数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。

数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。

设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。

以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。

数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。

本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。

一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。

其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。

数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。

二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。

常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。

三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。

常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。

数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。

常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。

四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。

常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。

同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。

五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。

直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。

高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。

LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。

Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。

六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。

常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。

数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。

第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。

其中，相对误差限是绝对误差的上界。

有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。

一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。

第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。

三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。

确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。

第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。

切比雪夫多项式也有其独特的性质。

用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。

最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。

第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。

勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。

中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。

第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。

相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。

第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。

对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。

简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

数值分析主要研究截断误差与舍入误差。

某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。

若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。

在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。

1. 线性插值与抛物插值(1) 线性插值)()()(1100101001011x l y x l y y x x x x y x x x x x L +=--+--=记为，其中)(),(10x l x l 称为线性插值的基函数。

(2) 抛物插值 ))(())(())(()(1020212x x x x C x x x x B x x x x A x L --+--+--= 分别令210,,x x x x =，即得))((,))((,))((120222*********x x x x y C x x x x y B x x x x y A --=--=--=，故0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------001122()()()y l x y l x y l x =++记为，其中)(),(),(210x l x l x l 称为抛物插值的基函数。

⎩⎨⎧≠==ik ik x l i k 01)(设)()(x fn ],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则以插值多项式)(x L n 逼近)(x f 的截断误差（即余项）),(,)()!1()()()()(0)1(b a x x n f x L x f x R ni i n n n ∈-+=-=∏=+ξξ。

2
xk
1 2
h k
0,1,, n
每个区间上用Simpson求积公式
b f x dx n a k 1
xk f x dx
xk 1
h 6
n k 1
f
xk1
4
f
x
k
1
2
f xk E~n f
Sn f
h 6
f
n
a 4
k 1
f
x k
1 2
2
n1 k 1
f
xk
f
b
E~n
f
b a h4 2880
b1 c1 a2 b2 c2
x1 d1
x2
d2
ai bi ci
xi
di
简记 Ax d.
an1 bn1 cn1 xn1 dn1
an bn xn dn
此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线
上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
sx a00 x a11x amm x 很好地拟合
如 数据大体规律为 y aebx , y x 等, 可通过一定 ax b
的变换的到线性模型
y aebx ln y ln a bx, y x 1 a 1 b
ax b
yx
正交函数
定义 : 设 f x, gx Ca,b, x 是 a,b上的权函数, 则
显式Euler公式：yn1 yn h f xn , yn
改 进E u ler公 式
yn1
yn
hf
2
xn ,
yn
f
xn 1 ,
yn1
梯形E
u
ler公式

第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 满足y 定义在得。

如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k&lt;1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。

，（ii）k是一个正常数，。

如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

波理尔查. 诺二分法(二分法定)&lt;收敛速度较慢&gt;试值（位）法：&lt;条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)&gt;应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。

成立
b
n
P( x)( x)dx
a
Ak P( xk )( xk )
k0
但 ( xk ) 0(k 0,1,..., n)
故 ( x)与P( x)正交
再证充分性。即 ( x)与P( x)正交
xk 是高斯点
对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),
用 ( x) 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，
b
n
Q( x)dx
a
AkQ( xk )
k0
再注意到ω(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，从而有
b
n
Q( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
于是由前面的推导知
b
b
a f ( x)dx a Q( x)dx
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k0
这说明公式对一切次数不超 过 2n+1 的 多 项 式 均 能 准 确 成 立，故xk是高斯点。
因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。
特殊地若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造 求积公式
1
1 f ( x)dx A0 f (0)
令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2. 即一点高斯公式为
1
1 f ( x)dx 2 f (0)
中矩形公式
再取
P2
(
x)
待定系数法
举例 要构造下列形式的高斯公式
1
0 x f ( x) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
解 则其代数精度应为 2n 1 21 1 3 即

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理 设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用 复合公式 ✓ 用 非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然 后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460

数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。

在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。

下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。

-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。

2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。

-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。

-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。

3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。

4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。

-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。

5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。

-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。

6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。

-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。

-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。

8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。

数值分析，第一章2，相对误差和绝对误差e*=x*-x;屮少-玖估计值(対_说・2, 误差限和相对误差限「纠h-x|3, 有效数字官方定义：若近似值丫的误差限是某一位的半个单位，该位到X 的第一位非零有效数字 共有n 位，就说x ■有n 位有效数字。

