直线的一般式方程(附答案)

3.2.3 直线的一般式方程一、选择题1、过点（1，0）且与直线x-2y-2＝0平行的直线方程是（）A. x-2y-1＝0B. x-2y＋1＝0C. 2x＋y-2＝0D. x＋2y-1＝02、已知直线Ax＋By＋C＝0的横截距大于纵截距，则A，B，C应满足的条件是（）A. A＞BB. A＜BC. C CA B+＞0 D.C CA B-＜03、如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x-y-2＝0平行，那么系数a等于（）A. -3B. -6C.32- D.324、若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则（）A. ab＞0，bc＞0B. ab＞0，bc＞0C. ab＜0，bc＞0D. ab＜0，bc＜05、直线l1：ax-y＋b＝0，l2：bx＋y-a＝0（ab≠0）的图像只可能是下图中的（）A. B.C. D.6、已知直线l1：（k-3）x＋（3-k）y＋1＝0与直线l2：2（k-3）x-2y＋3＝0垂直，则k 的值是（）A. 2B. 3C. 2或3D. 2或-37、直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则（）A. B. C. D.8、直线x-2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A. x＋2y-1＝0B. 2x＋y-1＝0C. 2x＋y-3＝0D. x＋2y-3＝09、若直线ax＋by＋6＝0在x轴、y轴上的截距分别是-2和3，则实数a，b的值分别为（ ）A. 3，2B. -3，-2C. -3，2D. 3，-210、直线l 过点P （1，3），且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ） A. 3x ＋y -6＝0 B. x ＋3y -10＝0C. 3x -y ＝0D. x -3y ＋8＝0二、填空题11、纵截距为-4，与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为______． 12、经过点P （3，-1），且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______． 三、解答题13、直线的截距式方程1x ya b+=化为斜截式方程为y ＝-2x ＋b ，化为一般式方程为bx ＋ay -8＝0．求a ，b 的值．14、求过点A （2，2）且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线2x ＋y -1＝0平行； （2）与2x ＋y -1＝0垂直．15、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：（1A （5，3）； （2）过点B （-3，0），且垂直于x 轴； （3）斜率为4，在y 轴上的截距为-2； （4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； （5）经过C （-1，5），D （2，-1）两点； （6）在x 轴，y 轴上截距分别为-3，-1．参考答案1、【答案】A【分析】本题考查直线的一般式方程和点斜式方程.【解答】直线x-2y-2＝0的斜率为12，又所求直线过点（1，0），故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12（x-1），即x-2y-1＝0．2、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程.【解答】由条件知A·B·C≠0，在方程Ax＋By＋C＝0中，令x＝0得y＝CB-，令y＝0得x＝CA-，由CA-＞CB-得C CA B-＜0．3、【答案】B【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系.【解答】两直线平行，则22312a=≠--，得a＝-6．选B.4、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.【解答】直线经过第一、二、三象限，则由y＝a cxb b--可知，0,0,abcb⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩⇒0,0,abbc<⎧⎨<⎩选D.5、【答案】B【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.【解答】l1：y＝ax＋b，l2：y＝-bx＋a，在A选项中，由l1的图像知a＞0，b＜0，判知l2的图像不符合．在B选项中，由l1的图像知a＞0，b＜0，判知l2的图像符合，在C 选项中，由l1知a＜0，b＞0，∴-b＜0，排除C；在D选项中，由l1知a＜0，b＜0，由l2知a＞0，排除D. ∴应选B.6、【答案】C【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系.【解答】∵l1⊥l2，∴2（k-3）2-2（3-k）＝0，即k2-5k＋6＝0，得k＝2或k＝3．7、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.答案第1页，共3页【解答】∵l 过原点，∴C ＝0，又l 过二、四象限，∴l 的斜率AB-＜0，即AB ＞0． 8、【答案】D【分析】本题考查中点坐标公式和直线的一般式方程.【解答】设P （x ，y ）是所求直线上任一点，它关于直线x ＝1对称点P ′（2-x ，y ）在已知直线x -2y ＋1＝0上，∴2-x -2y ＋1＝0，即x ＋2y -3＝0． 9、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程. 【解答】当y ＝0时，x ＝6a -＝-2，∴a ＝3，当x ＝0时，y ＝6b-＝3，∴b ＝-2，选D. 10、【答案】A【分析】本题考查直线的截距式方程.【解答】依题意可设直线方程为()10,0x ya b a b+=>>，则解得∴直线方程为126x y+=，即3x ＋y -6＝0． 11、【答案】2x -5y -20＝0或2x ＋5y ＋20＝0 【分析】本题考查直线的截距式方程和一般式方程.【解答】设直线的方程为y ＝kx -4（k ≠0），由y ＝0得x ＝4k，∵直线与两坐标轴围成的面积为20，∴12×|-4|×|4k |＝20，k ＝±25，∴所求直线的方程为y ＝±25x -4，即2x -5y -20＝0和2x ＋5y ＋20＝0．12、【答案】x ＋3y ＝0或x ＋2y -1＝0【分析】本题考查直线的截距式方程和一般式方程.【解答】当过原点时，其直线方程为y ＝13-x ；当不过原点时，可设直线方程为12x ya a+=，代入P （3，-1），得3112a a -=，解得a ＝12，∴x ＋2y ＝1．