高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用4函数及其表示试题理

考点测试11 函数的图象一、基础小题1．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析 函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A 、C 、D.2．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C 解析 y ＝lgx ＋310＝lg (x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 化简f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x －1x <0，作出图象可知选C.4．已知a >0，b >0且ab ＝1，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵ab ＝1，且a >0，b >0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，所以f (x )与g (x )的底数相同，单调性相同，且两图象关于直线y ＝x 对称，故选B.5．已知函数f (x )＝1lnx ＋1－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C ，选B.6．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )答案 A解析 由函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上是奇函数，得k ＝2，又f (x )是减函数，得0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋k )＝log a (x ＋2)，定义域是(－2，＋∞)，且单调递减，故图象是A.7．已知函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数y ＝f (|x |)(－2≤x ≤2)的图象是( )答案 B解析 解法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，所以y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12＋1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，可知选B.解法二：由函数f (x )的图象可知，函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方，函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方，而y ＝f (|x |)在x >0时的图象保持不变，因此排除C 、D ，由于y ＝f (|x |)是偶函数，函数y ＝f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称，故选B.8．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )答案 B解析 由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0<a <1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A ．43B ．73C ．4D ．133答案 D解析 由题图知，可将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133，选D.10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos x D ．x 2sin x答案 A解析 由题图知f (x )是偶函数，排除B 、D.当x ≥0时，－x ≤f (x )≤x .故选A. 11．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．答案 y ＝(x －1)2＋3解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y ＝2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式为y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.12．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．答案(2,8]f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0解析当f(x)>0时，函数g(x)＝log2的x∈(2,8]．二、高考小题13．函数y＝2x2－e|x|在的图象大致为( )答案 D解析当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x.f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0，且当0<x<x0时，f′(x)<0；当x0<x≤2时，f′(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增，又f(2)－1＝7－e2<0，所以f(2)<1.故选D.14．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.15．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c ＜0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案 C解析 函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x P >0，即c <0，排除B ；令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－b a ，又x N >0，则b a<0，所以a ，b 异号，排除A ，D.故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2答案 D解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝x －22，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74<b <2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.17．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑mi ＝1(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.18．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C 、D 选项错误．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.三、模拟小题19．已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )答案 D解析 因为函数f (x )＝4－x 2为偶函数，g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、B.又当x >0时，g (x )＝log 2x ，当x >1时，g (x )>0，当0<x <1时，g (x )<0；f (x )＝4－x 2，当x >2时，f (x )<0，当0<x <2时，f (x )>0，所以C 错误，故选D.20．已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B 解析 ∵f (x )＝ax －2>0恒成立，又f (4)g (－4)<0，所以g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．21．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.22．若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________． 答案 (3,1)解析 由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．23．设函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x ＋1对称，且f (－3)＋f (－7)＝1，则实数a 的值是________．答案 2解析 设函数y ＝f (x )的图象上任意一点的坐标为(x ，y )，其关于直线y ＝－x ＋1对称的点的坐标为(m ，n )，则点(m ，n )在函数y ＝2x ＋a的图象上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋n 2＝－x ＋m2＋1，y －nx －m ＝1，得m ＝1－y ，n ＝1－x ，代入y ＝2x ＋a得1－x ＝21－y ＋a，即y ＝－log 2(1－x )＋a ＋1，即函数y＝f (x )＝－log 2(1－x )＋a ＋1，又f (－3)＋f (－7)＝1，所以－log 24＋a ＋1－log 28＋a ＋1＝1，解得a ＝2.24．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y ＝kx －2恒过定点M (0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x >1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示． (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4，x ≥4，－x x －4，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．3．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3.作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 4．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标． 解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y .代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ，y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，b ＝0或b ＝4. ∴当b ＝0时，得交点(3,0)；当b ＝4时，得交点(5,4)．。

