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数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。
本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。
一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。
其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。
数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。
二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。
常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。
三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。
常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。
四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。
常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。
同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。
五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。
直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。
LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。
Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。
六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。
常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析主要研究截断误差与舍入误差。
某算法受初始误差或计算过程中产生的舍入误差的影响较小，则称之是数值稳定的，反之称为不稳定算法。
若初始数据的微小误差都会对最终的计算结果产生极大的影响，则称这种问题为病态问题（坏条件问题），反之称其为良态问题。
在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
1. 线性插值与抛物插值(1) 线性插值)()()(1100101001011x l y x l y y x x x x y x x x x x L +=--+--=记为，其中)(),(10x l x l 称为线性插值的基函数。
(2) 抛物插值 ))(())(())(()(1020212x x x x C x x x x B x x x x A x L --+--+--= 分别令210,,x x x x =，即得))((,))((,))((120222*********x x x x y C x x x x y B x x x x y A --=--=--=，故0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------001122()()()y l x y l x y l x =++记为，其中)(),(),(210x l x l x l 称为抛物插值的基函数。
⎩⎨⎧≠==ik ik x l i k 01)(设)()(x fn ],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则以插值多项式)(x L n 逼近)(x f 的截断误差（即余项）),(,)()!1()()()()(0)1(b a x x n f x L x f x R ni i n n n ∈-+=-=∏=+ξξ。
第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 满足y 定义在得。
如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k<1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。
，（ii）k是一个正常数，。
如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
波理尔查. 诺二分法(二分法定)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
如果，则有其中为用来近似的多项式：误差项形如C为x和之间的某个值。
推论4.1 如果为定理4.1给出的N次泰勒多项式，则=其中k=0,1,···，N定理4.2（泰勒级数）设在包含的区间（a , b）中是解析的。
设泰勒多项式趋近于一个极限则f(x)有泰勒级数展开·第二节插值计算假设函数在N+1个点（，），···，（，）处的值已知，其中值在区间上，并满足，可以构造经过这N+1个点的N次多项式，这种构造只需知道和的数值，而不需要高阶导数值。
可在整个区间上用多项式来逼近。
然而，如果需要知道误差函数，则需要知道及其值的范围，即统计和科学分析中经常出现函数只在N+1个点（，）处已知的情况，因此需要一种求在其他点上的近似值的方法。
如果已知值存在显著误差，则应该考虑第5章中的曲线拟合方法。
而如果确知（，）具有高精度，则应该考虑构造经过这些点的多项式函数。
