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初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
因式分解的四种方法（讲义）课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 对下列各数分解因数：210=_________； 315=__________；91=__________； 102=__________．3. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①___________________________；②___________________________；③___________________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．运用公式法的时候需要注意两点：①___________________________；②___________________________．（3）分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找____________，然后再考虑____________或者_____________．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++3. 因式分解是有顺序的，记住口诀：“___________________”；因式分解是有范围的，目前我们是在______范围内因式分解．精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+；（2）32a a a --+； 解：原式=解：原式=（3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=（4）22()()x x y y y x ---；（5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+；（10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+；解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---；（4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-．解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式=解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-；解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；解：原式=（6）222221x xy y x y -+-++．解：原式=【参考答案】课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --赠送以下学习资料和倍差倍问题学习目标通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线段图。
第3讲 因式分解的基本方法【基本知识】把多项式化成整式之积, 叫做因式分解, 它是整式乘法的逆运算. 通常要求分解后的各个因式是不可约多项式, 也就是质因式. 因式分解的基本方法有： (1) 提公因式法. 利用),(c b a m mc mb ma ++=++ 把多项式中每一项的公因式提出来.(2) 运用公式法. 如运用公式),)((22b a b a b a +-=- ,)(2222b a b ab a ±=+±),)((2233b ab a b a b a +±=± .)(3333223b a b ab b a a ±=±+± (3) 分组分解法. 先对多项式适当分组, 再分别变形, 然后利用提公因式法或运用公式法分解因式.(4) 十字相乘法. 对二次三项式的系数进行分解, 借助十字交叉图分解, 即),)((2c nx r mx c bx ax ++=++其中，，mn a rs c ms nr b ==+=. 交叉图如右图.(5) 试除法. 如果你已经猜测了一个因式, 可以用这个因式试除原多项式, 如果余式为零, 则该式是原多项多的一个因式.把一个多项式因式分解, 如果多项式的各项有公因式, 就先提取公因式, 公因式可以是数、单项式, 也可以是多项式；如果各项没有公因式, 再看能否直接运用公式法或十字相乘法分解, 如果还不能分解, 就试用分组分解法或其他方法. 分解因式时, 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止, 结果一定是乘积的形式, 每个因式都是整式, 相同因式的积要写成幂的形式.本讲主要是应用以上基本方法分解因式, 同时学习一些应用因式分解解决的问题.【培训示例】【例1】分解因式,))(()()(2)(2212n n n y x z x z y x y y x -----+-+ 其中n 是正整数. 解 注意到 ,)()(22n n y x x y -=- 所以n n n y x z x z y x y y x 2212))(()()(2)(-----+-+ )]()(2)[()(2z x z y y x y x n ---+--= ).()(2z y y x n --=【练习1】已知43210x x x x ++++=, 求2341x x x x +++++鬃?20132014x x +的值.解 将待求值的式子分解因式, 再将已知代入234201320141x x x x x x +++++鬃?+()()234567891x x x x x x x x x =++++++++++?()20102011201220132014x xxxx +++++()()234510201011x x x x x x x =+++++++?0=说明 要求值的式子中带有省略号, 分组时要弄清楚省略号中有多少项, 如何分组, 这样最后一组才不会出错.【练习2】分解因式);2()2(33y x y y x x -+-解 )2()2(33y x y y x x -+-)(2)(2244y x xy y x ---= )(2))((222222y x xy y x y x --+-= )2)((2222xy y x y x -+-= 2)())((y x y x y x -⋅-+= .))((3y x y x -+=【例2】分解因式：(1) ;1)3)(2)(1(++++x x x x(2) .)1()2)(2(2xy y x xy y x -+-+-+解 (1) 1)3)(2)(1(++++x x x x1)2)(1()3(+++⋅+=x x x x 1)23)(3(22++++=x x x x 1)3(2)3(222++++=x x x x .)13(22++=x x (2) .)1()2)(2(2xy y x xy y x -+-+-+()()()22222412x y xy x y x y xy xy x y =+-+-+++-+()()()2222121x y x y xy x y x y 轾犏臌=+-++-+-+ ()()()22121x y x y xy xy =+--+-+()21x y xy =+-- ()21xy x y --+= ()()2211x y =--【练习3】分解因式： (1)263228x x +-；(2)22635x x y y xy ++++.