第二章⎪⎪⎪函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集设A ，B 是两个非空的集合 对应 关系F ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称称f ：A →B 为从集合A 到集合B的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B 是一个映射(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案：D2．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C ∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92.3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案：B4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y ＝ln1－xx ＋1＋1x的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( ) A ．－3 B ．±3 C ．－1D ．±1解析：选D 若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t.∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函数的定义域常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域 1．(2015·某某期末)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2]解析：选C 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)． 2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]． 答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015]解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 015]4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1]B ．[1,2]C ．[10,100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．角度三：已知定义域确定参数问题5．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值X 围为______________________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0][方法归纳]函数定义域的2种求法 方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解.已知函数的具体表达式，求f (x )的定义域转移法若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，求f (x )．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2. (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x >1. (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xx －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )1x－1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.[由题悟法][即时应用]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1， 即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点三 分段函数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2， 解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．(2015·某某高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.[由题悟法]分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值X 围求自变量的值或X 围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．[提醒] 当分段函数的自变量X 围不确定时，应分类讨论．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13解析：选C 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1，所以实数x 0的值为－1或1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值X 围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值X 围是[－4,2]． 答案：[－4,2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74 B.74C.43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：145．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值X 围是________．解析：由题意知f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2， 即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，①x >1，x ≠2，解①得，－1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．(2016·某某调考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A 因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.3．(2016·某某四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( )A ．2B ．0C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <a ，c a ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟，所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，x ∈[0，＋∞，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π67．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]8．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.答案：710．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·某某期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.即a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 2．(2015·二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x． 解析：由表可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x >x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x>x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 结论M 为最大值M 为最小值[小题体验]1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |答案：B2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12答案：D3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________． 答案：21．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f x等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．[小题纠偏]1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案：C2．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]考点一 函数单调性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)： 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 法二(导数法)：f ′(x )＝a x 2－1－2ax 2x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12.又a >0， 所以f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤： 取值作差商变形确定符号与1的大小得出结论(2)导数法，其基本步骤： 求导函数确定符号得出结论考点二 求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领](1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减．所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 考点三 函数单调性的应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值X 围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值 1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2016·某某联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)， ∴b >a >c .角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值X 围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选 B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x x －8≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值X 围或值4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0, 且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值X 围是(2,3]． 