第9讲 因式分解(一)

9.5 单项式乘多项式法则的再认识——因式分解（一）提公因式法班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:一、教学目标1.理解因式分解的概念.2.掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法.3.培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力.4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法.5.培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯.6.体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点.二、教学重点和难点学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.三、教具、学具硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示.四、教学过程（一）设置情境情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围.（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？（2）你是怎样想到这种简拼方法的?请解释你的做法.情境2：求999＋9992的值说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.情境3：观察分析把单项式乘多项式的乘法法则a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①反过来，就得到ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？（二）认识公因式1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）.2、观察分析①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.分析并猜想确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑.（1）如何确定公因式的数字系数？（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误.练习：写出下列多项式各项的公因式（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab概念2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization factoring）.说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.练习（课本）P88练一练第1题1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；（2）a2－1=（a＋1）（a－1）（3）（a＋1）（a－1）=a2－12、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.（三）例题讨论例1：把下列各式分解因式（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m解：（1）6a3b－9a2b2c=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）（2）－2m3＋8m2－12m=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因.（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项.（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式.（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法.说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰.本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中.例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可.练习：1、课本P88 练一练22、课本P88 练一练33、课本P88 练一练44、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？aa b c五、小结通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试.（4）你还有什么新的认识与体会？六、作业必做 1.课本P89页，习题9.5第1题2.课本P89页，习题9.5第2题3.课本P89页，习题9.5第3题选做 4.已知a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值.5.已知m、n为自然数，且m（m－n）－n（n－m）=7，求m、n的值.。

第9讲因式分解知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础一般；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习因式分解。

