江南大学高等数学第一章测试题(答案)

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精品资料 根据数学归纳法可知，对正整数n，2()1nxfxnx

4、0,0,1)(xbxxexfx在0x处连续，则b 。

【2b 。 bbxxfxx)(lim)(lim00， 2)1(lim)(lim00xxxexf，

,)0(bf 2b。】

5、若2)(xxf，则xxfxxfx)()2(lim000= 。

【04x】

二、单选题 〖每个4分，共计20分〗

1、01cos000sin)(xxxxxxxxxf，则0x是)(xf的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C）跳跃间断点；（D）振荡间断点。

【选（Ｃ） 1)0(f ， 0)0(f ， 0)0(f 】

2、 ||sinlim0xxx= （ ）

（Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C） 0； （D） 不存在。

【选（Ｄ） 1sinlim||sinlim00xxxxxx，1sinlim||sinlim00xxxxxx

||sinlim0xxx不存在】

3、设}{},{},{nnncba均为非负数列，且nnnnnncbalim,1lim,0lim，则必有（ ）

（A）nnba对任意n成立； （B）nncb对任意n成立；

（C）极限nnncalim不存在 ； （D）极限nnncblim不存在。

【选（D） （A）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n充分大时”的情况，不可能得出“对任意n成立”的性质。

《 高等数学ＩＩ 》第一章测试题

使用专业、班级 学号 姓名 l

题 数 一 二 三 四 五 六 七 总 分

得 分

一、填空题 〖每空4分，共计20分〗

1、xexxarctanlim 。

【0 。 0arctanlimxexx ))2,2(arctan,0lim(xexx。】

2、 已知当0x时，1)1(312ax与1cosx是等价无穷小，则常数________a。

【23a 由231231~1)1(axax与221~1cosxx，以及

1322131lim1cos1)1(lim2203120axaxxaxxx，可得 23a。】

3、设2()1xfxx，求(())()nfffxfx.

n重复合

解 222222()()()1111()12fxxxxfxffxxxfxx＝，

若 2()1kxfxkx，则21222()()1111()kkkfxxxfxkxkxfx

21(1)xkx

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精品资料 211)1()()1(lim2xbxbaxax

21)(01baa231ba。】

（3）利用极限存在准则求极限

nnnn13121111131211lim。

【.解：1111211111312111nnnn

而 1111limnx 113121111131211limnnnx。】

（4）1coscos21cos2cos8lim223xxxxx；

【解：)1)(cos1cos2()1cos4)(1cos2(lim1coscos21cos2cos8lim3223xxxxxxxxxx

212112141cos1cos4lim3xxx。】

四、（8分）利用极限存在准则求极限

设01ax，且),2,1(1naxxnn，证明nnxlim存在，并求此极限值。

【先证有界（数学归纳法）

1n时，aaaaxx12 （Ｃ）也明显不对，因为“无穷小·无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在。】

4、当1x时，函数11211xexx的极限（ ）

（Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为； （Ｄ）不存在但不为。

【选（D）002)1(lim11lim1111121xxxxexexx

1111121)1(lim11limxxxxexexx

当1x时函数没有极限，也不是。】

5、xxx11)(，31)(xx，则当1x时有 。

（Ａ）是比高阶的无穷小； （Ｂ）是比低阶的无穷小；

（C）与是同阶无穷小； （D）~。

【选（Ｃ） ])1(11)[1(1lim)1)(1(1lim)()(lim31311xxxxxxxxxxx

23)1(31)1(1lim1xxxx】

三、计算题 〖每小题7分，共计28分〗

（1）计算32324arctan)21ln(limxxx。

【解：33123232323241)21(lim42lim4arctan)21ln(limxxxxxxxx。】

（2）试确定ba,之值，使2111lim2baxxxx。

【解：1)(1lim)11(lim222xbxbaaxxbaxxxxx

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精品资料

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精品资料 【解：先求极限 得

00010111lim)(22xxxnnxfxxn

而 1)(lim0xfx 1)(lim0xfx 0)0(f

)(xf的连续区间为),0()0,(

0x为跳跃间断点.。】

七、（8分）设)(xf在],[ba上连续，且bxfa)(，证明在),(ba内至少有一点，使)(f

【证明：令xxfxF)()(， 则 )(xF在 ],[ba上连续

而0)()(aafaF

0)()(bbfbF

由零点定理，),(ba使0)(F

即 0)(f ，亦即 )(f。】

设kn时，axk， 则 aaaxxkk21

数列}{nx有下界，

再证}{nx单调减，

11nnnnnxaxaxxx 且 0nx

nnxx1即}{nx单调减，nnxlim存在，设Axnnlim，

则有 aAA0A（舍）或aA，axnnlim】

五、（8分）用定义证明：

六、（8分）讨论函数xxxxnnnnnxflim)(的连续性，若有间断点，指出其类型。