整数（k 、a ）共有多少组？⑵试指出a 的最小值，并说明理由.解：⑴22004k a m +=① 22004(1)k a n ++=②，这里m 、n 都是正整数，则222004n m -= 故()()2004223167n m n m +-==⨯⨯⨯注意到，m n +、n m -奇偶性相同，则{{100233426n m n m n m n m +=+=-=-=或，解得{{500164502170m m n n ====或， 当n ＝502，m ＝500时，由①得2004k ＋a ＝250000，所以2004(124)1504a k =-+③由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共124组当n ＝170，m ＝164时，由①得2004k ＋a ＝26896所以2004(13)844a k =-+④由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共13组从而，满足要求的正整数组（k 、a ）共有124＋13＝137（组）⑵满足式③的最小正整数a 的值为1504，满足式④的最小正整数a 的值为844，所以，所求的a 的最小值为844【变式题组】01．（北京竞赛）已知a 是正整数，且22004a a +是一个正整数的平方，求a 的最大值02．设x 、y 都是整数，y y 的最大值演练巩固 反馈提高01．如果分解因式281(9)(3)(3)n x x x x -=++-，那么n 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 02．若多项式22(3)(3)x pxy qy x y x y ++=-+，则p 、q 的值依次为（） A ．12-，9- B ．6，9- C ．9-，9- D ．0，9-03．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．291(91)(91)x x x -=+-B ．4221(1)(1)a a a -=+-C ．2281(9)(9)a b a b a b --=--+D ．32()()()a ab a a b a b -+=-+-04．多项式()()()()x y z x y z y z x z x y +--+-+---的公因式是（ ）A ．x y z +-B ．x y z -+C ．y z x +-D ．不存在05．22()4()4m n m m n m+-++分解因式的结果是（）A．2()m n+B．2(2)m n+C．2()m n-D．2(2)m n-06．若218x ax++能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（）A．4个B．6个C．8个D．无数个07．已知224250a b a b++-+=，则a ba b+-的值为（）A．3 B．13C．3-D．13-08．分解因式：2(2)(4)4x x x+++-＝__________________09．分解因式：22423a b a b-+++＝__________________10．分解因式：33222x y x y xy-+＝___________________11．已知5a b+=，4ab=-，那么22223a b a b ab++的值等于____________ 12．分解因式：2242x y x y-++＝_______________13．分解因式：2()6()9a b b a---+＝_________________14．分解因式：222(41)16a a+-＝___________________15．已知20m n+=，则332()4m mn m n n+++的值为_____________ 16．求证：791381279--能被45整除17．已知9621－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数培优升级 奥赛检测01．（四川省初二数学联赛试题）使得381n +为完全平方数的正整数n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．502．（四川省初二数学联赛试题）设m 、n 是自然数，并且219980n n m --=，则m ＋n 的最小值是（ ）A ．100B ．102C ．200D ．不能确定03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程32326527991x x x y y y ++=+++的正整数对（x ，y ）有（ ）A ．0对B ．1对C ．3对D ．无数对04．（全国初中数学竞赛试题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（）A ．0B ．1C ．3D ．无穷多05．（四川省初二数学试题）已知42(1)M p p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=，则M＝（）A ．2009B ．2005C ．2003D ．200006．（仙桃竞赛试题）不定方程2()7x y xy +=+的所有整数解为_________________07．已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式，那么3211m n +-的值是______08．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个 09．一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数，如2648=，64就是一个完全平方数；若22222992299229932993a =+⨯+，求证a 是一个完全平方数10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求2222()()a b xy ab x y +++的值11．若a 为自然数，则4239a a -+是质数还是合数？请你说明理由12．正数a 、b 、c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是（mn ＋9m ＋11n ＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。

多项式的因式分解及其应用多项式因式分解是代数学中的重要内容之一，它可以将一个复杂的多项式表达式分解为简单的乘积形式，从而使问题变得更易解决。

本文将介绍多项式因式分解的基本原理和方法，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、多项式的因式分解原理及方法多项式因式分解的原理是基于整式乘法运算的逆运算，即将一个多项式分解为几个较小的因式的乘积形式。