在初中重大比赛和考试中直接考因式分解的题很少，但要用到因式分解的题却很多，很多人解题拿不下就是因为因式分解不过关。

中学代数主要做好3件事情：恒等变形与计算、分类讨论、数形结合，因式分解是恒等变形的基础，是个极为重要的工具，因此本节课要好好学习并掌握。

知识梳理讲解用时：20分钟课前回顾整式的乘法回顾：（1）单项式×单项式（2）单项式×多项式a（b+c）=ab+ac（3）多项式×多项式（a+b）·（c+d）=ac+bc+ad+bd乘法公式回顾:1、平方差公式：（a+b）·（a-b）=a²-b²2、完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²幂的计算回顾：(m,n都是整数)(m,n都是整数)()n n nab a b=⋅(n是整数)m n m na a a-÷=（m、n都是整数且a≠0）nmnm aaa+=⋅mnnm aa=)(上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.先来做一个简单的复习吧三、十字相乘法：要点：一拆（拆常数项），二乘（十字相乘），三验（验证十字相乘后的和是否等于一次项）举例：x²+x-6x -2x 3 (-2x)+3x=x对于一般地：四、分组分解法：分组分解法指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分解的因式，分解方式一般分为“1+3”式和“2+2”式.例如：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）因式分解过程的一般步骤和注意点：1、一般步骤：先提公因式，再运用公式法或者十字相乘法，后分组分解，最后是重新整理再分解.2、注意点：在分解因式的时候要注意各个因式是否还能继续分解，直到每一个因式都不能继续分解为止.课堂精讲精练【例题1】分解因式：2（n﹣2）+m（2﹣n）= ．【答案】（2﹣m）（n﹣2）【解析】直接提取公因式（n﹣2）进而分解因式即可．解：原式=2（n﹣2）﹣m（n﹣2）=（2﹣m）（n﹣2）．故答案为：（2﹣m）（n﹣2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：关键是看出题目中的公因式，注意互为相反数的式子提一个负号即可. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习1.1】因式分解：3x2﹣18x= ．【答案】3x（x﹣6）【解析】直接找出公因式进而提取得出答案．解：3x2﹣18x=3x（x﹣6）．故答案为：3x（x﹣6）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习1.2】分解因式8x2y﹣2y= ．【答案】2y（2x+1）（2x﹣1）【解析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：先找数字的最大公约数，再找含相同字母的最低次幂.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】因式分解：m²-n²= .9x2﹣4= ．【答案】(m+n)(m-n) (3x﹣2)(3x+2)【解析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．解：m²-n²=(m+n)(m-n).9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习2.1】分解因式：x2﹣9y2【答案】（x+3y）（x﹣3y）【解析】直接利用平方差公式分解因式即可．解：原式=（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：（x+3y）（x﹣3y）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习2.2】因式分解：9﹣p2= ．【答案】（3﹣p）（3+p）【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：9﹣p2=（3﹣p）（3+p）．故答案为：（3﹣p）（3+p）．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．教学建议：注意看到平方数，并且是符号异号的情况想到用公式法中的平方差公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】分解因式：x2﹣x+1= ．【答案】（x﹣1）2【解析】直接利用完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2把多项式分解即可．解：原式=（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】因式分解：﹣x2﹣y2+2xy= ．【答案】﹣（x﹣y）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：原式=﹣（x2+y2﹣2xy）=﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．讲解用时：2分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．教学建议：注意看到有3项，2项是平方和的形式且符号同号，另1项是乘积的2倍的形式想到用公式法中的完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习3.2】分解因式：m2+2mn+n2= ．【答案】（m+n）2【解析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．解：m2+2mn+n2=（m+n）2．故答案为：（m+n）2．讲解用时：1分钟解题思路：此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．教学建议：直接套用完全平方公式计算.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】因式分解：x2﹣4x+3= ．【答案】（x﹣1）（x﹣3）【解析】把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．讲解用时：2分钟解题思路：本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．教学建议：学会画十字相乘法图示.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习4.1】如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）42cm.【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为：（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=29，∵（m+n）2=m2+2mn+n2，∴（m+n）2=29+20=49，∵m+n＞0，∴m+n=7，∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．教学建议：观察图形，学会十字相乘法分解因式.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】分解因式：m2﹣25+9n2+6mn．【答案】（m+3n+5）（m+3n﹣5）【解析】首先分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．解：原式=（m2+6mn+9n2）﹣25=（m+3n）2﹣25=（m+3n+5）（m+3n﹣5）．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．解：a2﹣2ab+b2﹣1，=（a﹣b）2﹣1，=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．教学建议：学会运用分组分解法来解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】因式分解（1）ax2﹣16ay2（2）﹣2a3+12a2﹣18a（3）（x+2）（x﹣6）+16（4）a2﹣2ab+b2﹣1．【答案】（1）a（x+4y）（x﹣4y）（2）﹣2a（a﹣3）2 （3）（x﹣2）2；（4）（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）.【解析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式（3）先展开，然后利用完全平方公式（4）先分组，然后再利用完全平方公式和平方差公式．解：（1）原式=a（x2﹣16y2）=a（x+4y）（x﹣4y）（2）原式=﹣2a（a2﹣6a+9）=﹣2a（a﹣3）2（3）原式=x2﹣4x+4=（x﹣2）2（4）原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）讲解用时：3分钟解题思路：本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法与公式法，本题属于基础题型．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】将下列多项式因式分解（1）8x2﹣4xy（2）3x4+6x3y+3x2y2（3）a2﹣ab+ac﹣bc【答案】（1）4x（2x﹣y）；（2）3x2（x+y）2；（3）（a﹣b）（a+c）．【解析】（1）提取公因式4x即可得；（2）先提取公因式3x2，再利用公式法分解可得；（3）利用分组分解法，将a2﹣ab、ac﹣bc分别作为一组提取公因式后，再分解可得．解：（1）原式=4x（2x﹣y）；（2）原式=3x2（x2+2xy+y2）=3x2（x+y）2；（3）原式=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法和分组分解法因式分解．教学建议：熟练掌握因式分解的几种方法并熟练运用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【答案】﹣6【解析】将原式提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．解：∵xy=﹣3，x+y=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=﹣3×2=﹣6．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习7.1】已知ab=﹣2，a﹣b=3，求a3b﹣2a2b2+ab3的值.【答案】﹣18【解析】本题要求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值，而代数式a3b﹣2a2b2+ab3恰好可以分解为两个已知条件ab，（a﹣b）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．解：a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2当a﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18，故答案为：﹣18.讲解用时：3分钟解题思路：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．教学建议：先因式分解，再求代数式的值.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】分解因式：2m2﹣m= ．【答案】m（2m﹣1）【解析】直接把公因式m提出来即可．解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．故答案为：m（2m﹣1）．讲解用时：1分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】因式分解（1）m2﹣4n2（2）2a2﹣4a+2．【答案】（1）（m+2n）（m﹣2n）；（2）2（a﹣1）2【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（m+2n）（m﹣2n）（2）原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】因式分解：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）x6﹣x2y4．【答案】（1）（x﹣y）（3a+5b）；（2）x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）【解析】根据因式分解法即可求出答案．解：（1）原式=（x﹣y）（3a+5b）（2）=x2（x4﹣y4）=x2（x2﹣y2）（x2+y2）=x2（x﹣y）（x+y）（x2+y2）讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值．【答案】4【解析】首先提公因式ab，进而分解因式得出答案．解：∵a+b=2，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×2=4．讲解用时：2分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业5】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2=（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．【答案】（1）2a2+2ab=2a（a+b）；（2）2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）.【解析】（1）根据正方形面积求出即可；（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．解：（1）2a2+2ab=2a（a+b），故答案为：2a2+2ab=2a（a+b），（2）如图所示：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．讲解用时：4分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