解 (1) 263228x x +- ()()7492x x =+-(2) 22635x x y y xy ++++()()225163x y x y y =++++ ()()251321y x y x y =++++ ()()321x y x y +=++.说明 第 (2) 题是把多项式看成x 的二次三项式, 把y 看成常数, 采用十字相乘法. 有人把这种方法叫主元法, 就是当一个多项式有几个字母时, 选其中某个字母作为主要元素, 其他字母都看作常量, 将多项式按主要元素降幂排列, 再分解因式. 在用十字相乘法分解二次三项式时, 如果二次项系数是负数, 不妨先变形, 如2612x x -+- 先变为6122x x ()-+-, 再对2612x x +-分解.【例3】已知248-1可以被60与70之间的两个整数整除, 求这两个整数. 解 因为)12)(12)(12)(12()12)(12)(12()12)(12(1)2(12 661224121224242422448-+++=-++=-+=-=-易求得62165+=, 62163-=, 而122170+>, 242170+>, 所以要求的两个整数为63和65.【练习4】求代数式22245425x xy y x y ++-+-的最小值. 解 原式()()()222244442110y y xxy y x x +++=+-+-++()()()22222110x y x y =++-++- 因为()()()222202010，，x y x y+??? , 且当21，x y ==-时这三个完全平方式都等于0, 所以原式的最小值为 10.【练习5】如图3-1, 立方体的每一个面上都写有一个自然数, 并且相对两个面所写的两数之和都相等. 若18的对面写的是质数a , 14的对面写的是质数b , 35的对面写的是质数c . 试求222a b c ab bc ca ++---的值.解 由题意可得181435a b c +=+=+ 所以 42117,,a b b c c a -=--=-=- 因为 222a b c ab bc ca ++--- ()22222212222a ab b b bc c c ca a =-++-++-+ ()()()22212a b b c c a =-+-+-轾犏臌()()2221421173732轾犏ë+û=-+-= 所以所求式的值为373.说明 本题中条件“a 、b 、c 是质数”, 在求解中没有使用. 不过由这一条及关系式181435a b c +=+=+, 可以断定c 的奇偶性一定与a 、b 的奇偶不同, 而a b ¹, 偶质数又只有2一个, 故2c =, 从而1923，a b ==. 应用本题方法, 由199019891990199019901991，，a x b x c x =+=+=+, 可求出222a b c ab bc ca ++---的值.【例4】 计算：2524726928112201420172 1423625827102201320162()()()()().()()()()()????????鬃?鬃???解 上式中每个括号内的数可用字母表示为()32n n ++. 而()()()2323212n n n n n n ++=++=++, 所以原式()()()()()()()()3456782015201623456201472015创醇?即=创?201610082==说明 类似本例的复杂计算题求值, 要观察数字间的特点, 找出规律, 用字母表示数, 对一般情形进行分解, 找出化简的规律.【练习6】已知二次三项式28x mx -- (m 是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积, 求m 的可能取值.解 根据条件, 如果将-8分解为两个整数的积, 那么这两个整数的和即为m -. 因为-8分解为两个整数积的可能情形有()()()()18244281，，，-???? ,所以m -的可能值为()()()()18244281，，，-+-+-+-+故m 的可能取值有-7, -2, 2, 7共四个.说明 如果题目的条件不是限定在整数范围内可以分解, 那么m 的取值不能用本题的解法, 如果题目改为28x x m --在整数范围内可以分解因式, 那么只要将-8拆成两个整数的和(如504291，-+-+), 这两个整数的积就等于m -, 因此, 符合条件的m 有无数个.【练习7】在黑板上写有一个缺系数和常数项的多项式：现有两个人做填数字游戏. 第一个人在任何一个空位内填上一个非零整数(可正可负), 接着, 第二个人在剩下的两个空位置中任选一个填上个整数, 最后, 第一个人在余下的空位上填一个整数.求证：不管第二个人怎样填数, 第一个人总能使所得到的多项式在整数范围内可分解为三个一次因式的积.证明 因为第一个人有选择空位的主动权, 所以他可以在x 前的框内填上-1, 这样, 原多项式变为第二个人不管在哪一个框内填数a , 第一个人只需在最后一个空框内填上第二个人所填数的相反数 -a . 这样, 原多项式就变成了32x ax x a +-- 或 32x ax x a --+而 32x ax x a +-- ()()2211x x a x =-+- ()()()11x a x x =++-又 32x ax x a --+ ()()2211x x a x =--- ()()()11x a x x =-+-这就表明了第一个人总能使所填数符合要求.练习题一、选择题1. 如果多项式219x kx ++是一个完全平方式, 那么k 的值是（ ）. (A)-3 (B)3 (C)13 或13- (D)23或23-2. 已知26x ax +-在整数范围内可分解为两个一次因式的积, 且0a <, 则a的值为（ ）.(A) -2和-3 (B) -7和-4 (C) -1或-5 (D)任意负有理数 3. 若n 是奇数, 则()2114n -（ ）. (A)一定是奇数 (B)一定是偶数(C)可能是奇数, 也可能是偶数(D)可能是整数, 也可能是分数(分母不是1)4. n 是某一自然数, 代入代数式3n n -中计算其值时, 4个同学算出的果分别如下, 其中正确的结果只能是（ ）.(A)388 944 (B)388 945 (C)388 954 (D)388 9485. 若x 是非零自然数, 4322221y x x x x =++++, 则（ ）. (A)y 一定是完全平方数(B)存在有限个x , 使y 是完全平方数 (C)y 一定不是完全平方数(D)存在无限个x , 使y 是完全平方数 6. 已知()01010000100050个个n n x +=技1444244431442443, 则（ ）.(A)x 是完全平方数 (B)25x -是完全平方数(C)50x -是完全平方数 (D)50x +是完全平方数7. 