当时，近似值称为“内插值”（interpolated value）；当或时，称为“外插值”（extrapolated value）。
在数值差分、数值积分以及绘制过给定点的曲线的软件算法中，都有用多项式来计算函数的近似值的情况。
·第三节拉格朗日逼近拉格朗日多项式过N+1个点（，），···，（，）的次数最高为N的多项式其中的基于节点（1）的拉格朗日系数多项式。
很容易看出，和不出现在式（1）的右端。
引入乘式表示法，式（1）可写为定理 4.3（拉格朗日多项式逼近）设，且为N+1个节点。
如果，则其中是可以逼近的多项式：误差项形如为区间内的某个值。
定理4.4（等距节点拉格朗日多项式的误差界）设定义在上，其中包含等距节点，并设，及其直到N+1阶导数分别在子区间，和上连续有界，即，对N=1,2,3，有其中对应于N=1,2和3，误差项式具有如下的界：当时有效当时有效当时有效精度与当h趋近于0时，收敛于0 的速度与收敛于0 的速度相同。
用表示，的误差界可表示为当时有效用代替上式中的，表示误差项的界大致为的倍数，即·第四节牛顿多项式牛顿多项式多项式称为具有N个中心的牛顿多项式，其中多项式可由通过递归关系得到。
其最高次项为，次数小于等于N。
定义4.1 函数的差商定义为：构造高次差商的递归公式为定理4.5（牛顿多项式）设，，，是区间内N+1个不同的数，存在唯一的至多N 次的多项式，具有性质其中j=0,1，，N该多项式的牛顿形式为其中 , 。
的差商表推论4.2（牛顿多项式） 设是定理4.5中给出的牛顿多项式，并用来逼近函数，即如果，则对每个,对应地存在内的数，使得误差项形如 第五章 曲线拟合感想：就是给你一堆数据点，求出一条拟合曲线一、 最小二乘曲线 （1） 误差:最大误差：|})({|max )(1k k Nk y x f f E -=≤≤∞平均误差：∑=-=Nkk k y x f Nf E 11|)(|1)( 均方根误差：2/112)|)(|1()(∑=-=Nkk k y x f Nf E（2） 最小二乘拟合线∑∑∑====+Nkk k Nk k N k k y x B x A x 1112)()(∑∑===+Nkk Nk k y NB A x 11)( （3） 最小二乘抛物线拟合∑∑∑∑=====++Nkk k Nk k N k k N k k x y C x B x A x 12121314)()()(∑∑∑∑=====++Nkk k Nk k N k k N k k x y C x B x A x 111213)()()( ∑∑∑====++Nkk Nk k Nk k y NC B x A x 1112)()(（4） 幂函数拟合)/()(121∑∑===Nk M k Nk k Mkx y x A（5） AxCey =的线性化令)ln(,),ln(C B x X y Y ===原方程则化为B AX Y +=二、 样条函数插值（1） 求线性样条函数：)/()(11k k k k k x x y y d --=++)(）(k k k k x x d y x S -+=1+≤≤k k x x x（2） 求三次样条曲线等间距方法： 先求间距h 112--==-=n n x x x x h列方程求解M i 22121)2(64h y y y M M M i i i i i i +++++-=++21-≤≤n i)("i i x s M =n i ≤≤1hy y h M h M x s i i i ik i )(63）(11'-+--=++11-≤≤n i)6/()(1h M M a i i i -=+2/i i M b =6/)2(/)(11h M M h y y c i i i i i +--=++ i i y d =得到三次样条曲线函数：11-≤≤n i端点约束 时用到的 公式 求出系数i i i i i i i i d x x c x x b x x a x s +-+-+-=)()()()(2311-≤≤n i因为太多，不知道以下内容需不需要 非等间距方法： 步骤：1）分别求出所有的k k k u d h ,,k k k x x h -=+11,2,1,0-=N k )(1kkk k h y y d -=+ 1,2,1,0-=N k )(61--=k k k d d u1,2,1-=N k2）看端点约束，列方程组求出k m（1）natural 样条，即已知0）(0"=x S 0）("=N x S ，求方程组：121110)(2u m h m h h =++k k k k k k k k u m h m h h m h =+++++--1111)(2其中2,2-=N k111222)(2------=++N N N N N N u m h h m h（2）紧压(clamped)样条，即已知）(0'x S ）(0'x S ，求方程组：))((3)223(0'0121110x S d u m h m h h --=++ k k k k k k k k u m h m h h m h =+++++--1111)(2其中2,2-=N k))((3)232(1'111222---------=++N N N N N N N N d x S u m h h m h （3）其它情况（包括以上两种情况）可以根据以下三条公式推出k k k k kk k d h m h m x S +--=+63）(1'k k m x S =）("k k k k k k k k u m h m h h m h =++++---1111)(23）根据求出的m 求系数k k y s =0,6)2(11,++-=k k k k k m m h d s22,kk m s =kkk k h m m s 613,-=+1） 最后求出三次样条函数k k k k k k k k y x x s x x s x x s x S +-+-+-=)()()(）(3,22,33, 1+≤≤k k x x x1,2,1,0-=N k数据线性化曲线0111a x a x a x a y m m m m ++++=-- 的正规方程 ∑∑∑∑∑===+=--==++++Nk mk k