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第四章动力学基础

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工程流体力学 第4章 粘性流体动力学基础

工程流体力学 第4章 粘性流体动力学基础

沿程损失水头 (hf)：
hf

LV2 D 2g
达西(Darcy)公式
λ：为沿程损失系数，与流动状态、管壁的粗糙度等有关
hf不仅与管段长度成正比，还与管道直径成反比
2020年1月10日
FESTO气动中心
局部阻力水头损失 ：当流体在运动中遇到局部障 碍（半开阀门、管道弯头、粗细管接口、滤网等）时， 流线会发生局部变形，并且由于流动分离、二次流等 原因产生漩涡运动，从而耗散一部分机械能，造成水 头损失。
2020年1月10日
FESTO气动中心
解 :（1）求管中心最大流速 umax 2V 2 6.35 12.7cm/s
（2）离管中心 r=20mm 处的流速
u

umax

p
4L
r2
当r=50mm时，管轴处u=0，则有
0 12.7 p 52
4L
p 0.51
4L
则r=20mm在处的流速 u 12.7 0.51 22 10.7cm/s
LV2
d 2g

64 / Re
2020年1月10日
FESTO气动中心
克服沿程阻力而消耗的功率
W

ghf Q

pQ

128 LQ 2 d 4
动能修正系数


1
R2
R u 32rdr 2
0 V
2020年1月10日
FESTO气动中心
例: 设有一恒定有压均匀管流，已知管径d=20mm，管长l=20m， 管 中 水 流 流 速 V=0.12m/s ， 水 温 t=10℃ 时 水 的 运 动 粘 度 ν=1.306×10-6m2/s。求沿程阻力损失

4工程流体力学 第四章流体动力学基础

4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS

p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：

流体力学第四章

流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS

第4章流体动力学基础1

第4章流体动力学基础1

2、连续性微分方程有哪几种形式？不可压缩流体的连续性 、连续性微分方程有哪几种形式？ 微分方程说明了什么问题？ 微分方程说明了什么问题？ 质量守恒
第二节 元流的伯努利方程
欧拉运动微分方程组各式分别乘以 ， ， （ 欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距 各式分别乘以 ds的坐标分量）： 的坐标分量）： 的坐标分量
1 ( Xdx +Ydy + Zdz) − ρ ( ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz) = dux dx + ∂x ∂y ∂z dt duy dt
dy + duz dz dt
<I> 考虑条件 、 考虑条件 1、恒定流
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
∂p ∂p =0 ∂t
∂ux ∂uy ∂uz = = =0 ∂t ∂t ∂t
∂ux ∂y ∂uy ∂z ∂ux ∂z
= = =
∂uy ∂x ∂uz ∂y ∂uz ∂x
积分得：
z+γ +
p
u2 2g
=c
•
理想势流（无黏性） 理想势流（无黏性）伯努利方程
z+γ +
p
或
u2 2g
=c
p2 u22 2g
z1 + γ +
p1
u12 2g
= z2 + γ +
在同一恒定不可压缩流体重力势流 恒定不可压缩流体重力势流中 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，各点的总比能值相等 即在整个势流场中，伯努利常数 均相等。（应用条件 均相等。（应用条件： 即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。（应用条件：“——”所示） ”所示）

空气动力学第四章粘性流体动力学基础

空气动力学第四章粘性流体动力学基础
v(x x, y y, z z,t) v(x, y, z,t) v x v y v z x y z
v(x, y, z,t) (zx xz) xyx yyy zyz
w(x x, y y, z z,t) w(x, y, z,t) w x w y w z x y z
4.2、流体微团的运动形式与速度分解定理
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
u(x x, y y, z z,t) u(x, y, z,t) u x u y u z
x y z 将上式分别加、减下列两项
1 v y , 1 w z
得到
2 x
2 x
u(x x, y y, z z,t)
1 0 0
0
2
0
0 0 3
I1 1 2 3 I2 1 2 23 13 I3 1 23
4.3、粘性流体的应力状态
1、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有 抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在 相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意 面上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有 抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力， 也有切向力。
D ( ps cos )ds 0 2R
4.1、流体的粘性及其对流动的影响
对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在很大的差别。由于流体 与固壁表面的粘附作用，在物面近区将产生边界层，受流体粘性的 阻滞作用，流体质点在由A点到B点的流程中，将消耗部分动能用之 克服摩擦阻力做功，以至使其无法满足由B点到D点压力升高的要求 ，导致流体质点在BD流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆 尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做功），于是在壁面 某点速度变为零（S点），以后流来的流体质点将从这里离开物面进 入主流场中，这一点称为分离点。这种现象称为边界层分离。在分 离点之间的空腔内流体质点发生倒流，由下游高压区流向低压区， 从而在圆柱后面形成了旋涡区。这个旋涡涡区的出现，使得圆柱壁 面压强分布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要明显大于 后驻点的压强），因此出现了阻力D。