若a 、b 都是正数, 且满足()()12345111111a b =+-, 则a 与b 之间的大小关系是（ ）.(A)a b > (B)a b <(C) a b = (D)以上三种情况均有可能8. 数a 、b 满足关系式1a b ab +-=, 已知a 不是整数, 则（ ）.(A)b 也不是整数 (B)b 一定是正整数 (C)b 是负整数 (D)b 是偶数 二、把下列各式分解因式 9. ()222014201412014x x ---10. ()()66a b a b a b -+-11. ()()()()211x y x y xy xy xy +++++- 12. ()()()41x y x y y +-+-13. 2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++- 14. ()()22222x mn x mn m n -++-15. ()()()333ax by by cz ax cz -+---三、解答题16. 求出在1到100之间的整数n , 使2x x n +-能分解为两个整系数一次因式的乘积.17. 求证：791381279--能被45整除.18. 求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数.19. 求证：如果一个数可以表示成两个整数的平方和, 那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和. 四、计算题20. 32322014220142012201420142015-?+-21.33451139451139312.....-+? 答案1. D2. C3. B4. A5. C6. B7. A8. B9. ()()201412014x x +-10. ()()()()22222a b a b a ab b a ab b -+-+++ 11. ()()()111x y xy x y ++-++ 12. ()()22x y x y +--+ 13. ()()()y z z x x y +-- 14. ()()22x m mn x mn n -+-- 15. ()()()3ax cz ax by cz by ---16. n 可以为2、6、12、20、30、42、56、72、9017. 提示：原式()262243331345=--=? 18. 提示：()()()()22123131n n n n n n ++++=++19. 提示：设22x m n =+, 则()()2222222x m n m n m n =+=++-20.2012201521. 3481。
初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。
这个过程可以简化多项式的计算和求解。
二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。
2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。
3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。
三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。
当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。
例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。
例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。
例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。
它是解决复杂代数问题的重要工具。
五、练习题1. 将4x²-9y²分解。
2. 将6a³b-15ab²分解。
3. 将x³+y³分解。
4. 将3x³-27y³分解。
六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。
掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。
希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。
如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。
一、移多补少与等量代换（三上）1. 移多补少：做移多补少的题目，最好的办法就是借助画线段图，画图能给人一种直观的感觉，帮助我们理清数量关系．2. 等量代换：用一些数量去代替与之有相等关系的另一些数量，注意往往从较大的数量开始代换．使用等量代换时，学会从问题开始分析．本讲主要介绍移多补少和等量代换，这一讲是为后面的和差倍问题做铺垫的，同学们一定要认真学习．一、 移多补少1、（1）第一行比第二行多_________个．（2）第一行给第二行___________个才能使第一行与第二行一样多．（2）第一行给第二行___________个才能使第一行比第二行多2个．（2）第一行给第二行___________个才能使第二行比第一行多2个．【答案】（1）6个（2）3个（3）2个（4）4个【解析】（1）第一行有10个，第二行有4个，所以第一行比第二行多1046−=个．第3讲 移多补少与等量代换 二升三 暑期知识点课堂例题前言1（2）第一行比第二行多6个，给1差2，则给623÷=个才能使第一行与第二行一样多．（3）开始第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行多2个，差值减少624−=个．给1差2，则给422÷=个才能使第一行与第二行多2个．（4）开始第一行比第二行多6个，后来第一行比第二行少2个，差值减少628+=个．给1差2，则给824÷=个才能使第二行与第一行多2个．2、小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块．（1）小高给墨莫8块，这时谁的巧克力多？多几块？（2）小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多？（3）要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力？给几块？【答案】（1）墨莫，多6块（2）5（3）小高给墨莫，7块【解析】（1）小高比墨莫多10块，小高给墨莫8块，给1差2，墨莫比小高多82106×−=块．（2）小高比墨莫多10块，给1差2，小高给墨莫1025÷=块，能使两人的巧克力一样多．（3）小高比墨莫多10块，要让墨莫的巧克力比小高多4块，根据给1差2，小高要给墨莫()10427+÷=块．3、开始时卡利娅比萱萱多30张卡片，每次卡莉娅给萱萱3张．（1）给几次才能使两人的卡片一样多？（2）给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张？【答案】（1）5（2）7【解析】（1）卡利娅比萱萱多30张卡片，根据给1差2，卡利亚需要给萱萱30215÷=张两人的卡片一样多．