答案：(2,3][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．(2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·某某摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2016·某某市质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6. 答案：65．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①是幂函数，在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合要求；②中的函数图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移1个单位得到的，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，所以函数y ＝log 12(x ＋1)是(－1，＋∞)上的减函数，故此项符合要求；③中的函数在(－∞，1)上为减函数，(1，＋∞)上为增函数，符合要求；④中的函数在R 上为增函数，不符合要求．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．(2016·某某师大附中第二次月考)函数f (x )＝x1－x 在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，g 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 此时，log a x 是减函数，符合题意．6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x＝14时，y max ＝14. 答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值X 围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值X 围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞) 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)． 答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值X 围是(0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f xx在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f x x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0， 故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0， 因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性 奇偶性 定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称 奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数 关于原点对称(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2015·高考)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B2．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________.答案：－13．(教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________.答案：x (1－x )1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案：1考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x；(4)(易错题)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二 函数的周期性题点多变型考点——纵引横联[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a.(a>0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f(x＋2)＝－1f x”，求函数f(x)的最小正周期．解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1fx ＋2＝－1－1f x＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式． 解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.故x∈[2,4]时，f (x)＝x2－6x＋8.利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化为已知区间上的相应问题，即把区间[2,4]转化为[－2,0]上．考点三函数性质的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－12．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，[破译玄机]∴f (1)＋f (－1)＝0， 即1＋11＋a1＋－1＋1－1＋a－1＝0，∴a ＝－1.答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．(2015·某某统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x解析：选C 函数f (x )＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝2|x |是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f (x )＝sin x 是奇函数，不合题意．4．(2015·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值X 围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得，f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则－1<1－a 2<a －1<1，由此解得1<a < 2.角度三：周期性与奇偶性结合5．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解：选A ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.。

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示 理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用． 【热点题型】题型一 考查函数的定义域 例 1．(1)(函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2的定义域为________．【答案】(1)A (2)(0,1] 【解析】【提分秘籍】1.函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域．(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域． (3)已知定义域确定参数问题． 2.简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．【举一反三】已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域．题型二 考查函数的解析式例2、(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．【解析】 (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]， 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B题型三 考查分段函数例3、如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为y ＝f (x )，y ＝g (x )，定义函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ≤g x ，g x ，f x >g x .对于函数y ＝h (x )，下列结论正确的个数是( )①h (4)＝10；②函数h (x )的图象关于直线x ＝6对称；③函数h (x )的值域为[0，13 ]；④函数h (x )的递增区间为(0,5)．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C 【解析】【提分秘籍】(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的X 围求的变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解．但要注意检验，是否符合相应段的自变量的取值X 围．【举一反三】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于________．【答案】4【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 【高考风向标】【2015高考某某，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D. 【解析】（2014·某某卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·某某卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值X 围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△A BC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点． 综上所述，所求a 的取值X 围为a>12.（2013·某某卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________． 