第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

添拆项法及配方法【知识要点】常用公式有：平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=- 完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+± 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+三项和平方：2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++；三项立方和：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 备注：1、拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组解法进行分解因式。

2、配方：用配方法进行因式分解是添拆项中的一种特殊情况，添拆项后将产生平方公式。

【典型例题】例1、（1）32332a a a +++ （2）3234x x -+例2、（1）4224y y x x ++； （2）()()()242221121y x y x y -++-+例3、分解因式：178++x x例4、若代数式22333axy y x y x +++含有因式y x -，则=a ，在实数范围内将这个代数式分解因式，得=+++22333axy y x y x 。

例5、用多种方法分解因式：2426923+++x x x例6、若整数a 、b 满足6910303ab a b -+=，求a b +。

例7、计算)32452)(32440)(32428)(32416)(3244()32458)(32446)(32434)(32422)(32410(4444444444++++++++++【大展身手】1、分解因式：32374a a +-=__________________________2、分解因式：1512223+-+a a a =__________________________3、分解因式：153143+-x x =__________________________4、分解因式：3333a b c abc ++-=__________________________5、分解因式：1232234++++x x x x =__________________________6、分解因式：611623+++x x x =__________________________7、分解因式：422411y y x x +-=8、因式分解： =++15a a __________________________9、分解因式：61922112234+-+-x x x x =__________________________6、若010432=-+y x ，则y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值为_____________________7、求方程xy y x =-的整数解。

§第9讲 因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法 ★★ 知识体系梳理◆ 添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。

通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。

一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

◆ 待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

◆ 换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫 。

换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。

（1）、使用换元法时，一定要有 意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。

（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。

（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。

★★ 典型例题、方法导航◆ 方法一：添项拆项法【例1】分解因式：332x x -+分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。

可考虑添项拆项法分解。

从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即332x x -+()()()x a x b x c =+++，再看常数项2可分解成〒1、〒2，因此我们可猜想分解的结果可能是(1)(1)(2)x x x --+或(1)(1)(2)x x x +--或(1)(1)(2)x x x +++,但332x x -+的中间项是3x -,因此(1)(1)(2)x x x +++是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。

因式分解知识点总结因式分解是初中数学中的重要知识点，它与解方程、化简式子等许多数学问题有着紧密的联系。

因式分解的核心思想是找出多项式的因子，并将其拆解为更简单的形式。

在本文中，我们将综合讨论因式分解的几种常见方法和技巧。

一、提公因式法提公因式法是最基本也是最常用的因式分解方法之一。

它的核心思想是将多项式中的公因子提出来。

例如，对于多项式2x + 4y，我们可以发现其中的公因子为2。

因此，我们可以将2提取出来，得到2(x + 2y)。

这样，我们就成功将原多项式进行了因式分解。

二、配方法配方法亦称为乘法公式反算法。

它适用于多项式满足一个较为特殊的乘法公式形式，即(a + b)²。

例如，对于多项式x² + 2x + 1，我们可以将其视为(x + 1)²形式。

根据乘法公式，我们可以得到x² + 2x + 1 = (x + 1)²。

通过这样的处理，我们就成功地将多项式进行了因式分解。

三、差平方公式差平方公式是一种常见的因式分解方法，它是通过一个平方差的形式来进行因式分解。

例如，对于多项式x² - y²，我们可以利用差平方公式将其因式分解为(x + y)(x - y)。

通过这样的操作，我们可以看到多项式的差平方已经被成功拆解为两个因子的乘积。

四、分组分解法分组分解法亦称为二次拆分法，它适用于多项式含有四个及以上的项，并且存在某种规律性的分组方式。

例如，对于多项式x³ + 3x² + 3x + 1，我们可以进行如下的分组：(x³+ 3x²) + (3x + 1)。

接下来，我们可以对每个分组因式进行公因式提取，得到x²(x + 3) + 1(x + 3)。

最后，我们可以将公因式 (x + 3) 提取出来，得到(x + 3)(x² + 1)。

五、特殊公式法特殊公式法适用于特定形式的多项式，其中包括一些常见的平方差公式、立方差公式等。

初中数学：因式分解拆项与添项法实用技巧
在上篇文章《初中数学因式分解规律和方法详解》中我们对因式分解的多种方法进行了介绍，很多同学表示受益匪浅，但是还有不少同学希望我再详细的介绍下拆项与添项法。

今天，我们就来详细的介绍下拆项与添项这对较为灵活的因式分解方法。

一、拆项法：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和的方法；
拆项法因式分解的一般规律：一般是拆开中项，将需要拆掉的项按照其余项的系数绝对值拆分。

二、添项法：在代数式中添加两个相反的项；
添项法因式分解的一般规律：一般通过添项构成完全平方公式或者立方差或立方和公式；当然，有时则需根据系数配成十字相乘法的形式。

以上就是因式分解拆项法和添项法的使用技巧。

不过，只有我们认真掌握了因式分解的四种基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、配方法，然后再结合拆项法和添项法灵活应用，才能有的放矢，融会贯通。