∴直线l 的方程为x ＋3y ＝0或x ＋2y -1＝0．13、【答案】a ＝2，b ＝4或a ＝-2，b ＝-4．【分析】本题考查直线的截距式方程，斜截式方程和一般式方程. 【解答】由1x y a b +=，化得y ＝b a-x ＋b ＝-2x ＋b ，又可化得：bx ＋ay -ab ＝bx ＋ay -8＝0，则ba＝2，且ab ＝8．解得a ＝2，b ＝4或a ＝-2，b ＝-4． 14、【答案】（1）2x ＋y -6＝0；（2）x -2y ＋2＝0.答案第3页，共3页【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系. 【解答】解法一：已知直线l ：2x ＋y -1＝0的斜率k ＝-2．（1）过A （2，2）与l 平行的直线方程为y -2＝-2（x -2）．即2x ＋y -6＝0． （2）过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝112k -=，方程为y -2＝12（x -2）．即x -2y ＋2＝0为所求．解法二：（1）设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由（2，2）点在直线上，∴2×2＋2＋c ＝0，∴c ＝-6．∴所求直线为2x ＋y -6＝0．（2）设所求直线方程为x -2y ＋λ＝0，由（2，2）点在直线上，∴2-2×2＋λ＝0，∴λ＝2．∴所求直线为x -2y ＋2＝0．15、【答案】（1-y ＋3-50；（2）x ＋3＝0；（3）4x -y -2＝0；（4）y -3＝0；（5）2x ＋y -3＝0；（6）x ＋3y ＋3＝0．【分析】本题考查直线的点斜式方程，两点式方程，截距式方程和一般式方程. 【解答】（1）由点斜式方程得y -3x -5）-y ＋3-0． （2）x ＝-3，即x ＋3＝0． （3）y ＝4x -2，即4x -y -2＝0． （4）y ＝3，即y -3＝0．（5）由两点式方程得()()151521x y ---=----，即2x ＋y -3＝0．（6）由截距式方程得131x y +=--，即x ＋3y ＋3＝0．。

《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。

3．2．3 直线的一般式方程【基础达标】1．若ac ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是 ( )．解析 由ac ＜0，bc ＜0，∴abc 2＞0，∴ab ＞0，∴斜率k ＝－a b＜0，又纵截距－c b ＞0，故选C.答案 C2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析 所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1，0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 答案 A3．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是 ( )．解析 直线l 1的斜率k 1＝a ，在y 轴上截距b 1＝b ，直线l 2的斜率k 2＝－b ，在y 轴上截距b 2＝a ，对A ，b 1＝b ＜0，k 2＝－b ＜0，b ＞0，对C ，k 1＝a ＜0，b 2＝a ＞0，对D ，k 1＝a ＜0，b 2＝a ＞0，均产生矛盾，故选B.答案 B4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0相互垂直，则实数m ＝________．解析 由题意知直线的斜率均存在，且12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m ＝－1.∴m ＝1 答案 15．已知A (0，1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析 AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.答案 x －y ＋1＝06．已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________．解析 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，当y ＝0得x ＝－m 3；当x ＝0得y ＝－m 4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 4＝24，∴m ＝±24. ∴直线l 的方程为3x ＋4y ±24＝0.答案 3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝07．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解 (1)∵直线过点P ′(1，0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎨⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43. (3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53或m ＝－2.【能力提升】8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )．A ．m ＝1B ．m ＝±1 C.⎩⎨⎧m ＝1n ≠－1 D.⎩⎨⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1，n ≠1 解析 根据两直线平行可得m 1＝1m ，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m＝1时，n ≠－1；m ＝－1时，n ≠1.答案 D9．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．解析 ∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.∵点A (2，1) 在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.答案 2x ＋y ＋1＝010．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．证明 原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y ＋11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立∴⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3. ∴直线恒过定点(2，3)．。

