线性离散系统

如果对一个具有有限频谱（max max） 的连续信号进行采样，当采样角频率 s >2max
或者说 fs >2fmax 时，则由采样得到的离散信号能够
不失真地恢复到原来的连续信号。
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注释 1 采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中 所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采 样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连 续信号的全部信息。
sin T
lim
0
H0 ( j)
limT 0
2
T
T
2
27
H0 ( j)
T
0
H0 ( j)
00
900 1800
sin T
H0 ( j) T
2
T
2
s
2s
3s
s
2s
3s
H0 (
j)
T
2
28
零阶保持器的频率特性
结论 1 零阶保持器是具有高频衰减特性的低通滤波器；
2 零阶保持器是具有负的相角，对闭环系统的稳定 性有不利的影响。
其中 X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
8
连续信号的频谱
X ( j)
X ( j0)
max
0 2max
max
9
离散信号x*(t) 的频率特性为
X
*(
j)
1 T
n
X
j
ns
离散信号x*(t) 的频谱为
X *( j)
1 T
X
n
j ns
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
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2
计算机控制系统
数字控制系统 离散控制系统
3
计算机控制系统与连续系统相比，具有下列
优点： 可以实现复杂的控制规律； 可以方便的改变控制规律和调节器参数； 一台计算机可以同时控制多个系统； 通过网络可组成多级计算机控制和生产管理系统； 可以提高测量和控制的精度； 具有较强的抗干扰能力。
4
6.2 A/D转换
其输出的离散时间信号为
e*(t) e(t) (t kT ) k 0 e(kT ) (t kT ) k 0
kT 时刻脉
冲的强度
kT时刻单位
强度的脉冲
7
6.2.2 离散时间信号的频谱
任何一个时间信号都可以看成由一系列正弦 信号叠加而成。
连续时间信号 x(t) 的频率特性为
X ( j) x(t)e jtdt
零阶保持器的传递函数
1 eTs H0(s) s
24
零阶保持器的频率特性
H0 ( j)
T
sin T
2
T
j T
e2
2
零阶保持器的幅频特性
sin T
H0 ( j) T
2
T
2 25
零阶保持器的相频特性
H0 (
j)
T
2
其中
0
，当 ，当
sin T
2
sin T
2
0时 0时
26
当 0 时，零阶保持器的幅频特性为
与原连续信号的频谱只是在幅值上相差 1 倍， T
经过一个 T 倍的放大器就可以得到原连续信号的 频谱 X j ，从而可以不失真地恢复原连续信号 xt 。
13
当 s <2max 时，不同频率分量之间将发生
重叠， 称为频率混叠现象。 参见教材287页的图6.2.2（c）。
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Shannon定理（也称为采样定理）
r(t) e(t) e*(t) 数字 u*(t)
-T
控制器 T
保 持 器
uh (t)
被控
对象
y(t)
测量元件
1
模拟信号 时间连续，取值也连续的信号。
数字信号 时间离散，取值也离散的信号。
离散时间信号
只在时间的一些离散点上有定义
的信号。
离散控制系统 含有离散时间信号的控制系统。
简称离散系统 数字控制系统 含有数字信号的控制系统。
17
6.2.3 采样周期的选择
采样周期的选择是离散系统设计的关键问题 之一。
控制系统的闭环频率特性通常具有低通滤波的 特点。
在伺服系统中，一般认为开环剪切频率与闭环 截止频率比较接近，即：
c b
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通常情况下，伺服系统的控制信号的最高
频率分量为 c ， 超过 c 的频率分量在通过系统
时将被大幅度衰减掉。
29
6.4 z变换与z反变换
z变换也称为离散拉氏变换。
6.4.1 z变换
连续信号 x(t) 经过周期为 T 的等周期采样后，
x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
对上式取拉氏变换，得
X *(s) x(kT )ekTs k 0
X *(s) 称为离散拉氏变换。
30
引入新的复变量 z，
根据工程实践经验，伺服系统的采样频率 s 可选
为：
s 10c
采样周期选为
2 2
T
s 10c 5c
19
另外一种经验选择法，
T
1 40
ts
ts
单位阶跃响应的调整时间。
20
6.3 D/A转换
D/A转换器将数字信号转换成模拟信号。
D/A转换
解码 保持
21
解码
将数字信号折算成对应的电压或
电流值 x(kT )
6.2.1 A/D转换
e(t)

e* (t )
L
0
t
0 T 2T
kT t
采样周期为 T
采样角频率为s 2 fs
采样频率为
fs
1 T
5
采样过程可以看作是脉冲调制过程。
理想单位脉冲序列
T (t) (t kT ) k 0
其中
(t)
0
t 0 t0
而且
(t)dt 1
6
采样开关对模拟信号 e(t) 进行采样后，
X *( j)
1 T
X
n
j ns
其中
1 X j
T
主频谱分量（对应 n 0）
其余称为高频频谱分量（ n 1, 2,L ）
11
X *( j)
1
X ( j0) T
1 2
s
max 0
max
2max
1 2
s
s
12
s >2max 时离散信号的频谱
结论
当 s >2max 时，离散信号的主频谱分量
z eTs
则
X *(s) x(kT )ekTs
k 0
记为
X (z) x(kT )zk k 0
X (z) Z x*(t) 31
X (z) Z x(t) Z x*(t)
32
求z变换的方法
16
2 采样定理只是给出了对有限频谱连续信号
进行采样时选择采样周期 T或角频率 s 的指导原则。
工程实践上总是取 s 2max 。
3 对于实际的非周期连续信号（一些典型输入信号 和随机信号）， 其频谱中的最高频率是无限的。
在工程实践中， 通过使用模拟低通滤波器以后， 也可以近似应用采样定理来选择采样周期。
保持
解决各相邻采样时刻之间的插值问题。
最基本的保持器
零阶保持器（ZOH）
零阶保持器（ZOH）的传递函数为 H0 (s)。
22
xh (t)
零阶保持原理图
0 T 2T 3T 4T 5T 6T
xh (kT ) x(kT )
0 T
t
23
零阶保持器的单位脉冲响应 gh (t) gh (t)
1
0T
t
1
gh (t) 1(t) 1(t T )