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近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
正規子群與商群bee *108.03.03∼108.03.03順便證明了Lagrange 定理。
1.定義【共軛變換】(conjugation)：x →gxg −1。
【正規子群的定義與符號】：設N 是G 的子群。
若∀n ∈N,∀g ∈G ，gng −1∈N (即共軛不變)，則N 是G 的一個正規子群(normal subgroup)，記為N ▹G 。
這定義顯然來的突兀，應該了解要這一個定義的目的。
2.陪集設H 是G 的一個子集，考慮aH ={ah }(1)我們發現：當a,b ∈G 時，可得aH =bH 或者是aH ∩bH =∅。
於是我們可以用H 當標準把G 中的元素分類，若aH =bH ，則a,b 為同一類。
這樣我們可以得到一個等價關係，並用符號a 表示{b bH =aH }。
同時，用G H表示集合{g }。
g 實際上是一個集合，稱為左陪集(left coset)，我們現在的想法是把coset 拿來當元素，然後定義一個新的群。
當然，這樣我們需要運算，這個運算就採用原先的運算。
即g 1·g 2={g 1h 1g 2h 2}=g 1hg 2(2)因為G 不一定是交換群，所以g 1h 1g 2h 2的順序不可以隨便交換。
*bee 美麗之家:http:/.tw/bee接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。
(1)結合律。
顯然o.k.(2)單位元素。
∀h∈H，h=e=H，我們把e視為單位元素。
計算g·e={gh1eh2}=gH=g。
(3)反元素。
設g∈G，看看g是不是有反元素，直覺的想法是找g−1。
計算g·g−1={gh1g−1h2}=ghg−1?===H(3)如果G是交換群，這件事就搞定拉！可是G不一定是交換群，於是得要求∀g∈G,gh1g−1=h,其中h∈H(4)這就是正規子群的要求。
於是利用原先的群運算，如果H是一個【正規子群】，而不僅僅是一個子群，那麼，我們就可以創造一個新的群：商群：GH(quotient group)3.補充(1)如果G是一個交換群，那麼所有的子群H都是正規群。
