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线性系统理论11离散线性系统理论

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《线性系统理论》课程教学探讨

《线性系统理论》课程教学探讨

《线性系统理论》课程教学探讨【摘要】本文围绕《线性系统理论》课程展开讨论，首先从背景介绍和研究目的两个方面入手。

在包括线性系统理论的概述、工程实践中的应用、教学内容设计与实施、教学方法探讨以及课程评价与改进。

结论部分总结了文章内容，展望了未来研究方向，并提出了对《线性系统理论》课程的建议。

通过本文的探讨，读者可以深入了解线性系统理论的重要性以及教学方法的改进空间，为未来的教学和研究提供参考。

【关键词】线性系统理论、教学探讨、工程实践、设计与实施、教学方法、课程评价、改进、总结、展望、建议、未来研究方向。

1. 引言1.1 背景介绍线性系统理论是控制工程领域的重要基础理论之一，也是工程学生必修的核心课程之一。

通过学习线性系统理论，可以帮助工程学生深入理解现代控制系统领域的基本原理和方法，为他们将来从事相关工作打下坚实的理论基础。

随着科学技术的不断发展和应用领域的不断拓展，线性系统理论在工程实践中的应用也越来越广泛。

对线性系统理论课程的教学内容设计和教学方法的探讨显得格外重要。

本文将围绕线性系统理论课程展开讨论，分析其在工程实践中的应用以及教学内容的设计与实施，探讨最有效的教学方法，并对课程评价和改进提出一些建议，希望能够为今后线性系统理论课程的教学提供一些参考和借鉴。

1.2 研究目的研究目的：本文旨在探讨《线性系统理论》课程教学的现状和问题，分析线性系统理论在工程实践中的重要性和应用价值，深入研究线性系统理论教学内容的设计与实施，以及教学方法的探讨。

通过对线性系统理论课程的评价与改进，为提高学生的理论水平和实践能力提供建议与启示，并为未来研究方向提供一定借鉴和思路。

在现代科技快速发展的背景下，线性系统理论作为控制理论的基础，对工程领域具有重要的指导意义，因此本文旨在深入探讨如何更好地开展《线性系统理论》课程教学，从而培养学生的专业能力，推动科学技术的进步。

2. 正文2.1 线性系统理论概述线性系统理论是研究线性时不变系统的理论，是现代控制理论的重要基础。

线性系统理论全PPT课件

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复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )
u (k )

y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q

线性系统理论全讲课文档

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若表征系统的数学描述为L
系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统
x t A tx t B tu t
yt C txt D tu t
x Rn, u R p, y Rq
第十三页，共309页。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运
动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、
L(R1 R2)
(R1RR1RR122)CuiLc
(R1
1 RR2 2)Ce
L(R1 R2)
L(R1 R2) e(t )
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc iL
R1R2R2
e
x1 x2
(R1
1
R2)C R1
L(R1 R2)
线性系统理论全PPT课件
第一页，共309页。
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分
线性系统的复第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第二页，共309页。
第一章 绪论
(R1RR1RR122)Cxx12

线性系统理论全

线性系统理论全

稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质

线性系统理论

线性系统理论
a>0
a<0 t
当a>0时，也只有一个吸引子。 同时，从严格意义上讲，线性系统不存在分叉或突变的情 况，除非强加外力。比如有一个恒定速度的物理模型，除 非外力作用，否则将一直沿既定轨道运动。
线性系统的划一性：
1、线性系统的轨道稳定性完全取决于控制参量或特 征值，与系统初态无关。
（如音量调节器，不论初始音量事多少，我们旋转音量按钮，则音量固定 为几分贝而不是当前初始值的多少倍。）
2、只要判明一条轨道稳定或不稳定，既可断定所 有轨道是否稳定。唯一例外的是存在鞍点的情况， 有一个特征方向上存在稳定轨道，但是其他所有 轨道并不是稳定的。
注意点： 满足叠加原理是线性系统的基本判断依据。
有了数学模型，就可以直接按模型判别； 如果没有数学模型可以采用实验手段进行判别。 但是如果未加假设的话，叠加原理只适用于有 限项之和。
叠加原理和整体涌现性的区别：
1
• 线性系统是一种数学抽象，是忽略了系统固有的非 线性因素的结果，系统的非线性效应就是整体涌现 性。 • 即使是线性系统，其整体功能也不能归结为部分功 能之和，二者一般没有可比性，部分或部分简单相 加不 具备与整体可作数量比较的功能。 • 不同系统的整体涌现性一般在质和量都有表现，线 性模型仅描述那些只有平庸的、低水平的涌现性的 系统，部分之间相互作用的相干效应在定量方面的 表现微弱，因而可以忽略。但是系统功能等定性性 质的涌现性不能忽略。
第五章 线性系统理论
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。 常量之间并没有线性和非线性的区分。