Nk mk Nk m kNk m km Nk m km x y x a xa xaxa110111112112∑∑∑∑∑=-=-==--=-=++++Nk m k k Nk m kNk m k Nk m km Nk m km x y xa x a xaxa11110111221112∑∑∑∑===--==++++Nk kN k k Nk m km Nk mkm y Na x a xax a10111111第七章 积分公式：[])x (f )x (f 2h)x (f c )x (f c )x (f c dx )x (f 101100i 1i i ba +=+=≈∑⎰=1 Simpson ’s 1/3-RuleSimpson ’s 3/8-Rule3 Composite Trapezoid Rule （其他的几个公式就按照Composite Trapezoid Rule 把1/3公式，3/8公式做多次累加就可以）4 Romberg Integration （利用此式列出倒三角形图案）第九章[])f(x )4f(x )f(x 3h f(x)dx 210b a++=⎰[])x (f )x (f 3)x (f 3)x (f 8h 33a-b h ; L(x)dx f(x)dx 3210b ab a+++==≈⎰⎰[])()(2)2f(x )f(x 2)f(x 2f(x)dx1i1b an n x f x f h++++++=-⎰3, 2, 1,k ;1441,1,1,=--=--+kk j k j k k j I I I常微分方程，形如00)( ; ),(y t y y t f dtdy== 欧拉法（Euler ’s method ）： h y y i i 1φ+=+（为导数，h 是步长） 误差分析：休恩法（Heun ’s method ）：h y t f y y i i i i ),(01+=+Predictor （预测）：h y t f y t f y y i i i i i i 2),(),(0111+++++= Corrector （校正）：（可多步校正）h y t f y y ),( 00001+=h y t f y t f y y 2),(),( 01100011++= h y t f y t f y y 2),(),( 11100021++= …… （h t t i i +=+1） 误差分析：Global discretization error(全局变量): ()()2h O y t y e k k k =-=Local discretization error:（局部变量）()()()311,h O y t h y t y k k k k k =--=∈++φFinal global error(F.G.E.)（最终全局变量）:()()()()2,h O y b y h b y E M =-=中点法（Midpoint method ）：hy t f y y y t f y hy t f y y i i i i i i i i i i i ),(),( ;2),(2/12/112/12/12/12/1++++++++=='+= Runge-Kutta method （龙格库塔方法）：nn i i k a k a k a hy y +++=+=+ 22111 φφ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=⋯⋯+++++=+=⋯⋯+++==⋯⋯⋯⋯⋯⋯++==+++=+=-----------+1,12,11,1111,122,111,11222122221212311111112122111),(),(),(),( n n n n n n n n n n i n i n i i i i i i n n i i q q q p h k q h k q h k q y h p t f k q q p h k q h k q y h p t f k q p h k q y h p t f k y t f k k a k a k a hy y φφ1a 2a +n a ++ =1Second order Runge-Kutta method （二阶龙格库塔方法）：⎩⎨⎧++==++=+),(),()( 11112122111h k q y h p t f k y t f k hk a k a y y i i i i i i⎪⎩⎪⎨⎧===+2/12/111121221q a p a a a Classical Third-order Runge-Kutta Method （经典三阶龙格库塔方法）： )2,( )21,21( ),(213121h k h k y h t f k h k y h t f k y t f k i i i i i i +-+=++== 3rd-Order Heun Method （三阶休恩）:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++== )32,32( )31,31( ),(23121h k y h t f k h k y h t f k y t f k i i i i i i Classical 4th-order Runge-Kutta Method:h k k k k y y h k y h t f k h k y h t f k h k y h t f k y t f k i i i i i i i i i i )22(61),()21,21( )21,21( ),(432113423121++++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==+System of Two first-order ODEs Euler ’s Method （一阶欧拉常微分方程组）:),,(),,(,2,12,21,2,2,11,11,1⎩⎨⎧+=+=++i i i i i i i i i i y y t hf y y y y t hf y y。