2.2.2 第2课时直线的两点式和一般式方程学案（含答案）第2课时直线的两点式和一般式方程学习目标1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.2.理解直线方程的一般式的特点与方程其它形式的区别与联系.3.会直线方程的一般式与其它形式之间相互转化，进一步掌握求直线方程的方法知识点一直线方程的两点式直线方程的两点式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1x1，y1，P2x2，y2，其中x1x2，y1y2斜率存在且不为0知识点二直线方程的截距式直线方程的截距式名称已知条件示意图方程使用范围截距式在x，y 轴上的截距分别为a，b，且a0，b01斜率存在且不为0，不过原点知识点三直线的一般式方程直线的一般式方程形式AxByC0条件A2B20知识点四直线方程五种形式的比较名称已知条件标准方程适用范围点斜式点P1x1，y1和斜率kyy1kxx1不垂直于x轴的直线斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb不垂直于x轴的直线两点式点P1x1，y1和点P2x2，y2不垂直于x，y轴的直线截距式在x 轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零1不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线一般式两个独立的条件AxByC0A，B不全为零1不经过原点的直线都可以用方程1表示2能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示3能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示4当A，B同时为零时，方程AxByC0也可表示为一条直线5任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化题型一直线的两点式方程例1在ABC中，已知点A3,2，B5，4，C0，21求BC边的方程；2求BC边上的中线所在直线的方程解1BC边过点B5，4，C0，2，由两点式，得，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y1000x52设BC的中点为Ma，b，则a，b3，所以M.又BC边的中线过点A3,2，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程是10x11y80.反思感悟1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标跟踪训练1过点A2,1，B3，3的直线方程为A4x5y130B4x5y30C5x4y50D5x4y80考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析因为直线过点2,1和3，3，所以，所以，化简得4x5y30.题型二直线的截距式方程例2求过点A5,2，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解方法一1当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；2当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya.又l过点A5,2，52a，解得a3.l的方程为xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.方法二由题意知，直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为y2kx5，当x0时，y25k；当y0时，x5.根据题意，得25k.解得k或1.当k时，直线方程y2x5，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21x5，即xy30.综上所述，直线l的方程为2x5y0或xy30.反思感悟1如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直跟踪训练21过点2,3，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为AyxBxy5Cyx和xy5Dyx和xy5考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案C解析设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.当ab0时，直线方程为1，1，a5，xy5，当ab0时，k，yx，综上所述，yx和xy5.2xx株州高一检测已知直线l过点A1,2，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程解设l1a0，b0，则a24a40，解得a2，所以b4.直线l1，所以l2xy40.题型三直线的一般式方程例3根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程1斜率是，且经过点A5,3；2斜率为4，在y轴上的截距为2；3经过点A1,5，B2，1两点；4在x轴，y轴上的截距分别为3，1；5经过点B4,2，且平行于x轴考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为y3x5，即xy530.2由斜截式，得直线方程为y4x2，即4xy20.3由两点式，得直线方程为，即2xy30.4由截距式，得直线方程为1，即x3y30.5y20.反思感悟在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式跟踪训练3根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式1斜率是，且经过点A8，6；2在x轴和y轴上的截距分别是和3；3经过点P13，2，P25，4考点直线的一般式方程题点求直线的一般式过程及各种方程的互化解1由点斜式，得直线方程为x2y40.2由斜截式，得直线方程为2xy30.3由两点式，得直线方程为xy10.直线方程的灵活应用典例xx临沂高一检测已知ABC的一个顶点是A3，1，ABC，ACB的平分线方程分别为x0，yx.1求直线BC的方程；2求直线AB的方程解如图1因为ABC，ACB的平分线分别是x0，yx，所以AB与BC关于x0对称，AC与BC关于yx对称A3，1关于x0的对称点A3，1在直线BC上，A关于yx的对称点A1,3也在直线BC上由两点式求得直线BC的方程为，即2xy50.2因为直线AB与直线BC关于x0对称，所以直线AB与BC 的斜率互为相反数，由1知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为2，又因为点A的坐标为3，1，所以直线AB的方程为y12x3，即2xy50.