下面以一些常见的多项式类型为例，介绍常用的因式分解方法。

1. 一次多项式的因式分解一次多项式是指次数为1的多项式，形如ax+b。

对于一次多项式，我们只需找到它的一个根 r （满足 ar + b = 0），就可以将原多项式分解为(x - r)的形式。

2. 二次多项式的因式分解二次多项式是指次数为2的多项式，形如ax^2+bx+c。

对于二次多项式，最常用的因式分解方法是配方法，即找到一个常数m，使得ax^2+bx+c=a(x+m)^2+n，其中n是常数。

然后我们将得到的等式展开并进行整理，即可得到原多项式的因式分解形式。

3. 含有因式公因子的多项式因式分解如果一个多项式中存在一个公因子，并且其他部分没有其他公因子，那么我们可以将这个公因子提取出来，并对其余部分进行因式分解。

例如，对于多项式3x^3+9x^2，我们可以先提取公因子3x^2，得到3x^2(x+3)。

4. 完全平方差的多项式因式分解如果一个多项式是两项的平方差形式，即a^2 - b^2，可以根据差的平方公式将其因式分解为(a - b)(a + b)。

二、多项式因式分解的应用多项式因式分解广泛应用于数学和实际问题中，以下列举了几个常见的应用场景。

1. 解多项式方程通过将多项式进行因式分解，可以将原方程转化为多个简单的因式，从而更容易求解。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以将其因式分解为(x+2)(x+3)=0，得到x=-2或x=-3。

2. 确定导函数的零点和极值点在微积分中，我们可以通过对多项式进行因式分解，来确定其导函数的零点和极值点。

多项式的因式分解及其应用多项式是数学中的重要概念，它在代数学、数论等领域中有着广泛的应用。

在代数学中，多项式的因式分解是一个重要的研究内容，它可以帮助我们理解多项式的性质、求解方程以及解决实际问题。

本文将介绍多项式的因式分解的基本概念、方法以及其在实际问题中的应用。

一、多项式的因式分解的基本概念多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因子的乘积的形式。

在代数学中，我们通常将多项式的因式分解分为两种情况：一是将多项式分解为一次因式的乘积，二是将多项式分解为二次及以上次数的因式的乘积。

对于一次因式的乘积，我们可以直接通过提取公因子的方法进行分解；而对于二次及以上次数的因式的乘积，我们需要运用一些特定的方法进行分解。

二、多项式的因式分解的方法1. 一次因式的分解对于一次因式的分解，我们可以通过提取公因子的方法进行。

例如，对于多项式3x + 6y，我们可以将其分解为3(x + 2y)。

在这个过程中，我们提取了公因子3，得到了分解后的形式。

2. 二次及以上次数的因式的分解对于二次及以上次数的因式的分解，我们可以运用一些特定的方法，如因式定理、配方法、分组分解等。

这些方法可以帮助我们将多项式分解为乘积的形式，从而更好地理解多项式的性质。

三、多项式的因式分解在实际问题中的应用多项式的因式分解在实际问题中有着广泛的应用。

以下将介绍多项式因式分解在数学、物理、经济等领域中的具体应用。

1. 数学领域在数学领域中，多项式的因式分解常常用于求解方程。

通过将方程进行因式分解，我们可以更快地找到方程的解。

例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x - 2) = 0，从而得到方程的解x = 2和x = -2。

2. 物理领域在物理领域中，多项式的因式分解可以帮助我们理解物理现象。

例如，对于运动学中的位移公式s = vt + 1/2at^2，我们可以将其因式分解为s = t(v + 1/2at)，从而更好地理解位移与时间、速度、加速度之间的关系。

七年级数学：因式分解精讲，建议收藏七年级数学中，因式分解是一个非常重要的知识点，它涉及到整式的运算、方程的解法、计算规律的探究等等，因此十分值得我们重视。

本文将详细介绍因式分解的概念、方法和技巧，并给出一些练习建议，帮助同学们深入理解这一知识点。

一、因式分解的概念及意义因式分解指将一个多项式拆分成乘积的形式，其中每一项被称为因式。

例如，$6x^2+9x$可以分解为$3x(2x+3)$，其中$3x$和$2x+3$为因式。

因式分解的意义主要有以下几个方面：1.方便进行乘法和约简运算。

通过因式分解，我们可以将一个式子化简为形式更简洁、易于计算的形式，从而更便于进行乘法和约简运算。

2.解决方程和不等式。

在解方程和不等式的时候，需要将复杂的多项式转化为等式或不等式的形式，此时因式分解可以派上用场，将式子转化为乘积形式后更易于解决。

3.发现规律和应用。

在一些求和、计算公式等问题中，由于形式过于复杂，我们难以直接进行分析和求解，此时可以采用因式分解的方法，将式子变形为更易于分析和计算的形式，帮助我们发现规律和应用。