表示为:x*=± 10mX (ai+a ：X 10~l +a>X 10-2+•••+a B X IO 」")=±ax. a,a$・・・a»。

其中型为0至9中之一,a,不为0, m, n 都是整数。

公式：z =|x-x B |^ix io m ~n+1 相对误差限公式，具有n 为有效数字，一W 舟Xl (m若£讥藹％ IO' “T,则，•至少具有n 为有效数字。

4, 病态问题的条件数，相对误差比值呻扰动“"・误差为字函数值f Z)的相对误差二号泸 相对误差比值为：f 卑-f/㈣刽字斗二Cp (也称为条件数)f (X >| X || /(X )第二章：插值法1. 多项式插值P (x)为 n 阶多项式,P (x) =a 0+a a x+a 2x 2+•••+a n x n ,街为实数。

1 %0…琦•a （yy解法：a 解方程组：Aa=y.其中A=1 %1 …xf ♦ 8 = ■ ■ ■ > y= yi • •• • • • 1耳…昭•%2, 拉格朗口插值[1]线性插值Ll=yJk +yk*Jk*l插值基函数^上沁，iM=q- 班一斗十1x k+1-x k【2】抛物线插值L2=y k l k +y M .1l k ^i+y k ^2lk*2【3】N 次插值多项式(通解)Ln=yol 0+yili+y 2l2+插值基函数叭鳥:::;工鳥,lk*l+丄一4+2)（X-斗）（X-X|c+J他+2 - 耳）他+2 -m+J(X-Xo )・・・(x_x/c-十J・・・(x-X n )(x k^x o)tut(x k^x k-l)(x k^x k^l)9,,(x k^x n)设U) «H(X)=(x —X0) ...(X — %k_i)(X — Xfc+1) ... (x — x n)有U) *(») =(x fc一%o) ••• g一x" (x k一X fc+1) ... (%k 一%n)wn+1 <x)(x-Xfc)w n+1 <xjc)余项公式N次插值多项式的余项形式R n=f (x) -Ln (x)』一_ (x) =K(x) 0)刊(x) , ( 6 (a, b)(H+A)'§的位宜耒知，但冇截断误差限：l^nWl < ^)j|wn+i(x)|, »U=max aSxSI,|f(n+1)(x)|3, 均差(差商)一阶均差;二阶均差：f[x0/，xl高阶均差：f[x“ xl.…，xj」®小••…机-d-g・・・・• 朴] x k~x k-l性质：1, k阶均差可表示为函数值f (x0), f(X]),…，f (x n)的线性组合2, 对称性，与节点次序无关3, 【前后项】f[x。

数学分析公式总结数学分析是数学中的一门重要课程，它主要研究函数的性质和运算法则，以及极限、导数和积分等概念及其应用。

在学习数学分析时，我们经常会遇到各种各样的公式。

下面是对其中一些重要的数学分析公式进行总结。

一、极限公式1.常值函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} c = c\)2.幂函数的极限公式：\(\lim_{x\to a} x^{m} = a^{m}\) （其中m为整数）3.正弦函数和余弦函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)\(\lim_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x} = 0\)4.自然对数函数的极限公式：\(\lim_{x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1\)5.无穷小替换公式：当\(x\to a\)时，若\(\lim_{x\to a} f(x) = 0\)，\(\lim_{x\to a} g(x) = 0\)，且\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)存在，则：\(\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)二、导数公式1.基本导数公式：\((c)'=0\)（其中c为常数）\((x^{n})' = nx^{n-1}\) （其中n为整数）\((\sin x)' = \cos x\)\((\cos x)' = -\sin x\)\((e^{x})'=e^{x}\)2.乘积法则：\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)3.商法则：\((\dfrac{f(x)}{g(x)})' = \dfrac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\)4.链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则\(y'(x)=f'(u)g'(x)\)三、积分公式1.基本积分公式：\(\int cdx = cx + C\) （其中c为常数，C为常数）\(\int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) （其中n不等于-1）\(\int \sin xdx = -\cos x + C\)\(\int \cos xdx = \sin x + C\)\(\int e^{x}dx = e^{x} + C\)2.基本换元公式：\(\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du\) （其中u = g(x)）四、泰勒展开公式泰勒展开公式是一种将一个函数在其中一点附近用多项式逼近的方法。

a x
n
2、Gauss-Seidel 迭代法（G-S 迭代法） 收敛比 J 迭代法快 3、逐次超松弛迭代法---SOR 方法
xi
( k 1)
（了解）
（了解）

