数值分析第七章学习小结

贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告课程名称： 数值分析 班级：实验日期：学 号： 点名序号：26姓名： 指导教师：实验成绩：一、实验名称实验六: 常微分方程初值问题数值解法二、实验目的及要求1. 让学生掌握用Euler 法, Runge-Kutta 法求解常微分方程初值问题.2. 培养Matlab 编程与上机调试能力.三、实验环境每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、MATLAB6.5(或7.0).四、实验内容1. 取步长h=0.1,0.05,0.01, ,用Euler 法及经典4阶Runge-Kutta 法求解初值问题⎩⎨⎧=≤≤++-=1)0()10(2222'y t t t y y 要求:1) 画出准确解(准确解22t e y t +=-)的曲线,近似解折线;2) 把节点0.1和0.5上的精确解与近似解比较,观察误差变化情况.2. 用 Euler 法,隐式Euler 法和经典4阶R-K 法取不同步长解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=21)0(],1,0[,50'y x y y 并画出曲线观察稳定性.注：题1必须写实验报告五、算法描述及实验步骤4阶R-K 算法：功能输入 f(x),a,b,x0(x0=a),y0.输出 4阶R-K 解y.步1 m<=(b-a)/h,xn=a+n*h(n=1.2…m)步2 对n=0.1…m-1执行K1<=f(xn,yn)K2<=f(xn+0.5,y n+0.5*h*K1),K3<=f(xn+0.5,y n+0.5*h*K2).K4<f(x n+1,y n+h*K3).yn+1<=yn+(h/6)*（K1+2*K2+2*K3+K4）；步3 输出y=(y1,y2,…,ym)’;结束Euler法算法功能解初值问题y’=f(x,y),y(x0)=y0;输入 f(x,y),a,b,h,x0(x0=a),y0;输出 Euler解y;步1 m<=(b-a)/h ,xn=a+n*h(n=1.2…m);步2 对n=0.1…m-1执行Yn+1<=yn+h*f(xn,yn);步3 输出y=(y1,y2,…,ym)’结束实验步骤：1.按要求在安装Windows2000或Windows XP操作系统，Matlab软件环境下编写源程序。

第七章 常微分方程的数值解法在自然科学的许多领域中，都会遇到常微分方程的求解问题。

然而，我们知道，只有少数十分简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。

在常微分方程课中已经讲过的级数解法，逐步逼近法等就是近似解法。

这些方法可以给出解的近似表达式，通常称为近似解析方法。

还有一类近似方法称为数值方法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。

利用计算机解微分方程主要使用数值方法。

我们考虑一阶常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy在区间[a, b]上的解，其中f (x, y )为x, y 的已知函数，y 0为给定的初始值，将上述问题的精确解记为y (x )。

数值方法的基本思想是：在解的存在区间上取n + 1个节点b x x x x a n =<<<<= 210这里差i i i x x h -=+1，i = 0,1, …, n 称为由x i 到x i +1的步长。

这些h i 可以不相等，但一般取成相等的，这时nab h -=。

在这些节点上采用离散化方法，（通常用数值积分、微分。

泰勒展开等）将上述初值问题化成关于离散变量的相应问题。

把这个相应问题的解y n 作为y (x n )的近似值。

这样求得的y n 就是上述初值问题在节点x n 上的数值解。

一般说来，不同的离散化导致不同的方法。

§1 欧拉法与改进欧拉法1.欧拉法 1．对常微分方程初始问题(9.2))((9.1)),(00⎪⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx dy用数值方法求解时，我们总是认为(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。

欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。

从（9.2）式由于y (x 0) = y 0已给定，因而可以算出),()('000y x f x y =设x 1 = h 充分小，则近似地有：),()(')()(00001y x f x y hx y x y =≈-(9.3)记 ,n ,,i x y y i i 10 )(== 从而我们可以取),(0001y x hf y y ==作为y (x 1)的近似值。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

高数大一知识点总结第七章第七章是高等数学课程中相对来说较为复杂和抽象的一个章节，主要涉及到曲线的参数方程以及重要的积分学知识。

本文将就这两个方面进行探讨和总结。

一、曲线的参数方程曲线的参数方程是描述曲线上各点位置的方程。

与之前的直线方程不同，参数方程运用了参数的概念，更加灵活和便于描述曲线的性质。

1.1 曲线的参数方程表示形式曲线的参数方程通常由x和y的表达式组成，其中x和y都是参数t的函数。

例如，对于一个圆的参数方程可以表示为： x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中r为圆的半径，t为参数。

1.2 曲线的切线和法线利用参数方程求解曲线上一点处的切线和法线是参数方程在实际应用中的重要方面。

对于曲线的切线，可通过一阶导数求得： dy/dx = dy/dt / dx/dt对于曲线的法线，易得法线的斜率为切线斜率的相反数，即： dy/dx = -dx/dy1.3 曲线长度的计算同样利用参数方程，可以求解曲线的长度。

设曲线在参数t的两个值t1和t2之间，其弧长为s，根据弧长元素ds的定义可得： ds² = (dx/dt)² + (dy/dt)²通过对上式进行积分运算，即可计算出曲线的长度。

二、积分学的重要概念和应用积分学是高等数学中的重要分支，它在物理、经济、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