知识讲解：1.因式分解x 2-5x ；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y 2-16； x 2+12x+36；4x 2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a 或b 为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根 ：x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4. 试求下列方程的根○14x 2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○225y 2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3x 2+10x+25=0; 9x 2-24x+16=0; ○45x 2-2x-41= x 2-2x+43; 2x 2+12x+18=0; 分析：观察○1○2○3三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.○4中的方程结构较复杂，需要先整理. 5.选用合适方法解方程x 2+x+41=0；x 2+x-2=0；(x-2)2 =2-x ；2x 2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.课堂练习：考点一：用提公因式法解一元二次方程【例题】 1、用因式分解法解一元二次方程0)1(2)1(=---x x x ，正确的步骤是（ ）A ．0)2)(1(=++x xB ．0)2)(1(=-+x xC ．0)2)(1(=--x xD ．0)2)(1(=+-x x2、一元二次方程x 2=3x 的解是：【答案】1、D【解析】根据题意，可将方程化为x(x-1)+2(x-1)=0，提公因式（x-1）,有（x-1）（x+2）=0.试题分析：因式分解的一般步骤是：第一，看能不能用提公因式法；第二，公式法，平方差公式和完全平方公式；第三步，对于二次三项式，看能不能用十字相乘法.考点：因式分解.2、x 1=0，x 2=3．【解析】试题分析：利用因式分解法解方程．试题解析：x 2=3x ，x 2-3x=0，x （x-3）=0，x 1=0，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法．【练习】1、方程x(x-2)=2-x 的根是（ ）A ．x=-1B ．x=2C ．120,2x x == D ．121,2x x =-=2、解方程2(2)3(2)x x +=+【答案】1、D 2、122,1x x =-=考点二：用乘法公式解一元二次方程【例题】1、一元二次方程(2x －1)2＝(3－x)2的解是_______________________．2、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。

