第六节 正规子群与商群 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)

§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。

但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。

例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。

而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。

再比如，交换群的子群总满足上述性质。

设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。

由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。

{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。

例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。

证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。

例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。

正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。

1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。

【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。

若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。

這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。

2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。

於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。

這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。

同時，用G H表示集合{g }。

g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。

當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。

即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。

*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。

(1)結合律。

顯然o.k.(2)單位元素。

∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。

計算g·e={gh1eh2}=gH=g。

(3)反元素。

設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。

計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。

於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。