第四章 水动力学基础(完整版)

第四章 水动力学基础(完整版)

水轮机的 作用水头 水轮机效 水轮机的 率 H1 H t H 2 hw12 出力
ห้องสมุดไป่ตู้
gQH P P N P
P N P HP gQ
Nt t gQH t
Z2 Z1
0
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断
面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
第四章
水动力学基础
4.1.3 毕托管测流速原理
其原理如下：
2 uA A点处水流的总能量为 h1 2g
根据伯诺里方程可得：
2 uA h2 g h1g 2
求得：
u A 2 g (h2 h1 ) 2 gh
2
2
1
1
2
2
(Z
Q
p ) gudA g
均匀流或渐变 流过水断面上
p ( Zg ) C
(Z

p p ) g dA ( Z ) gQ g g A

3 u dA A
2 g gudA
A

2
u gdA 2g
3 A

v3 A
v 2
2g
gQ
动能修正系数,1.05~1.1
第四章
水动力学基础
授课内容：
4.1 理想液体元流的能量方程 4.2 实际液体元流的能量方程 4.3 实际液体总流的能量方程 4.4 恒定总流动量方程
4.5 理想液体运动微分方程及其积分
4.6 实际液体的微分方程
4.7 恒定平面势流
4.1 理想液体元流的能量方程
4.1.1 理想液体元流的能量方程 取过水断面1–1及2–2为控 制面液体从断面1–1流向断面 2–2。 两端面之间没有汇流或分流

流体力学 第四章 (2)讲解


沿AB流线写元流能量方程：
zA
+
pA γ
+
uA2 2g
=
zB
+
pB γ
+
uB2 2g
zA = zB , uB = 0
uA
2g pB - pA

2gh
毕托管
四、粘性流体元流的伯努利方程
Z1
P1 r
1v12
2g
Z2

P2 r
2v22
2g
hw '
第三节 恒定总流的伯努利方程
称为为 总水头，表明单位重量流体具有的总能量，称为 单位总能量。
方程含义
能量方程式说明，理想不可压缩流 体恒定元流中，各断面总水头相等， 单位重量的总能量保持不变。
三、元流能量方程的应用——毕托管
毕托管
用于测量水流 和气流点流速 的仪器。
测压管：两端开口并与流向正交；
测速管：两端开口并成直角弯曲，下端 开口正对来流。
一定从高处向低处流动；（2）水一定从压强大的地 方向压强小的地方流动；（3）水总是从流速大的地 方向流速小的地方流动？
3-5什么是水头线和水力坡度？总水头线、测压管水 头线和位置水头线三者有什么关系？沿程变化特征是 什么？
作业
P105-4.8、4.10、4.11 ，P1064.17、4.19
vy z

fy

1

p y


2 y
x2
2y
y 2
2y
z 2

vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z

4第四章 化学动力学基础-2007


2NO(g) + O2 (g) → 2NO2 (g)
r = kc ( NO
)
2
c(O2 )
2+1 2+1 2+1 2+2 1+1 1+3
( 2NO g) + 2H2 (g) → N2 (g) + H2O(g) r = kc2 ( NO) c ( H2 )
2 S2 O 8 (aq ) + 3I (aq ) →
B
2. 化学反应速率方程
r = k∏c
B
nB B
k ---反应速率系数，比速常数，其物理意义是 反应速率系数， 反应速率系数 比速常数， 各反应物的浓度均等于单位浓度时的反应速率。 各反应物的浓度均等于单位浓度时的反应速率。 k的量纲与反应级数有关，为[浓度1-n 时间-1]。 的量纲与反应级数有关， 浓度 的量纲与反应级数有关 。
t/s p / kPa 0 20 50 80 100 120 150 180 200 50.65 46.60 41.03 35.43 33.43 30.39 26.85 23.81 21.78
作图， 作 ln p~ t 作图， k1 = - m = 4.2×10－3 s-1 ×
t1/ 2
ln 2 = = 165 s k1
S2 O + 3I → 2SO + I k1 2 ① S2 O8 + I 2S2 O8 I3 (慢 ) → 3 2 ② 2S2 O8 I + I → 2SO 4 + I 2 (快) ③ I + I 2 → I3 (快)
2 8
2 4
3
二、化学反应速率的表示
1. 反应速率：——单位体积反应体系中反应进度 反应速率： 单位体积反应体系中反应进度