而每次卡莉娅给萱萱3张，所以需要给1535÷=次，才能使两人的卡片一样多．（2）卡利娅比萱萱多30张卡片，根据给1差2，卡利亚需要给萱萱()3012221+÷=张，才能使萱萱比卡莉娅多12张．而每次卡莉娅给萱萱3张，所以需要给2137÷=次，才能使萱萱比卡莉娅多12张．4、灰太狼和红太狼分糖果，一开始灰太狼有1020块糖，红太狼有1000块糖，要想让红太狼的糖比灰太狼多30块，谁给谁糖果？给几块？【答案】灰太狼给红太狼，25块【解析】开始灰太狼比红太狼多1020100020+=块．根−=块，后来红太狼的糖比灰太狼多30块，差值增加203050据给1差2，灰太狼需要给红太狼50225÷=块．二、等量代换5、体重大比拼：（1）4只小狗＝8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重？（2）2只小狗＝4只小猫，1只小猫＝2只鸭子，那么12只小狗等于多少只鸭子的体重？（3）3只小狗＝4只小兔，5只小兔＝7只小鸡，那么12只小狗加上4只小兔等于多少只小鸡的体重？【答案】（1）10（2）48（3）28【解析】（1）4狗＝8猫，则1狗＝2猫，则5狗＝10猫．（2）2狗＝4猫，则12狗＝24猫；1猫＝2鸭，则24猫＝48鸭．那么12狗＝48鸭．（3）3狗＝4兔，则15狗＝20兔；5兔＝7鸡，则20兔＝28鸡．那么15狗＝28鸡．因为3狗＝4兔，所以15狗＝12狗4兔，12只小狗加上4只小兔等于28只小鸡的体重．6、1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量？【答案】5【解析】3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那么1只兔子的重量等于3只鸡的重量．1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，所以1只猴子的重量等于5只鸡的重量．7、已知所有大鸭子的重量均相等，所有小鸭子的重量均相等．3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克？【答案】【解析】3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，相减可得，1只大鸭子和1只小鸭子共重443212−=千克．3只大鸭子和2只小鸭子共重32千克，1只大鸭子和1只小鸭子共重12千克，相减可知，2只大鸭子和1只小鸭子共重321220−=千克．8、体重大比拼：（1）1头大象=3头长颈鹿，1头长颈鹿=2头犀牛，那么6头大象的体重等于多少头犀牛的体重？（2）2头大象=3头长颈鹿，7头犀牛=5头长颈鹿，那么10头大象加20头长颈鹿等于多少头犀牛的体重？【答案】（1）36（2）49【解析】（1）1头长颈鹿=2头犀牛，则3头长颈鹿=6头犀牛；1头大象=3头长颈鹿，那么1头大象=6头犀牛，所以6头大象的体重等于6636×=头犀牛的体重．（2）2头大象=3头长颈鹿，则10头大象=15头长颈鹿；7头犀牛=5头长颈鹿，则21头犀牛=15头长颈鹿，所以10头大象=21头犀牛．7头犀牛=5头长颈鹿，则28头犀牛=20头长颈鹿，所以10头大象加20头长颈鹿等于212849+=头犀牛的体重．1、阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14个，阿瓜有4个．后来阿呆给了阿瓜6个，这时谁的糖果多？多几个？【答案】阿瓜，多2个【解析】开始阿呆比阿瓜多14410−=个，后来阿呆给了阿瓜6个，给1差2，这时阿瓜比阿呆多，多62102×−=个．2、一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需要爸爸给妈妈多少块宝石？【答案】4【解析】现在田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要使爸爸比妈妈多3块宝石，根据给1差2，需要爸爸给妈妈()11324−÷=块宝石．3、刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，取几次后两盒糖的粒数就同样多？【答案】3【解析】红盒比蓝盒多30粒糖，红盒给蓝盒30215÷=粒，两盒糖的粒数就同样多．每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，所以取1553÷=次后两盒糖的粒数同样多．4、胡老师有一些高思杀卡片，曹老师有一些水浒杀卡片，胡老师给曹老师6张后，（1）胡老师还比曹老师多2张，那么之前谁的卡片多？多多少张？（2）曹老师比胡老师多40张，那么之前谁的卡片多？多多少张？【答案】（1）（2）随堂练习【解析】（1）胡老师给曹老师6张差值减少6212×=张，胡老师还比曹老师多2张，所以原来胡老师比曹老师多12214+=张．（2）胡老师给曹老师6张差值增加6212×=张，曹老师比胡老师多40张，所以原来曹老师比胡老师多401228−=张．5、7头大象和10头长颈鹿重量相等，那么40头长颈鹿和多少头大象重量相等？【答案】28【解析】7象＝10鹿，那么40头长颈鹿＝7428×=头大象的重量．6、4只狗的重量等于9只鸡的重量，那么16只狗的重量等于__________只鸡的重量．【答案】36【解析】16只狗是4只狗的4倍，所以16只狗的重量等于()916436×÷=只鸡的重量．7、2只狗的重量等于7只鸡的重量，那么6只狗的重量等于__________只鸡的重量．【答案】21【解析】6只狗是2只狗的3倍，那么6只狗的重量等于()76221×÷=只鸡的重量．8、3只狗的重量等于6只鸭子的重量，那么4只狗的重量等于__________只鸭子的重量．【答案】83只狗=6只鸭子，所以1只狗等于632÷=只鸭子，则4只狗的重量等于248×=只鸭子的重量．1、师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个零件与大徒弟组装2个零件所用的时间相同，而大徒弟组装3个零件与小徒弟组装1个零件所用的时间相同．请问：小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装几个零件？【答案】18个【解析】由题意得，小徒弟组装4个的时间，大徒弟能组装4312×=个零件．又大徒弟每次组装2个的时间，师傅可以组装3个，所以师傅一共能装122318÷×=个零件．2、阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个西瓜，阿瓜给阿呆________个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等．【答案】14【解析】阿呆有20个西瓜，阿瓜有48个，阿瓜比阿呆多482028−=个，根据给1差2，阿瓜给阿呆28214÷=个西瓜后，阿瓜和阿呆的西瓜数相等．3、小高给萱萱28个苹果后，小高比萱萱少2个，之前两人差________个．【答案】54【解析】小高给萱萱28个苹果，差值减少28256×=．小高比萱萱少2个，所以之前两人差56254−=个．4、1只大象=3只河马，2只河马=3只斑马，那么9只斑马等于________只大象．