二、因式分解的方法和技巧因式分解的方法和技巧有很多种，下面将介绍一些常见的方法和技巧。

1.公因式法。

公因式法是最基础的因式分解方法，即找出多项式中所有项的公因式，并将其提取出来。

例如，$4x^2-12x=4x(x-3)$，其中4x是公因式。

2.配方法。

在多项式中，有些项之间存在着一些值得注意的关系，例如$ab+ac$中的$a$可以因式分解成公因式$a(b+c)$。

此外，常用的配方法还有平方差公式和差平方公式等。

3.分组分解法。

分组分解法指将多项式中的项按一定的方法分组，然后再分别因式分解，并试图将各组得到的乘积合并。

这种方法在多项式中具有广泛的应用。

4.因式定理。

因式定理是在分组分解的基础上得到的一种方法，它可以直接得到多项式的因式拆分结果，是一种快捷有力的因式分解方法。

三、练习建议掌握任何一门学科都需要多加练习，数学也不例外。

因式分解的基本性质及应用因式分解是将一个多项式分解成较简单的乘积形式的过程。

因素分解的基本性质和应用包括以下几个方面：1. 唯一性：一个多项式的因式分解不是唯一的，但是当我们考虑整数多项式时，因式分解是唯一的。

这是因为整数多项式的因子只能是整数常数或次数为1的一次多项式，而这些多项式已经是不可再分解的。

2. 分解定理：分解定理表明，如果一个多项式P(x)在x=a处取值为0，则P(x)可以被x-a整除。

这意味着x-a是P(x)的一个因子，或者等价地说，P(x)可以分解成(x-a)乘以另一个多项式Q(x)。

3. 公因式提取：公因式提取是一种将多项式的各项提取出一个公因子的方法。

例如，在多项式2x^3+4x^2中，可以提取出2x^2，然后得到2x^2(x+2)。

这个方法在简化多项式计算、化简分式等方面非常有效。

4. 因式分解定理：因式分解定理表明，一个多项式P(x)可以分解成多个一次或者二次的因子。

这个定理对于计算多项式的根和化简复杂的多项式表达式非常有用。

5. 最大公因式：最大公因式是多个多项式的最高次的公因式。

最大公因式的求解可以通过因式分解的方法进行。

最大公因式在多项式的约分、分式的化简等方面扮演着重要的角色。

6. 应用方面：因式分解在数学和物理等方面有着广泛的应用。

在数学中，因式分解可以用于求解多项式方程的根，化简复杂的表达式，计算多项式的导函数等。

在物理中，因式分解可以用于分解物体的运动方程，分析物理过程等。

除此之外，因式分解还有其他的一些应用。

例如在数论中，因式分解可以用于分析质数和合数的性质，判断一个数的因子等。

在代数几何中，因式分解可以用于分析曲线的结构和性质。

在概率论中，因式分解可以用于计算事件的概率等。

因式分解是数学中一个非常重要和基础的概念，在数学和其他学科中都有着广泛而重要的应用。

因式分解的方法及应用因式分解是一种将一个多项式表达式写成一系列乘法形式的方法。

它在数学中有广泛的应用，包括解方程、求极值、化简表达式等等。

以下是一些常用的因式分解方法和应用：1. 提取公因式：如果一个多项式中的各项都有一个公因式，可以将这个公因式提取出来。

例如，对于多项式3x+6y，可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。

2. 分组因式分解：对于一个多项式中的各项，可以进行分组，然后在每个组内进行因式分解。

例如，对于多项式2x+3xy+4y+6xy，可以分成两组，得到(2x+3xy)+(4y+6xy)，然后将每个组内分别提取公因式，得到x(2+3y)+2(2+3y)，再将公因式(2+3y)提取出来，得到(2+3y)(x+2)。

3. 平方差公式：对于一个二次多项式a-b，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(a+b)(a-b)。

例如，对于多项式x-4，可以使用平方差公式，得到(x+2)(x-2)。

4. 求根公式：对于一个二次多项式ax+bx+c，可以使用求根公式进行因式分解，得到(ax-r)(ax-r)，其中r和r是方程ax+bx+c=0的根。

例如，对于多项式x-5x+6，可以使用求根公式，得到(x-2)(x-3)。

5. 完全平方公式：对于一个二次多项式a+2ab+b，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到(a+b)。

