第四章线性方程组与向量组的线性相关性

第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。

第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。