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根轨迹法一、定义：〈①〉()()()01111*0=+++=+∏∏==nj imi ip s z s Ks G 。
其中*K 为根轨迹增益。
开环放大倍数∏∏===nj jmi ipzKK 11*闭环特征方程的根随参数*K 而变化的轨迹，称为根轨迹。
其符合两个条件：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∠+=∠=非最小相位系统或最小相位系统相角条件：幅值条件：,2,121000ππk s G k s G s G〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max （n,m ），起点为开环极点（0=g K ），终点为开环零点（∞→g K ）③渐进线条数：（n-m ）条，与实轴交点坐标：mn --=∑∑零点极点1σ与实轴夹角：()mn k -+±=πϕ121。
④分离点与会合点：使0*=dsdK ，并使*K >0的点 ⑤复数极点出射角：∑∑-+︒=量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1801p θ对非最小相位系统∑∑-='量辐角其他极点至该极点的向零点至极点的向量辐角1p θ 复数零点的入射角：∑∑+-︒=角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1801z θ对非最小相位系统∑∑+-='角极点至该零点的向量辐量辐角其他零点至该零点的向1z θ⑥与虚轴交点：（a ）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b ）ωj s =代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：()()()210++=s s s Ks G解：渐进线（3条）：()()10321-=--+-=σ，()πππϕ,3312=+±=k由()()0211=+++s s s K，则()()21++-=s s s K ，()()026323223*=++-=++-=s s dsss s d ds dK ，得 ⎩⎨⎧-=-==-=385.0,577.1385.0,423.0*22*11K s K s 与虚轴的交点：方法一02323=+++K s s s ，劳斯阵：Ks K sKs s 0123323021-要与虚轴有交点，则有一行全零，即6032=⇒=-K K辅助方程：j s s 20632,12±=⇒=+ 方法二将ωj s =代入特征方程：()()()02323=+++K j j j ωωω2,60320332==⇒=-=-ωωωωK K 虚部：实部：，则与虚部的交点6,22,1=±=K j s 根轨迹如下图例2：()()32220+++=s s s K s G 解：渐进线一条。
第四章：根轨迹法第四章根轨迹法本章⽬录4.1 根轨迹的⼀般概念4.2 绘制根轨迹的数学依据及其性质4.3 绘制根轨迹的⼀般规则4.4 *绘制根轨迹的MATLAB函数介绍4.5 例题4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹4.7 正反馈回路和⾮最⼩相位系统根轨迹——零度根轨迹⼩结本章简介从前章得知闭环极点在根平⾯上的分布，反映着系统的固有性能。
故为了获得较好性能，就希望极点在根平⾯上有较好的分布。
亦即，为了研究系统的动态性能，就可以通过闭环极点在根平⾯上的分布来进⾏。
闭环极点是系统特征⽅程的根sb。
若其特征⽅程中，各系数变化，则⽆疑，其根sb也在变化。
各系数的变化往往相应着系统的许多实际参数的变化⽽形成。
在根迹中，⼀般总是以增益 (当然也可其它参数,如时间常数 )的变化⽽导致各系数的变化,即sb的变化。
如果连续变化,则sb也连续变化。
相应于由0连续变化到∞时, sb在根平⾯上的连续变化⽽形成的轨迹,即闭环系统特征根的根轨迹--若⼲条曲线。
这样,相应于各个值下的闭环极点在根平⾯上的分布就⼀⽬了然了。
这对系统的分析、设计带来了极⼤的⽅便.。
所谓根轨迹法，就是⽤图解的⽅法确定出闭环特征根的⼀种⽅法。
先在复数平⾯上画出系统某⼀参数的全部数值下的特征⽅程的所有根，即根轨迹。
然后⽤图解的⽅法确定出该参数某⼀特定数值时的闭环特征根。
从⽽分析出系统所具有的性能。
或反之，在根迹上先确定出符合系统性能要求的闭环特征根。
从⽽⽤图解的⽅法求出相应的系统应具有的参数值。
相对时域法，很直观，且避免了求解系统⾼阶特征⽅程的困难。
现在计算机科学有了飞速发展，特别是MATLAB语⾔及其相应⼯具箱，有强⼤的数值计算和图形绘制功能。
所以利⽤MATLAB语⾔相关函数绘制系统根迹及求根等均是轻⽽易举的事。
这就给根迹法的应⽤开辟了更好的前景。
本章在介绍传统的根轨迹法及其⽰例的同时，有机结合介绍MATLAB语⾔相关的根轨迹函数及相应⽰例的解题程序。
第四章 根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。
参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。
图解法是一种方便的近似方法。