例如，对于多项式x+4x+4，可以使用完全平方公式，得到(x+2)。

6. 差平方公式：对于一个二次多项式a-2ab+b，可以使用差平方公式进行因式分解，得到(a-b)。

例如，对于多项式x-6x+9，可以使用差平方公式，得到(x-3)。

因式分解的应用包括：1. 解方程：通过因式分解，可以将一个多项式方程转化为多个一次方程或二次方程，从而求解方程的根。

2. 求极值：通过因式分解，可以将一个多项式表达式转化为一系列乘法形式，进而确定多项式的最大值或最小值。

3. 化简表达式：通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表达式化简为更简洁的形式，便于计算和理解。

因式分解的应用与实例概述因式分解是数学中一个重要的概念和技巧，广泛应用于代数运算、方程求解以及数论等领域。

通过将一个复杂的表达式或方程分解为更简单的因子，我们能够更好地理解其结构和特性，从而更高效地解决问题。

应用场景1. 方程求解：在代数中，我们经常遇到各种形式的方程，如一次方程、二次方程等。

通过因式分解，我们可以将复杂的方程转化为一系列简单的因子，并从中找到解的方法。

2. 多项式运算：在代数中，多项式的加减乘除运算是常见的操作。

因式分解可以帮助我们简化多项式的表达式，并更方便地进行运算。

3. 数论问题：因式分解在数论中也有重要的应用。

通过将一个数进行因式分解，我们可以更好地理解其素数因子的分布规律，进而研究数论问题。

4. 几何问题：在几何学中，因式分解可以帮助我们分析和理解几何图形的性质和结构。

例如，可以通过因式分解得到一个三角形的面积公式，从而更方便地计算其面积。

实例说明1. 方程求解实例：- 将一次方程2x + 3 = 7进行因式分解，得到2(x + 3/2) = 7，从而得到x = 7/2 - 3/2 = 2/2 = 1的解。

- 将二次方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3的解。

2. 多项式运算实例：- 将多项式2x^2 + 3x + 1进行因式分解，得到(2x + 1)(x + 1)的形式，从而可以更方便地进行多项式的运算。

3. 数论问题实例：- 将数15进行因式分解，得到3 × 5的形式，从而可以了解15的素数因子分布。

4. 几何问题实例：- 将三角形的面积公式S = 1/2 * base * height进行因式分解，得到S = base/2 * height的形式，从而更方便地计算三角形的面积。

因式分解作为数学中重要的概念和技巧，在代数运算、方程求解以及数论等领域都有广泛的应用。

通过因式分解，我们可以简化问题的表达和计算，更深入地理解数学问题的本质。

第10讲 因式分解的应用如果你不能解决这个提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关的问题。

辅助问题可能提供方法论的帮助。

它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作等等。

——波利亚 知识方法扫描因式分解是一种重要的恒等变形。

利用恒等变形，我们可以解决许多数学问题。

如求代数式的值；证明不等式；处理与整数有关的一些问题：分解质因数、判断数的整除性、求方程的整数解等。

经典例题解析例1．（2005年东清市初中数学竞赛试题）已知正实数a,b,c 满足方程组222229,217,225.a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩求a+b+c 的值。

解 三式相加，得：2222()(222)72(a +b +c )()720. [(a +b +c )+9][(a +b +c )-8]=0.a b c a b c a b b c c a a b c ++++++++=∴+++-=∴∵ a,b,c 都是正实数，a+b+c+9>0. a+b+c=8.∴∴ 例2 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a 为正整数，则a 4-3a 2+9是质数还是合数？给出你的证明。

解 a 4-3a 2+9= a 4+6a 2+9-9a 2=( a 2+3)2-(3a)2=( a 2+3a+3)( a 2-3a+3)=( a 2+3a+3)[( a-1)(a-2)+1]当a=1时，a 4-3a 2+9=7是质数；当a=2时，a 4-3a 2+9=13是质数；当a>2时, a 2+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故a 4-3a 2+9是合数。

例3．(第17届江苏省初二数学竞赛试题)多项式x 2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式(x+b)，(x+c)的乘积, 则a 的值应为多少？解 因x 2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x 2+(b+c)x+bc ，故有b+c=-a-5, bc=5a-1消去a, 变形得 （b+5）(c+5)=-1因 b ，c 是整数，故有b=-4,c=-6 或b=-6,c=-4。

因式分解的应用（初中数学竞赛资料）因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。

它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。

下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。

一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y) ∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<="" p="">A. x<y<z< p="">B. y<z<x< p="">C. z<x<y< p="">D. 不能确定解：∵a<b<c<d，< p="">∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c －b)<0，即；x<y。