在本章中，我们将学习一元函数的不定积分、定积分以及其应用。

2.1 不定积分不定积分是对函数进行积分的一种形式，其表示为∫f(x)dx。

在本章中，我们主要学习了一些基本的积分公式，并掌握了常用函数的积分表达式。

这些积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。

2.2 定积分定积分是对函数在区间上的积分，表示为∫[a, b]f(x)dx。

通过求解定积分，我们可以计算出函数在给定区间上的面积或定量特征。

定积分是积分学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、几何学等领域。

数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。

通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。

在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。

首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。

在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。

这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。

通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。

这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。

其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。

在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。

因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。

通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。

这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。

另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。

在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。

通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。

这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。

最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。

在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。

通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。

这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。

综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。

第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。

设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。

如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。

如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。

②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。

当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。

数值分析总结数值分析是一门应用数学的学科，它的目标是使用数值方法来解决数学问题，尤其是那些难以使用解析方法求解的问题。

通过使用计算机来计算近似解，数值分析提供了一种实用而有效的解决方案。

在本文中，我将对我在学习数值分析过程中的一些主要收获进行总结。

一、数值方法的重要性数值方法不仅在科学计算中起着重要作用，而且在工程和实际应用领域也有广泛的应用。

无论是模拟天气预报、设计飞机的机翼，还是分析金融市场的波动，数值分析都可以提供快速、准确的结果。

因此，掌握数值方法成为了现代科学与工程领域必备的技能之一。

二、数值计算的误差与稳定性在数值计算中，我们经常会面对误差的问题。

舍入误差、截断误差和舍入误差都是我们需要关注的。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数计算时的有限精度而引入的，而截断误差则是由于将无限精度的数学问题转化为有限精度计算引起的。

为了减小误差，我们可以使用舍入规则，并尽可能减小截断误差。

稳定性是另一个需要考虑的重要因素。

在一些计算中，输入数据的微小变化可能会导致输出结果的巨大变化。

这种情况下，我们说该算法是不稳定的。

为了确保计算的稳定性，我们需要选择合适的算法和数据结构，并且要进行合理的数值分析。

三、插值和拟合插值和拟合是数值分析的重要应用之一。

在实际问题中，我们往往只能够获得有限个数据点，但是我们需要获得一条曲线或函数来描述这些数据。

插值方法可以通过连接这些数据点来获得平滑的曲线，而拟合方法则通过选择一个合适的函数来逼近数据点。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的插值和拟合方法，并进行适当的调整和优化。

四、求解非线性方程求解非线性方程是数值分析中的一个重要问题。

在实际应用中，很多问题都可以归纳为求解非线性方程。

例如，求解光学系统中的折射问题、解微分方程等。

数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，如牛顿法、二分法、割线法等。

这些方法有着各自的特点和适用范围，我们需要根据问题的性质选择合适的方法。

数值分析复习总结任课教师王建国第二章数值分析基本概念教学内容：1.误差与有效数字误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差的计算（估计）的基本方法。

2.算法的适定性问题数值分析中的病态和不稳定性问题；病态问题和不稳定算法的实例分析。

3.数值计算的几个注意问题数值计算的基本概念误差概念和分析误差的定义：设x是精确值，p是近似值，则定义两者之差是绝对误差:a x p∆=-由于精确值一般是未知的,因而Δ不能求出来,但可以根据测量误差或计算情况估计它的上限|-|x p εε<称为绝对误差限。

相对误差定义为绝对误差与精确值之比ar x∆∆=ar xη∆∆=<称为相对误差限● 误差的来源：舍入误差将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法称为舍入方法。

带来舍人误差。

截断误差用数值法求解数学模型时，往往用简单代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的误差。

● 有效数字对于a=a0 a1 … am . am+1 … am+n(a0≠0) 的近似数， 若|Δ|≤0.5x10-n ，则称a 为具有m+n+1位有效数字的有效数，其中每一位数字都叫做a 的有效数字。

有效数和可靠数的最末位数字称为可疑数字有效数位的多少直接影响到近似值的绝对误差与相对误差的大小。

推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。

推论2 对于给出的一个有效数，其相对误差限可估计如下：例:计算y = ln x 。

若x ≈ 20，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差 < 0.1% ?120.10mn x a a a =±⨯ 1102m nx x *-∆=-≤⨯120.10mn x a a a =±⨯ 15()10nr x a -∆≤⨯●数值计算的算法问题“良态”问题和“病态”问题在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。

第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结姓名 班级 学号一、 学习体会本章研究求解常微分方程初值问题的数值方法．构造数值方法主要有两条途径：基于数值积分的构造方法和基于泰勒展开的构造方法．后一种方法更灵活，也更具有一般性．泰勒展开方法还有一个优点，它在构造差分公式的同时可以得到关于截断误差的估计．常微分方程初值问题的数值解法的基本思想就是对常微分方程初值问题的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间[a,b]上的一系列离散节点处的函数值的近似值.数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值。

本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法,包括单步法和多步法。

单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法，多步法是Adams 法。

它们都是基于把一个连续的定解问题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。

用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。

实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。

谢谢半年多来的老师和助教的辛勤劳动！二、 知识梳理7.1 常微分方程初值问题的数值解法一般概念基本思想:将初值问题离散化步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩ 的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-显式Euler 公式10(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +=+⎧⎨=+=⎩隐式Euler 公式1110(,),0,1,n n n n n y y hf t y t t nh n +++=+⎧⎨=+=⎩7.2 显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-单步法的局部截断误差111()()[,(),]n n n n n R y t y t h t y t h φ---=--整体截断误差()n n n y t y ε=-定理7.2.1 单步法的阶设增量函数在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。