第4章 化学动力学基础 习题及全解答

第四章 化学动力学基础1. 某基元反应A+2B −→−k 2P ，试分别用各种物质随时间的变化率表示反应的速率方程式。

解:()1()1()22dc A dc B dc P r dt dt dt =-=-=2. 对反应A —→P ，当反应物反应掉43所需时间是它反应掉21所需时间的3倍，该反应是几级反应？请用计算式说明。

解： 设为a 初始浓度，x 为t 时刻的产物浓度对于零级反应0xt k =3412334122t t ==对于一级反应11lna t k a x =- 34121ln 31421ln112t t -==-对于二级反应 2111t k a x a ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭34121131431112t t --==--或者：先假设此反应为二级反应，则有：1100002200012111131/4111111/23kt kt t C C C C kC kt kt t C C C C kC t t -=-==-=-=== 答：该反应是二级反应。

3. 试证明一级反应的转化率分别达50%、75%和87.5%，所需时间分别是2/1t 、22/1t 、32/1t 。

证：设为y 转化率对于一级反应211ln1t k y =-11ln 2t k = 当y=50%时122111ln 2ln 150%t t k k ===-当y=75%时1221112ln 2ln 2175%t t k k ===-当y=87.5%时 1221113ln 2ln 3187.5%t t k k ===-证毕。

4. 若某一反应进行完全所需时间是有限的，且等于c o /k （c o 为反应物起始浓度），该反应为几级反应？ 答：观察零级、一级、二级和三级反应的速率公式的定积分公式，反应进行完全时，x=a ，只有零级反应符合0a t k =即0ct k =，所以该反应是零级反应。

5. 某总反应速率常数k 与各基元反应速率常数的关系为k = k 2（k 1/2k 4）1/2，则该反应的表观活化能和指前因子与各基元反应活化能和指前因子的关系如何？答： a E RTk Ae-=ln ln aE k A RT ∴=-（1）121242 k k k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2141ln ln (ln ln 2ln )2k k k k ∴=+-- （2）214214214212142142142141ln ln ln ln 2ln 21111ln ln ln 2ln 222221111(ln ln ln 2ln )()22222111[ln (ln ln 2ln )](22a a a aa a a a a a a a E E E E A A A A RT RT RT RT E E E A A A RT RT RTE E E A A A RT RT RT A A A E E RT ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-+---+=+---+-=+---+41)2a E -121214241ln ln (ln ln 2ln )ln 22A A A A A A A ⎛⎫∴=+--= ⎪⎝⎭ 即 121242 A A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2141122a a a a E E E E =+-6. 反应CH 3CHO = CH 4 + CO 其E a 值为190 kJ mol -1，设加入I 2（g ）（催化剂）以后，活化能E a 降为136 kJ mol -1，设加入催化剂前后指数前因子A 值保持不变，则在773K 时，加入I 2（g ）后反应速率常数k '是原来k 值的多少倍？（即求k '/k 值）。

第四章 地球化学动力学基础

第四章地球化学动力学基础4.1 引言在地球化学研究领域中，热力学理论和方法的运用已经取得了丰富的成果，平衡热力学方法已经成为人们认识地球的化学结构和化学演化的重要手段之一。

然而，地球化学过程通常极其缓慢，以致一些自然体系可能没有达到平衡。

大量的野外观察资料和新的实验结果都充分地证明了这一观点。

例如下述这些自然体系的研究结果：（1）单一物相内部化学成分的变化；（2）矿物晶体中的成分分带；（3）矿物组合中的反应边结构；（4）不平衡的矿物组合；（5）矿物晶体的出溶作用；（6）晶体的有序—无序结构和晶体缺陷等等。

这些自然体系均显示对热力学平衡态的偏离。

如何解释这些自然体系并且准确地描述这些自然体系的演化过程便成为地球化学研究的重要课题。

平衡热力学理论方法之所以不能完全解决这些问题，是因为上述自然体系的演化过程是路径相关的，因而也是时间相关的。

而平衡热力学方法仅考虑体系的状态参量和状态函数，由此讨论体系的演化方向，是路径无关的。

研究自然体系的化学演化具有两个含义：（1）研究体系由平衡的起始状态Ⅰ演变到新的条件下的平衡的终了状态Ⅱ，其结果用状态函数的变化量△H，△S，△G等来表示；（2）研究体系演化的路径，这是时间相关的问题。