因式分解什么是因式分解？在代数学中，因式分解是指将一个多项式表达式写成两个或多个乘积的形式。

通过因式分解，我们可以简化复杂的多项式，更好地理解和计算。

为什么要进行因式分解？因式分解有很多实际应用，尤其在代数学和求解方程问题中非常重要。

以下是因式分解的几个重要作用：1.简化计算：通过将多项式进行因式分解，我们可以将复杂的计算简化为一系列简单的乘法运算。

2.找到根：通过因式分解，我们可以将多项式等式转化为相等的乘法形式，从而更轻松地找到方程的解。

3.转化问题：将多项式进行因式分解，可以让问题转化为更容易解决的形式。

因式分解的基本方法公因式提取法公因式提取法是最常用的因式分解方法，它基于以下原则：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，则可以将这个因子提取出来。

下面是一些例子来解释这个方法。

例子1：将多项式2x^2 + 4x进行因式分解。

首先观察多项式的每一项，我们发现每一项都有2x这个因子，因此我们可以将2x提取出来：2x^2 + 4x = 2x(x + 2)我们得到了因式分解的结果。

例子2：将多项式6a^3b^2 + 9ab^2进行因式分解。

观察多项式的每一项，我们发现每一项都有3ab^2这个因子，因此我们可以将3ab^2提取出来：6a^3b^2 + 9ab^2 = 3ab^2(2a^2 + 3)我们得到了因式分解的结果。

分组法分组法是另一种常用的因式分解方法，它适用于多项式中存在四项及以上的情况。

下面是一个例子来解释这个方法。

例子3：将多项式x^3 + x^2 + x + 1进行因式分解。

这个多项式有四项，我们可以将其分为两组：(x^3 + x^2) + (x + 1)在每一组中，我们可以提取因子x^2和1：x^2(x + 1) + 1(x + 1)现在，我们可以再次提取公因子(x + 1)：(x + 1)(x^2 + 1)我们得到了因式分解的结果。

公式法公式法适用于特定的多项式形式，包括差平方和、和平方差、二次三项完全平方等。

有限域上因式分解及应用有限域是一个包含有限个元素的数学结构。

它是一种重要的代数结构，在密码学、编码理论、数字信号处理等领域有广泛应用。

在有限域上，整除关系和因式分解与我们熟知的自然数域上的情况有很多不同。

本文将介绍有限域上的因式分解及其应用。

一、有限域上的整除关系在自然数域上，可以使用除法算法判断整除关系。

但是，有限域Q(p)上，除法算法并不存在。

为了描述有限域上的整除关系，我们需要定义模运算。

有限域Q(p) 上，模运算记作a \pmod p。

定义如下：对于任意整数a，比p 小的最大非负整数n，我们可以写成a-qp，其中q 是整数。

则a \pmod p 的意思是它的值和0 至p-1 中的一个一样。

即a \pmod p = \{ a - qp q \in \mathbb{Z}, 0 \leq a -qp < p \}例如，若p=5，且a=17，则17 \pmod 5 = \{12\}而在有限域Q(p) 上，一个元素a 模p 的值必然是一个Q(p) 上的元素。

这个元素是唯一的。

因此，在有限域Q(p) 上，我们可以定义整除关系。

定义：如果a 和b 能够产生整数k使得a = bk 且k \neq 0，则我们说a整除b，记作a b。

例如，在有限域Q(11) 上，4 12 是成立的，因为12=4\times 3。

但3 7 是不成立的，因为没有整数k使得7=3k。

与自然数域的情况不同的是，有限域上不是每个元素都能够产生因子。

例如，在有限域Q(11) 上，元素3 就无法产生因子，也就是k 不存在使得3=4k。

二、有限域上的因式分解在有限域上，因式分解的一般过程就是将多项式分解为一些不可再分解的因子的积的形式。

每一个不可再分解的因子称作一次不可约多项式，又称为素多项式。

定理：多项式f(x) 在有限域Q(p) 上是可约的，当且仅当存在一个次数小于f(x) 的多项式且它不是0 或\pm1，能整除f(x)，并且次数大于或等于二。

因式分解定义因式分解，其实就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式啦。

就好像把一个大礼包拆分成好几个小礼包一样有趣。

那因式分解有啥用呢？你想啊，如果我们要解方程，因式分解就能让复杂的方程变得简单易懂。

比如说，一个高次方程，通过因式分解，可能就变成了几个一次方程，那解起来就轻松多啦。

因式分解有很多方法哦。

1. 提公因式法。

这就像是从一群小伙伴里找出共同的特点一样。

比如多项式3x+6，我们很容易就发现3是它们的公因式，那么提出来就变成3(x + 2)啦。

有时候公因式可能不是那么明显，可能是一个单项式和一个多项式的组合，比如说x(x - 1)+2(x - 1)，这里的(x - 1)就是公因式，提出来就成了(x - 1)(x + 2)。