【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·某某卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D 【解析】（2013·某某卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·某某卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ， H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8， 整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·某某卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．【解析】(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 【高考押题】1. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】B【解析】注意定义域和值域的限制，只有B 正确．2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )A. 12 B. 45C. 2D. 9【答案】C3. 函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域为 ( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. (0,1)D. (0,1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，选D.4.已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x |12，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则k 的取值X 围是( )A. k ≤0B. k >0C. k ≥0D. k <0【答案】D【解析】由题易知y ＝|x |12的值域为[0，＋∞)，要使集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，只需k 不在此值域中，即k <0.5.如右图，是X 大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示X 大爷家的位置，则X 大爷散步行走的路线可能是( )【答案】D【解析】6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A. x －1B. x ＋1C. 2x ＋1D. 3x ＋3【答案】B【解析】在2f (x )－f (－x )＝3x ＋1① 将①中x 换为－x ，则有 2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 7. 已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________． 【答案】{x |x ≠－1，且x ≠－2} 【解析】由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2. ∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}． 8.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <3，3x －m x ≥3，且f (f (2))>7，则实数m 的取值X 围为________．【答案】m <5【解析】因为f (2)＝4，所以f (f (2))＝f (4)＝12－m >7，解得m <5. 9.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.【答案】±1【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.故a ＝±1. 10. 根据下列条件分别求出函数f (x )的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．解：(1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.11. 已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式．12.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．。

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数是一种特殊的映射．( )(4)若A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝|x |，则对应f 可看作从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.4．下列图形中可以表示为以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ，B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ，D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 故a ＝±1. 答案：±16．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，即f (t )＝1t 2＋5t，∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函数的定义域基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.1．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．(2018·济南模拟)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________________．解析：要使函数f (x )有意义，则(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)[题型技法] 已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．考法(二) 抽象函数的定义域3．已知函数f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]4．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2][题型技法] 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[怎样快解·准解]1．如何避免失误(1)函数f (g (x ))的定义域指的还是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．(如第4题)(2)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．(如第2题)2．重要的知识结论要熟记常见基本初等函数定义域的基本要求： (1)分式函数中分母不等于零；(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0； (3)一次函数、二次函数的定义域均为R ； (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}；(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ； (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .考点二 求函数的解析式 重点保分型考点——师生共研函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求函数f (x )的解析式．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg2t －1， 又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ∈(1，＋∞)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [解题师说]1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．[冲关演练]1．(尝试用换元法解题)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1)，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．(尝试用待定系数法解题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：选A 设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .3．(尝试用配凑法解题)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1解析：选C f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1. 4．(尝试用解方程组法解题)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)． 答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数 题点多变型考点——追根溯源分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,1求值问题；,2求参数或自变量的值或范围.角度(一) 求值问题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －1＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.[题型技法] 求分段函数的函数值的方法求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．角度(二) 求参数或自变量的值(或范围)2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[题型技法]求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．[题“根”探求]看个性角度(一)是求分段函数的函数值；角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围找共性(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件； (2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题[冲关演练]1．已知f (x )＝{ log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A.()－∞，－3B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 若a <0，则f (a )<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.故选C.3．(2018·铜陵模拟)设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由已知得f (1)＝3，当x ≥0时，由f (x )>f (1)得x 2－4x ＋6>3， 解得0≤x <1或x >3.