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有限元求解方法有限元求解方法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程、科学和数学领域的求解问题。
本文将介绍有限元求解方法的基本原理、步骤和应用范围。
有限元求解方法是一种数值计算方法，通过将一个连续的问题离散化成有限个子问题，然后对这些子问题进行求解，最终得到整个问题的近似解。
在有限元求解方法中，将要求解的问题分割成许多小的单元，每个单元都有一个简单的数学模型。
通过对每个单元的求解，再通过组合这些单元的解，就可以得到整个问题的解。
有限元求解方法的步骤大致可以分为以下几个部分：建立数学模型、离散化、确定边界条件、求解、后处理。
首先，需要根据实际问题建立一个数学模型，这个模型可以是一个方程、一个微分方程或者一个变分问题。
然后，将问题离散化，将连续的问题分割成有限个单元，并在每个单元上建立一个简单的数学模型。
接下来，确定边界条件，即在模型的边界上给定一些已知条件。
然后，通过求解每个单元的数学模型，得到每个单元的解。
最后，将每个单元的解组合起来，得到整个问题的解。
在得到解之后，可以进行后处理，对解进行分析和验证。
有限元求解方法广泛应用于各个领域的问题求解中。
在工程领域，有限元方法可以用于结构力学、热传导、流体力学等问题的求解。
例如，在结构力学中，可以通过有限元求解方法来计算结构的应力和位移分布，进而评估结构的强度和稳定性。
在科学领域，有限元方法可以用于物理、化学、生物等问题的求解。
例如，在地震学中，可以通过有限元求解方法来模拟地震波的传播和地壳变形。
在数学领域，有限元方法可以用于偏微分方程的数值求解。
例如，在偏微分方程的数值解法中，有限元方法是一种常用的求解方法。
有限元求解方法的优点是可以处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地调整离散化的精度。
同时，有限元求解方法还具有较高的计算效率和数值稳定性。
然而，有限元求解方法也存在一些限制和局限性。
首先，有限元方法的求解精度受到离散化的影响，离散化越精细，求解结果越接近真实解。
岩土工程极限分析有限元法及其运用张 聪（甘肃煤田地质局一三三队，甘肃 白银 730913）摘 要：基于极限分析方法在岩土工程施工中的应用局限文章提出兼具数值分析方法和经典极限分析方法的有限元分析方法，在介绍有限元分析原理、基本理论、安全系数和发展历程的基础上，从边坡、地基、隧道等方面着重分析岩土工程极限分析有限元法的应用，验证有限元分析方法在岩土工程中应用范围的扩大，旨在能够为岩土工程施工建设发展提供更多有力的支持。
关键词：有限元极限分析方法；岩土工程；岩土滑坡中图分类号：TU195 文献标识码：A 文章编号：1002-5065（2020）14-0233-2Finite element method for limit analysis of geotechnical engineering and its applicationZHANG Cong（No.133 team of Gansu Coalfield Geological Bureau, Baiyin 730913,China）Abstract: Based on the limitation of the application of limit analysis method in geotechnical engineering construction, this paper proposes a finite element analysis method which combines numerical analysis method and classical limit analysis method. On the basis of introducing the principle of finite element analysis, basic theory, safety factor and development process, the application of limit analysis finite element method in geotechnical engineering is emphatically analyzed from the aspects of slope, foundation and tunnel, To verify the expansion of