因式分解的四种方法（讲义）一、知识点睛1.叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①，②，③．3.运用公式法要注意：①，②．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“”；分解因式是有范围的，目前我们是在范围分解因式．二、精讲精练1.下列由左到右的变形，是分解因式的是．①-3x2y2=-3·x2·y2②(a+3)(a-3) =a2-9③m2-4=(m+2)(m-2)④a2-b2+1=(a+b)(a-b) +1⑤2mR+2mr=2m(R+r)⑥y2-4y+4=(y-2)22.分解因式（提公因式法）：（1）-a2+a；（2）8a2b+2ab；（3）12a2b-24ab2+6ab；（4）2a(b+c)-(b+c)；（5）(a-b)(m+1) -(b-a)(n-1)；（6）a(m-2) +b(2-m)；（7）x(x-y)2-y(y-x)2；（8）x m+x m-1．3.分解因式（公式法）：（1）4x2-9；（2）16x2+24x+9；（3）-x2+4xy-4y2；（4）9(m+n)2-(m-n)2；（5）x4-y4；（6）4a2-16；（7）2ab3-2ab；（8）x2(2x-5)+4(5-2x)；（9）(m+n)2-6(m+n)+9；（10）4-12(x-y)+9(x-y)2；（11）(x+3y)2-2(x+3y)(4x-3y) +(4x-3y)2；（12）-8ax2+16axy-8ay2；（13）(a2+b2)2-4a2b2；（14）a4-2a2+1．4.分解因式（十字相乘法）：（1）x2-x-2；（2）x2+4x+3；（3）x2+x-6；（4）x2+3x-4；（5）x2-3x-10；（6）2x2+x-1；（7）3x2-5x+2；（8）3x2-x-10；（9）2x2+15x+7；（10）3x2+xy-2y2；（11）2x2+13xy+15y2；（12）x3-2x2-8x；（13）x4-7x2+12；（14）x4-6x2-27．5.分解因式（分组分解法）：（1）a2-ab+ac-bc；（2）2ax-10ay+5by-bx；（3）m2-5m-mn+5n；（4）3ax+4by+4ay+3bx；（5）1-4a2-4ab-b2；（6）a2+6a+9-9b2；（7）9ax2+9bx2-a-b；（8）a2-2a+4b-4b2．6.用适当的方法分解因式：（1）a2-8ab+16b2-c2；（2）4xy2-4x2y-y3；（3）2(a-1)2-12(a-1)+16；（4）(x+1)(x+2)-12；（5）(2a-b)2+8ab；（6）x2-2xy+y2-2x+2y+1．【参考答案】：一、知识点睛1.把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．2.提公因式法要注意：①公因式要提尽，②首项为负时，先提负号，③提公因式后项数不变．3.运用公式法要注意：①能提公因式先提公因式，②找准公式中的a和b．4.分解因式是有顺序的，记住口诀：“一提二套三分四查”；分解因式是有范围的，目前我们是在有理数范围分解因式．二、精讲精练1．③⑤⑥2．（1）-a(a-1) （2）2ab(4a+1)（3）6ab (2a -4b +1)（4）(b +c )(2a -1) （5）(a -b )(m +n )（6）(m -2)(a -b ) （7）3()x y -（8）1(1)m x x -+ 3．（1）(2x -3)(2x +3)（2）2(43)x + （3）2(2)x y --（4）4(m +2n )(2m +n ) （5）22()()()x y x y x y -++（6）4(a -2)(a +2) （7）2ab (b -1)(b +1)（8）(2x -5)(x -2)(x +2) （9）2(3)m n +-（10）2(332)x y -- （11）29(2)x y -（12）28()a x y -- （13）22()()a b a b -+（14）22(1)(1)a a -+ 4．（1）(x -2)(x +1)（2）(x +1)(x +3) （3）(x -2)(x +3)（4）(x +4)(x -1) （5）(x -5)(x +2)（6）(x +1)(2x -1) （7）(3x -2)(x -1)（8）(3x +5)(x -2) （9）(2x +1)(x +7)（10）(3x -2y )(x +y ) （11）(2x +3y )(x +5y )（12）x (x -4)(x +2) （13）2(3)(2)(2)x x x --+（14）2(3)(3)(3)x x x ++-5．（1）(a +c )(a -b )（2）(2a -b )(x -5y ) （3）(m -n )(m -5)（4）(a +b )(3x +4y ) （5）(1-2a -b )(1+2a +b )（6）(a +3b +3)(a -3b +3) （7）(a +b )(3x -1)(3x +1)（8）(a -2b )(a +2b -2) 6．（1）(a -4b -c )(a -4b +c )（2）2(2)y y x -- （3）2(a -3)(a -5)（4）(x -2)(x +5) （5）2(2)a b +（6）2(1)x y --因式分解的四种方法（随堂测试）1. 下列分解因式正确的是（ ）A ．-a +a 3=-a (1+a 2)B ．2a -4b +2=2(a -2b )C ．a 2-4=(a -2)2D ．a 2-2a +1=(a -1)2 2. 下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（ ）A ．x 2+1B ．x 2+2x -1C ．x 2+x +1D ．x 2+4x +4 3. 分解因式:（1）2x 2-4x +2；（2）x 2+3x +2；（3）x 2-2xy +y 2+x -y ；（4）a (a +3)-3(a +3)；（5）x 2y -y ；（6）a 2-2ab +b 2-4c 2．【参考答案】1．D ．2．D ．3．（1）22(1)x -（2）(x +1)(x +2) （3）(x -y )(x -y +1)（4）(a +3)(a -3) （5）y (x -1)(x +1)（6）(a -b -2c )(a -b +2c )．因式分解的四种方法（作业）1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的（）A．(a+3)(a-3)=x2-9 B．x2+x-5=(x-2)(x+3) +1C．a2b+ab2=ab(a+b) D．x2+1=1 () x xx+2.把代数式3x3-6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是（）A．x(3x+y)(x-3y) B．3x(x2-2xy+y2)C．x(3x-y) D．3x(x-y)23.分解因式：（1）3a2b+6ab2-3ab；（2）y(x-y) -(y-x)；（3）4a2-4a+1；（4）x2-5x+6；（5）16-8(x-y)+(x-y)2；（6）x4-1；（7）(a2+1)2-4a2；（8）2a2+7a+3；（9）8(x2-2y2) -x(7x+y)+xy；（10）ab-5bc-2a2+10ac；（11）3m(2x-y)2-3mn2；（12）x2-6xy+8y2；（13）ab-ac+bc-b2；（14）a2-b2+2a+2b；（15）a 2-b 2+a -b ；（16）(x +2)(x +4)+x 2-4；（17）a (a +b )2+b (a +b )2； （18）a 3+a 2-a -1；（19）a 2-4a +4-b 2；（20）a 2+2ab +b 2-2a -2b +1；（21）x 3-4x 2-12x ；（22）x 2-2x -8；（23）a 2-ab -6b 2；（24）2x 2-3x +1；（25）(x +y )2+(x +y )-2；（26）x 4-5x 2+4；（27）3x 2-5xy -2y 2；（28）(x -1)(x -2) -20．【参考答案】1．C ．2．D ．3．（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1) （3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）2(4)x y --（6）2(1)(1)(1)x x x -++ （7）22(1)(1)a a -+（8）(2a +1)(a +3) （9）(x -4y )(x +4y )（10）(b -2a )(a -5c ) （11）3m (2x -y -n )(2x -y +n ) （12）(x -2y )(x -4y )（13）(b -c )(a -b )（14）(a +b )(a -b +2) （15）(a -b )(a +b +1)（16）2(x +1)(x +2) （17）3()a b +（18）2(1)(1)a a +- （19）(a -2-b )(a -2+b )（20）2(1)a b +- （21）x (x -6)(x +2)（22）(x -4)(x +2) （23）(a -3b )(a +2b )（24）(2x -1)(x -1) （25）(x +y -1)(x +y +2)（26）(x -2)(x +2)(x -1)(x +1) （27）(3x +y )(x -2y )（28）(x -6)(x +3)．。