【答案】2课后作业1只大象=3只河马，则2只大象=6只河马；2只河马=3只斑马，则6只河马=9只斑马．所以9只斑马等于2只大象．5、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换________个鸽子蛋．【答案】30【解析】3个鹅蛋可换9个鸡蛋，则6个鹅蛋可换18个鸡蛋；2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，则18个鸡蛋可换36个鸽子蛋，所以6个鹅蛋换36个鸽子蛋，1个鹅蛋换6个鸽子蛋，5个鹅蛋换30个鸽子蛋．6、4瓶水全倒出来能装满3碗，5杯水正好装满2瓶，那么装满3碗要________杯水．【答案】10【解析】5杯水正好装满2瓶，则10杯水正好装满4瓶；4瓶水全倒出来能装满3碗，所以10杯水正好装满3碗．7、1只狗的重量等于3只猫的重量，那么4只狗的重量等于__________只猫的重量．【答案】12【解析】 4只狗是1只狗的4倍，所以4只狗的重量等于()34112×÷=只猫的重量．8、1只狗的重量等于2只猫的重量，那么5只狗的重量等于__________只猫的重量．【答案】10【解析】5只狗是1只狗的5倍，所以5只狗的重量等于()25110×÷=只猫的重量．。
第03讲_含参的一元二次方程知识图谱含参的一元二次方程知识精讲二．一元二次方程的整数根如果一元二次方程2三点剖析一．考点：含参的一元二次方程．二．重难点：含参的一元二次方程判别式与解的关系，含参一元二次方程的特殊解问题．三．易错点：1．含参一元二次方程如果参数没有明确取值范围必须要分类讨论；2．含参一元二次方程的特殊解问题要注意参数是整数，正整数，负整数，还是有理数等限制条件．判别式与解的关系例题1、已知关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，下列说法正确的是（）A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解．【答案】C【解析】关于x 的方程kx 2+（1-k ）x-1=0，A 、当k=0时，x-1=0，则x=1，故此选项错误；B 、当k=1时，x 2-1=0方程有两个实数解，故此选项错误；C 、当k=-1时，-x 2+2x-1=0，则（x-1）2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；D 、由C 得此选项错误．故选：C ．例题2、解方程：mx 2－（2m ＋1）x ＋m ＋1＝0．【答案】当m ＝0时，x ＝1当m ≠0时，11m x m+=，x 2＝1【解析】暂无解析例题3、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，（1）求a 的取值范围；（2）当a 取最大数值时，解此一元二次方程．【答案】（1）a ≤6且a ≠2．（2）x 1=x 2=﹣32．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2ax+a+3=0有实数根，∴()()()22024230a a a a -≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩，解得：a ≤6且a ≠2．（2）当a=6时，原方程为4x 2+12x+9=（2x+3）2=0，解得：x 1=x 2=﹣32．随练1、已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，则a 的取值范围是．【答案】a ≤2【解析】∵关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0有实数根，∴△≥0，即4﹣4（a ﹣1）≥0得，a≤2，且a ﹣1≠0，a≠1；∴a 的取值范围为a≤2且a≠1．当a=1时为一元一次方程，方程有一根．综上所知a 的取值范围为a≤2．故答案为：a≤2．随练2、已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况，并给出必要的说明？【答案】见解析【解析】（1）当0c >时，0a >，b a c >+从而22()b a c >+，22()0b a c -+>，224()0b ac a c --->，∴224()0b ac a c ->-≥，即0∆>，原方程必有两个不等实根；（2）当0c =时，由0,a b a c a >>+=，得0,0,0b ac >=∆>；（3）当0c <时，由0a >，得0ac <，240b ac ∆=->．综合⑴、⑵、⑶，得关于x 的方程总有两个不等的实根随练3、解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案】当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=当220210a a a ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩时，方程为一元一次方程的解为0x =或2x =；当20a a -≠时，方程为一元二次方程，()()10ax a ax x a ----=，11a x a +=，21ax a =-特殊解问题例题1、已知关于x 的方程220mx x m--=（m ≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．【答案】（1）见解析（2）1m =-或1m =【解析】（1）证明：∵m ≠0，∴220mx x m--=是关于x 的一元二次方程．∵22(1)4()m m∆=---，……………………………………………1分=9＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．………………………………2分（2）解：由求根公式，得x =．∴12x m =，21x m=-.……………………………………………………4分∵方程的两个实数根都是整数，且m 是整数，∴1m =-或1m =．………………………………………………………5分例题2、已知关于的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根。
卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
初中因式分解的教案一、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法。
2. 能够熟练应用因式分解解决简单的代数表达式。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学重点1. 理解因式分解的概念。
2. 掌握因式分解的基本方法。
三、教学难点1. 能够熟练应用因式分解解决简单的代数表达式。
四、教学准备1. 教师准备好相关教材和练习题。
2. 小黑板和粉笔。
五、教学过程步骤一：引入概念1. 教师简单介绍因式分解的概念和应用场景，如化简代数表达式、解决方程等。
2. 通过几个简单的例子引导学生理解因式分解的意义和重要性。