线性系统理论

线性系统理论

线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。

线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。

在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。

一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。

当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。

当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。

当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。

线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。

其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。

换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。

另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。

这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。

除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。

二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。

下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。

1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。

例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。

我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。

这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。

这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。

2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。

它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。

在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。

这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。

控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。

线性系统理论11离散线性系统理论


k 1, m Gk k , m , m, m I
和
k m 1 Gk m , 0 I
的解阵 k, m 和 k m 分别称为线性 时变离散系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2,
0
的时间离散化模型为
x k 1 Gx k Hu k , x 0 x0 y (k ) Cx k Du k , k 0,1, 2,
其中
Ge
AT
T e AT dt B ,H 0
推论11.3.1 时间离散化不改变系统的时变性 或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时 变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常 系统。 推论11.3.2 不管连续系统矩阵 At 或 A 是否为非奇异，但离散化系统的矩阵 G k 或 G 将一定是非奇异的。 其状态转移矩阵必是非奇异的。
i 0
k 1
x k G x0 G Huk i 1
k i i 0
k 1
11.3 线性连续系统的时间离散化 11.3.1 实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系 统的一种典型情况。受控对象是连续时间 系统，其状态 xt ，输出 ut 和输入 yt 都是时间 t 的连续函数向量。控制装置由 数模转换器、数字计算机、模数转换器构 成。它只能输入离散时间变量 yk ，并输 出离散时间变量 uk ，其中离散时间序 列 k 0,1,2, 。
使当 x0 时有 x0 k; x0 , h e k t0
对于所有 k h 成立。
定义11.4.5 离散系统x k 1 f x k , k 的 平衡点x 0称为是不稳定的，如果定义 11.4.1中的条件不成立。 关于该系统的方程解的全局性质，我们 有如下定义。 定义11.4.6离散系统x k 1 f x k , k 的解 称为是一致有界的，如果对任何 0及非负 整数h, 存在一个 （与h无关），使 0 得当 x0 时，有 x k ; x0 , h 对于所有 k h成立。

线性系统理论



第二章
对线性定常系统的零输入响应 结论 1
x Ax, x(0) x0 , t 0
输入响应的表达式为：
所描述的线性定常系统的零
At
(t;0, x0 ,0) e x0 , t 0
矩阵指数函数的性质和计算方法 基本性质
At lim e I ① t 0
第二章
②令 t 和
为两个自变量，则必成立
1t
0 1
1
0 0
0 0 0
2
0
Q 1 2 0 0 0 1
e 0 e At Q 0 0 0
te e
1t
t
1t
te
2 e1t 2! 1t
0 0 0 e2t 0
0 0 0
e1t 0 0
0 0 1 Q 0 2t te 2t e
第二章
强迫运动：系统在零初始状态下的强迫方程
x A(t ) x B(t )u , x(t0 ) x0 , t t0 , t
的解， (t ; t0 , 0, u ) ，零状态响应。 系统响应：
(t ; t0 , x0 , u ) (t ; t0 , x0 ,0) (t ; t0 ,0, u )
e
(e
At
e
③
A ( t )
e
1
A
e
At
A
e
At
e
At
总是非奇异的，且其逆为
At
)
e
④ 设有 n n 常阵 A 和 F ，如果 A 和 F 是可交换的， 即 AF FA ，则必成立
e
( A F ) t