当x <0时，由f (x )>f (1)得x ＋6>3， 解得－3<x <0.综上所述，不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．(2018·濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．已知f (x )＝{ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴{ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得{ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．已知函数f (x )＝{ 2x，x ≤1，log 3x －1，x ＞1，且f (x 0)＝1，则x 0＝( )A ．0B ．4C ．0或4D ．1或3解析：选C 当x 0≤1时，由f (x 0)＝2x 0＝1，得x 0＝0(满足x 0≤1)；当x 0＞1时，由f (x 0)＝log 3(x 0－1)＝1，得x 0－1＝3，则x 0＝4 (满足x 0＞1)，故选C.7．函数f (x )＝ln(x ＋1)＋(x －2)0的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足{ x ＋1＞0，x －2≠0，解得x ＞－1且x ≠2，所以该函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．答案：(－1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：∵f (2)＝12，∴f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， ∴f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)9．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝{ 2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2＞0，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－310．已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由x 2＋1＝1，得x ＝0，由x 2＋1＝3，得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．3．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或{ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]5．(2018·锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________．解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lg t ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)，故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)6．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h. C 级——重难题目自主选做1．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.2．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x，x )≤4⇔2x－x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2， 解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.5．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.6.(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，log 12x ，x ＞1，则f (f (4))＝________.解析：依题意得f (4)＝log 124＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147.函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为________．解析：要使原函数有意义，则{ 2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜2，且x ≠1. 所以函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2)8.已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)9.如图，已知点A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为点B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4.又因为点A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x上，所以n ＝－2.又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，则{ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得{ k ＝2，b ＝2，即y ＝2x ＋2，所以反比例函数的解析式为y ＝4x，一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.10．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)解析：选Bf (f (x ))＝f (lg(1－x ))＝lg[1－lg(1－x )]，则{ 1－x ＞0，1－lg 1－x ＞0⇒－9＜x ＜1.2．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．设函数f (x )＝{ 3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a≥1， 所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞4．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}．答案：8 {1,2}5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x (吨)，3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x ＞4，45<x ≤43时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，x >43时，y ＝2×4×1.8＋3(5x －4)＋3(3x －4)＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎨⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45＜x ≤43，24x －9.6，x ＞43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．6.已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f (x )，若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f (m )＝f ([m ])，则称函数f (x )是Ω函数．(1)判断函数f (x )＝x 2－13x ，g (x )＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)；(2)已知f (x )＝x ＋a x，请写出a 的一个值，使得f (x )为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f (x )＝x 2－13x 是Ω函数，g (x )＝sin πx 不是Ω函数．(2)法一：取k ＝1，a＝32∈(1,2)，则令[m ]＝1，m ＝a 1＝32，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝f (1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2，k 2＋k )，令[m ]＝k ，m ＝a k ，则一定有m －[m ]＝a k －k ＝a －k 2k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．法二：取k ＝1，a ＝12∈(0,1)，则令[m ]＝－1，m ＝－12，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝f (－1)，所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2－k ，k 2)，令[m ]＝－k ，m ＝－ak ，则一定有m －[m ]＝－a k－(－k )＝k 2－a k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)增函数、减函数增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值 M 为函数y ＝f (x )的最小值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7] 6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性区间重点保分型考点——师生共研确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f x 的单调性相同．3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x－x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域最值基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]函数的值域最值是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域最值问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y 1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：1 52[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x>0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[]0，π，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12. 令t ＝1－2f x ， 则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________．解析：y ＝3x ＋1x －2＝3x －2＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－742x ＋1.∵－3≤x ≤－1，∴720≤－742x ＋1≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x>0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用题点多变型考点——追根溯源函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有： 1比较函数值的大小； 2解函数不等式；3利用单调性求参数的取值范围或值.。