2. 公式法。

这里面有平方差公式和完全平方公式等。

平方差公式是a² - b²=(a + b)(a - b)。

你可以想象成两个正方形面积相减，最后得到的是两个长方形的面积之和或者之差。

比如说9x² - 4y²，这里 a = 3x，b = 2y，那么因式分解的结果就是(3x + 2y)(3x - 2y)。

完全平方公式就更有意思啦，(a±b)²=a²±2ab + b²。

像x²+4x + 4，这里 a = x，b = 2，它就可以分解成(x + 2)²。

3. 分组分解法。

这个就像是把一群人分成几个小组来管理一样。

比如说对于多项式ax + ay + bx + by，我们可以把前面两项和后面两项分别分组，得到a(x + y)+b(x + y)，然后再提公因式(x + y)，就得到(a + b)(x + y)。

4. 十字相乘法。

这个方法有点像做乘法口诀表的游戏呢。

对于二次三项式ax²+bx + c，如果能找到两个数m和n，使得m + n = b，mn = ac，那么ax²+bx + c就可以分解成(ax + m)(ax + n)。

本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c++=(0)a≠的两个根是1x和2x,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c++()()12a x x x x=--．内容分析知识结构模块一：二次三项式因式分解知识精讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用【例1】 若方程24210y y --=的两个根是115y +=，215y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________． 【难度】★【例2】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________． 【难度】★【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【难度】★【例4】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★例题解析（1）426x x --； （2）42341x x -+．【难度】★★【例6】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++； （2）242x x --．【难度】★★【例7】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-； （2）2423x x +-； （3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【例10】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 【难度】★★【例11】求证：不论m 为何值，二次三项式222(1)2(4)m x mx m +-++在实数范围内不能分解因式． 【难度】★★★【例12】若3257x x x a +++有一因式1x +，求a 的值．【难度】★★★1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例13】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？ 【难度】★【例14】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税， 1.07744 1.038 ）． 【难度】★知识精讲一元二次方程应用：利率问题例题解析【例15】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【难度】★★【例16】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【难度】★★【例17】小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存．今年到期扣除利息锐（利息税为利息的20%），共取得5145元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）【难度】★★★【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【难度】★【习题2】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【难度】★【习题3】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【难度】★★【习题4】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）A 、1-B 、1C 、2-D 、2【难度】★★随堂检测【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A 、46462x x +-（ B 、4646)()x y x y +-（ C 、46462)()x y x y +--（D 、(246)(246)x y x y y --+【难度】★★【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______． 【难度】★★【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________． 【难度】★★【习题8】 当m ______________时，二次三项式222x x m +在实数范围内能分解因式． 【难度】★★【习题9】 在实数范围内分解因式： （1）276x x --； （2）2297x x ++；（3）2241y y -+；（4）2112x x --．【难度】★★【习题10】 在实数范围内分解因式： （1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+；（4）2(24)2x x +-【难度】★★【习题11】 求证：不论k 为何实数，代数式2(21)1x k x k +++-都可以在实数范围内分解成两个一次因式的积． 【难度】★★★【习题12】 若多项式26821x x k -+-在实数范围内不能分解因式，则k 能取的最小整数值是多少？【难度】★★★【习题13】 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．【难度】★★★【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为122727,x x -+--==，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【难度】★【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________． 【难度】★课后作业11 / 12【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．【难度】★【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D 、2(1)(2)(2)x x x ++ 【难度】★★【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y --D 、22245x xy y -+【难度】★★【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个机同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【难度】★★【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围．【难度】★★12 / 12 【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+； （2）2371x x --+； （3）2525x x -++．【难度】★★【作业9】 在实数范围内分解因式：（1）23231x x -；（2）252102a a -+． （3）2633x x -．【难度】★★★【作业10】 在实数范围内分解因式：（1）2236x xy y -+； （2）32a a a -++． 【难度】★★★【作业11】 小明将勤工俭学得到的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行，到期后可得税后本息约461元（利息税为利息的20%），如果这个期间银行存款的年利率不变，那么这种存款的年利率大约是多少？（精确到0.01%）（只列式不计算）．【难度】★★★。