线性系统理论

linearsystemstheory以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。

20世纪50年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在1960年以后从经典阶段发展到现阶段。

美国学者R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。

20世纪60年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。

随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。

与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。

前言第1章线性系统的数学描述1.1 线性系统的输入.输出描述1.1.1 线性系统1.1.2 非零初始条件与冲激输入1.2 线性系统的状态空间1.2.1 输入.输出描述的局限性1.2.2 状态与状态空间1.2.3 线性系统的状态空间描述1.2.4 物理系统状态方程的建立1.2.5 传递函数矩阵的状态参数矩阵表示1.2.6 传递函数矩阵G(s)的实用计算方法1.2.7 离散系统状态空间的描述1.3 线性系统等价的状态空间描述1.3.1 坐标变换1.3.2 线性定常系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.3.3 线性时变系统状态空间描述在坐标变换下的特性1.4 状态方程的对角线规范形与约当规范形1.4.1 状态方程的对角线规范形1.4.2 状态方程的约当规范形1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵1.5.1 子系统的并联联接1.5.2 子系统的串联联接1.5.3 子系统的反馈联接1.6 习题第2章线性系统的运动分析2.1 线性系统运动分析的数学实质2.1.1 运动分析的数学实质2.1.2 状态方程解的存在性和唯一性条件2.1.3 零输入响应和零状态响应及全响应2.2 线性定常系统的运动分析2.2.1 线性定常系统的零输入响应2.2.2 矩阵指数函数的性质2.2.3 几种典型的矩阵指数函数2.2.4 矩阵指数函数的计算方法2.2.5 线性定常系统的零状态响应2.2.6 线性定常系统的全响应及输出响应2.3 线性时变系统的运动分析2.3.1 线性时变系统的零输入响应2.3.2 线性时变系统的零状态响应2.3.3 线性时变系统的全响应及输出响应2.4 状态转移矩阵2.4.1 线性时变系统的状态转移矩阵2.4.2 线性时变系统的状态转移矩阵的性质2.4.3 线性定常系统的状态转移矩阵2.4.4 线性定常系统的状态转移矩阵的性质2.4.5 基于状态转移矩阵表示的线性定常系统的运动规律2.5 线性连续时间系统的时间离散化2.5.1 数字控制系统的基本形式2.5.2 离散化的假设条件2.5.3 线性连续时变系统的离散化2.5.4 线性连续定常系统的离散化2.6 线性离散时间系统的运动分析2.6.1 迭代法求解线性离散系统的状态方程2.6.2 线性离散时间系统的状态转移矩阵2.6.3 线性离散时变系统的状态运动规律2.6.4 线性离散定常系统的状态运动规律2.7 习题第3章线性系统的能控性与能观测性3.1 能控性和能观测性的定义3.1.1 能控性和能观测性的直观讨论3.1.2 能控性的定义3.1.3 能观测性的定义3.2 线性连续时间系统的能控性判据3.2.1 线性定常系统的能控性判据3.2.2 能控性指数3.2.3 线性时变系统的能控性判据3.3 线性连续时间系统的能观测性判据3.3.1 线性定常系统的能观测性判据3.3.2 能观测性指数3.3.3 线性时变系统的能观测性判据3.4 对偶系统与对偶原理3.4.1 对偶系统3.4.2 对偶原理3.5 线性离散时间系统的能控性和能观测性3.5.1 线性离散时间系统的能控性和能达性3.5.2 线性离散时间系统的能控性判据3.5.3 线性离散时间系统的能观测性及其判据3.6 能控规范形和能观测规范形3.6.1 单输入一单输出系统的能控规范形3.6.2 单输入-单输出系统的能观测规范形3.6.3 多输入-多输出系统的能控规范形3.6.4 多输入-多输出系统的能观测规范形3.7 线性系统的结构分解3.7.1 能控性和能观测性在非奇异变换下的特性3.7.2 线性定常系统按能控性的结构分解3.7.3 线性定常系统按能观测性的结构分解3.7.4 线性定常系统的结构规范分解3.8 习题第4章传递函数矩阵的状态空间实现4.1 传递函数的能控和能观测规范形实现4.1.1 单输入-单输出系统传递函数的实现4.1.2 单输入一多输出系统传递函数的实现4.1.3 多输入.单输出系统传递函数的实现4.1.4 多输入.多输出系统传递函数的实现4.2 最小实现及其性质4.3 最小实现的解法4.3.1 降价法4.3.2 直接求取约当规范形的最小实现方法4.3.3 用汉克尔法直接求取传递函数矩阵的最小实现4.4 习题第5章系统运动的稳定性5.1 外部稳定性和内部稳定性5.1.1 外部稳定性5.1.2 内部稳定性j5.1.3 内部稳定性和外部稳定性的关系5.2 李亚普诺夫稳定性理论5.2.1 李亚普诺夫第一法和第二法5.2.2 自治系统、平衡系统和受扰系统5.2.3 李亚普诺夫意义下的稳定5.2.4 不稳定5.2.5 李亚普诺夫第二法的主要定理5.3 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据5.3.1 线性时变系统的稳定性判据5.3.2 线性定常系统的稳定性判据5.4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法5.4.1 变量梯度法5.4.2 克拉索夫斯基方法5.5 离散时间系统状态运动的稳定性5.5.1 离散时间非线性定常系统的李亚普诺夫稳定性定理5.5.2 离散时间线性定常系统的稳定性定理5.6 李亚普诺夫直接法在系统综合方面的应用5.6.1 连续时间线性定常系统稳定自d运动的衰减性能的估计5.6.2 平均积分值的计算5.7 习题第6章状态反馈6.1 状态反馈与输出反馈的概念6.2 状态反馈与输出反馈对系统能控性和能观测性的影响6.2.1 状态反馈和输出反馈对系统能控性的影响6.2.2 状态反馈对系统能观测性的影响6.2.3 输出反馈对系统能观测性的影响6.2.4 多输入能控系统转变为单输人能控系统6.3 系统的极点配置6.3.1 极点配置的概念6.3.2 极点配置的条件6.3.3 单输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.4 多输入系统极点配置反馈矩阵的计算方法6.3.5 状态反馈对传递函数的影响6.4 输出反馈极点配置6.5 不完全能控系统状态反馈的极点配置和镇定6.5.1 不完全能控系统状态反馈的极点配置6.5.2 不完全能控系统状态反馈的镇定6.6 状态反馈解耦6.6.1 解耦问题的提法和结构假设6.6.2 系统结构特征量6.6.3 可解耦条件与解耦算法6.7 习题第7章状态观测器7.1 状态观测器的基本概念7.2 全维闭环状态观测器7.3 降维状态观测器7.4 基于观测器的状态反馈系统7.5 Rz函数观测器7.6 习题。