a ii (bi a ij x j
j 1 i 1 ( k 1)
x
(k ) i

a ij x (jk ) )
j i
范数的等价性 m ‖x‖ ‖x‖ M ‖x‖ , xRn 常用的三种向量范数等价关系 ‖x‖ ‖x‖1 n‖x‖ , xRn
x x 2 n x , x R n
x 2 x 1 n x 2 , x R n
a12 a11 U a22 l21u12
n
公式：
n x xj ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) l k ( x) ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) j 0 xk x j j k
er
|e|≤ *
相对误差限 r =/|x|
e x x * e x* x er * * （x 未知，用 x 代替） x x x x
有关系式 x-≤x ≤x+ 或 x =x± |er|≤r
*
*
u11 1 u12 / u11 u13 / u11 （2）平方根法 T u 22 1 u 23 / u 22 M LDM 分解 和 Cholesky 分解(GG ) D T T u 33 1 A = LU = LDM = LDL = GG T T （平方根法：Ax=b 且 A= GG ，则先用 Gy=b 求 y，再用 G x=y 求 x） a11 紧凑格式 a11 g11 2 a 22 g 21 三阶公式 a 21 a 22 g 21 g 22 a 21 / g11

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

第一章误差限计算：第二章一多項式函數f(x)，在 x = a 的泰勒展開式是：拉格朗日插值基函数：*).(|*)(|*))(( *)(x x f x f x f εε'≈的误差限得).(*)( ),,(,,,,,),,(*1***11**11k nk kn n n n x x f f x x f x x x x x x f εε∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈的误差限同理得的近似值为准确值，多元函数 ∏∏∏≠=≠=≠=--=--=nkj j jk j nkj j j knk j j jk x x x x x xxx x l 000)()()(∑==nk kky x lx P 0)()(.||)(||)(||)/( ),(||)(||)( ),()()( 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε+≈+≈+=±牛顿插值其中an 为第n 阶差商，0阶差商即为f(x0). 余项 差商表差商导数求法牛顿前插公式（等距点适用）差分表)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N []0101(),,,()()()n n n R x f x x x x x x x x x x =---第三章最小二乘法拟合：直线拟合求a0和a1 多项式拟合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====mi ii mi m i i i mi i m i i y x x a x a y x a m a 1110211110xa a x y 10)(+=0121011201ni n i i n i i n i i i n n n n i i n i i i a m a x a x y a x a x a x x y a x a x a x x y++⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑第四章辛普森求积公式插值求积公式 （拉格朗日插值）插值求积公式余项复合梯形公式复合辛普森公式∑⎰=≈nk k kbax f Adx x f 0)()(⎰=bak k dxx l A )()()()()(0k k nkj j jk j k x x x x x x x x x l ωω'-=--=∏≠=[]⎰⎰+=-=+ban ba dxx n fdxx P x f f R )()!1()()()()()1(ωξ[]b a ,∈ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h T n k k n 121101()4()2()()6n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑高斯点及系数表将求积区间[a,b]变换到[-1,1]上数值求导两点公式数值求导三点公式22batabx++-=[]),(2)()(1)(1ξfhxfxfhxf''--='[]).(2)()(1)(11ξfhxfxfhxf''+-='),(3)]()(4)(3[21)(221ξfhxfxfxfhxf'''+-+-='),(6)]()([21)(221ξfhxfxfhxf'''-+-=').(3)](3)(4)([21)(2212ξfhxfxfxfhxf'''++-='第五章杜利特尔分解L y=b 求解 y U x=y 求解 x追赶法L y=b 求解 y U x=y 求解 x范数：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n u u u u u u U l l l L222112112121,111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11112122111122211n n nn nn n n u u u l a l al b a c b a c b a c b⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+++1,,2,1/11111n i ua b l l c u b l i i i i ii i()111112m ax 8)m ax (m ax ((2()0ij nniji nj nijj ni TTTn A a Aa A A a A AA A A A A f E A A λλλ∞≤≤=≤≤=====-=-=∑∑矩阵范数计算公式定理对阶方阵（称为的行范数）称为的列范数）称为的范数）其中表示的最大特征值即常用的条件数第六章雅可比迭代高斯-塞德尔迭代(i=1,2,…,n k=0,1,2,…)收敛性)det(G I -λ求最大特征值)(G ρ，若>1,发散，若>1,收敛。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。