考点测试5 函的定义域和值域一、基础小题1．函f(x)＝1lg x＋2－x的定义域为( )A．(0,2] B．(0,2) C．(0,1)∪(1,2] D．(－∞，2] 答案 C解析f(x)＝1lg x＋2－x是复合函，所以定义域要满足lg x≠0且2－x≥0且x>0，所以0＜x≤2且x≠1.2．若函y＝x2－4x的定义域是{x|1≤x<5，x∈N}，则其值域为( ) A．C．∪D．(0,1]答案 B解析 由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎨⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋8 ≤0，解得k ≥1，故选B.5．若函y ＝f (x )的值域是，则函F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ． B ． C ． D ．答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为．6．已知函f (x )＝⎩⎨⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12答案 C解析 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A ．14B ．12 C ．2 D ．4答案 B解析 当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103答案 B解析 因为F (x )＝f (x )＋1f x ≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函F (x )为连续函，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B. 9．下列函中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析 因为5－x＋1>1，所以A 项中函的值域为(0,1)；B 、D 项中函的值域均为，则函g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析 由条件可得⎩⎨⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________． 答案解析 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函f (x )与g (x )分别由下表给出：则函y ＝g (f (x ))的值域为________． 答案 {2,3,5}解析 由表格可知，函f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y ＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题13．函f (x )＝1 log 2x 2－1的定义域为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12B ．(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪设f (x )＝⎩⎨⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．函y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 答案解析 若函有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.16．已知函f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1 ，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析 由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．已知函f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________.答案 －32解析 ①当a >1时，f (x )在上单调递增，则⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在上单调递减，则⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32.18．若函f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是解析 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函，∴f (x )∈函f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( )A ．B ．(－1,4]C ．D ．(1,4]答案 D解析 由题意，得⎩⎨⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．若函f (x )＝1log 3 2x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析 依题意，不等式组⎩⎨⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．设f (x )＝lg2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B 解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．已知函f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是(a ，b ∈Z )，值域是，那么满足条件的整对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无个答案 C解析 ∵函f (x )＝4|x |＋2－1的值域是，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴⊆．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．已知函f (x )＝⎩⎨⎧x x ＋4 ，x >0，x x －4 ，x ≤0，则f (a )的值不可能为( ) A ．2017 B ．12016C ．0D ．－2答案 D解析 如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为函y ＝3|x |－1的定义域为，则函的值域为________．答案解析 当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为．一、高考大题1．已知a ≥3，函F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )； ②求F (x )在区间上的最大值M (a )． 解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )． 所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为． (2)设函f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2， 所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即 m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎨⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈，试求函y ＝2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为，要使2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝2＋f (x 2)的定义域为．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈，∴log 3x ∈，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函y ＝2＋f (x 2)的值域为．3．已知函f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函的值域为已知函g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常且a >0，令函f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3，即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈(a >0)． (2)当a ＝14时，函f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. ∴f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。

