人教B版选修(1-1)3.3.3《导数的实际应用》word学案

课题：《生活中的优化问题举例》（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教A版）第一章《导数及其应用》第节顺义区第二中学任小磊一、教学目标：１、知识与技能：了解生活中常见的优化问题能够将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的基本思路进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力２、过程与方法：经历将生活中的优化问题转化为数学中的最值问题，使学生在自主探究与合作交流中体会数学建模的过程，从而更好的理解和掌握数学建模的基本思想运用图形计算器绘制函数图像，通过图像解决相关问题，使学生感受函数图像的直观与便捷３、情感、态度与价值观：提高学生数学知识的应用意识，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题．三、教学难点：把优化问题转化为数学中的求函数最值问题四、教学方法：启发、引导、讨论、小组合作五、教学资源：多媒体、几何画板、图形计算器、实物投影六、教学过程：教师引导：题目对海报的设计提出了新的要求，如何用数学语言描述出来？ 解：222x ≤+ 且8.164x256≥+ 解得函数8x256x 4)x (s ++=的定义域为[]20,10结合例1 的求解过程可知，函数在[]20,10为增函数，因此，当10x =是函数的最小值点思考2 ：若要求海报四周空白面积为144 dm 2, 你能提供几种设计海报的方案？教师引导：四周空白面积对应前面数学问题中的哪个量？解：解方程1448x256x 4=++ 解得：32x 或2x ==因此,在满足条件下，有两种设计海报的方案思考3：如果我们不用导数工具，直接观察函数的图像，你能回答前面几个问题吗？ 教师引导学生用函数图像解释上述问题三、总结反思：解决优化问题的基本思路（步骤）学生谈体会，总结解题步骤图像的能力培养学生养成在解题后归纳总结的学习习惯四、课堂小结:1、总结解决优化问题的一般步骤，强调关键步骤2、引导学生谈本节课的收获五、布置作业：课本：37页习题组1、2、6题 六、板书设计：§生活中的优化问题举例总结步骤： 例题： 思考1：思考2：利用导比较极值建立数学模型 写出函数解析式优化问题得到最优解答案得到函数的极值，最值还原问读题、审题 找出已知、未知。