the application scope of finite element analysis method in geotechnical engineering, in order to provide more powerful support for the development of geotechnical engineering construction.Keywords: finite element limit analysis method; geotechnical engineering; geotechnical landslide极限分析法的力学基础是土体处于一种理想的弹性、属性状态，这种状态下，土体会出现一种平衡状态，即为土体滑动面上每个点的剪应力会和土地抗剪强度等同。
有限元求极限载荷
有限元法是一种近似求解结构力学问题的方法，可以用来求解各种载荷情况下的应力和应变分布。
然而，要精确地求解极限载荷是非常困难的，因为极限载荷对应的结构形态通常是非常复杂的。
通常，求解极限载荷时可以采用以下两种方法之一：
1. 构造极限状态：在有限元模型中，通过设置适当的荷载形式和边界条件，来使结构达到极限载荷状态。
这种方法需要对结构的特性有较深入的了解，需要根据实际情况选择适当的荷载形式和边界条件，且结果仅适用于所构造的极限状态。
2. 非线性稳定分析：通过有限元分析软件进行非线性稳定分析，求解结构的临界载荷。
这种方法可以考虑各种复杂的几何和材料非线性，适用于包括杆件、板和壳结构等不同类型的结构。
非线性稳定分析需要对结构的几何和材料特性进行合理的建模和边界条件设定，同时需要进行迭代求解，计算量较大。
总的来说，求解极限载荷是一项相对复杂的工作，需要对结构特性有深入的了解，并采用适当的方法和技术进行分析。
有限元法或其他数值
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值分析方法，用于求解边界值问题和偏微分方程。
它是一种将连续问题离散
化为有限个小单元的方法，每个小单元都可以用简单的数学方程描述。
通过将整个区域分解为这些小单元，然后利用数值计算方法对
每个小单元进行计算，最终得到整个区域的近似解。
有限元法在工程、物理学、地质学等领域都有广泛的应用。
有限元法的基本思想是将求解的区域划分为有限个小的单元，
然后在每个单元内建立适当的插值函数，通过这些插值函数将原始
偏微分方程转化为代数方程组，最终通过求解这些代数方程组得到
近似解。
有限元法的优点在于可以处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种不同类型的材料和载荷情况。
除了有限元法，还有其他一些常用的数值分析方法，例如有限
体积法、辛普森法则、龙格-库塔法等。
这些方法在不同的问题和领
域中有着各自的优势和局限性，工程师和科学家需要根据具体情况
选择合适的数值方法来求解问题。
总的来说，有限元法是一种强大的数值分析方法，在工程学和
科学研究中有着广泛的应用。
通过合理的离散化和数值计算，可以得到准确的近似解，帮助人们解决复杂的实际问题。
有限元基础知识归纳有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处Ni=1,其它节点Ni=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
土工数值分析（一）土体稳定的极限平衡和极限分析目录1 前言 (2)2 理论基础－塑性力学的上、下限定理 (4)2.1 一般提法 (4)2.2 塑性力学的上、下限定理 (5)2.3 边坡稳定分析的条分法 (7)3 土体稳定问题的下限解－垂直条分法 (9)3.1 垂直条分法的静力平衡方程及其解 (9)3.2 数值分析方法 (11)3.3 垂直条分法的有关理论问题 (15)3.4 垂直条分法在主动土压力领域中的应用 (19)4 土体稳定分析的上限解－斜条分法 (23)4.1 求解上限解的基本方程式 (23)4.2 上限解和滑移线法的关系 (24)4.3 边坡稳定分析的上限解 (27)4.4 地基承载力的上限解 (27)5 确定临界滑动模式的最优化方法 (30)5.1 确定土体的临界失稳模式的数值分析方法 (30)5.2 确定最小安全系数的最优化方法 (31)6 程序设计和应用 (39)6.1 概述 (39)6.2 计算垂直条分法安全系数的程序S.FOR (39)6.3 计算斜条分法安全系数的程序E.FOR (53)1土工数值分析（一）：土体稳定的极限平衡和极限分析法1前言边坡稳定、土压力和地基承载力是土力学的三个经典问题。