步骤二：因式分解方法的介绍1. 教师依次介绍提取公因式法、分组分解法和平方差公式等因式分解的基本方法。
2. 分析每种方法的应用场景和解题步骤。
3. 逐步演示每种方法的运用，并让学生参与其中。
步骤三：实操练习1. 给学生提供一些代数表达式的练习题，要求他们用因式分解的方法化简或解题。
2. 让学生自行解答，并互相批改答案，讨论解题过程和方法的不同。
3. 教师在黑板上解答和讲解一些典型的例题，提供答案的解析和思路。
步骤四：拓展应用1. 教师提供一些拓展应用题，如解决实际问题中的因式分解，引发学生思考。
2. 让学生结合实际情境，进行因式分解的应用，如找规律、解决代数问题等。
六、教学反思1. 在教学过程中，要注重激发学生的兴趣和积极性，以提高他们对因式分解的学习态度。
2. 在练习环节，要鼓励学生多思考、多交流，提高解题的思维深度和广度。
3. 教师应根据学生的掌握情况进行课堂动态调整，做好个别学生的辅导和指导工作。
七、教学扩展1. 学生可以通过电子教学资源、课外书籍等进一步深入学习因式分解的知识。
2. 学生可以参加数学竞赛或解题讨论活动，提高因式分解的应用能力。
3. 学生可以利用互联网资源查找更多的因式分解练习题，并进行自主学习。
八、课堂作业完成教师布置的因式分解练习题。
九、教学评估1. 教师可以通过学生的课堂表现和作业完成情况进行评估。
内容基本要求略高要求较高要求因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数） 能运用因式分解的方法进行代数式的变形，解决有关问题一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++ƒ整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：例题精讲中考要求因式分解的基本方法系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++四、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解五、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【例1】设S=（x ﹣1）4+4（x ﹣1）3+6（x ﹣1）2+4（x ﹣1）+1，则S 等于（ ） A 、（x ﹣2）4 B 、（x ﹣1）4 C 、x 4 D 、（x+1）4【解析】观察S=（x ﹣1）4+4（x ﹣1）3+6（x ﹣1）2+4（x ﹣1）+1发现，均含有x ﹣1所以令t=x ﹣1，则S=t 4+4t 3+6t 2+4t+1，再观察答案各项均是一个完整的四次式，因而要因式分解．分解后再将t=x ﹣1代入分解后的因式，即可知S【答案】令t=x ﹣1，则S=t 4+4t 3+6t 2+4t+1=t 4+t 3+3t 3+3t 2+3t 2+3t+t+1=t 3（t+1）+3t 2（t+1）+3t （t+1）+（t+1），=（t+1）（t 3+3t 2+3t+1），=（t+1）（t 3+t 2+2t 2+2t+t+1），=（t+1）[t 2（t+1）+2t （t+1）+（t+1）]， =（t+1）2（t 2+2t+1），=（t+1）4再将t=x ﹣1代入S=（t+1）4=x 4．故选C ．【点评】本题巧妙利用换元法，拆分项，提取公因式法，本题虽是选择题，仍可做为大题出现．同学们通过本题可以综合锻炼自己的思维与能力．【例2】因式分解：⑴22()a b c +-⑵224(2)y z x -- ⑶481y -⑷229()4()m n m n --+ ⑸22122x y -+⑹22(32)16x y y --⑺44()()a x a x +--【解析】 ⑴22()()()a b c a b c a b c +-=+-++⑵224(2)(22)(22)y z x y z x y z x --=+--+ ⑶422281(9)(9)(9)(3)(3)y y y y y y -=+-=++-⑷229()4()m n m n --+22[3()][2()]m n m n =--+(5)(5)m n m n =--⑸2222111122()2()()2422x y x y x y x y -+=--=-+-⑹22(32)16x y y --22(32)(4)x y y =--(32)(36)x y x y =+-3(32)(2)x y x y =+-⑺442222()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤⎡⎤+--=+--++-⎣⎦⎣⎦[][]22()()()()()()a x a x a x a x a x a x ⎡⎤=+--++-++-⎣⎦222222(22)8()x a a x ax a x =⋅⋅+=+【例3】分解因式：（x ﹣2）3﹣（y ﹣2）3﹣（x ﹣y ）3= ．【分析】设x ﹣2=a ，y ﹣2=b ，则x ﹣y=a ﹣b ，然后将立方差公式展开后提取公司、因式，得出两因式相乘的形式，代入a 、b 的值即可得出答案．【答案】设x ﹣2=a ，y ﹣2=b ，则x ﹣y=a ﹣b ，原式=a 3﹣b 3﹣（a ﹣b ）3=（a ﹣b ）（a 2+ab+b 2）﹣（a ﹣b ）（a 2﹣2ab+b 2）=3ab （a ﹣b ）=3（x ﹣2）（y ﹣2）（x ﹣y ）．故答案为：3（x ﹣2）（y ﹣2）（x ﹣y ）．【点评】本题考查了利用立方公式进行因式分解的知识，难度不大，注意运用换元法解答本题．【例4】（2010•新疆）利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．【解析】根据提示可知1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【答案】两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a+b ，面积为（a+b ）2，所以a 2+2ab+b 2=（a+b ）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．【例5】分解因式：⑴()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【例6】将x m+3﹣x m+1分解因式，结果是（ ） A 、x m （x 3﹣x ） B 、x m （x 3﹣1） C 、x m+1（x 2﹣1） D 、x m+1（x ﹣1）（x+1）【解析】先提取公因式x m+1，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【答案】x m+3﹣x m+1=x m+1•x 2﹣x m+1=x m+1（x 2﹣1）=x m+1（x+1）（x ﹣1）．故选D ．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后还可以继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底，直到不能再分解为止．