如果自然体系均是平衡的，则我们无法确定体系演化的路径，即自然体系的演化过程被平衡的终了态掩蔽了。

反之，大量自然体系的不平衡特征恰好成为自然体系演化路径的记录，有助于我们探讨自然体系化学演化的历程。

例如对于晶体生长过程的认识正是来自晶体的各种缺陷，火成岩中某些矿物相出现顺序的颠倒、一些矿物组合中相律的不适用性等现象都将成为这些体系演化过程的记录。

因此，为了解决这些路径相关的自然体系演化的问题，则必然要在讨论体系演化过程的时候引入速率的概念，进行演化过程的动力学研究。

由于自然体系演化过程的复杂性，在引入速率概念的同时还必须具体分析体系演化的实际过程，包括：化学反应过程——反应速率，质量传输（迁移）——扩散速率，等等。

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0
0
260 8 (0.03 1.7) 2 5 0.2 s2 2104 . 6 s / m 3.142 0.24 9.807
吸液面与水箱液面能量方程为：
z1 p1


1v12
2g
2g
H z2
p1
p2


2 2v2
2g
0
hl12
1v12
2g

2 2v2
1
p1
v1
P1’ 1 Z
1
Z
1、计算断面的选取，一般选在压强或压差已知的渐变流断面上， 并且使所求的未知量包含在所列的方程之中。 2、基准面的选取，可以是任意的，但为了计算方便，一般选在下 游断面中心、管流轴心或其下方，避免位置水头z出现负值。对于 不同的计算断面，必须选取同一基准面。 3、压强基准的选取，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但方 程式两边必须选取同一基准。工程上一般选取相对压强。 4、由于方程的推导用到了均匀流过流断面上的压强分布规律，因 此，断面上的压强p和位置高度Z必须取同一点的值，该点可以在 断面上任取，对于管流，通常选在管轴中心点。当选取管流出口 断面列方程时，应选断面中心作为写方程的代表点。 5、能量损失一项应加在流动的末端断面即下游断面。能量损失值， 或按理想流体处理，或直接给出，或由已知条件计算出。
2 v2 H 2g
v2 2gH 2 9.807 4 8.9m / s
水流在两段管道中的流动符合连续性方程，即流 速与断面面积成反比
V1 S 2 V2 S1
s2 0.1 v1 v2 8.9 4.45m / s s1 0.2
（2）为求A点压强，必须在A 点取断面，另一断面取在和 大气相接的水箱水面或管流出口断面，现在选择在出口断 面。对A点所处断面及出口断面列能量方程： 2 2 pA vA p2 v2 zA z2 2g 2g
0


p2

z1 0 0 H z2 0 0 sQ2
H ( z2 z1 ) sQ 2
hl12 sQ2 (s1 s2 )Q2
hl12 (118.6 2104 .6) 0.042 3.56m
（3）总水头线H在图上以蓝线示出
0 0
应用能量方程解题的一般步骤及注意事项：
6、若两断面间有能量的输入输出时，方程式改写为
z1
p1


1v12
2g
H z2
p2


2 2v2
2g
hl12
H1 H H 2 hl12
式中 +H表示单位重量流体获得的能量；-H表示单位重量流体失去 的能量。
（三） 实际应用
毕托管是一种测量水流或气流中任意一点流速的仪 器。测量流速时，把毕托管前部的小孔正对来流方向，放 入流体中的欲测点处，而毕托管上部接头则分别接测压管 或比压计。
2 2 u1 u2 ( p1 rZ1 )dQ ( p2 Z 2 )dQ 2g 2g
p1
2 2 u1 p2 u2 Z1 Z2 2g 2g
理想流体方程
元流中（即流线上）单位重力在两个断面之间的流 程上损失的机械能，称作元流的水头损失，以h’w表示。
2 1 2 gh
4.2.3 总流能量方程的应用
气体能量方程 Z=0处大气压强为pa0
γa
γ
2 v2
p2 P2’ 2
pa ( z) pa 0 a gz
P V P V Z1 Z2 hw g 2 g g 2 g
' 1 2 1 1 ' 2 2 2 2
z A z2 0
v A v1
p2