很多学者认为这三个领域的分析方法属于同一理论体系，即极限平衡分析和极限分析方法，因此，应该建立一个统一的数值分析方法。
Janbu 曾在1957年提出过土坡通用分析方法。
Sokolovski(1954)应用偏微分方程的滑移线理论提出了地基承载力、土压力和边坡稳定的统一的求解方法。
W. F. Chen (1975) 在其专著中全面阐述了在塑性力学上限和下限定理基础上建立的土体稳定分析一般方法。
但是，上述这些方法只能对少数具有简单几何形状、介质均匀的问题提供解答，故没有在实践中获得广泛的应用。
下面分析这三个领域分析方法的现状以及建立一个统一的体系的可能性。
有关边坡稳定分析的理论的研究工作，从早期的瑞典法，到适用的园弧滑裂面的Bishop简化法，到适用于任意形状、全面满足静力平衡条件的Morgenstern - Price法(1965)，其理论体系逐渐趋于严格。
有限元分析及其应用(思考题)1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？3、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
4、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？5、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？6、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？7、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？8、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？9、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？10、以平面微元体为例，考虑弹性力学基本假设，推导微分平衡方程。
11、常见的弹性力学问题解法有哪几类？各有何特点或局限？简述求解思路？12、什么叫外力势能？什么叫应变能？简述势能变分原理。
试问势能变分原理代表了弹性力学的那些方程？同时，附加了什么条件？13、在三维弹性体中，若系统势能对位移变分为零。
试证明一定满足应力平衡方程和应力边界条件。
14、为了保证有限元解的收敛性，位移函数必须满足那些条件？为什么？15、位移函数构造为何按Pascal三角形进行？为什么？16、如何理解有限元解的下限性？17、何谓刚性位移？何谓常量应变？18、在按位移法求解有限元法中，为什么说应力解的精度低于位移解的精度？19 何谓协调单元？何谓非协调单元？为什么有时非协调单元的计算精度还高于协调单元？20 何谓常应变单元？其位移、应变、应力在单元内、单元边界上有何特性？21平面矩形单元的位移、应力在单元内、单元边界上有何特性？试说明矩形单元刚度矩阵的计算与坐标原点位置无关。
22谓面积坐标？其特点是什么？23分析以下几种平面单元的位移在单元公共边界上的连续性：1）常应变三角形单元；2）四节点矩形单元；3）六节点三角形单元；4）四节点直线边界四边形等参单元；5）八节点曲线边界四边形等参单元。
2005年2月Rock and Soil Mechanics Feb. 2005收稿日期2004-08-02作者简介男博士E-mail:Zhaoshangyi@文章编号75980332有限元强度折减法中边坡失稳的判据探讨赵尚毅1张玉芳2重庆 400041广东 深圳518034边坡失稳滑体由稳定静止状态变为运动状态这就是边坡破坏的特征滑动面上的位移和塑性应变将产生突变有限元程序无法从有限元方程组中找到一个既能满足静力平衡又能满足应力-应变关系和强度准则的解不管是从力的收敛标准塑性区从坡脚到坡顶贯通并不一定意味着边坡破坏但不是充分条件有限元计算中表现为塑性应变和位移产生突变突变之后计算不收敛因此可把有限元静力平衡方程组是否有解-关 键 词有限元强度折减法; 失稳判据中图分类号 AStudy on slope failure criterion in strength reduction finite element methodZHAO Shang-yi 1, ZHENG Ying-ren 1, ZHANG Yu-fang 2(1 Department of Civil Engineering, Logistical Engineering University , Chongqing 