高考数学总复习 第2节 证明不等式的基本方法课件 新人教a版选修45

【活学活用】
2．设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1.
求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 证明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1| ＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1
＝2(|a|＋1)．
要证 ab＋bc＋ca≤0， ∵a＋b＋c＝0，故只需证 ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2， 即证 a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0， 1 即2[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]≥0， ∴显然原式成立．
证法三：∵a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b， ∴ab＋bc＋ca＝ab＋(a＋b)c＝ab－(a＋b)2
(1)题中含有“至少”，用反证法证明．
(2)不等式与正整数n有关，用数学归纳法证明． (1)证明：假设|f(1)|与|f(－1)|都小于2， 即|f(1)|＝|1＋p＋1|＝|2＋p|<2， |f(－1)|＝|1－p＋1|＝|2－p|<2，
则4＝(2＋p)＋(2－p)≤|2＋p|＋|2－p|<4矛盾，
→肯定原结论．
(1) 证 明 不 等 式 时 ， 通 过 把 不 等 式 中 的 某 些 部 分 的 值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们 把这种方法称为放缩法．
(2)理论依据a＞b，b＞c⇒a ＞ c.
二、数学归纳法证明不等式
1．数学归纳法的概念
当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都 成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 (2)假设当 n＝n0 时命题成立； 时命题成立，证明 n＝k＋1 时 n＝k(k≥n0)
答案：A
2 ． 若 |x － a|<m ， |y － a|<n ， 则 下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是
(
)
A．|x－y|<2m C．|x－y|<n－m B．|x－y|<2n D．|x－y|<n＋m
解析：∵|x－a|<m，|y－a|<n，∴|x－a|＋|y－a|<m＋n. ∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<m＋n，
由于 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，因此①式等价于 a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，② 将②式展开、化简，得(ad－bc)2≥0.③ 因为 a，b，c，d 都是实数，所以③式成立，即①式成 立．原命题得证．
(1) 比较法是证明不等式的一个最基本、最常用的方法。当 被证明的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作 差比较法；当被证明的不等式的两端都是正数且为乘积形式或 幂指数形式时，一般使用作商比较法．
∴|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.
由 f(1)＝a＋b＋c， f(－1)＝a－b＋c，f(0)＝c 知 f1＋f－1－2f0 a＝ ， 2 f1－f－1 b＝ ，c＝f(0)． 2 ∴f(2)＝|4a＋2b＋c|
＝|2f(1)＋2f(－1)－4f(0)＋f(1)－f(－1)＋f(0)| ＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤3×1＋1×1 ＋3×1＝7≤8.
∴|x－y|<m＋n.
答案：D
3．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么 a＞ b”时， 假设的内容是( A. a＝ b C. a＝ b且 a< b 3 3 3 3 3 3 ) B. a< b D. a＝ b或 a< b 3 3 3 3 3 3
3
3
解析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面 成立， a＞ b的反面是 a≤ b.即 a＝ b或 a< b.
4．反证法
(1)假设
要证的命题不成立
合已知条件，应用
，以此为出发点，结 定义、公理、定理、性质 等 ， 进
命题的条件 (或已证明的定
行正确的推理，得到和
理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正 原命题成立 确，从而证明 ，我们把它称为反证法．
(2)证明步骤 反设→ 归谬 5．放缩法
(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出
要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 执果索因 的思考和证明方法．
综合法和分析法有何内在联系？
提示： 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条
理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来 使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个 证明过程．
2．综合法 一般地，从 已知条件 出发，利用 定义 、公理 、 定理、 性质 等，经过一系列的 推理 、 论证 而得出命题成立，这种 证明方法叫做综合法．综合法又叫 顺推证法 和 由因导果法 ． 3．分析法 证明命题时，从 要证的结论 充分条件 的事实 出发，逐步寻求使它成立的 或一个明显成立 ____________ ，直至所需条件为 已知条件
2 b 3 b 2 a ＋ ＋ ＝－a2－b2－ab＝－ ≤0. 2 4
【考向探寻】
用放缩法证明不等式． 【典例剖析】 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ，当 |x|≤1 时，总有 |f(x)|≤1 ，求 证：|f(2)|≤8.