0
pA
2 v12 v2 2g 2g
2 2 pA 1 v2 v12 (0.5v2 ) 2 1 v2 1 H 00 H H H 0 4 2g 2g 4 2g 4 2g
3 3 p A H 9807 4 29.4kp a 4 4
2
1
gQ
A
p u g(z ) dQ g 2g
2
u 1 u dA 1 动能修正系数： AAgdQ V gQ A1 2g gQ

21
3
A
1
V 2g
p u 1 Q (z ) gdQ Q A1 2g g gQ
第四章 流体动力学基础
4.1 4.2 4.3 4.4 流体运动微分方程 实际流体的能量方程 恒定流的动量方程 理想流体的无旋流动
4.1
流体运动微分方程
（4-2）
4.2
实际流体的能量方程
1 1’ utdt dA1 2
4.2.1元流的伯努利方程
p1
dA2
Z1 Z2
2 u2dt
p2
0
0
该段元流外力作功等于机械能量增加的方程式。
而实际流体的伯努利方程为：
P V P2 V 1 Z1 Z2 hl12 g 2 g g 2g
2 1 1 2 2 2
hl12 1，2两断面之间的平均单位水头损失
（二 ） 例题解析
例题1. 如图所示，由断面为0.2m2和0.1m2的两根 管子所组成的水平输水管系从水箱流入大气中：若不计损 失，(1)求断面流速v1和v2；（2）求进口A点的压强。 绘制总水头线及测压管水头线。
1
1
H=4m
式中，
z1 H ,
p1


p2
0 , z 2
0
s1=0.2m2 0 v1
s2=0.1m2 v2
2
0
2
当水箱断面积比管道断面积大得多时，水箱断面处的流速较小， 流速水头很小，可忽略不计，则
1v12
2g
0
取
代入方程得：
1 2 1
2 v2 H 00 00 2g
2
1
z2 p2 c2 g
2
在流管1 p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2
2
式中各项表示各点单位重量流体的能 量，分别乘上微元重量再对总流积分， 然后再用流管的重量除之，得总流平均 单位重量流体的能量：
1
gQ
A
p u g(z ) dQ g 2g
2
A
1
2 V V gdQ 2g 2g
2

V
2
一般工程应用：层流α＝2，紊流α＝1如 不特别指出α取1。 故总流的伯努利方程为：
p1 V p2 2V2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1 1
2
使用条件：
定常流动： 理想流体：流体不可压： 质 量力为重力： 两截面处为缓变流。
实际流体方程
• 恒定流;理想流体;不可压流体;质量力只有重力;方 程沿流线成立。
p u z c g 2g
p1 u p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1 2
2
p1 u1 p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2
2
z—单位重量流体的位能：位置水头
例题2 如图所示水泵抽水系统，管长、管径单位为米，ζ给于 图中，流量Q=40L/s，λ=0.03。求（1）吸水管和压水管的 阻抗值；（2）水泵所需水头。（3）绘出系统的总水头线
代入数据
l 8( ) d s 2d 4 g
20 3.2) 2 5 0.25 s1 118 . 6 s / m 3.142 0.252 9.807 8 (0.03
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt
2 2 dQdt u2 u1
g
(
2
2 2 u2 u1 ) dQdt( ) 2g 2g
dQdt( z2 z1 )
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt( Z 2 Z1 ) dQdt( ) 2g
例3 毕托管测速原理：
如图，沿中心流线写伯努利方程，此时
z A z B uB 0
pA u pB u g 2g g 2g
2 uA p pA B 2g g
h
2 B
2 A
HA A B
HB
驻点
pA gH A pB gH B
p pA uA 2g B 2 gh g
p g
—单位重量流体的压能；压强水头 —单位重量流体的动能；流速水头 —单位重量流体的势能：测压管水头 —单位重量流体的总机械能： 总水头
u2 2g
p z g
p u2 z g 2g
在缓变流断面上（流线的法向），各点
的测压管水头为常数，不同截面常数不同。
1
z1 p1 c1 g
(3)
H=4m s1=0.2m2 A s2=0.1m2
v1
v2
解：整个流动是从水箱液面通过水箱经管道流入大气中， 选管子中心线所在水平面为0-0基准面， 选取水箱液面为1－1断面， 管子出口断面为2－2断面，列1－1至2－2断面间的能量方程：
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 2g 2g
1
h
HA
A B
HB
h
2
0点为总压测点，相当于点B；1点为静压测点，相当 于点A。 p0 p1 2 g 1 g

1 g 1 g p0 p1 2 g 1 g 2 1 u1 2 g 2 gh 2 gh 1 g 1 g 1

u1 2 g
2 gh