400041, China采用理论体系更为严密的有限元法分析边坡的稳定性已经成为可能使边坡达到极限破坏状态使有限元法进入实用阶段目前的失稳判据主要有两类14]28]数值计算不收敛作为边坡失稳破坏依据具有一定的人为任意性采用塑性应变作为失稳评判指标状态确定潜在滑动面及其相应的安全系数以有限元计算是否收敛作为边坡破坏的依据是合理的塑性区贯通是破坏的必要条件还要看是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移在突变前计算收敛计算不收敛2 边坡破坏的特征图1为岩质边坡失稳后形成的直线滑动破坏形式可见边坡失稳滑体由稳定静止状态变为运动状态且此位移和塑性应变不再是一个定值这就是边坡破坏的特征整个迭代过程直到一个合适的收敛标准得到满足才停止坡中UX2可见当达到极限破坏状态后而且该节点的水平位移和塑性应变还将继续无限发展下去此时还是从位移的收敛标准来判断有限元计算都不收敛可见位移的收敛曲线是逐渐向上发展的位移随着迭代次数的增加而越来越大图4 非稳定边坡迭代过程中力和位移的收敛曲线走势图Fig. 4 Graphical solution tracking of iterative process图5为稳定边坡有限元迭代计算过程中力和位移的收敛曲线走势图当边坡稳定时其量值随着迭代次数的增加而逐渐减小4 关于塑性与破坏对于一个理想弹塑性单元来说如果周围没有约束但是如果该单元体周围的物体还处于弹性阶段或者有其它边界约束条件使水平位移/m荷载增量迭代次数/次10610510410310210110010-1力和位移的收敛数值图5 稳定边坡迭代过程中力和位移的收敛曲线走势图Fig. 5 Graphical solution tracking of iterative process它不能任意增长单元进入塑性并不一定意味着就要产生无限的塑性流动图6中倾角为30粘聚力c为700 Pa采用ANSYS程序的外接圆DP 屈服准则按照平面应变计算系统处于稳定状态塑性区是贯通的泊松比ν对边坡的塑性区分布范围有影响边坡的塑性区范围越大9为泊松比ν分别取00.499时的塑性区分布范围(图中有色部分为塑性区)坡高20 m42=c kPa对应于外接圆DP 屈服准则有限元计算收敛有限元计算不收敛当=ω 1.34边坡的绝大部分单元都处于塑性极限平衡状态此时边坡的塑性区已经贯通有限元计算是收敛的ν的取值对安全系数计算结果的影响不明显这也说明了采用区塑性区分布从坡脚到坡顶是否贯通作为边坡破坏的依据是不妥的经常见到大片的塑性区而是处于塑性极限平衡状态塑性区贯通是破坏的必要条件还要看是否产生很大的且无限发展的塑性变形和位移在突变前计算收敛表征滑面上土体无限流动有限元计算是否收敛作为边坡破坏的依据有限元中引起计算不收敛的因素很多具有一定的人为任意性进行有限元计算首先要保证模型的建立要正确由此而引起有限元数值计算不收敛以此为基础的计算结果不管用什么方法来评价边坡的稳定性都是无效的计算迭代次数以及力和位移的收敛标准值的设定具有人为性笔者认为迭代次数只要设定一个合适的值是能够保证计算精度的对于一般的均质土坡平面应变问题将力和位移的收敛系数设定为0.000 01完全可以保证足够的计算精度也可以将迭代次数设定得更高但是故既没有必要当然比如只有10次或者将力和位移的收敛标准值设得很大综上所述程序可靠均质土坡理想弹塑性有限元静力计算是否收敛与边坡是否失稳存在着一一对应的关系坡高H = 20 m土的重度γ=20 kN/m3时边坡的稳定安全系数以及对应的滑动面按照平面应变建立模型下部固定采用非关联流动法则在ANSYS程序的DP准则中强度折减安全系数的计算统一采用ωc采用非关联流动法则进行计算最大迭代次数为1 000次即荷载增量步设置为1步Sparse Matrix Direct Solver Full Newton- Raphson膨胀角0=ψ传统极限平衡条分法安全系数计算采用的软件为加拿大的边坡稳定分析程序SLOPE/WDP1为外接圆DP准则DP3为平面应变条件下的摩尔-库仑匹配DP准则表１ 用不同方法求得的稳定安全系数 Table 1 Safety factors by different methods不同坡角()下稳定安全系数方法30 35 40 45 50 FEM(DP1) 1.91 1.74 1.62 1.50 1.41 FEM(DP2) 1.64 1.49 1.38 1.27 1.19 FEM(DP3) 1.56 1.42 1.31 1.21 1.12 Spencer法 1.55 1.41 1.30 1.20 1.12 (DP1-S)/S 0.23 0.23 0.25 0.25 0.26 (DP2-S)/S 0.05 