第九课时《整式的乘除与因式分解》（1）———整式的乘除【课前热身】1、下列各单项式中，与42x y 是同类项的为( ) A. 42x B. 2xy C. 4x y ． D. 232x y 2、()()22x a x ax a-++的计算结果是( )A.3232x ax a +- B. 33x a - C. 3232x a x a +- D.222322x ax a a ++- 3、下面是某同学在一次测验中的计算摘录①325a b ab +=；②33345m n mn m n -=-；③()523623xxx -=-⋅④324(2)2a b a b a ÷-=-；⑤()235aa =；⑥()()32a a a -÷-=-．其中正确的个数有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个.4、(－21a )4÷(－21a 4)等于( ) A.81a B.－81a C.－81 D.81 5、(－32x 9y 8)÷(－43x 8y 8)等于( )A.98xB.－98xC.21xD.－21x 6、小亮从一列火车的第m 节车厢数起，一直数到第2m 节车厢，他数过的车厢节数是( )A.23m m m +=．B.2m m m -=.C.211m m m --=-．D.211m m m -+=+. 7、如图：矩形花园ABCD 中，a AB =，b AD =，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条平行四边形道路RSTK 。

若c RS LM ==，则花园中可绿化部分的面积为（ ）A.2bc ab ac b -++.B.2a ab bc ac ++-. C.2ab bc ac c --+. D.22b bc a ab -+-. 8、(1) 当x ≠4时，()04-x ＝ .(2)()()2002200320042 1.513⎛⎫⨯÷-= ⎪⎝⎭9、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是 .10、______________)3)(32(=-+y x y x ； _______________)52(2=+y x ； ADL Q M P11、____________)2()12(22=+--x x ；224)__________)(__2(y x y x -=-+； 12、=÷22362xy y x _____；=-÷-)(42xy xy _____；=÷22515m m _____. 13、=÷+-)2()1264(3323ab ab b a b a ________________.【考点链接】一、整式的加减（温故知新） 1、整式：（1）像xy 2，﹣34x 等都是___与_____的乘积，这样的代数式叫做单项式.单独一个数或____也是单项式.（2）几个_________的和叫做多项式. （3）单项式和多项式统称______.（4）一个单项式中，所有_________的指数的和叫做这个单项式的次数.单独一个非零数的次数是____. （5）一个多项式中，_____________的次数，叫做这个多项式的次数. 2、整式的加减整式的加减运算时，如果遇到括号先________，再合并_________.二、整式的乘除 1、幂的运算（1）同底数的幂相乘，_____不变，指数______.即 。

因式分解和分解因式
因式分解是将一个多项式表达式写成乘积的形式。

分解因式则是将一个整数或一个多项式表达式写成多个因数相乘的形式。

因式分解的步骤：
1. 提取公因式：将多项式中的公因子提取出来，例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出公因式4，得到4(x + 2y)。

2. 利用公式或规则进行因式分解：根据不同的公式或规则，将多项式进行因式分解。

例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，
可以利用二次因式分解公式，将其分解为(x + 2)(x + 3)。

3. 确定无法再分解的因式：对于已经进行过因式分解的多项式，如果无法再进行进一步的因式分解，那么就得到了最简形式。

分解因式的步骤：
1. 将数字进行因式分解：例如，将整数12进行因式分解，可
以得到12 = 2 × 2 × 3。

2. 将多项式进行因式分解：对于多项式进行因式分解时，可以使用因式分解的方法，将多项式分解为多个因数的乘积。

因式分解和分解因式在数学中是非常重要的概念，可以帮助我们简化复杂的表达式，更好地理解和解决数学问题。