【例7】将4x 3y ﹣8x 2y 2+4xy 3分解因式，结果为（ ） A 、xy （2x ﹣2y ）2 B 、2xy （x ﹣y ）2 C 、4xy （x 2﹣2xy+y 2） D 、4xy （x ﹣y ）2 【解析】对多项式先提前公因式4xy ，然后套用公式a 2±2ab+b 2=（a±b ）2，进行进一步分解． 【答案】4x 3y ﹣8x 2y 2+4xy 3=4xy （x 2﹣2xy+y 2）=4xy （x ﹣y ）2．故选D ．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，若一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再套用公式进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．【例8】已知2011200920102010201020092011X =⨯⨯﹣，那么x 的值是（ ） A 、2008 B 、2009 C 、2010 D 、2011【解析】解答本题要考虑先因式分解，使运算简便，所以应先提取公因式，再套用公式，而20102011﹣20102009=20102009（20102﹣1），再套用公式a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）进一步计算即可．【答案】20102011﹣20102009=20102009（20102﹣1）=20102009（2010﹣1）（2010+1）=20102009×2009×2011，已知20102011﹣20102009=2010x ×2009×2011，则有20102009×2009×2011=2010x×2009×2011，则有x=2009．故选B ．【点评】本题结合幂的运算性质考查了因式分解，对同底数幂的乘法公式（a m •b m =a m+n ）的熟练应用是解题的关键．【例9】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ． 【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值 【解析】221547280(37)(54)0x xy y x y x y -+=⇒++=，∴370x y +=或540x y += 由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-【例10】分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++--【解析】将原式展开并写成关于a 的二次三项式：226(114)32a b a b b +++--，232b b --可以分解为：(32)(1)b b +-，再次运用十字相乘法可知原式(232)(31)a b a b =+++-.【巩固】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【解析】 这个多项式是a 、b 、c 的三项式，相数多，似乎无从下手，解决它的方法却是最基本的：把a 当作主要字母，也就是把这个多项式看成a 的二次式，按a 降幂排列整理为：22222()(3)()b c a b c bc a b c bc +-++++，后用十字相乘进行分解，“常数项”为22()b c bc bc b c +=+2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++[()][()]a b c b c a bc =-++-()()a b c ab ac bc =--+-【巩固】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【解析】 将x 看为主元，原式可化为：22(1)(221)(1)y y x y y x y y ++++++[(1)][(1)]yx y y x y =++++(1)()yx y yx x y =++++【补充】分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【解析】 以a 、b 为主要字母，这个多项式是a 、b 的二次齐次式，把它整理为：2222[(1)()]()[()(1)]b xy x y ab x y a x y xy +-++--+++2222[()(1)]()[()(1)]b xy x y ab x y a x xy y =---+--+++ 2222[(1)(1)]()[(1)(1)]b x y y ab x y a x y y =---+--+++2222(1)(1)()(1)(1)b x y ab x y a x y =--+--++ [(1)(1)][(1)(1)]x b y a y b x a =--+--+ ()()bx b ay a by b ax a =----++【巩固】 (第十五届“五羊杯”第15题)333333()()()()ay bx ax by a b x y +-++--=_________.【解析】 原式22222()()()()()b a x y a b ab x y a b xy ⎡⎤=--++++++⎣⎦()()a b x y --22()a ab b ++22()x xy y ++()()a b x y abxy =---.【巩固】 分解因式：333333()()()a b b c c a a b c ++++++++【解析】 333333222[()][()][()]3()()a b c b c a c a b a b c a b c =++++++++=++++【巩固】 化简下列多项式：()()()()23200611111x x x x x x x x x ++++++++++L【解析】 原式()()()20051111x x x x x x ⎡⎤=+++++++⎣⎦L ()()()()200411111x x x x x x x ⎡⎤=++++++++⎣⎦L…()()2005111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()20071x =+【例11】分解因式：⑴()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【巩固】 分解因式： 2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数.【解析】 n 是正整数时，2n 是偶数，22()()n n x y y x -=-；21n +是奇数，2121()()n n x y y x ++-=--.2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--[]2()()()2()n x y x y x z y z =----+-2()()n x y y z =--.【例12】求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，其中23x =-.【解析】 原式22(32)(21)(32)(21)(32)(21)3(32)(21)x x x x x x x x x =-+--+--+=--+,当23x =-时，原式4=-.