0.06 0.06 0.06 0.06 (DP3-S)/S 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00从表1可以看出DP3误差在1 %左右DP2外接圆DP准则条件下的安全系数比传统的极限平衡方法大约25 %1滑体滑出同时产生很大的位移和塑性应变而是处于无限塑性流动状态通过有限元强度折减滑动面上的位移将产生突变有限元程序无法从有限元方程组中找到一个既能满足静力平衡此时还是从位移的收敛标准来判断因此以有限元静力平衡方程组是否有解边坡塑性区从坡角到坡顶贯通并不一定意味着边坡整体破坏但不是充分条件就像水池中的水但由于池壁的约束而是处于极限平衡状态403. [2] Dawson E M. Roth W H, Drescher A. Slope stabilityanalysis by strength reduction[J]. Geotechnique, 1999, 49(6): 835346.ZHAO Shang-yi, ZHENG Ying-ren, SHI Wei-ming. Slope safety factor analysis by strength reduction FEM[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002, 24(3): 343260.ZHAO Shang-yi, ZHENG Ying-ren, DENG Wei-dong.Jointed rock slope stability analysis by strength reduction FEM[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(2): 254411. LIAN Zhen-ying, HAN Guo-cheng, KONG Xian-jing. Stability analysis of excavation by strength reduction FEM. Chinese Journal of Geotechnical Engineering. 2001, 23(4): 4068.LUAN Mao-tian, WU Yan-jun, NIAN Ting-kai. A criterion for evaluating slope stability based on development of plastic zone by shear strength reduction FEM[J]. Journal of Disaster Prevention and Mitigation Engineering, 2003, 23(3): 1328.ZHENG Hong, LI Chun-guang, LI Zuo-fen, et al. Finite element method for solving the factor of safety[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2002, 24(5): 323652. ZHOU Cui-ying, LIU Zuo-qiu, DONG Li-guo, et al. Large deformation FEM analysis of slopes failure[J]. Rock and Soil Mechanics, 2003, 24(4): 6446.[2] 张忠苗, 辛公锋. 软土地基超长桩受力性状分析[J]. 工程勘察, 2003, (3): 1018.[4] 池跃君, 顾晓鲁, 周四思, 等. 大直径超长灌注桩承载性状的试验研究[J]. 工业建筑, 2000, 30(8): 2629.[5] 朱向荣, 方鹏飞, 黄洪勉. 深厚软基超长桩工程性状试验研究[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(1):7679. [6] 蒋建平, 高广运, 汪明武. 大直径超长桩有效桩长的数值模拟[J]. 建筑科学, 2003, 19(3): 2729.[7] 郑俊杰, 彭小荣. 桩土共同作用设计理论研究[J]. 岩土力学, 2003, 24(2): 242245.[8] 肖宏彬, 钟辉虹, 张亦静, 等. 单桩荷载-沉降关系的数值模拟方法[J]. 岩土力学, 2002, 23(5): 592596[9] 曾友金, 章为民. 用有限单元法分析超长单桩的荷载传递[J]. 岩土力学, 2002, 23(6): 803806.