高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1107192451．掌握应用导数解决实际问题的基本思路．(重点)2．灵活利用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．(难点)[基础·初探]教材整理优化问题阅读教材P99～P100，完成下列问题．1．优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值.2．用导数解决优化问题的基本思路甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图3­3­8所示：图3­3­8现有下列四种说法：①前四年该产品产量增长速度越来越快；②前四年该产品产量增长速度越来越慢；③第四年后该产品停止生产；④第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有( )A．①④B．②④C．①③D．②③【解析】由图象可知，②④是正确的．【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]面积、体积最值问题用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图3­3­9)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图3­3­9【精彩点拨】设自变量(高)为x→根据长方体的体积公式建立体积关于x的函数→利用导数求出容积的最大值→结论【自主解答】设容器的高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则：V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x＝10或x＝36(舍去)．当0＜x ＜10时，V ′(x )＞0，即V (x )是增加的； 当10＜x ＜24时，V ′(x )＜0，即V (x )是减少的．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.1．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．2．实际问题中函数定义域确定的方法(1)根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；(2)根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．[再练一题]1．若将铁皮改为边长为60 cm 的正方形，则容器底边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【导学号：25650134】图3­3­10【解】 法一：设容器底边长为x cm ，则高h ＝60－x2 cm ，∴容器容积V (x )＝x 2h ＝－12x 3＋30x 2(0<x <60)．则V ′(x )＝－32x 2＋60x ，令V ′(x )＝0，解得x ＝40，且是定义域(0,60)内的唯一极大值点， ∴此时V (x )取得最大值，且V (x )max ＝16 000 cm 3.即容器底边长为40 cm 时，容器容积最大，最大容积是16 000 cm 3. 法二：设容器的高为x cm ，则容器底边长为(60－2x ) cm ， 则容器的容积V (x )关于容器的高x 的函数为V (x )＝(60－2x )2x＝4x 3－240x 2＋3 600x (0<x <30)，∴V ′(x )＝12x 2－480x ＋3 600 ＝12(x 2－40x ＋300)(0<x <30)．令V ′(x )＝0，得x ＝10或x ＝30(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，函数单调递增； 当10<x <30时，V ′(x )<0，函数单调递减． ∴当x ＝10时，函数V (x )取得最大值．此时底面边长为40 cm ，V (10)＝V (x )max ＝16 000 cm 3.即当容器底边长为40 cm 时，容器的容积最大，最大容积是16 000 cm 3.用料(费用)最省问题某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【精彩点拨】 先求每平方米的购地费用，综合费用是建设费用与购地费用之和． 【自主解答】 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041 000x ＝1 280x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来表示，所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1 280x ＝800＋160ln x ＋1 280x(x ＞0)，所以g ′(x )＝160x －8x 2(x ＞0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0＜x ＜8时，g ′(x )＜0，当x ＞8时，g ′(x )＞0，所以x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．[再练一题]2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v . (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值. 【导学号：25650135】【解】 (1)Q ＝P ·400v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．[探究共研型]利润最大(成本最低)问题探究 关于利润问题常用的等量关系有哪些？ 【提示】 关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数．如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【精彩点拨】 (1)利用题中等量关系列出y 与x 的函数关系式，将x ＝100代入所求关系式判断y >0还是y <0；(2)先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值．【自主解答】 (1)由题意，每年销售Q 万件，成本共计为(32Q ＋3)万元．销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝12(32Q ＋3－x ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，∴所求的函数关系式为：y ＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)．因为当x ＝100时，y <0，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损．(2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)，得f ′(x )＝－2x ＋98·2x ＋1－2－x 2＋98x ＋354x ＋12＝－x 2－2x ＋632x ＋12(x ≥0)． 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去)或x ＝7. 又∵当x ∈(0,7)时，f ′(x )>0； 当x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴f (x )极大值＝f (7)＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．1．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．2．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．[再练一题]3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)【解】 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0， 故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．[构建·体系]1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( )A.2033cm B ．100 cm C ．20 cmD.203cm 【解析】 设圆锥的高为h cm ，则V ＝13π(400－h 2)×h ，所以V ′(h )＝13π(400－3h 2)．令V ′(h )＝0，得h 2＝4003，所以h ＝2033.故选A.【答案】 A2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台【解析】 利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，求导得y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6或x ＝0(舍去)．因0<x <6时，y ＝18x 2－2x 3递增，x >6时，y ＝18x 2－2x 3递减，∴x ＝6时利润最大，故选C. 【答案】 C3．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，则它们的面积和的最小值为________. 【导学号：25650136】【解析】 设其中一段长为x ，则另一段长为16－x ，设两正方形的面积分别为S 1，S 2，面积之和为S ，则S ＝S 1＋S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫16－x 42＝116x 2＋116x 2－2x ＋16 ＝18x 2－2x ＋16(0<x <16)． 令S ′＝14x －2＝0，得x ＝8.即x ＝8时， S 有最小值，最小值为8. 【答案】 84．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的售价为________元时，利润最大．【解析】 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000，S ′(x )＝－2x ＋230， 由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．【答案】1155．某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)．求：(1)利润函数P(x)(提示：利润＝产值－成本)的解析式；(2)年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？【解】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N且x∈[1,20])．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x＋9)(x－12)(x∈N且x∈[1,20])，当1≤x≤12时，P′(x)＞0，P(x)单调递增；当12＜x≤20时，P′(x)＜0，P(x)单调递减；∴x＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船公司的年利润最大．。

1.3.3导数的实际应用一、教学目标1.知识和技能目标(1)研究使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；(2)提高将实际问题转化为数学问题的能力.2.过程和方法目标通过学习使经营利润最大、用料最省、生产效率最高等优化问题，体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用.3.情感态度和价值观目-标通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题的能力.二、教学重点•难点重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用导数解决牛活中的一些优化问题.三、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，让学生体会导数的工具作用。