l 、基本内容和要点 （l ）根轨迹的基本概念根轨迹的定义。
以二阶系统为例说明什么是根轨迹，怎样从根轨迹分析闭环零、极点与系统的性能。
（2）绘制根轨迹的基本规则根轨迹的特点和性质。
绘制以系统开环增益K 为变量的根轨迹的规则与方法。
常见的几种典型系统的根轨迹图。
（3）参数根轨迹参数根轨迹的定义。
多参变量根轨迹。
多环系统的根轨迹。
（4）非最小相位系统的根轨迹最小相位和非最小相位系统的定义和特点。
非最小相位系统根轨迹的特点和绘制规则。
（5）含有延迟环节的系统的根轨迹有延迟环节的系统的极轨迹特点及绘制规则。
延迟环节的近似表达式及使用条件。
（6）基于根轨迹分析系统的响应根轨迹的形状，零极点的位置与系统时域响应性能指标间的关系。
几种常见的典型系统的零、极点分布与其暂态响应性能指标。
2、重点（l ）最小相位系统的以开环增益K 为变量的根轨迹的特点及其绘制的规则和方法。
（2）系统根轨迹的形状，零、极点的分布与其时域响应性能指标的关系。
3、难点对“根轨迹上所有的点只是可能的闭环极点”的理解以及非最小相位系统中含最高次冥项系数为负的因子时根轨迹的绘制。
4-1 根轨迹法的基本概念1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化∞→0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。
即在参数变化时图解特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K 的变化∞→0， 对闭环极点的影响。
开环传递函数)15.0()(+=s s Ks G ，闭环传递函数Ks s K s 222)(2++=Φ，特征方程0222=++K s s ，根轨迹方程1)2(-=+s s k ，∞→=0,2K k 。
4-1 设系统开环传递函数的零、极点在s平面上的分布，如图4-24所示。
试绘制以开环增益K 为变量的系统根轨迹的大致图形。
图4-24 题4-1图
4-2 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).要求用根轨迹法画出当开环增益K变化时，系统的根轨迹图。
(2).求一对复数主导极点的阻尼比ξ=0.707的K值，且求其相应的一对复数主导极点和另一实数极点。
(3).用Matlab编程，求解本题。
4-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并对该系统的稳定性进行分析。
(2).若增加一个零点z=-1，试问根轨迹有何变化，对系统的稳定性有何影响？
(3).用Matlab编程，求解本题。
4-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。
(2).确定阻尼比ξ=0.5时的闭环极点及其相应的K值。
请问对应的静态位置误差系数Kp为多少？
(3).用Matlab编程，求解本题。
4-5 试用根轨迹法求下列多项式的根。
并用Matlab编程方法验证之。
4-6 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并求出系统临界稳定时的K 值。
用Matlab编程，求解本题。
4-7 设一负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试用根轨迹法，画出以a为参变量的根轨迹。
(2).用Matlab编程，求解本题。
4-8 .设多回路控制系统的方块图，如下图4-25所示。
图4-25 题4-8图
(1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统的稳定情况。
(2).用Matlab编程，求解本题。
4-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试确定a值，使根轨迹图分别具有1、2、3个分离点。
(2).画出相应这三种情况的根轨迹，并用Matlab编程方法验证之。
4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统根轨迹的分离点情况。
(2).求闭环系统稳定的K值范围。
(3).用Matlab编程，求解本题。
4-11 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
(1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。
(2).闭环系统稳定的K值范围。
(3).对在使闭环系统稳定的K值范围内的K值，绘制闭环阶跃响应，分析不同的K值对系统响应有何影响。
(4).用Matlab编程，求解本题。
4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为：
用Matlab编程分别画出当开环极点－p分别为：－∞，―4，―1，0时的根规迹图。
由此可得出什么结论？
4-13 设系统的开环传递函数为：
用Matlab编程分别画出正、负反馈时的根规迹图。
由此可得出什么结论？
4-14 设系统的开环传递函数为：
用Matlab编程分别画出当开环零点－z分别为：－0.5，―1，时的根规迹图。
由此可得出什么结论？。
