广义离散随机线性系统的最优递推滤波方法(I)

T {[I K k H k ]Pk |k 1[ I K k H k ]T K k Rk K k
T E~ xk|k 1vk 0， Evk ~ xkT|k 1 0
T E~ xk | k ~ xkT|k [ I K k H k ]Pk |k 1[ I K k H k ]T K k Rk K k
6.2 直观推导法
推导基本步骤：预测，校正。
•
预测/时间更新(利用系统方程对状态及观测做一步预测)：
ˆk |k 1 k ,k 1 x ˆk 1|k 1 E[ wk 1 ] 0 x
KF公式1： 状态预测 KF公式2： 观测预测
E[vk ] 0
ˆ k |k 1 ˆk |k 1 H k x z


T T E{[I K k H k ]~ xk |k 1 ~ xkT|k 1[ I K k H k ]T K k vk vk Kk K v ~ x T [ I K H ]T [ I K H ]~ x vT K T } k k k |k 1 k k k k k |k 1 k k
最优估计
第6章 线性离散系统卡尔曼滤波

线性离散系统卡尔曼滤波器的推导 带有控制项和测量系统偏差时的卡尔曼滤波器 系统干扰和测量噪声相关时的卡尔曼滤波器 有色噪声下的卡尔曼滤波器 卡尔曼滤波器稳定性和鲁棒性 线性离散系统的最优预测与平滑
6.1 引 言
•
•
维纳滤波的不足： (1) 要求随机过程是平稳的，要求太强； (2) 以单入单出系统推导出的，难以推广到高维的情况； (3) 维纳-霍夫方程很难求解，在工程上难以实现； (4) 是批处理方法，不能满足在线快速处理大量数据的需要。 1960年卡尔曼（Kalman）将状态空间分析方法引入滤波 理论，得到时域上的递推滤波算法，即卡尔曼滤波。 而且可以递推实现。

最优滤波方程最优滤波方程（Optimal Filtering Equation）是信号处理领域中常用的一种滤波方法，它利用数学模型和最小均方误差准则，根据已知信号信息和观测噪声特性，通过最小化滤波误差来估计出真实信号的最佳估计值。

在介绍最优滤波方程之前，我们先来了解一下滤波的基本概念。

滤波是一种信号处理的方法，通过将输入信号通过滤波器进行处理，得到输出信号，以达到滤除噪声、平滑信号等目的。

在实际应用中，我们常常需要对信号进行估计和预测，这就涉及到了滤波估计问题。

最优滤波方程是一种基于贝叶斯准则的滤波方法，它利用贝叶斯公式，通过求解条件概率分布的最大后验概率，得到最佳估计值。

最优滤波方程的核心思想是在已知观测信号和模型的情况下，利用贝叶斯公式对未知信号进行估计，使得估计值能最大程度上接近真实信号。

最优滤波方程的推导基于马尔可夫假设，即未来的观测只与当前的状态有关，与过去的观测无关。

假设我们有一个线性状态空间模型，状态方程可以表示为：X(k+1) = A*X(k) + w(k)其中，X(k)是系统的状态向量，A是状态转移矩阵，w(k)是状态噪声。

观测方程可以表示为：Y(k) = C*X(k) + v(k)其中，Y(k)是观测向量，C是观测矩阵，v(k)是观测噪声。

我们的目标是在已知观测信号Y(k)和模型参数的情况下，估计状态向量X(k)的最佳估计值。

最优滤波方程的核心思想是通过最小化均方误差准则，选择一个合适的估计器，使得估计值与真实值之间的均方误差最小。

根据贝叶斯公式，我们可以得到后验概率分布的递推表达式，即最优滤波方程：P(X(k)|Y(1:k)) = P(Y(k)|X(k)) * P(X(k)|Y(1:k-1)) /P(Y(k)|Y(1:k-1))其中，P(X(k)|Y(1:k))是给定前k个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|X(k))是给定状态X(k)的条件下的观测概率分布，P(X(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的状态向量X(k)的后验概率分布，P(Y(k)|Y(1:k-1))是给定前k-1个观测值条件下的观测概率分布。

假定状态为高斯随机矢量；过程噪声与测量噪 声的统计特性为
wk ~ N (0, Qk )
v k ~ N (0, Rk )
（1）初始化
ˆ x0 = E [x0 ]
ˆ ˆ P0 = E (x0 − x0 )(x0 − x0 )
[
T
]
（2）状态估计
1.计算Sigma点
ˆ χ k0−1 = xk −1 ˆ χ ki −1 = xk −1 ˆ χ ki −1 = xk −1 +
注意
随机状态变量沿非线性函数的 传播问题是非线性滤波的关 键！
新思路
“近似非线性函数的概率密度分布比 近似非线性函数更容易”
因此，使用采样方法近似非线性分布来解决非 线性滤波问题的途径目前得到了人们的广泛关 注。
粒子滤波
使用参考分布，随机产生大量粒子，近似 状态的后验概率密度，得到系统的估计。 问题：1）计算量甚大，为EKF的若干数量 阶；2）若减少粒子数，估计精度下降。
T
{
}
{
}
}
描述最优状态估值质量优劣的误差协方差 阵确定如下 ˆ = E ( x − x )( x − x )T Y k = P − K P (k )K T ˆk k ˆk Pk k k k y k
{
}
EKF的不足
必须求非线性函数的Jacobi矩阵，对于模型复 杂的系统，比较复杂且容易出错； 引入线性化误差 ，对非线性强度高的系统，容 易导致滤波效果下降。 基于上述原因，为了提高滤波精度和效率，以 满足特殊问题的需要，就必须寻找新的逼近方 法。
增广状态的方差为
⎡ Px ,k ⎢ 0 =⎢ ⎢ 0 ⎣ 0⎤ ⎥ Q 0⎥ 0 R⎥ ⎦ 0
Pa ,k
（1）初始化

T
（3.1.1）
最小。 当滤波器系数有无穷多个 （即单位抽样响应无限长） 时， 对应 IIR 结构的维纳滤波器， 当滤波器系数为有限个时，对应 FIR 结构的维纳滤波器。FIR 结构的维纳滤波器的滤波部 分的示意图如图 3.4 所示，在信号处理的文献中，也常称这个结构为横向滤波器。
x(n)
x(n-1)
1)
从维纳滤波器是线性贝叶斯波形估计的观点，需注意如下几点： 在均方误差意义上，维纳滤波器是线性 FIR 滤波器中的最优滤波器，但可能存在一些 非线性滤波器能达到更好结果。 在 x(n) 和 d (n) 是联合高斯分布条件下，维纳滤波也是总体最优的，不存在非线性滤波 器能达到更好的结果。 从线性贝叶斯估计推导过程知，在滤波器系数取非最优的任意权系数 w 时，其误差性 能表达式为
2 T J ( w) d w T rxd rxd w w T Rw
2)
3)
(3.1.13)
84
它是 w 的超二次曲面，只有一个最小点，当 w w o 时， J ( w) J min 。
3.1.2 维纳滤波：正交原理
维纳滤波器是一个最优线性滤波器，图 3.1.3 是一个一般表示框图，滤波器核是 IIR 或 FIR 的，在实信号情况下，已经导出了求解 FIR 型维纳滤波器的方程。在第 2 章讨论了线 性最优估计的正交性原理， 第 2 章正交原理是由最优线性估计方程导出的。 在最优线性滤波 器理论中，正交原理是一个基本分析工具，由正交原理出发，很容易导出线性最优估计和维 纳 滤波器的方程式。由于正交原理应用的广泛性和简洁性，并且贯穿于平稳、非平稳和有 限数据等多种情况，在本节，对复信号的一般情况，重新导出正交原理的一般形式，并利用 正交原理， 重新推导复信号情况下维纳滤波器的一般方程。 先推导适应于 IIR 和 FIR 的一般 结论，然后分别讨论 FIR 和 IIR。 将一般的复数形式维纳滤波器的问题重新描述如下。 设输入随机过程 x(n) 为复信号，由 x(n k )k 估计期望响应 d (n) ，求复数权系数