解答本题可按以下思路进行 ①由条件知|f(0)|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1； ②探求|f(2)|与|f(0)|、|f(1)|、|f(－1)|的关系； ③利用不等式|a±b|≤|a|＋|b|证明．
答案：D
3
3
3
3
3
3
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1 1 1 4．用数学归纳法证明：设 f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ ，则 n 2 3 n ＋f(1)＋f(2)＋„＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2 且 n∈N*)．那么第一 步要证的等式是____________．
解析：当n＝2时：2＋f(1)＝2f(2)． 答案：2＋f(1)＝2f(2)
选修4-5 不等式选讲
第二节
证明不等式的基本方法
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1
考纲要求 1.了解证明不等式的基本方 法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法；能用 比较法、综合法、分析法证 明简单的不等式． 2.会用数学归纳法证明不等 式.
考情分析 1.从考查内容看，高考侧重于 对不等式证明方法的考查，且 常与函数、数列等知识结合在 一起命题． 2.从考查形式看，主要以解答 题或其一问的形式出现，属中 档题.
1，求证：|ac＋bd|≤1.
本题使用综合法、分析法、比较法都可证明．
证明：证法一(综合法)∵a，b，c，d 都是实数， a2＋c2 b2＋d2 ∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤ ＋ 2 2 a2＋b2＋c2＋d2 ＝ . 2 又∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴|ac＋bd|≤1. 证法二(比较法)
命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所 有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
2．数学归纳法的基本过程
1．已知x、y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的 大小关系是( A．M≥N C．M＝N ) B．M≤N D．不能确定
解析：M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy) 1 2 2 ＝ [(x ＋y －2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)] 2 1 ＝ [(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0.故 M≥N. 2
证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当
地运用 |a| － |b|≤|a±b|≤|a| ＋ |b| 进行放缩，并注意不等号的传递性
及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不 含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行 证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．
放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性进行证明不 等关系，即要证a＞b，只需先证明a＞p，且p＞b.其中p的确定是 最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧 妙变形的能力，以及一定的解题经验．
显然有|ac＋bd|≤1⇔－1≤ac＋bd≤1，先证 ac＋bd≥－ 1. 1 1 ∵ac＋bd－(－1)＝ac＋bd＋ ＋ 2 2 a2＋b2 c2＋d2 a＋c2＋b＋d2 ＝ac＋bd＋ ＋ ＝ ≥0， 2 2 2 ∴ac＋bd≥－1，再证 ac＋bd≤1，
a2＋b2 c2＋d2 1 1 ∵ 1 － (ac ＋ bd) ＝ 2 ＋ 2 － (ac ＋ bd) ＝ 2 ＋ 2 － ac －bd a－c2＋b－d2 ＝ ≥0， 2 ∴ac＋bd≤1.综上得|ac＋bd|≤1. 法三(分析法) 要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1， 即只需证明 a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.①
一、证明不等式的基本方法
1．比较法 (1)作差比较法 ①理论依据：a＞b⇔ a＝b⇔a－b＝0. a－b＞0 ；a<b⇔ a－b<0 ；
②证明步骤：作差→ 变形
→ 判断符号
→得出结论．
(2)作商比较法 a ①理论依据：b＞0， ＞1⇒ a＞b ； b a b<0， ＞1⇒ b
a<b
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②证明步骤：作商→ 变形 → 判断与1的大小关系 → 得出结论．
∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
【考向探寻】 1．用反证法证明不等式． 2．用数学归纳法证明不等式．
【典例剖析】 (1)设二次函数 f(x)＝x2＋px＋1.求证：|f(1)|与|f(－ 1)|中至少有一个不小于 2. 1 1 1 (2)证明不等式 1＋ ＋ ＋„＋ <2 n(n∈N*)． 2 3 n
k＋k＋1＋1 < ＝2 k＋1， k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，不等式成立． 1 1 1 综合(1)(2)，当 n∈N 时，1＋ ＋ ＋„＋ <2 n成 2 3 n