线性系统理论

线性系统理论：
系统控制的理论与实践被认为是20世纪中对人类生产和社会生活活动产生重大影响的科学领域之一。

其中，线性系统理论是系统控制理论的一个最为基本的与成熟发展的分支。

系统存在于自然界和人类社会的一切领域，从系统控制理论的角度，通常将其定义为是由相关联和相制约的若干部分所组成的具有特定功能的一个整体。

系统的状态由描述系统行为特征的变量来表示。

它具有整体性、抽象性与相对性的特点。

概述：
线性系统科学技术是一门应用性很强的学科，面对着各种各样错综错杂的系统，控制对象可能是确定性的，也可能是随机性的，控制方法可能是常规控制，也可能需要最优化控制。

控制理论和社会生产及科学技术的发展密切相关，近代得到极为迅速的发展。

线性系统理论是现代控制理论中最基础、最成熟的分支，是控制科学重要课程之一。

线性系统理论内容丰富、思想深刻、方法多样、充满美感，不仅提供了对线性控制系统进行建模、分析、综合系统完整的理论，而且其中蕴涵着许多处理复杂问题的方法，这些方法使系统的建模、分析、综合得以简化，为系统控制理论的其它分支乃至其它学科提供了可借鉴的思路，它们是解决复杂问题的一条有效途径。

主要特点：
与经典线性控制理论相比，现代线性系统理论的主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统；除输入变量和输出变量外，还着重考虑描述系统内部状态的状态变量；在分析和综合方法方面以时域方法为主，兼而采用频域方法；使用更多的数学工具，除经典理论中使用的拉普拉斯变换外，现代线性系统理论大量使用线性代数、矩阵理论和微分方程理论等。

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l .令 k l 1 ，则由已知 xl 1 和 ul 1 ， 从式（11.2.1）求得( l 为给定问题的时间区
间末时)
xl Gl 1xl 1 H l 1 ul 1
11.2.2 线性离散系统的运动规律 定义11.2.1 矩阵差分方程
x k 1 Gx k Hu k , x 0 x0 y (k ) Cx k Du k , k 0,1, 2,
其中
Ge
AT
T AT , H e dt B 0
推论11.3.1 时间离散化不改变系统的时变性 或定常性，即时变连续系统离散化后仍为时 变系统，而定常连续系统离散化后仍为定常 系统。 推论11.3.2 不管连续系统矩阵 At 或 A 是否为非奇异，但离散化系统的矩阵 G k 或 G 将一定是非奇异的。 其状态转移矩阵必是非奇异的。
11.1 离散动态系统的数学描述 11.1.1 离散系统的状态空间描述 定义11.1.1 对于系统（11.1.5） xk 1 Gxk Huk yk Cx k Duk 我们称满足 rank sI n G H n 的
s
为系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2,
所描述的线性时变离散系统，其状态 运动的表达式为
x k k ,0 x0 k , i 1H i ui
i 0 k 1
或 xk k ,0x0 k , k 1H k i 1uk i 1
11.2 离散动态系统的运动分析 从数学角度看，线性离散系统的运动分析， 归结为对时变的线性差分方程
x k 1 G k x k H k u k , x 0 x0 k 0,1, 2, 或定常的线性差分方程
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
并且两者的系数矩阵间存在如下的关系式：
其中， T 为采样周期；k 1, k 是连续系统
At x Bt u x y C t x Dt u t t 0 , t a x t 0 x0
G k k 1T , kT k 1, k k 1 T H k kT k 1T , B d C k C t t kT , Dk Dt t kT
k 1
x k G x0 G Huk i 1
k i i 0
k 1
11.3 线性连续系统的时间离散化 11.3.1 实现方法 下图是将连续时间系统化为离散时间系 统的一种典型情况。受控对象是连续时间 系统，其状态 xt ，输出 ut 和输入 yt 都是时间 t 的连续函数向量。控制装置由 数模转换器、数字计算机、模数转换器构 成。它只能输入离散时间变量 yk ，并输 出离散时间变量 uk ，其中离散时间序 列 k 0,1,2,。
11.3.3 基本结论 定理11.3.1 给定线性连续时变系统
At x Bt u x y C t x Dt u
t t 0 , t a x t 0 x0
则其在基本假设下的时间离散化模型为
x k 1 G k x k H k uk , k 0,1,2, , l y C k x k Dk uk , x 0 x0
定义11.4.9 离散系统 x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是大范围指数稳定的。如果存在 0 ，并对任何 0 ，存在 N ，使当
x0
时，有 xk; x0 , h N x0e k t
对于离散系统x k 1 f x k , k ，如果存在一 个相对于x(k )的标量V x k , 且对任意x(k )满足： 1. V x k 为正定的； 2.V x k 为负半定的； 3.对由任意初态x(0)所确定的该系统的解x(k ) 的轨迹，V x k 不恒为零。 4.当 x k 时，有V x k 则原点平 衡状态即x 0为大范围渐进稳定。
其中， k , m , m 0,1,, k 是系统的状态转移矩阵。
xk 1 Gxk Huk , x0 x0
i 0
k 1
定理11.2.3 对于 k 0,1,2, 所描述的线性时变离散系统，其状态运动的
表达式为
或
k k i 1 x k G x0 G Hui i 0
和线性定常离散系统
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
的状态转移矩阵。
定理11.2.1 令 k , m 和 k m 分别为 线性时变离散系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2, 和线性定常离散系统
的状态转移矩阵， xk xt t kT
yk yt t kT
uk ut t kT
定理11.3.2 在前述基本假设下，线性连续定
常系统
Ax Bu x y Cx Du
x 0 x0 , t 0
的时间离散化模型为
sI n G 的输入解耦零点；称满足 rank n C
的
s
为系统的输出解耦零点；
sI n G H r , m rank n min D C 的 s 为系统的传输零点。
称满足
11.1.2 脉冲传递函数矩阵 脉冲传递函数矩阵 G z 为 z 的有理分 式矩阵，并且通常只讨论 G z 为真的和严格 真的情况，因为非真的 G z 将不具有因果 性，即会出现还没有加入输入作用而已产生 输出响应的现象，这是不符合一般的物理可 实现性的。
定义11.4.7 该离散系统的平衡点 x 0 称为是大范围稳定的，如果它是稳定的，并 时趋 且方程的每个解当 k 于 零。 x0 定义11.4.8 该离散系统的平衡点 称为是大范围一致渐近稳定的，如果 1.它是一致稳定的； 2.方程的解是一致有界的； 3.对任何 0 ，任何 及 h R 存在 T , （与 h 无关），使得当 x0 时，有 xk; x0 , h 对于所有 k h T , 成立。
进行求解。
11.2.1迭代法求解线性离散系统的状态方程 样瞬时的输入u 0 , u 1 , u 2 ,，则系统 的状态可按照如下步骤迭代地进行计算。 1.令k 0，则由已知x 0 ，u (0), 从式 x k 1 G k x k H k u k , x 0 x0 k 0,1, 2, 求得x 1 G 0 x 0 H 0 u 0 2.令k 1, 则由已知x (1), u (1), 求得 x 2 G 1 x 1 H 1 u 1 给定系统的初始状态x(0) x0 ,以及各采
xk 1 Gxk Huk , x0 x0 k 0,1,2,
的状态转移矩阵，则其表达式分别为
k , m Gk 1Gk 2Gm
和
k m G
k m
其中 Gm 1 I , G I
0
定理11.2.2 对于式
x k; x0 , h 0 x0 时，有 lim k
定义11.4.3 离散系统x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是一致渐近稳定的，如果它是一 致稳定的，同时对每个 0 及任意非负 整数 h ，存在一个 0 0（与 h 和 无关） 及一 T 0 （与 h 无关），使当 x
满足： 1. V xk 为正定的； 2. V xk V xk 1 V xk 负定； 3. 当 xk 时有 V xk 则原点平衡状态，即 x 0 为大范围渐近 稳定。
定理11.4.2(离散系统的大范围渐近稳定判据）
使当 x0 时有 x0 k; x0 , h e k t0
对于所有 k h 成立。
定义11.4.5 离散系统x k 1 f x k , k 的 平衡点x 0称为是不稳定的，如果定义 11.4.1中的条件不成立。 关于该系统的方程解的全局性质，我们 有如下定义。 定义11.4.6离散系统x k 1 f x k , k 的解 称为是一致有界的，如果对任何 0及非负 整数h, 存在一个 （ 0 与h无关），使 得当 x0 时，有 x k ; x0 , h 对于所有 k h成立。
0

对于所有 k t0 成立。
11.4.2 离散时间系统的Lyapunov主稳定 性定理 定理11.4.1（离散系统的大范围渐近稳定判据） 对于离散系统 xk 1 f xk , k 0,1,2, 如果存在一个相对于 x k 的标量函数 V xk ，且对任意 x k
, h 0
使当 x0 时，有 xk; x0 , h
对于所有 k h 成立。
定义11.4.2 离散系统
x k 1 f x k , k
的平衡点 x 0 称为是渐近稳定的，如果 它是稳定的，同时存在一个 h 0，使得当
和
k 1, m Gk k , m , m, m I
k m 1 Gk m , 0 I
的解阵 k , m 和 k m 分别称为线性 时变离散系统
xk 1 Gk xk H k uk , x0 x0 k 0,1,2,
推论11.3.3 对于连续系统的时间离散化系统，
11.4 离散时间系统的稳定性 11.4.1 离散时间系统的Lyapunov稳定性 定义11.4.1 离散线性系统 x k 1 f x k , k 的平衡点 x 0 称为是稳定的，如果对于任 给的 0 及任何非负整数 h ，存在