有限元分析第二讲

σ
图 2-4
剪应力.
τ
应力的概念
正应力
σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一 个角码，例如，正应力 σ x 是作用在垂直于x轴的面 上同时也沿着X轴方向作用的。
剪应力
τ
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一 个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐 标轴。例如，剪应力 τ xy是作用在垂直于X轴的面上 而沿着y轴方向作用的。
位移、应变、刚体位移
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变 形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各微元体的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个 坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向 为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分 量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不 是常值，而是坐标的函数。
材料力学
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同 属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普 遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围 更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形 状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需 要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然 保留了材料力学中关于材料性质的假定：
求剪应变 γ xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 β X向线素AB的转角 α ， Y向线素AD的转角
y
u+ v+ v dy y u dy y
几何方程----应变与位移的关系
C'
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 u 略去，得
x
D"β D '
D C
α =
B'
v+ v dx x
应变
微元体的变形可以分为两类：
一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正 ε 应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角 εx、 y、 z ε来表示。当线素伸长时，其线应变为正。 ε 码，分别用 反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定 相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称 为角应变或剪应变，用符号 γ 来表示。两坐标轴之间的角应 变，则加上相应的角码，分别用 γ xy、γ yz、γ zx 来表示。规定当夹 角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应 (正的 τ
应力的概念
应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方 向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿 坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面 交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相 同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。 由力矩平衡得出 简化得 剪应力互等
2-1 材料力学与弹性力学
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运 动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象： 变形体 但也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构 件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也 研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及 其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个 尺寸相当的构件。
弹性力学 — 区别与联系 —
3、研究的方法：有较大的区别。
材料力学
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研 究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方 法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的， 因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假 设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往 往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无 限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假 设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所 以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确 程度，并确定它们的适用范围。
几何方程----应变与位移的关系
ABCD---A’B’C’D’ 求线素AB、AD的正应变 ε x、 ε y ，用位移分量来表示：
y
u+
v v+ dy y
A点在X方向的位移分量 为u；
u dy y
C'
B点在X方向的位移：
D" β D '
D C
u + Δu = u +
u dx x
B'
dy
u v
A
A'
α
刚体位移
由几何方程(2-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定 时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确 定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状 的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试 在(2-3)中令：
同样方法来考察体素在xoz和yoz平面内的变形情 况，可得：
w εz = ，γ z
yz
v w w u = + + ， γ zx = z y x z
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间 的关系。 u v w
εx =
x ，ε y = y ，ε z = z
γ xy =
u v v w + ， γ yz = + ， γ zx y x z y
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成
的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因 而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而 变。
弹性力学中关于材料性质的假定
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方
向的物理性质和机械性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体
w u = + x z
(2-3-1)
几何方程的矩阵表示
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方 向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正 应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出 它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该 点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分 量的总体，可以用一个列矩阵 {ε }来表示： 0 0 x εx 0 0 y ε y u 0 εz 0 z {ε} = = v = [ B]{δ } (2-3-2) 0 γ xy y x w γ yz 0 z y γ zx 0 z x
弹性力学中关于材料性质的假定 (1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体
的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如 应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除
去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这 样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这 一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
B
v+
v dx x
线素AB的正应变为： u dx) u (u + u x = εx = dx x 同理，AD的正应变为： v (v + dy ) v v y εy = = dy y
dx 0 图 1-5
u u + dx x
B"
x
求剪应变 γ xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 X向线素AB的转角 α Y向线素AD的转角 β
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application
机械科学与工程学院: 胡于进 教授
College of Mechanical Science and Engineering
第二章 有限元法的力学基础简介
本章内容
2-1 材料力学与弹性力学的比较 2-2 几个基本概念（外力、应力、应变及位 移） 2-3 弹性力学基本方程（平衡方程、几何方程 及物理方程） 2-4 弹性力学问题的求解 2-5 两种平面问题及轴对称问题 2-6 弹性问题的能量表示 2-7 变分原理与里兹法（变分方程、虚功方程 及虚功原理、最小势能原理）
dy dZ 2τ yz dX dZ 2τ zy dX dy =0 2 2
τ yz = τ zy τ xy = τ yx，τ yz = τ zy，τ zx = τ xz
应力分量
可以证明：如果 σ x、 σ y、 σ z、 τ xy、 τ yz、 τ zx 这六个量 在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力 和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状 态，它们就称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量， 而是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 {σ } 来表示： σ x σ y σ z T (2-2) {σ} = = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx τ xy τ yz τ zx
xy
引起正的 γ xy ，等等)。
2-3 弹性力学基本方程
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡， 注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于 微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程 （受力状态的描述）：
Z
Y X
σ x τ xy τ xz + + +X =0 x y z σ y τ yx τ yz + + +Y = 0 y x z σ z τ zy τ zx + + +Z =0 z y x τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy