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第七章 线性离散系统

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自动控制原理第7章线性离散控制系统

自动控制原理第7章线性离散控制系统

差分方程描述了系统在离散时间点的 行为，通过求解差分方程，可以预测 系统未来的输出。
状态方程
状态方程是描述线性离散控制系统动态行为的数学模型，其形 式为 X(k+1) = A*X(k) + B*U(k)，其中X(k)表示在时刻k的系统 状态向量，U(k)表示在时刻k的控制输入向量，A和B是系统矩 阵。
自动控制原理第7章 线性离散控制系统

目录
CONTENTS
• 引言 • 线性离散控制系统的数学模型 • 线性离散控制系统的稳定性分析 • 线性离散控制系统的性能分析 • 线性离散控制系统的设计方法 • 线性离散控制系统的应用案例
01
引言
线性离散控制系统的定义与特点
定义
线性离散控制系统是指系统的动态行为由差分方程或离散状态方程描述的一类控制系统。
适性。
常见的智能家居控制系统包括智 能照明、智能安防、智能环境监
测等。
案例三：工业自动化控制系统设计
工业自动化控制系统是线性离散 控制系统的另一个重要应用领域， 主要用于实现生产过程的自动化
和智能化。
工业自动化控制系统通常采用分 布式控制结构，通过各种传感器、 执行器和主控制器实现对生产设
备的监测和控制。
离散控制系统的稳定性判据
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
通过计算离散控制系统的传递函数的极点和零点，判断系统的稳定性。如果所有极点都位于复平面的左半部分，则系 统稳定；否则系统不稳定。
奈奎斯特稳定性判据
通过分析离散控制系统的频率响应，判断系统的稳定性。如果频率响应的相位曲线在-π~π范围内，则系统稳定；否则系 统不稳定。
系统实现
将设计好的控制器应用于实际系统中，并进 行实验验证。
离散控制系统设计的常用方法
第七章--线性离散系统的稳定性分析

第七章--线性离散系统的稳定性分析


取反变换，得 g (k ) b0δ (t ) b1δ (t T ) bnδ (t nT )
• 上式表明，一个n阶稳定系统的脉冲响应序列共有n个脉冲， 如果在典型信号输入作用下，系统脉冲响应过程将在n个 采样周期内结束(对连续系统而言，理论上动态过程在 t→∞时才结束)，由于这种系统瞬态响应时间最短，故称
0.11K 0 1.1 0.095 K 0 2.9 0.015 K 0
因此，使系统稳定K值范围为
0 K 11.58
• 采样器和保持器对离散系统的动态性能有如下影响： 1）采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但使超调量增大， 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定程度。 2）零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长，超调量和振荡次数 也增加。这是因为除了采样造成的不稳定因素外，零阶保持器的相角滞后降
y* t
5
4
3
2 1
0
T
2T
3T
4T
5T
t
单位斜坡响应 暂态过程只要两个采样周期即可结束!
将上述系统的输入信号改为单位阶跃信号 r (t ) 1(t )
则系统的输出信号的z变换为
1 Y ( z ) GB ( z ) R( z ) (2 z 1 z 2 ) 1 z 1 2 z 1 z 2 z 3 L z n L 此时动态过程也可在两个采样周期内结束，但在t=T时超 调量为100%。
映射稳定区域左半s平面不稳定区域右半s平面临界稳定区域虚轴上单位圆内部单位圆外部单位圆上线性离散系统稳定的充分必要条件离散系统极点分布与稳定性的关系由由s平面与z平面的映射关系及连续系统的稳定性理论可知离散系统极点分布与其稳定性的关系如下极点分布稳定情况z单位圆内稳定z单位圆外不稳定z单位圆上临界稳定线性离散系统的稳定判据由前面的分析可知只要知道系统的极点分布即可判断系统的稳定与否但这里要解决的问题是如何知道闭环系统的极点分布
第七章(3-7) 线性离散系统的分析与校正

第七章(3-7) 线性离散系统的分析与校正


2）离散系统的型别与静态误差系数法
采样器不影响脉冲传递函数的极点
a).
b).
c).
教材P358 表7-5
（熟记）
7-6. 离散系统的动态性能分析
时域法、根轨迹法和频域法 ，其中 时域法最简单。本章介绍时域法。
1.离散系统的时间响应 2.采样器和保持器对动态性能的影响 3.闭环极点与动态响应的关系
4.采样周期与开环增益对稳定性的影响
7-30
5.离散系统的稳态误差（离散系统在采样瞬时的稳态误差）
连续系统稳态误差最基本的求法：定义法与静态误差系数法。这两种方法， 在一定条件下可推广到离散系统。
1）定义法求离散系统的稳态误差
（熟记）
因为 G ( z )与 R( z ) 都与T（较实用，掌握）。 把 z 变换表7-2中的时间函数e(t ) 看成 K (t ) ，那么表中的 E ( s) 就是 G ( s) ，而 E ( z ) 则 相当于 G ( z ) 。因此，根据 z 变换表7-2，可以直接从 G ( s) 得到 G ( z ) 。 若 G ( s)为较高次的有理分式，需要进行部分分式法分解，然后逐项查出相应的 G ( z )
1.离散系统的数学定义 2.线性常系数差分方程及其解法 3.脉冲传递函数 4.开环系统脉冲传递函数 5.闭环系统脉冲传递函数
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
(1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)
1阶后向差分
e(k ) e(k ) e(k 1)
lim
后向差分


( z )
C ( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
线性离散系统的分析

线性离散系统的分析

是连续输出 在c(t采) 样时刻的瞬时值。 脉冲传递函数给出的是两个离散信号之间的传
递关系。
➢ 例7-10：系统结构如下图所示，其中连续部分的 传递函数为
G(s) 1 s(0.1s 1)
求该系统的脉冲传递函数 G(z。)
➢ 解一：连续部分的脉冲响应函数为
g(t) (1 e10t )
(t 0)
c(t) r(0)g(t) r(T )g(t T ) L r(nT )g(t nT ) L
➢ 在t=kT 时刻，输出的脉冲值为
c(kT ) r(0)g(kT ) r(T )g[(k 1)T ] L r(nT )g[(k n)T ] L
g[(k - n)T ]r(nT ) ➢ 根据卷积定n理0 ，可得上式的z变换
自动控制原理
第七章 线性离散系统的分析
➢ 7.1 引言 ➢ 7.2 信号的采样与保持
➢ 7.3 z变换理论
➢ 7.4 脉冲传递函数 ➢ 7.5 离散系统的稳定性和稳态误差 ➢ 7.6 离散系统的动态性能分析
7-4 脉冲传递函数
一、脉冲传递函数的定义
1. 脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系
z2 )(z
ebT
)
（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）
Go
(s)
H
(s)G(s)
(1
eTs
)
G(s) s
(1 eTs )G1(s) G1(s) eTsG1(s)
go (t) L1[Go (s)] g1(t) g1(t T )
Go (z) G1(z) z1G1(z) 1 z1 G1(z)
g(kT ) 1 e10kT
脉冲传递函数为
G(z) g(kT )zk 1 e10kT zk
01第七章 线性离散系统的分析

01第七章 线性离散系统的分析


2
2 sin ( s ) j ( s ) Gh ( j ) e s ( s )
第七章 线性离散系统的分析与校正
零阶保持器对系统的影响
1. 低通特性。由于幅频特性的幅值随着频率的增大迅速 衰减，说明ZOH基本上是一个低通滤波器，但与理 想低通滤波器相比，在w=ws/2时，幅值只有处置的 63.7%。 2. 另外，截止频率不止一个，所以ZOH除主分量外还 允许部分高频分量通过，从而造成数字控制系统的输 出存在波纹。 3. 相角滞后特性。由相频特性看，ZOH会产生相角滞 后，在w=ws处，相角滞后可达-180。，从而使闭环系 统的稳定性变差。 4. 时间滞后性。信号输出在时间上延迟T/2，对系统带 的稳定性不利。
第七章 线性离散系统的分析与校正
本讲小结
§6.1 离散系统
离散系统：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码 系统类型： 采样系统 — 时间离散，数值连续
数字系统 — 时间离散，数值离散
§6.2 信号采样与保持
A/D: 字长足够
D/A: 用 ZOH 实现
t << T
等效为理想采样开关
e * ( t ) e( t ) T ( t )
2 s 2 h T
Shannon定理
或
T< h


第七章 线性离散系统的分析与校正
1 E * ( s ) E ( s jn s ) T n
由于当收敛域包含虚轴时，傅里叶变换可以写成虚轴上的 拉氏变换，即s=jw：
1 E ( j ) E[ j ( ns )] T n
*
其中，E（jw）是连续信号e（t）的傅里叶变换。 A. 采样信号的频谱是以采样频率ws为周期的扩展； B. 频谱主分量与形状一致，幅值上变为1/T。
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计

自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计

离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自控原理 第七章 线性离散系统的分析与校正

自控原理 第七章 线性离散系统的分析与校正


在上述对连续对象实现离散控制的场合，采 样是必丌可少的环节。由连续信号获得相应 的时间上离散的脉冲序列信号，需要采用一 种类似开关的装置对连续信号迚行采样，见 图的采样开关S。
开关因开合将连续偏差信号e(t)采样为脉冲 序列形式的信号e*(t)：e(t0)、e(t1)、 e(t2)、...ห้องสมุดไป่ตู้故称系统为采样控制系统或脉冲 控制系统。
(a)连续信号幅频谱
连续信号f(t)的幅频谱单一 ，高频分 量的幅值随着频率的升高而逐渐减小， 即存在一个频率上界值max使得当 ||>max时，|F(j)|0，
(b) 采样信号幅频谱
主分量F(j)/Ts不F(j)的幅频 谱形状一致，幅值为F(j)的 1/Ts倍，F(j)/Ts包含了全部信 息。
s
f * ( t ) f ( t ) Ts ( t ) f ( t ) ( t kTs )
k
f ( kTs ) ( t kTs ),
k 0

t t0
(8 - 1)
• 方便的计时起点为t0=0，且f(t)对于t<t0=0（除非特别说明，本章 均为此情况）， Ts: 采样周期； (tkTs)为出现在时刻t=kTs且强度 为1的理想单位脉冲函数；f(kTs)为第k个采样时刻的采样值，反 映采样信号脉冲的强度，简记为f(k)，与连续信号f(t)对应，f(k) 称为离散信号。
s 2max时，
• 各分量F[j(-ks)], k=0, 1, 2,...，互不重叠； • 将f*(t)中频率||>max的部分滤除即可得到频谱与F(j)形状一 致的信号，从而可不失真地复原信号; • 若能构造一理想低通滤波器G(j)，使其在频段(s/2,s/2)内 频率特性为G(j)=Ts而其余频段内恒为0，则f*(t)经G(j)滤波 后即为原信号f(t)，其中g(t)为滤波器的单位脉冲响应。
第7章线性离散控制系统(自动控制原理)

第7章线性离散控制系统(自动控制原理)

◆
5
7.1 引言
◆ 时间上离散的信号，其幅值可能是连续的，亦可能是离散
的。将时间上、幅值上都连续的模拟信号，转换成时间上离 散、但幅值上仍然连续的离散模拟序列信号的过程，而这一 过程就称为采样，又称为波形的离散化过程，相应的控制系 统则称为采样控制系统。
若由数字计算机实现控制，受计算机字长限制，还需要进 一步将幅值连续的理想化序列信号量化为数字序列信号，进 一步得到时间和幅值上都是离散的数字序列信号，相应的控 制系统则称为数字控制系统。
采样定理：为使离散信号不失真的还原成连续信号，采样频 率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍： s 2max
3
7.1 引言
4
7.1 引言
◆ 采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部件，因而
它与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给 定都是以数码形式出现的，因而它与连续系统有所区别。总 的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法来处理 的，所以常把它归结为离散系统。
严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与离 散信号的描述上。采样信号(或函数)是在整个实数轴上取值 其定义域是一维数集，而离散信号(或函数)则是实数轴上取 正整数，其定义域是孤立点集。离散信号是客观存在的信号， 而采样信号是连续信号经采样器采样后人为得到的。
第 7章 线性离散控制系统
1
主要内容 7.1 引言
7.2 采样与保持
7.3 Z 变换
7.4 脉冲传递函数
7.5 离散控制系统的稳定性分析
7.6 离散控制系统的时间响应
7.7 离散控制系统的校正
2
7.1 引言
◆ 由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控
制系统。出入计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将 原来的连续信号变成断续信号，即采样信号。从某种意义上 说采样信号具有人为的性质。这样的系统必然在某一处或几 处出现脉冲信号或数码信号，通常称为采样控制系统。
自动控制理论第7章线性离散系统的分析与校正

自动控制理论第7章线性离散系统的分析与校正

自动控制理论第7章线性离散系统 的分析与校正
目录
• 引言 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的性能分析 • 线性离散系统的校正 • 线性离散系统的设计实例
01 引言
线性离散系统的重要性
01
在现代工业控制中，线性离散系 统广泛应用于过程控制、数据通 信、计算机控制系统等领域。
05 线性离散系统的校正
串联校正
串联超前校正
通过在系统环路中串联一个超前 校正器，提高系统的相位裕度， 减小系统的稳态误差。
串联滞后校正
通过在系统环路中串联一个滞后 校正器，减小系统的相位裕度， 提高系统的抗干扰能力。
并联校正
并联超前校正
通过在系统环路中并联一个超前校正 器，提高系统的相位裕度，减小系统 的稳态误差。
总结词：通过串级控制实现液位的精确 控制
同时，副控制器根据储水池的液位变化 ，实时调整水泵的运行状态，以实现液 位的精确控制。
主控制器根据液位传感器的信号，控制 调节阀的开度，以调节水泵的输出流量 ，从而控制储水池的液位。
详细描述
液位控制系统由液位传感器、调节阀、 水泵和储水池组成。
设计实例三：电机控制系统
03 线性离散系统的稳定性分 析
稳定性的定义
内部稳定性
系统在受到小扰动后能 够恢复到原平衡状态的 性能。
外部稳定性
系统在受到大扰动后能 够保持稳定输出的性能。
绝对稳定性
系统在任何情况下都能 保持稳定的性能。
劳斯-赫尔维茨准则
01
劳斯-赫尔维茨准则是判断线性时不变系统稳定性的 充分必要条件，适用于离散系统。
Z变换
Z变换是分析线性离散系统的重要工 具，它将离散时间信号转换为复平面 上的函数。
第7章 线性离散系统

第7章 线性离散系统

离散控制系统的模型描述往往是差分方程，由 于差分方程不便求解，然而可以将其变换成z变换表 达式来进行求解，最后由通过反z变换表达式变换成 差分方程得到求解。
z变换的定义 ： z eTs
z变换表达式的求解 ：

F (z) Z[ f (t)] Z[ f * (t)] f (nT )z n n0


则 x*(t) (10 10 2n) (t nT) 10 (1 2n) (t nT)
n0
n0
2019年12月2日星期一
自动控制原理
28
留数法
3.留数法
x(nT) 等于函数 X (z)zn1 在其全部极点上的留数 和。
即 x(nT) res[X (z)zn1]
2019年12月2日星期一
自动控制原理
26
部分分式展开法
2.部分分式展开法
将函数X(z)展开成若干个简单分式和的形式， 然后利用熟知的一些基本对应关系式，或查z变换表 求得 x*(t) 。
2019年12月2日星期一
自动控制原理
27
部分分式展开法
例13 已知象函数 X (z) 10z ，试求其z反变换。
自动控制原理
3
采样控制系统
典型采样控制系统结构框图 ：
采样：在系统运行中，采样开关S断开一定时间后
又闭合，反复动作， 将模拟量变为离散量，这种
间断获取信息的过程称为采样。
采样周期（Sampling Period）：采样开关每间
隔一定时间T内接通及断开一次，时间T称为采样周 期。
2019年12月2日星期一
2019年12月2日星期一
自动控制原理
11
保持器—采样信号的复现
自动控制原理第七章 线性离散系统

自动控制原理第七章 线性离散系统


计算机控制系统的优点
• • • 有利于实现高精度， 采样信号特别是数码信号的传递，能有效地抑 制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 由于采用计算机作为系统的控制器，因而这类 系统不仅能完成复杂的控制任务，而且还易于 实现修改控制器的结构参数，以满足工程实际 的需要。 计算机除了作控制器之外，还兼有显示报警等 多种功能。

n
e
n
X [ j ( n
s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n

s
)]
X * ( j )
1 T
n
X [ j ( n
x ( j )

s
)]
m
m
(a)
* 1 x ( j ) T n=0

x (t ) x (t ) (t nT )
* n

x (t )
*
1 T

x (t ) e jn s t
n jn s t


n
n
(t nT ) C
n

e
1
jn s t
n
x (t ) e
1 T 1 T
x (t ) 1 e t
由Z变换表可得
X ( z) z z 1 z ze
T

z (1 e T ) ( z 1)( z e T )
3. Z变换的性质
(1) 线性定理 若 E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则 Z[e1(t)+e2(t)]= E1(z)+ E2(z)，Z[ae(t)]=a E(z) (2) 实数位移定理 若 E(z)=Z[e(t)]， k 1 k 则 Z[e(t-kT)]=z-kE(z), Z[e(t+kT)]= z [ E ( z ) e( nT ) z n ]

自动控制原理胡寿松--第7章

离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号
采样周期的选取： 原则上采样周期的选取应该保证能够复现系统所能通过 的最高频率的信号，一般需要经过实验确定。对于伺服
系统一般认为频率超过c的信号将被滤除，因而一般选 择采样周期s 10c
信号的复现D/A转换
x (t)
T 2T 3T
解码，将数字信号折算成对应的电压或电流值 x(KT )
1- e-aT a(z - e-aT )
二.线性离散系统的闭环传函
• 在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在 闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关， 因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是 不相同的。
试求右图所示系统的闭环传函
R(s) (s)
-
Y(s)
G1(s)
G2(s)
C* (s)
f () lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z1
(7) 卷积定理
若：Z[ f1(t)] F1(z), Z[ f2 (t)] F2 (z)，

则 F1(z) F2 (z) Z[ f1(mT ) f2(kT mT )] m0
4. Z反变换
(1) 幂级数展开法
第七章 线性离散控制系统分析初步
•学习重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连 续系统与线性离散系统的区别与联系；
熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法
了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉 冲传递函数的计算方法；
掌握线性离散系统的时域分析方法
7.1 线性离散系统的基本概念
(2) 延迟定理 设t<0时f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则
Z f (t nT) znF(z)

第7章 线性离散系统简介


零阶保持器的传递函数，数值仿真 时带零阶保持器变换
例：求积分环节的差分方程
Z变换的运算符z是前移运算符，与拉普拉斯变换的s类似
如u(z)
→u(kT);则 zu(z) →u(kT+T)
2 z 1 2 1 z 1 s T z 1 T 1 z 1 U ( s ) ki u ( z ) kiT ( z 1) ; E ( s ) s e( z ) 2( z 1) kiT ( z 1)e( z ) 2( z 1)u ( z ) kiT [e(k ) e(k 1)] 2[u (k 1) u (k )] ki T u (k 1) u (k ) [e(k 1) e(k )] 2 T ui (k 1) ui (k ) ki [e(k 1) e( k )] 2
采样时间序列
图 7-2 采样时间序列
采样周期实现
计算机逻辑包含一个时钟，他每隔T秒提供一个脉冲 （中断），每次中断到来时模数（A/D)转换器向计 算机中发送一个数，这种情况采样周期是精确不变 的 程序代码执行周期结束后，存取一遍A/D转换器， 采样周期是由程序代码的长度决定的。 采样速率约为系统闭环带宽的20倍以上，以确保数 字控制器与连续控制器的性能一致。
用MATLAB求Z变换
数字控制系统可应用Z变换方法分析， Z变换是分析 线性离散系统的数学工具
求Z变换的MATLAB命令
numG=[1 6]
denG=[1 0] sysG=tf(numG,denG) sysGd=c2d(sysG,T,'t')
注:T—采样周期，t—积分的梯形方法 Help c2d可获得更多的数值方法
第7章 线性离散个
系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统 中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统： 计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统

自动控制原理第7章 线性离散控制系统分析


7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
7. 2 信号采样与保持
7.2.1 信号采样与采样定理
香农（Shannon）采样定理 ： 可以从采样信号 e* (中t) 完全复现连续信号 的e(条t) 件是采样频率 必须大于或s 等于输入采样开关的连续信号 频谱中的最e高(t)频 率 的2倍，即 max
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
由于G(Z)与采样周期T有关，因而，线性定常离散系统的
稳态误差不仅与系统的结构和参数及输入信号的形式及幅
值有关，而且还与采样周期T有关。
7. 6 线性离散系统的动态性能分析
7.6.1 线性离散系统的单位阶跃响应
离散系统的闭环脉冲传递函数为 式中， R(z) z /(z 1) 。系统输出的变换式为
平面上以原点为圆心的单位圆内。
z，i 即1所有 均位z于i [z]
否则，系统不稳定。
对于线性定常离散系统不能直接应用劳斯判据，需采用一种
变换方法，使[z]平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这
种坐标变换称为双线性变换，亦称为W 变换。
7. 5 线性离散系统的稳定性与稳态误差
7.5.1 线性定常离散系统稳定的充要条件
7.5.3 线性离散系统的稳定误差
单位反馈误差采样系统如图所示
如果系统稳定，即系统的闭环极点全部位于[Z]平面上的单
位圆内，则用Z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
为
e()

lim
t
e*
(t)

lim(1
z 1

z
1
)E(z)

lim
z 1
(1 z)R(z)
z1 G(z)

第七章 线性离散系统的分析与校正


7-1 .离散系统的基本概念
本节内容 1.采样控制系统 2.数字控制系统 3.离散控制系统的特点 4.离散系统的研究方法
1.采样控制系统（也称脉冲控制系统，时间上离散，幅值上连续）
若被控对象 是高炮，惯 性小，精度 要求高，快 速性好，则 需要保持。
检流计是一个 高灵敏度的元 件，不允许指 针与电位器之 间有摩擦力， 故由凸轮带动 检流计指针周 期性的上下运 动。
7-1 .信号的采样和保持
离散系统的特点是，系统中一处或数处的信号是脉冲序列或数字序列。为 了把连续信号变换为脉冲信号，需要使用采样器；另一方面，为了控制连续式 元部件，又需要使用保持器将脉冲信号变换为连续信号。因此，为了定量研究 离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程用数学的方法加以描述。
本节内容
2.采样过程的数学描述

e*(t) e(nT ) (t nT )
n0
采样信号 e*(t) 的数学描述可分采样信号的拉氏变换和采样信号的频谱两方面讨论。
1）采样信号的拉氏变换
对采样信号e*(t) 进行拉氏变换，可得
E*
(s)

L[e*
(t)]

L

n0
e(nT行器等
计算机控制系统典型原理图 严格讲，此图不一定对。
再看一例计算机控制系统： P9，图1-12
1）A / D 转换器是把连续的模拟信号转换为离散数字信号的装置。它的转换包括两个过程：
一是采样过程；二是量化过程，计算机中任何数值的离散信号必须表示成二进制
2）D
/
A
数才能进行运算。 转换器是把离散的数字信号转换为连续的模拟信号的装置。它的转换也经历两个
应当指出，上式将E*(s)与采样函数 e(nT) 联系了起来，可以直接看出 e*(t) 的时
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n


(8.2.3)
即x*(t)由一系列脉冲构成， (t-nT)仅表示采样发生的 时刻， x(nT)则表示在nT时刻所得到的离散信号值。 若函数x(t)，在t<0时等于零，则x*(t)可表示为：
x (t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
采样频率越低，信号中的高频成分损失越多，曲线越光滑。
采样定理
若对一个具有有限频谱 fmax的连续信号x(t)进行采样, 当采样频率满足 fs >2fmax
时,则采样信号x*(t)能无失真地恢复到原来的连续信号x (t) .
从物理意义上来理解采样定理：如果选择这样一个采
样频率，使得对连续信号中所含最高频率的信号来说，能 做到在其一个周期内采样两次以上，则在经采样获得的离 散信号中将包含连续信号的全部信息。反之，如果采样次 数太少，即采样周期太长，那就做不到无失真的再现原连
a
x(t) t
1
xh(t) t
T
b
1 e sT Gh ( s) Lxh (t ) xh (t T ) s
② 零阶保持器的频率特性
如图所示，零阶保持器相当
于一个低通滤波器。但有附加的 相位滞后。
1 e Gh j j e
j
jT
j T e e 2 T 2
换器的位数。
例如一个10位，量程为-5 ~ 5V的A/D转换器，其量 化单位为
q 5 (5) 0.0098 V 10 mV 10 2 1
即该A/D转换器的分辨率为10mV。 量化误差：由于模数转换后得到的相应数码没有精确的代 表被测的模拟量，由此产生的误差。
3. 编码器
编码器将量化后的离散信号编码成二进制数据，供数 字控制器使用。
• 采样周期T的选择要根据实际情况综合考虑，合理选择。
在一般的过程控制系统中：
过程控制参数
流 压 液 温 量 力 位 度
在随动系统中：
s 10c 即 T
采样周期（s）
1 5 5 20
5c
7.2.3 信号保持
信号保持就是将离散时间信号{x(kT)}转换成连续信号x(t)， 更确切地说，也就是如何利用已知的采样数据得到两个相邻采 样时刻kT及(k+1)T之间的原信号x(t)。
离散控制系统的研究方法
• 研究连续线性系统所用的方法，例如拉氏变换、传递函数和频率特性 等不再适用。 • 通过Z变换这个数学工具，可以把以前学习过的传递函数、频率特性
等概念应用于离散控制系统。
• Z变换具有和连续系统中拉氏变换同等的作用，是研究线性离散系统 的重要数学工具。
• 与连续系统对比，只是运用了不同的数学工具，所研究的内容范围一
和定量分析的数学工具。
有关Z变换的说明
① 对函数x(t) 的Z变换实际上是对x(t)的离散序列x*(t)的Z变换，
这是因为Z变换只能反映连续时间函数在采样时刻上的性质， 而其在非采样时刻的信息则无从表现，因此可以认为连续时 间函数与相应的离散时间函数具有相同的Z变换； ② Z变换可由拉氏变换直接推导得出，它们都是将一个时域函 数变换为相应的复域函数并且具有许多相类似的特性，如e-sT 表示一个延迟时间为T的延时环节，而z 迟一个采样周期T，即一步延迟；
性质，即：



f (t ) (t nT )dt f (nT ), n 0,1,2,
因此，理想采样开关闭合一次，相当于在该时刻作用 一个单位脉冲函数。采样开关以T为周期闭合，相当于一系
列单位脉冲函数的作用。
则采样信号可以表示为：
x* (t )
n
x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
Ｕh(t)
T 2T … (b)
保持器的作用则是将解码后的脉冲信 号保持规定的时间，使时间上离散的信 号变成时间上连续的信号，如图c所示.
T 2T … (c)
D/A转换过程
7.2 信号的采样与采样定理 7.2.1 信号的采样
1. 采样过程 采样系统对来自传感器的连续信息在某些规定的时间 瞬时取值。
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
t
(c) 离散量化信号
t
A/D转换过程
7.1.2 数/模（D/A）变换
D/A转换器是一种硬件装 臵，由解码器和保持器两部分 组成，如图a所示。
Ｕ＊(t)
110 100 010
数字 输入
模拟 输出
解码器 保持器
Ｕ＊(t)
(a)
Ｕh(t)
解码器的功能将数字量转 换为幅值等于该数字量的模 拟脉冲信号，如图b所示.
间x (kT)保持不变，故称这种信号重构装臵为零阶保持器。
保持器是具有外推功能的元件，现在时刻(kT+τ)的输出 信号取决于过去时刻(kT)离散信号的外推。
3.零阶保持器 –常值外推 ① 零阶保持器数学模型
零阶保持器的单位脉冲响应如图，
输入一个理想单位脉冲，输出可表示为 两个阶跃函数之和。传递函数为 δ(t)
样。

信号的基本类型
幅值
时间
连
续
离
散
连续
离散
数字控制系统的一般结构
r*
计算机 A/D 模/数
u*
D/A 数/模
u
功放
uc
被控 对象
y
f*
f
量测及 变 换
数字控制系统的核心 是 计 算 机 ， A/D将 连 续 信 号 转 换 成 数 字 信 号 ， D/A 将数字信号转换成连续信 号，这种系统仍然是一个 (k T) x(k T) x t kT , t kT 数也越高，这将给实现带来困难，并且也会给系统的稳定性 dt dt 2
由上式可知xk(t)的精度越高，所需要的x(kT)的导数的阶
带来不利影响。
在实际使用当中，常利用上式中的第一项x (kT)来重构 信号。由于只用了多项式中的零阶项，且在kT及(k+1)T 之
* n 0 n 0
采样过程可图解如下：
采样过程的数学描述
x (t ) x(t ) (t nT ) x(nT ) (t nT )
* n 0 n 0
采样信号的拉氏变换
X * ( s) x(nT )e nTs
n 0
用拉氏变换法研究离散系统，尽管可以得到eTs的有理函数， 但却是复变量s的超越函数，不便于进行分析和设计。为克服这一
7.1 概述
控制系统的基本类型
控制系统按它所包含的信号形式通常可划分为
连续控制系统 系统中各处均为连续时间信号。
离散控制系统 系统中有一处或多处离散时间信号(信号是脉冲
或数码)。 采样控制系统 系统中离散信号是脉冲序列形式的离散系统。 数字/计算机控制系统 系统中离散信号是数字序列形式的离散 系统。
困难，通常采用z变换法研究离散系统。 z变换可以把离散系统s超
越方程，变换为变量z的代数方程。
7.2.2 采样定理
信号的采样确定了连续时间信号x(t)的采样表达式x*(t)，
那么x*(t)是否仍然保留原连续信号x(t)的所有信息。如果不
是，那么能够保留多少原连续时间信号的信息量？所保留信 息量的理论依据是什么？香农采样定理解决了上述问题。
1. 采样周期 T
采样信号只在采样时刻等于连续信号，而在采样时刻之间采 样信号与连续信号的关系并不确定。采样周期若选得不合适，则
采样信号会严重失真，如图所示，因此采样周期的选择非常重要。
采样周期过长 信号失真
同一信号不同采样周期的采样结果对比
采样周期 0.2ms
采样周期 1.6 ms
采样周期 16 ms
零阶保持器的输出
采样信号经零阶保持器保持后，成为阶梯波信号，如图所 示。 如果取两个采样点的中点作平滑，平滑后的信号与原连续 时间信号相比有1/2个采样时间的滞后。T很小的情况下，可忽
略。
7.3 Z 变换与Z 反变换
线性连续系统的动力学模型是线性微分方程，由 Laplace
变换可求得线性连续系统的传递函数，因此Laplace变换是线 性连续系统的分析工具；而线性离散系统的动力学模型是差分 方程，由差分方程也可求得类似于连续系统的离散传递函数， 但这必须借助于Z变换。即Z变换是对线性离散系统进行定性
如果在有规律的间隔上，系统取到了离散信息，则这
种采样称为周期采样；反之，如果信息之间的间隔是时变
的，或随机的，则称为非周期采样，或随机采样。本章仅
讨论等周期采样。如果系统中有几个采样器，则认为它们 是同步等周期的。
1. 采样过程 基于信号的采样理论，一个连续时间信号x(t)在满足一定的
条件下，可以用它的采样信号x*(t)来表示。
t kT
,
d 2 x(t ) (k T) x dt 2
t kT
x(t)在kT时刻展开成泰勒级数:
(k T) x xk (t ) x(k T) x(k T)(t k T) (t k T) 2 2! xk (t ) x(t ) k T t (k 1)T
离散控制系统的特点
• 采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统的抗
干扰能力。
• 允许采用高灵敏度的控制元件，以提高系统的控制精度。 • 可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率，经济性好。 • 由数字计算机构成的数字校正装臵，效果比连续式校正装臵好，且由软 件实现的控制规律易于改变，控制灵活，容易实现一些复杂的控制算法。 • 对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入采样的方式稳 定。
xτ *(t) x(t)
T
模拟 输入 采样