数值分析
第1章绪论
--------学习小结
一、本章学习体会
通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。
误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。
而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。
对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。
本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。
二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象
数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。
2.2误差知识与算法知识
2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。
2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字
1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。
绝对误差：
绝对误差限：
（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
相对误差：
相对误差限：
结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。
（3）有效数字的定义
有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第
k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
有效数字第二种定义：设数x的近似值其中m是整
数，是0,1,2，，9中的任意数，但,若
则具有k位有效数字。
通过学习总结出下面几个结论：
（1）若a是经过四舍五入而得到的近似值，则从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。
（2）将任何数乘以10p（p=0，±1，±2，…）等于移动该数的小数点，并不影响其有效数字。
（3）有效数字相同的两个近似值的绝对误差不一定相同。
（4）准确值被认为具有无穷多位有效数字。
从有效数字的定义可以知道，由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。
2.（1）相对误差与有效数字的关系：
若近似数具有n位有效数字，则其相对误差
。
若近似数的相对误差则该
近似数至少具有n位有效数字。
结论：有效数字位数越多，相对误差越小。
（2）绝对误差与有效数字的关系：
若其中m是整数，是0到9中的一个数字，.如果a作为数x的近似值，且a具有n位有效数字，则
若其中m是整数，是0到9中的一个数字，.如果a作为数x的近似值，如果|e（）则
a 具有n位有效数字。
结论：有效数字位数越多，绝对误差越小。
2.2.3误差估计的基本方法
1.（1）对于一元函数：
（2）二元函数：
)()
,()(),()),((b y
b a f a x b a f b a f εεε⋅∂∂+⋅∂∂≈
（3）n 元函数：
设
存在足够高阶的导数，a 是自变量x 的近似值，则是
的近似值。
如果且比值
不是很大，
则
2.算数运算误差：
2.2.4算法及计算复杂性
在数值计算中，要注意遵循一些原则，以保证数值稳定性。（1）能控制舍入误差的传播。
（2）合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止大数将小数吃掉。（3）避免两个相近的数相减。
（4）避免接近零的数做除数，防止溢出。
（5）简化计算步骤，尽量减少运算次数。
2.3向量范数与矩阵范数
2.3.1 向量范数
1.向量范数满足三个条件：
（1）正定性
（2）齐次性
（3）成立三角不等式
2.对于中的任一向量则有
1-范数（列范数）
2-范数（欧氏范数）
P-范数
∞-范数
3.在空间中可以引进各种向量范数，且它们都满足下述向量定理：
设是上的任意两种向量范数，则存在与向量x无关的数m和M （0也就是说，向量x的某一范数可以任意小（大）时，该向量的其它任意一种范数也会任意小（大）。
2.3.2矩阵范数
1.定义在上的实值函数称为矩阵范数，如果对于中任意的矩阵A和B，阵范数满足下列条件：
（1）非负性
（2）齐次性
（3）成立三角不等式
（4）相容性
2.当一个问题中需要向量范数和矩阵范数时，向量范数和矩阵范数应该是相容的。
对于给定的向量范数和矩阵范数，如果对于任一个x∈R n，A∈R n×n，满足
，则所给的向量范数和矩阵范数是相容的。
设在中给定了一种向量范数，对任意矩阵，令
，由此定义的矩阵范数与给定的向量范数相容，将这种范数称为从属于所给定的向量范数的矩阵范数。
3.设A=,则：
矩阵A的列范数
矩阵A的谱范数
矩阵的行范数
弗罗贝尼乌斯范数
4.设矩阵的某种范数，则为非奇异矩阵，并且当这种范数