高三数学函数及其表示试题答案及解析1.设常数，函数，若，则.【答案】3【解析】由题意，则，所以.【考点】函数的定义.2.在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为()【答案】B【解析】当t∈[－1,0]时，S增速越来越平缓，当t∈[0,1]时，S增速越来越快，选B项．3.若函数f(x)＝，则(1)＝________.(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋＋＋…＋＝________.【答案】(1)－1(2)0【解析】(1)∵f(x)＋f＝＋＝0，∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.(2)又f(3)＋f＝0，f(4)＋＝0，…f(2 012)＋f＝0，∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 012)＋f＋…＋f＝0.4.已知复数z+i，在映射f下的象是，则﹣1+2i的原象为（）A．﹣1+3i B．2﹣i C．﹣2+i D．2【答案】D【解析】由题意：z+i→∴﹣1+2i=，z=2﹣i所以z+i=2﹣i+i=2．故选D．5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)【答案】①④【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．6.设函数f(x)＝其中b>0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.∴b＝4，c＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a＝－.综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x＋a(a∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为7.已知函数，对任意都有，且是增函数，则【答案】6【解析】本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从的初始值开始，如，首先，否则不合题意，其次若，则与是增函数矛盾，当然更不可能(理由同上)，因此，，．【考点】函数的定义与性质．8.是上的奇函数，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，∴，∴.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数解析式.9.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（）不存在“和谐区间”【答案】B【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因为方程有两个不等实根和，故，即区间是函数的“和谐区间”，B错误，选B，根据选择题的特征，下面C，D显然应该是正确的（事实上，函数）的“和谐区间”为，在其定义域内是单调增函数，若有“和谐区间”，则方程有两个不等实根，但此方程无实根，因此函数不存在“和谐区间”）．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．10.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（，）不存在“和谐区间”【答案】D【解析】根据“和谐区间”的定义，我们只要寻找到符合条件的区间即可，对函数（），“和谐区间”，函数是增函数，若存在“和谐区间” ，则，因此方程至少有两个不等实根，考虑函数，由，得，可得在时取得最小值，而，即的最小值为正，无实根，题设要求的不存在，因此函数（）不存在“和谐区间”，函数）的“和谐区间”为，当然此时根据选择题的设置方法，知道应该选D，事实上，在其定义域内是单调增函数，“和谐区间”为，故D中的命题是错误的．【考点】新定义的理解，函数的单调性，方程的解．11.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .【答案】（1）【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①【考点】1.函数的概念及其构成要素．12.已知函数的导函数为偶函数，则（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对所给函数求导得：，由偶函数定义知：，即，所以．【考点】1.函数的导数;2.偶函数的定义13.已知函数, 则的值是 .【答案】【解析】由分段函数解析式得.【考点】1.分段函数；2.函数值的求法14.若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，下列曲线（1）y=cosx,,(2),(3),(4)有“中位点”的是（）A.(2)(4)B.(1)(3)(4)C.(1)(2)(4) C.(2)(3)D.(2)(3)(4)【答案】B【解析】若曲线y=上存在三点A,B,C,使得，则称曲线有“中位点”，此时函数图象上必然有三点共线，函数y=cosx的图象上（0，1），（,0），（π，-1）三点显然共线，函数的图象上（-1，-4），（0,-2），（1，0）三点和函数的图象上（-1，-1），（0,0），（1，1）三点显然共线，均有三点共线，而没有，故选B.【考点】1.数形结合的思想方法；2.新定义的理解15.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】【解析】∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）, 又∵由h（x）+g（x）=2x， h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，∴h（x）= (2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x), 不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0,令t=2-x-2x，整理得：，由t=2-x-2x得在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为.【考点】1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式16.设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，.若“，”是假命题，则的取值范围为 .【答案】【解析】是定义在R上的奇函数，故可求解析式为又“”是假命题，则是真命题，当时，，解得，①当时，，结合均值不等式有，得或，②①②取交集得的取值范围是.【考点】1.根据奇偶性求函数解析式；2.特称命题的否定；3.不等式恒成立问题.17.已知，则___________.【答案】2【解析】因为，所以，又因为，所以.【考点】求分段函数的函数值.18.已知，则的值等于．【答案】2014【解析】令，则所以，，故【考点】指数式与对数式的互化.19.已知函数满足．（1）求常数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ；（2）【解析】（1）显然，所以，代入相应解析式求出；（2）由（1）确定函数解析式，对在不同段上的讨论.试题解析：（1）因为，所以；由，即，． 4分（2）由（1）得，由得， 6分当时，解得； 8分当时，解得. 10分所以的解集为． 12分【考点】1.分段函数；2.不等式.20.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。

1 23 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 1617 18 19 20 212223，且关于的方的取值范围是．24252627 28 29 30123，4．567解析式最值奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式数列的前n项和89恒成立,则有即恒成立,，令,解得．得:,,或，时矛盾．函数的模型及其应用导数及其应用利用导数研究函数的单调性10如图点在的下方，∴得．再根据当与相切时，设切点坐标为，则，∴，此时，此时与有个交点，∴．故选．函数与导数函数分段函数图象函数与方程方程根的个数函数图象的交点11函数与导数函数单调性函数与方程函数的零点导数及其应用导数与零点导数与分类讨论导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式1213解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率14又图象可知交点为∴解得．∵，∴，由（）知，当时，在故要证原不等式成立，只需要证明：当时，令，则，∴在上为增函数，∴，即，∴，即．函数与导数函数与方程函数图象的交点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率直线的方程15对应的点坐标的最高点为最低点为，此两点也是函数的最高和最低点，由此可知．同理可得时，取得最大值．依理，当时，取得最小值，即．16在上至少有三个零点可化为少有三个交点，在上单调递减，则，解得：．函数与导数函数奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质对数函数对数函数的概念、图象及其性质函数与方程方程根的个数函数的零点B. C.，关于的不等式只有两个整数解，则实数17C函数的定义域为，则，当得，即即，即，由得，得即，即，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值即当时，有一个整数解当时，有无数个整数解，若，则得若，则由得或当时，不等式由无数个整数解，不满足条件．当时，由得当时，没有整数解，则要使当有两个整数解，∵，，∴当时，函数有两个整数点，∴要使有两个整数解，则，即．故选．函数与导数二次函数二次型函数导数及其应用导数与零点导数的运算利用导数研究函数的单调性18单调性19复合函数20易知共有个交点．函数与导数函数分段函数奇偶性周期性函数与方程函数图象的交点2122，则，恰好是正方形的面积，所以23，且关于的方的取值范围是．，如图所示，2425函数与导数导数及其应用导数与恒成立导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式不等式与线性规划解不等式分式不等式2627正弦函数的图象与性质282930。

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表示实战演练理1．（2015·全国卷Ⅱ）设函数f（x)＝错误!则f（－2）＋f（log212)＝（ C )A．3 B．6C．9 D．12解析:∵－2<1，∴f(－2)＝1＋log2[2－(－2)］＝3;∵log212>1,∴f（log212)＝2log212－1＝2 log26＝6。

∴f（－2)＋f（log212）＝9。

2．（2015·湖北卷）已知符号函数sgn x＝错误!f（x)是R上的增函数,g（x）＝f(x)－f （ax）(a>1），则（ B )A．sgn［g(x)］＝sgn x B．sgn［g(x)]＝－sgn xC．sgn[g（x)]＝sgn [f（x)] D．sgn[g（x）]＝－sgn ［f(x）］解析：∵f(x)是R上的增函数，a〉1，∴当x>0时，x〈ax，有f（x）<f(ax)，则g（x)〈0;当x＝0时，g(x)＝0；当x<0时,x〉ax,有f(x）〉f（ax),则g（x）>0。

∴sgn［g(x）］＝错误!∴sgn［g（x)]＝－sgn x，故选B．3．(2015·江苏卷)存在函数f(x）满足：对于任意x∈R都有( D ）A．f（sin 2x）＝sin x B．f（sin 2x）＝x2＋xC．f（x2＋1）＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝｜x＋1｜解析：对于A,令x＝0，得f(0）＝0;令x＝错误!，得f(0）＝1,这与函数的定义不符，故A错．在B中，令x＝0，得f（0)＝0；令x＝错误!，得f（0）＝错误!＋错误!，与函数的定义不符，故B错．在C中,令x＝1,得f（2)＝2；令x＝－1，得f(2）＝0,与函数的定义不符，故C错．在D中，变形为f（|x＋1|2－1)＝｜x＋1｜，令|x＋1｜2－1＝t,得t≥－1,｜x＋1|＝t＋1，从而有f（t)＝错误!，显然这个函数关系在定义域（－1，＋∞）上是成立的，选D．4．(2016·江苏卷）函数y＝3－2x－x2的定义域是[－3,1]．解析：若函数有意义,则3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1。