素养评析1理解题目条件，角的两边关于角平分线对称2画出图形，借助图形分析A关于直线x0的对称点A在BC上，A关于yx的对称点A也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养3分别求出A，A两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养1在x轴，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是A.1B.1C.1D.1考点直线的截距式方程题点利用截距式求直线方程答案A2经过M3,2与N6,2两点的直线方程为Ax2By2Cx3Dx6考点直线的两点式方程题点利用两点式求直线方程答案B解析由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y2，故选B.3在直角坐标系中，直线xy30的倾斜角是A30B60C150D120考点直线的一般式方程与直线的性质题点由一般式方程求倾斜角和斜率答案C解析直线斜率k，所以倾斜角为150，故选C.4已知点A3,2，B1,4，则经过点C2,5且经过线段AB的中点的直线方程为________答案2xy10解析AB的中点坐标为1,3，由直线的两点式方程，可得，即2xy10.5若直线2m25m2xm24y5m0的倾斜角是45，求实数m的值解由已知得m3.1求直线的两点式方程的策略以及注意点1当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程2由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系2截距式方程应用的注意事项1如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可2在选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直3要注意截距式直线方程的逆向应用31直线方程的其他形式都可以化成一般形式，一般式也可以化为斜截式一般式化斜截式的步骤移项，ByAxC；当B0时，得yx.2在一般式AxByC0A2B20中，若A0，则y，它表示一条与y轴垂直的直线；若B0，则x，它表示一条与x 轴垂直的直线。

2.2.3 直线的一般式方程1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式． 2．会进行直线方程的五种形式之间的转化．阅读课本内容，自主完成下列内容。

知识点一 直线的一般式方程1．关于x ，y 的二元一次方程，它都表示一条 ．2．我们把关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为 )叫做直线的一般式方程，简称一般式．若A ＝0，则y ＝ ，它表示一 条与 平行或重合的直线；若B ＝0，则x ＝ ，它表示一条与 平行或重合的直线．1.直线y ＋2＝13(x －1)化为一般式方程，正确的是( )A ．x ＋3y －7＝0B ．x －3y －7＝0C ．x ＋3y ＋7＝0D ．x －3y ＋7＝0知识点二 直线方程的互化1．直线的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)，化为斜截式为y ＝ ； 化为截距式为 ＝1.2．点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，化为一般式为 ；斜截式y ＝kx ＋b ，化为一般式为 ；两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，化为一般式为；截距式x a ＋yb ＝1，化为一般式为 .1.把直线的一般式方程x ＋y －1＝0化为斜截式，正确的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x －1 C ．y ＝－x ＋1 D ．y ＝x ＋12．直线x ＋2y ＝0在y 轴上的截距为__________．知识点三 直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有待定系数(也称参变量)．(1)已知直线纵截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b (不适用于斜率不存在的直线)； (2)已知直线横截距a ，常设其方程为x ＝my ＋a (不适用于斜率为0的直线)；考点一直线的一般式方程角度1 求直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A(5，3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1.【对点演练】已知直线经过点(1，－1)，斜率为2，求直线的点斜式方程，并化成一般式．角度2 含参数的一般式方程例2设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R).若直线l不过第三象限，求a的取值范围．【对点演练1】若本例中的方程不变，将“直线l不过第三象限”改为“直线l不过第二象限”，求a的取值范围．【对点演练2】若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的取值范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．考点二直线方程的互化例3．若直线的截距式xa＋yb＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0且a>0，则a＋b＝________．考点三利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题角度1由平行、垂直求直线方程例4已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．【对点演练】直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是() x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0角度2由直线的平行、垂直求参数值例5已知直线l1：x＋2ay＋1＝0，直线l2：(3a－1)x－ay－7＝0.(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)若l1∥l2，求实数a的值．