[10] 陈开旭, 安关峰, 鲁亮. 采用有厚度接触单元对桩基沉降的研究[J]. 岩土力学, 2000, 21(1): 9296.[11] Desai C S, Lightner J G, Siriwardane H J, et al. Thin-layerelement for interfaces and joints[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1984, 8(1): 1922.YIN Zong-ze, ZHU Hong, XU Guo-hua. Numerical simulation of the deformation in the interface between soil and structural material[J]. Chinese Journal of Geotech nical Engineering, 1994, 16(3): 1494, 建筑桩基技术规范[S].。
· 279 ·区域治理综合信息岩土工程极限分析有限元法及其应用吕艳辉固勘探(深圳)有限公司，广东 深圳 518000摘要：目前常用的极限分析方法有极限平衡法，滑动线场法，上下限分析法和变分法等。
他们各有利弊。
极限分析有限元分析方法有效地弥补了这四种分析方法的不足，因而被广泛应用于岩土工程分析。
关键词：岩土工程；极限分析；有限元法岩土工程设计中，土体的极限平衡状态可将经济性与安全性相结合，因此被视作最重要的设计因素。
目前常用的极限分析方法包括极限平衡法，滑动线场法，上下限分析法和变分法等，他们各有利弊，然而，极限分析有限元法不仅具有有限元方法的全部优点，而且能有效地弥补其他分析方法的不足。
它还在考虑变形的同时动态模拟施工过程。
在分析边坡稳定性时，不需要对滑动面的位置和形状进行预先假设，也不需要使用条分法。
安全系数和临界滑动面可以通过有限元计算直接获得，应用范围十分广阔。
一、极限分析有限元法的基本原理1 安全系数有两种方法可以使基础或突破进入极限状态：一种是增量加载，另一种是减弱强度。
在过去，当突破安全系数时，首先假定滑动面，然后基于力矩的平衡计算，安全系数定义为滑动面的抗滑力与滑动力之比滑动表面。
其中,W 是安全系数;通过上述式子的变形能够得到以下式子：可以看出，传统的极限平衡法实际上是通过降低剪切强度来实现边坡的极限状态，并且在不同条件的定义下，安全系数存在一定的差异。
因此，利用强度储备确定安全系数不仅能满足岩土工程破坏的不稳定状态，而且要符合国际标准。
2 有限元中的边坡破坏准则目前，在有限元计算中确定土体破坏的标准有三种：① 滑移面塑性区贯通，即滑移面上每点都到达极限平衡状态；② 有限元计算不收敛，即土体以发生破坏；③ 滑动土体无限发生移动，即土体滑动面上的应变和位移发生突变且无限发展。
3 极限分析有限元方法应用条件一般情况下，当应用有限元分析有限元方法时，需要满足三个条件：① 可靠和成熟的有限元程序；② 适当的实际本构模型和强度屈服准则；③ 满足有限元计算模型建立所需的精度以及选择适宜的参数。
有限元极限分析法在地基基础工程中的应用（上海华东院有限元极限分析法在地基基础工程中的应用郑颖人董天文重庆市地质灾害防治工程技术研究中心中国人民解放军后勤工程学院教授岩土工程两种安全系数定义强度储备安全系数抗滑力 Fs = 下滑力超载安全系数极限荷载 Fs = 实际荷载传统极限平衡法有限元极限分析法的含义应用弹塑性有限元法进行岩土工程的极限分析，具有有限元法适应性广，又具极限分析算安全系数优点。
两种有限元极限分析法有限元强度折减法不断降低岩土C、? 值，直到破坏。
1 c′ = c Ftrial1 φ ′ = arctan( tan φ ) Ftrial有限元增量加载法（超载法）不断增加荷载，直到破坏。
一、在地基工程中的应用1 2 3 4 地基极限承载力（验证 Prandtl 解）有单个节理的岩石地基的承载力载荷板现场试验数值模拟碎石桩复合地基有限元分析二、桩基础有限元极限分析方法三、在基坑支护中的应用一、在地基工程中的应用1增量加载有限元法求地基极限承载力1.1无重土地基（验证 Prandtl 解）计算简图及有限元剖分动画采用莫尔-库伦准则和D-P准则不同D-P准则（DP1～DP5）对计算结果的影响很大，空间问题：DP4等面积圆准则平面应变： DP3—关联准则 DP5—非关联准则非关联流动法则下极限承载力Φ（° ） DP1 DP2 DP3 DP40 6.023 6.023 5.219 5.4815 8.228 7.629 6.580 7.05110 11.826 9.743 8.413 