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第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第五章 根轨迹设计方法5-1 已知开环零、极点分布如题图5-1所示，试概略绘制相应的闭环根轨迹。
5-2 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹图。
（1）)5)(4()()(*++=s s s K s H s G （2）)3)(2()5()()(*+++=s s s s K s H s G （3）)84()()(2*++=s s s K s H s G （4）)1010)(1010()20()()(*j s j s s s K s H s G −++++=解：（1）系统的开环传递函数为)5)(4()()(*++=s s s K s H s G ① 起点：5,4,0321−=−==p p p 终点：无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：[-4,0]和(-∞,-5]③ 根轨迹的渐近线：33541−=−−−=a σ，πππϕ,3,3−=a④ 分离点：111045++=++d d d 47.1−=d⑤ 与虚轴的交点：180120*=±=c K ，ω题图 5-1 （a） ωj σ0××o o （b）ωj σ0××o o（c） 0ωj σ××oo绘制根轨迹如下：（2）系统的开环传递函数为 *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++ ① 起点：3,2,0321−=−==p p p 终点：,51−=z 两个无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：[-2,0]和[-3,-5]③ 根轨迹的渐近线：02532=+−−=a σ，2πϕ±=a④ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足1111235d d d d ++=+++ 通过试凑可得 10.89d =−。
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如下所示：（3）系统的开环传递函数为)84()()(2*++=s s s K s H s G ① 起点：22,22,0321j p j p p −−=+−== 终点：无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：(-∞,0]③ 根轨迹的渐近线：02532=+−−=a σ，2πϕ±=a根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如下所示：（4）系统的开环传递函数为)1010)(1010()20()()(*j s j s s s K s H s G −++++=① 起点：1231010,1010,0p j p j p =−−=−+= 终点：120z =−，两个无穷远点 ② 根轨迹起始角111213121212321801804590135018018045902250=+−−=+−−==+−−=−+−=o o o o o o oooooop z p p p p p p z p p p p p θϕθθθϕθθ仿真图如下：5-3已知单位负反馈系统的开环传递函数为)22)(1()()(2+++=s s Ts s K s H s G试绘制当4=K 时，以T 为参变量的根轨迹。
第五章 根轨迹设计方法
5-1 已知开环零、极点分布如题图5-1所示，试概略绘制相应的闭环根轨迹。
5-2 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹图。
（1）)5)(4()()(*++=s s s K s H s G （2）)
3)(2()5()()(*+++=s s s s K s H s G （3）)
84()()(2
*
++=
s s s K s H s G （4）)1010)(1010()20()()(*j s j s s s K s H s G −++++=
解：（1）系统的开环传递函数为
)
5)(4()()(*
++=
s s s K s H s G ① 起点：5,4,0321−=−==p p p 终点：无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：[-4,0]和(-∞,-5]
③ 根轨迹的渐近线：33541−=−−−=a σ，πππϕ,3,3−=a
④ 分离点：
111
045
++=++d d d 47.1−=d
⑤ 与虚轴的交点：180
120*=±=c K ，ω
题图 5-1 （a） ωj σ
0××o o （b）
ωj σ0××o o
（c） 0ω
j σ××o
o
绘制根轨迹如下：
（2）系统的开环传递函数为 *(5)()(2)(3)
K s G s s s s +=
++ ① 起点：3,2,0321−=−==p p p 终点：,51−=z 两个无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：[-2,0]和[-3,-5]
③ 根轨迹的渐近线：02532=+−−=a σ，2πϕ±=a
④ 根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满足
1111235
d d d d ++=
+++ 通过试凑可得 10.89d =−。
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如下所示：
（3）系统的开环传递函数为
)
84()()(2
*