【对点演练1】已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝________；当l1∥l2时，m＝________．【对点演练2】直线x＋3y＋m＝0和直线3x－y＋n＝0的位置关系是()A.平行B．垂直C.不平行也不垂直D．与m，n的取值有关考点四定点问题例6已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论实数a为何值，直线l总经过第一象限；(2)求使直线l不经过第二象限的a的取值范围．【对点演练】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)求证：不论a为何值，直线l必过一定点；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围．一、单项选择题1．直线2x＋5y－10＝0在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则()A．a＝2，b＝5 B．a＝5，b＝2 C．a＝－2，b＝5 D．a＝－5，b＝2 2．不论m为何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点()A.11,2⎛⎫-⎪⎝⎭B．(－2,0)C．(2,3) D．(－2,3)3．倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y－1＝0 B．3x－y＋1＝0C.3x－3y－1＝0 D．3x＋3y－1＝04.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()A.x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C.x＋2y－1＝0 D．2x＋y－2＝05．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为()A.－2 B．2C.－3 D．36．已知三条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：bx＋2y＋a＝0，若l1⊥l2，且l2∥l3，则a＋b＝()A.2 B．4C.2或1 D．4或17．若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是() A．a≠±1 B．a≠1，a≠2C．a≠－1 D．a≠±1，a≠28．直线mx －y －m ＋2＝0过定点A ，若直线l 过点A 且与2x ＋y －2＝0平行，则直线l 的方程为( A )A ．2x ＋y －4＝0B ．2x ＋y ＋4＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y －3＝0二、多项选择题9.已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，则下列说法正确的是( ) l 1∥l 2，则m ＝－1或m ＝3 l 1∥l 2，则m ＝3 l 1⊥l 2，则m ＝－12l 1⊥l 2，则m ＝1210.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限11．(多选题)已知三条直线3x ＋2y ＋6＝0,2x －3m 2y ＋18＝0和2mx －3y ＋12＝0围成一个直角三角形，则m 的值可能是( )A ．－1B ．0C ．1D ．－49三、填空题12．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行或重合时： ； (2)直线与y 轴平行或重合时： ； (3)直线过原点时： .13．直线(2a 2－7a ＋3)x ＋(a 2－9)y ＋3a 2＝0的倾斜角为45°，则实数 . 14．直线(2t －3)x ＋2y ＋t ＝0不经过第二象限，则t 的取值范围是 .15.过点(－1，2)且以直线2x －3y －7＝0的方向向量为方向向量的直线的一般式方程是________． 四、解答题16．已知直线l 经过点P (2，3)且斜率为－32 .(1)求直线l 的一般式方程；(2)求与直线l 垂直，且过点(－3，1)的直线的一般式方程． 16．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋ba ，b 的值． (1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且直线l 2在y 轴上的截距为3.17．已知直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点M(－4，－1)；(2)直线l1∥l2，且l1，l2在y轴上的截距互为相反数．。

3.2.3 直线的一般式方程问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x, y 的二元一次方程表示吗？问题2. 每一个关于x, y二元一次方程0Ax By C++=都表示一条直线吗？探究1:直线与二元一次方程的对应是什么样的对应?探究2：在方程Ax + By + C = 0 中，A, B, C 为何值时，方程表示的直线⑴行于x 轴；⑵平行于y 轴；⑶与x 轴重合；⑷与y 重合.三．例题分析例1．已知直线经过点(6,4)-,斜率为43-,求直线的点斜式和一般式方程.练习:1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是12-，经过点A( 8,-2 ) ；（2）经过点B (4,2) ，平行于x轴；（3）经过两点P 1(3,-2), P2(5,- 4) ；（4）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,-3.例2．把直线l 的一般方程3250y x -+=化成斜截式方程,并求出直线l 与x 轴、y 轴的截距,画出图形.变式：1.求下列直线的斜率和在 y 轴上的截距，并画出图形⑴3x + y - 5 = 0 ；⑵145x y -=；⑶ x + 2y = 0 ； ⑷7x - 6y + 4 = 0 ；⑸2y - 7 = 0 .2.设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求的值. ①l 在x 轴上的截距为2-. ② 斜率为1-3．若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 满足条件（ ）(A)A 、B 、C 同号 (B)AC<0,BC>0(C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<04.已知直线l 经过点（－２，２）且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．。