【例13】利用分解因式证明：712255-能被120整除．【解析】 要证明712255- 能被120整除，就是在712255-分解的因式中是否含有120．()()()()727121214121221212112555555551551512451205⎡⎤-=-=-=-=+-=⨯=⨯⎣⎦【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【解析】4424444224422222222()4(2)(2)()()p q p q p q p q p q p q p q p q +-=+++-=+-22222()()()p q p q p q =+-+【例14】化简：22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++-【解析】 解题指导：化简就是要去掉式子中的括号，结果表示成一个多项式．22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+-+++-22()[()][()]()[()][()]a b c a b c a b a b a b c a b c =+--+-+-+++-22222222()()()()()()a b c a b a b a b a b a b c =+⋅-+-+-+--⋅ 2()()c a b a b a b a b =⋅++-+-+222c a b =⋅⋅24abc =【巩固】 分解因式：24()520(1)x y x y ++-+-【解析】2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】 ⑴分解因式：523972x x y - ⑵分解因式：66a b +【解析】 ⑴523972x x y -2339(8)x x y =-2339[(2)]x x y =-2229(2)(24)x x y x xy y =-++⑵66a b +2323()()a b =+22222222()[()()]a b a a b b =+-+224224()()a b a a b b =+-+【例15】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类， 应是什么三角形？【解析】 这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --= ∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形【例16】分解因式：x 4﹣5x 2+4x= ．【解析】首先提取公因式x ，然后变为x （x 3﹣x ﹣4x+4），接着利用分组分解法即可解决问题．【答案】x 4﹣5x 2+4x=x （x 3﹣x ﹣4x+4）=x[x （x 2﹣1）﹣4（x ﹣1）]=x[x （x ﹣1）（x+1）﹣4（x ﹣1）]=x （x ﹣1）（x 2+x ﹣4）．故答案为：x （x ﹣1）（x 2+x ﹣4）．【点评】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，首先提取公因式，接着把﹣5x 变为﹣x ﹣4x ，然后提取公因式即可解决问题．【例17】若x 2﹣y 2﹣x+y=（x ﹣y ）•A ，则A= ．【解析】观察该多项式，可以把x ﹣y 看作一个整体进行分解．平方差公式：（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2． 【答案】原式=（x 2﹣y 2）﹣（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x+y ）﹣（x ﹣y ）=（x ﹣y ）（x+y ﹣1）．因此A=x+y ﹣1． 【点评】本题考查了分组分解法分解因式，当一个多项式为四项以上时，首先要合理分组，然后运用提公因式法或公式法完成因式分解．【例18】已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解．【答案】由已知得a 2+b 2+c 2+43﹣ab ﹣9b ﹣8c≤0，配方得（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≤0，又∵（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2≥0，∴（a ﹣）2+3（﹣3）2+（c ﹣4）2=0， ∴a ﹣=0，﹣3=0，c ﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解．【例19】若|m+4|与n 2﹣2n+1互为相反数，把多项式x 2+4y 2﹣mxy ﹣n 分解因式．【解析】由题意可知|m+4|与n 2﹣2n+1互为相反数，即|m+4|+（n ﹣1）2=0，根据非负数的性质求出m ，n=1，再把m ，n 的值代入所求代数式利用分组分解法和完全平方公式、平方差公式分解因式即可． 【答案】由题意可得|m+4|+（n ﹣1）2=0，∴，解得，∴x 2+4y 2﹣mxy ﹣n ，=x 2+4y 2+4xy ﹣1，=（x+2y ）2﹣1，=（x+2y+1）（x+2y ﹣1）．【点评】本题主要考查公式法、分组分解法分解因式，利用非负数的性质求出m 、n 的值是解题的关键．1.分解因式：⑴()()2121510n na ab ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数) 【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n na ab ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-2.若a*b=a 2+2ab ，则x 2*y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）A 、x 2（x 2+2y ）B 、x （x+2）C 、y 2（y 2+2x ）D 、x 2（x 2﹣2y ） 【解析】把x 2*y 表示成一般形式，分解因式即可． 【答案】x 2*y=x 4+2x 2y=x 2（x 2+2y ）．故选A ．课后作业【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．3.已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【解析】 由原题可得()2221a b m +-=，进而可求解．∵22244241a ab b a b m ++--+=，∴()2221a b m +-=， ∴21m a b =--+或21m a b =+-4.已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．【解析】 由原题可得()2221a b m +-=，进而可求解．∵22244241a ab b a b m ++--+=，∴()2221a b m +-=， ∴21m a b =--+或21m a b =+-课后作业。