9.16515 18.216 12.540 10.800 12.29020 29.611 16.269 14.132 16.96725 49.720 20.619 18.778 23.888DP5 5.219 Prandtl 5.142(DP1－ P)/P (DP2－ P)/P (DP3－ P)/P (DP4－ P)/P6.589 6.4890.2680 0.1757 0.0140 0.08668.496 8.3450.4171 0.1675 0.0081 0.098311.004 15.021 20.169 10.977 14.835 20.7210.6595 0.1424 -0.0161 0.1196 0.9960 0.0967 -0.0474 0.14371.3995 -0.0049 -0.0918 0.15280.1713 0.1713 0.0150 0.0659DP5/P 0.0150 0.0154 0.0181 0.0025 0.0125 -0.0266地基滑动面验证（与Prandtl有限元计算滑面解比较）极限状态时地基附近的破坏滑动面及位移矢量图Prandtl 破坏机构图B0 EπO被动区过渡区π _φ4+ 2φd142D主动区Ad2C验算d1、d2、hPrandtl 破坏机构有关参数d1 d2 h0.50 0.71 1.000.55 0.79 1.250.60 0.89 1.570.65 1.01 1.990.71 1.16 2.530.79 1.35 3.270.87 1.59 4.29有限元计算的有关参数(DP3) Φ(°*************d1 d2 h0.49 0.70 0.980.53 0.80 1.250.60 0.90 1.500.65 1.05 1.920.70 0.75 0.89 1.19 2.51 1.35 1.62 3.15 4.201.2 考虑土重的地基极限承载力求解N γ 有限元计算结果及与经验公式的比较Φ (°)N γ (汉森、太沙基) N γ (魏锡克) N γ (梅耶霍夫) N（γ FEM）5 10 15 200.0894 0.4670 1.4185 3.53740.4493 1.2242 2.6479 5.38630.0697 0.3669 1.1290 2.87090.631 1.665 3.674 6.35太沙基公式偏保守2 求含单个节理的岩石地基的承载力2.1考虑节理倾角影响地基岩块参数为： c1 = 1.0MPa, ?1 = 40 oo c = 0 . 1 MPa, ? = 10 节理基本参数为： 2 。
分析化学中检出限与测定下限分析发表时间：2020-12-31T15:09:01.823Z 来源：《科学与技术》2020年9月第26期作者：何善英[导读] 检出限和下限是化学分析中非常重要的性能指标。
它们具有很高的应用价值和控制要求。
何善英绍兴市中测检测技术股份有限公司浙江省绍兴市 312500摘要：检出限和下限是化学分析中非常重要的性能指标。
它们具有很高的应用价值和控制要求。
在不同的工艺条件、规格、设备和仪器条件下，检出限值与下限值不同。
因此，在实际工作中，必须坚持具体条件具体分析的工作原理，科学确定具体条件下检出限和测量下限的标准参数，并以此为依据确定，对测量结果的准确性和可靠性进行评价和优化，实现化学分析值的实际提高。
关键词：检出限；置信度；测定下限中图分类号: 文献标识码：A引言首先阐述了检出限和判定下限的概念，不同标准下的检出限和判定下限记录不同。
分析了分析化学中检出限与下限的关系。
最后，从空白实验分析、光谱仪、空白加入实验方法、滴定法和仪器噪声法等方面对分析化学中检出限的确定方法和下限的确定进行了研究。
1分析化学中检出限与测定下限的定义1.1“检出限”的定义“检测限”的概念最早是由德国学者凯撒在1947年提出的。
强调检出限应作为分析化学中的一个重要指标。
从目前的观点来看，对检出限的定义还没有统一。
(1)根据 iupac，“检测限”是在特定的分析过程中从分析物的最小分析信号中获得的最小质量或浓度。
(2)环保署认为，「检测限」是分析样本中分析物的浓度大于0时所能检测到的最低浓度，而且报告的可信度超过99% 。
(3)欧盟在执行欧盟委员会关于分析方法和结果解释的指示时，提出了“检测限”、“ cc”和“ cc”两个概念。
前者主要是在浓度不小于 cc 的情况下，根据误差率得出肯定的结论。
后者主要是指当样品的误差率为时所能确定的最低浓度或最低含量。
根据这些定义，可以得出”检测限”的结论性定义: 在高可信度的情况下，通过特定分析技术和程序获得的分析样品中分析物的最低值，特征是浓度或最低值数量。