因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个多项式分解为多个乘积的形式。

掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和解题是非常重要的。

在本文中，我将介绍因式分解的方法和技巧，并给出一些例子进行详细的讲解。

一、因式分解的基本方法因式分解的基本方法是将一个多项式表示为多个乘积的形式。

在进行因式分解时，我们需要找到多项式中的共同因子，并将其提取出来，最终将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式x^2+3x+2进行因式分解，首先观察多项式的各项之间是否存在其中一种数学关系，如果没有明显的数学关系，我们可以尝试将多项式进行因式分解。

我们可以发现，该多项式的第一项和最后一项都是平方项，且它们之和等于中间项的系数。

也就是说，x^2+3x+2可以写成(x+1)(x+2)的形式。

因此，我们可以将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。

二、因式分解的常见技巧除了基本的方法外，因式分解还有一些常见的技巧，这些技巧可以帮助我们更快地找到多项式的因式。

1.提取公因子法提取公因子法是因式分解中最常用的技巧之一、通过提取多项式的公共因子，可以将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式6x^3+9x^2+12x进行因式分解，首先观察多项式中各项的系数，我们可以发现它们都可以被3整除。

因此，我们可以将多项式进行公因子提取，6x^3+9x^2+12x可以写成3x(2x^2+3x+4)的形式。

2.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个平方数的差。

例如，我们将多项式x^2-4进行因式分解，首先观察多项式中的平方项和常数项，我们可以发现它们之间的差是常数4因此，我们可以应用完全平方公式，将多项式进行因式分解，x^2-4可以写成(x+2)(x-2)的形式。

3.差的平方公式差的平方公式是指一个平方项和一个常数的乘积可以表示为两个相同数的平方的差。

例如，我们将多项式x^2-4x+4进行因式分解，我们可以发现它是一个平方项和一个常数的乘积，且常数乘积等于平方项的系数的平方。

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因式分解中的拆项、添项法
安徽滁州二中郑刚239000
因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解•现举一例：
例分解因式：x3-9x+8・
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.
解法1将常数项8拆成・1+9・
原式=X3・9X・1+9
=(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2+X+1)-9(X-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法2将一次项-9x拆成-x-8x・
原式=x3-x-8x+8
=(x 3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
解法3将三次项x3拆成9X3-8X3•
原式=9x?・8x，9x+8
=(9x 3-9X)+(-8X3+8)
=9x(x+1 )(x-1 )-8(x-1 )(x 2+x+1) =(x-1 )(x 2+X-8).
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解法4添加两项-x 2+x2・
原式=x，9x+8
=X3-X2+X2-9X+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8)・
注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.。

学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用_____________进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的__________．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为________________．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：因式分解的四种基本方法有哪些？答：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法．问题2：添项拆项的目的是使多项式能够用进行因式分解，这种方法技巧性强，需要充分关注多项式的．答：分组分解法，式子结构．问题3：换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的处理，最终都转化为．答：四种基本方法．因式分解综合应用（添项拆项）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法2.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法3.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法4.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法5.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法6.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法7.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法8.把因式分解，正确结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法9.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法10.把因式分解后，含有以下哪个因式？( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧——添项拆项法。

因式分解的五种方法一、提公因式法。

这就像是从一群小伙伴里找出那个共同的小头目一样。

比如说，对于式子3x + 6，3就是公因式呀。

我们就可以把它提出来，写成3(x + 2)。

你看，就这么简单，把公共的部分先拎出来，就像把大家共有的宝贝先拿出来放一边，剩下的部分放在括号里。

这是因式分解里最基础也是最常用的方法哦。

二、公式法。

这里面有平方差公式和完全平方公式呢。

平方差公式就是a^2 - b^2=(a + b)(a - b)。

就像两个数的平方相减，就能变成这样两个数的和与差的乘积。

比如说9x^2 - 16，这就是(3x)^2 - 4^2，那它就可以分解成(3x + 4)(3x - 4)啦。

完全平方公式有a^2+2ab + b^2=(a + b)^2和a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2。

要是看到式子长得像这样，那就可以直接用公式啦。

像x^2+4x + 4，这里a=x，b = 2，它就是(x +2)^2呢。

三、分组分解法。

这个方法就有点像给小伙伴们分组做游戏啦。

比如对于式子ax + ay + bx + by，我们可以把前面有a的放在一组，后面有b的放在一组，就变成了a(x + y)+b(x + y)，然后再提公因式(x + y)，最后得到(a + b)(x + y)。

是不是很神奇，就像把不同的小团队又组合成了一个大团队。

四、十字相乘法。

这个方法就像在玩一个十字交叉的小魔术。

对于二次三项式ax^2+bx + c（a≠0）。

比如说x^2+3x + 2，我们要找到两个数，它们相乘等于c（这里是2），相加等于b（这里是3），那就是1和2啦。

然后就可以写成(x + 1)(x + 2)。

就像把数字在一个十字框架里找到合适的搭配一样，特别有趣。

五、添项、拆项法。

这个方法就有点调皮啦。

比如说对于式子x^3 - 3x^2+4，我们可以把4拆成-x^2 + x^2+4，然后式子就变成x^3 - 3x^2 - x^2+ x^2+4，再分组变成(x^3 - 4x^2)+(x^2+4)，接着继续分解。