四、教学方法师牛互动探究式教学五、教学过程1.最优化问题生活中经常遇到求 _________ 、__________ 、_______ 等问题，这些问题通常称为最优化问题.2.用导数解决最优化问题的基本思路知识应用，深化理解题型一面积、体积的最值问题例1、请你设计一个包装盒，如图1-3-9, ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A, B, C, D 四个点重合于图中的点P,正好形成一个正 四棱柱形状的包装盒，E, F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，15 AE=FB=x(cm).图 1-3-9 (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cn?)最大，试问x 应取何值？(2) 某厂商耍求包装盒的容积V(cn?)最大，试问兀应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【自主解答】 设包装盒的高为h cm,底面边长为ci cm.由已知得 a=y[2x, 〃 = 6加2'=迄(30_兀),兀<30.(1) S=4ah = 8x(30 ~x) = 一 8(兀一 1+1 800, 所以当x=15时，S 取得最大值.(2) V= crh=2^2(-x 3 + 30?),6迈*(20~x).由W=0,得兀=0(舍去)或x=20.当 xe (0,20)时，V>0；当 xe (20,30)时，F<0.所以当兀=20时，V 取得极大值，也是最大值.总结：1. 解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将血积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. 2. 解决优化问题时应注意的问题(1) 列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；(2) —般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数人兀)在给定区间内只有一个极值点或函数/(%)在开 区间上只有一个点使/(x)=0,则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的 函数值进行比较.题型二用料最省、成本(费用)最低问题例2、位于A, B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图1-3-11所示，若两村用同型号线架设输电线路, 问变丿玉器设在输电干线何处时，所需电线总长最短.此时#=*, 即包装盒的高与底面边长的比值为*.D _____________ C3 km输电干线图 1-3-11【自主解答】 设CD=xkm,则CE= (3-x)km.则所需电线总长 l=AC+BC=p 1 +< + 3~x —(0<x<3),y3 - Y从而 r=-^=--====. 寸 l+H yjl.52+ 3-x 2x _________ 3—x yj 1 +x 2 yj ].5?+ 3—无解得兀=1.2或兀=—6（舍去）.因为在［0,3］上使『=0的点只有x=1.2, 所以根据实际意义，知x=1.2就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE 之间离点D 的距离为1.2 km 处时，所需电线总长最短.总结：1. 用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及 最值问题所研究的对彖.止确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2. 利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f （x ）=0时，如果函数在这点有极大（小） 值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值.六、当堂检测1. 某箱子的体积与底面边长兀的关系为V （x ）=x 2（^^）（0<x<60）f 则当箱子的体积最大时，箱子底面边长 为（）A. 30B. 40C. 50D. 602. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量兀（单位：万件）的函数关系式为y=-|?+81x-234, 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）A. 13万件B. 11万件令r=o,即 BD 变压器C. 9万件D. 7万件3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27兀，且用料最省，则水桶的底面半径为4.某产品的销售收入yi（万元）是产量兀（千台）的函数：>'I =17X2（X>0）,生产成本以万元）是产量兀（千台）的函数:^2=2?-^>0）,为使利润最大，应生产________________ 千台.5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的•商品件数与商品单价的降低值兀（单位：元，0三疋30）的平方成正比，已知商品单价降低2元吋，一星期多卖出24件.（1）将一个星期的商品销售利润表示成兀的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？设计意图：目的是让学牛学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用课程设计课程目标
•理解导数在实际问题中的应用
•能够用导数求解实际问题
•培养分析解决问题的能力
课程内容
1.导数的实际意义回顾
2.实际问题中的导数应用
3.实际问题中的导数求解
4.课堂练习
教学方法
本课程采用讲授-解题的模式进行。

教学步骤
第一步：导数的实际意义回顾
1.复习导数定义及其几何意义
2.讲解导数在实际问题中的意义，并通过例题进行讲解
第二步：实际问题中的导数应用
1.介绍一些实际问题及其背景
2.展示问题中导数的应用方式
3.通过例题进行讲解
第三步：实际问题中的导数求解
1.提供一些实际问题及其数学模型
2.教授导数求解方法，并通过例题进行讲解
第四步：课堂练习
1.提供多组实际问题及其数学模型
2.让学生通过导数求解实际问题
教学过程中需要注意的问题
1.给予足够的时间让学生理解导数在实际问题中的应用。

2.可以放慢授课速度，以确保学生能够跟上课程进度。

3.鼓励学生多思考，并加强实际问题的联系，提高学生的分析解决问题
的能力。

教学评估方式
采用教师打分+同学评价+自我评价的形式进行评估。

推荐作业
1.完成教师提供的课堂习题。

2.自行寻找实际问题，并用导数解析问题。

总结
导数是高中数学中的重点难点，本课程通过实际问题的引导，加深了学生对导数的理解和应用，同时培养了学生的分析解决问题的能力，对学生的成长具有显著的帮助。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。

三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。

（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。

2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。

四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。

五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。

课堂导学三点剖析一、求最值【例】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量(吨)与每吨产品的价格(元吨)之间的关系式为,且生产吨的成本为元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产吨时的利润为()( )( )(≥).由′() .解得(舍去).因()在［∞)内只有一个点使′(),故它就是最大值点，且最大值为()() × .答：每月生产吨产品时利润达到最大，最大利润为万元.温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于，求′的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例】已知某厂生产件产品的成本为(元).()要使平均成本最低，应生产多少件产品？()若产品以每件元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.解析:()设平均成本为元，则令′，得(舍去).当在附近左侧时，′<;在附近右侧时，′>;故当时，取得极小值.由于函数只有一个点使′，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产件产品.()利润函数为( ).∴′( )′.令′，得，当在附近左侧时，′>;当在附近右侧时′<，故当时，取得极大值.由于函数只有一个使′的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产件产品.三、导数在生活中的应用【例】如图所示，水渠横断面为等腰梯形.()若渠中流水的横断面积为，水面的高为，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？()若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：()依题意，侧边·(Φ),设下底，则上底Φ,又(Φ)(Φ),∴下底Φ,∴横断面被水浸湿周长(<Φ<).∴′Φ令′Φ,解得Φ,∴Φ.根据实际问题的意义，当Φ时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.()设水渠高为，水流横断面积为,则(Φ)·(Φ)·Φ(Φ)·Φ(<Φ<).∴′［Φ(Φ)Φ］(Φ)(Φ).令′,得Φ或Φ(舍)，故在(,)内，当Φ时，水流横断面积最大，最大值为().各个击破类题演练。

3.3.3导数的实际应用一、学习目标：能利用导数知识解决实际中的最优化问题二、课前展示：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．三、新知探究例1 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？例2 矩形横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？练习一1、 设两正数之和为常数c ，求该两数之积的最大值。

并由此证明不等式()0,2>≥+b a ab b a2、 用长度为l 的铁丝围成长方形，求围成的最大面积。

3、 把长度为l 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，问怎样分法，才能使它们的面积之和最小。

4、等腰三角形的周长为p2，问这个等腰三角形围绕底边旋转一周所围成的几何体体积最大时，各边长分别是多少？5、做一个容积为216ml的圆柱形封闭容器，高与底面直径为何值时，所用材料最省？6、一跳水运动员，离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系是)(2+-10=，求该运动员达到的最大高度（距离单位：m，时间单位s）ttth89.47、n x x x ,...,,21是一组已知数据，令,)(...)()()(22221n x x x x x x x s -++-+-=当x 取何值是，是)(x s 取最小值？8、用边长为60cm 的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转090再焊接而成，问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？9、将长为72cm 的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，问铁丝应怎样截法？。

导数在实际问题中的应用教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=-)600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积_ 60x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略） 由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、xx x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，h=2V R π即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=RR S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

人教版高中选修(B版)2-21.3.3 导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的基本概念和求导方法；2.理解导数在实际应用中的意义和作用；3.能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和求导方法；2.导数在实际应用中的意义和作用；3.导数的实际应用举例。

三、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授掌握基础概念和求导方法；2.问题导入法：通过引入实际问题导入，引发学生的兴趣并加深对导数的理解；3.分组探究法：通过分组合作，团队合作解决实际问题，增强合作意识，培养实际解决问题的能力；4.讨论法：通过讨论，深化对导数在实际应用中的理解。

四、教学重点和难点1.教学重点：导数的概念和求导方法，导数在实际应用中的意义和作用；2.教学难点：如何运用导数解决实际问题。

五、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引入实际问题，如汽车行驶中的加速度、弹簧自由振动等，引发学生对导数的兴趣，加深对导数的理解。

2. 讲授导数的概念和求导方法（10分钟）讲解导数的概念，刻画导数的几何意义，讲解导数的计算方法。

3. 分组探究导数的实际应用（20分钟）将学生分成小组，每组给出一个实际应用问题，让学生通过合作讨论，解决问题并展示给所有的学生，其他学生需要提出问题或建议。

例如：问题1：假如车速仪表是恒定的，用车速仪表中的读数作为车速，那么误差大小是多少？司机行驶一辆车，要求计算车速仪表的误差大小。

问题2：山顶上的标准重力加速度为9.8m/s2，端点高度为3000m的斜面为直角三角形，一铅球从山顶垂直落下并在斜面上滚动，求铅球运动学参数。

4. 讨论导数在实际应用中的作用（10分钟）通过讨论，总结导数在实际应用中的作用，如加速度的概念和计算、最大值和最小值的求解、曲线切线问题的求解等。

5. 总结与展望（5分钟）总结本节课的内容和重点，展望下节课的教学内容和目标。

六、教学反思通过本节课的设计，使学生加深了对导数的理解，并掌握了求导的方法。