++=s s s K s H s G ① 起点：22,22,0321j p j p p −−=+−== 终点：无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：(-∞,0]
③ 根轨迹的渐近线：02532=+−−=a σ，2πϕ±=a
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如下所示：
（4）系统的开环传递函数为
)
1010)(1010()20()()(*j s j s s s K s H s G −++++=
① 起点：1231010,1010,0p j p j p =−−=−+= 终点：120z =−，两个无穷远点 ② 根轨迹起始角
111213121212321801804590135018018045902250
=+−−=+−−==+−−=−+−=o o o o o o o
o
o
o
o
o
p z p p p p p p z p p p p p θϕθθθϕθθ
仿真图如下：
5-3已知单位负反馈系统的开环传递函数为
)
22)(1()()(2+++=
s s Ts s K s H s G
试绘制当4=K 时，以T 为参变量的根轨迹。
解：当4=K 时，系统的特征方程式为 0)
22)(1(4
1)()(12=++++
=+s s Ts s s H s G
则 04)22)(1(2
=++++s s Ts s 将上式展开，用不含T 的项去除各项，得
02
22)
22(12
3234=++++++s s s s s s T 令 2
22)
22()()(2
3234'
'
+++++=s s s s s s T s H s G 为系统的等效开环传递函数。
根据等效传递函数，可得
起点：2,2,2321j p j p p −==−= 终点：j z j z z z −−=+−===1,1,04321 实轴上的根轨迹：(-∞,-2] 分离点：14.3−=d 仿真图如下图所示。
5-4 已知系统的开环传递函数为
2
*)1()()(+=
s s K s H s G
（1）绘制系统的根轨迹图； （2）确定实轴上的分离点及对应的*K 值； （3）确定使系统稳定的*K 值范围。
解：① 起点：1,0321−==p p p 终点：无穷远点 ② 实轴上的根轨迹：[-1,0]和（-∞,1]
③ 根轨迹的渐近线：32311−=−−=a σ，ππϕ，3±=a
④ 实轴上的分离点：0.33=−d ，9
3
2*
=d K ⑤ 与虚轴的交点：1.1=c ω，2*
=c K 使系统稳定的*K 值范围：20*<<K
根据以上几点，可以画出概略根轨迹图如下所示：
5-5 设系统的开环传递函数为 )
4)(2()1()()(2
+++=
s s s s K s H s G 试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹图，并分析系统的稳定性。
解：（1）负反馈
① 起点：4,2,04321−=−===p p p p 终点：1−=z ，三个无穷远点 ② 实轴上根轨迹： (-∞,-4] 和[-2,-1] 仿真图如下图所示
（2） 正反馈
① 起点：4,2,04321−=−===p p p p 终点：1−=z ，三个无穷远点 ② 实轴上根轨迹：[-4,-2] 和[0，+∞)
仿真图如下图所示
5-6 设控制系统的开环传递函数为
)
7)(2()()(++=
s s s K s H s G （1）绘制系统的根轨迹图；
（2）确定系统稳定时K 的最大值；
解：① 起点：7,2,0321−=−==p p p 终点：无穷远点 ② 实轴上根轨迹：[-2,0] 和(-∞，-7] ③ 渐近线：3−=a σ，3
,0π
ϕ±
=a
④ 分离点：918.0−=d 04.6*
=d K ⑤ 与虚轴的交点：95.3=c ω 143*
=c K 仿真图如下图所示
5-7 设负反馈系统的开环传递函数为
)
3)(2()()(*
++=
s s K s H s G 试绘制系统根轨迹的大致图形。
若系统：
（1）增加一个5−=z 的零点； （2）增加一个5.2−=z 的零点； （3）增加一个5.0−=z 的零点。
试绘制增加零点后系统的根轨迹，并分析增加开环零点后根轨迹的变化规律和对系统性能的影响。
解：（1）绘制系统的根轨迹 ① 起点：3,221−=−=p p 终点：无穷远点 ② 实轴上根轨迹：[-3,-2] ③ 分离点：5.2−=d 25.0*
=d K 仿真图如下图所示。
（2）增加一个5−=z 的零点
① 起点：3,221−=−=p p 终点：5−=z ② 实轴上根轨迹：（-∞，-5]和[-3,-2] ③ 分离点：45.71−=d 9.9*
1=d K 55.22−=d 1.0*2=d K 仿真图如下图所示。
（3）增加一个5.2−=z 的零点
① 起点：3,221−=−=p p 终点：5.2−=z ② 实轴上根轨迹：（-∞，-3]和[-2.5,-2] 仿真图如下图所示。
（4）增加一个5.0−=z 的零点
① 起点：3,221−=−=p p 终点：5.0−=z ② 实轴上根轨迹：（-∞，-3]和[-2,-0.5] ③ 分离点：45.71−=d 9.9*
1=d K 55.22−=d 1.0*2=d K 仿真图如下图所示
5-8 设单位反馈系统的开环传递函数为
)
153()134()()(22*++++=
s s s s s K s H s G
试用MATLAB 绘制系统的根轨迹，确定当系统的阻尼比7.0=ξ时系统的闭环极点，并分析系统的性能。
解：① 起点：0,232.0,44.1321=−=−=p p p
终点：33.0375.0,33.0375.021j z j z −−=+−=
② 实轴上根轨迹：（-∞，-1.44]和[-0.232,0] ③ 分离点：145.0−d 0755.0*
=d K 仿真图如下图所示
由图可知，阻尼比7.0=ξ时系统的闭环极点为 322.0322.02,1j s ±−= 只要0>K ，系统都稳定。
