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1. 5 不等式证明的基本方法1 . 5.1 比较法扭氢问龙索弟葯幻比卅匚诸［对应学生用书P16］［读教材填要点］1. 定义要证a>b，只需要证 a —b>0;要证a<b,只需证a —b<0，这种证明不等式的方法，称为比较法.2. 用比较法证明不等式的步骤⑴求差.(2) 变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式.(3) 作出判断.［小问题大思维］作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明. 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系•:爲爲疋企壮至它-字，hi：…点軌迪［对应学生用书P16］比较法证明不等式4 3 2［例1］求证：⑴当x€ R时，1 + 2x >2x + x ;a ba b ----(2)当a, b € (0,+s )时，a b > (ab) 2 .［思路点拨］(1)利用作差比较法，注意变形分解 :(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小.［精解详析］⑴法一：(1 + 2x4) —(2x3+ x2)3=2x (x—1)—(x+ 1)(x—1)=(x—1)(2x3—x—1)=(x—1)(2x3—2x+ x—1)1. 5 不等式证明的基本方法=(x—1)［2x(/ —1) + (x—1)］11(x 1)2(2X 22x 1)(x 1)2 2 x 122 1101 2x 4 2x 3x 2.(1 2x 4 )(2 x 3 x 2) x 4 2x 3 x 2 x 4 2x 2 1 (x 1)2x 2 (x 2 1)2 01 2x 4 2x 3 x 2.⑵一a ab ba-baa bb _aPa 竽 babPa b a 竽 b1a>b>0 a >Ia b |1■ x a ba jb>a>00<a <1a b 2 <0b>1.a “ba b(0 )a ab b (ab)—规』l 沁 姑（i 2）x> 11 x>0 ■\/iX >0.x2.=-2【(x+ 1) - 2 x+ 1 + 1]-2( .x+ 1- 1)2w 0,•••寸1+x w 1+ 2.［例2］甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m^ n, 问甲、乙二人谁先到达指定地点？［思路点拨］本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s,甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间如t2,然后利用作差法比较t1, t2的大小即可.［精解详析］设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为如t2，依题意有：t1 t1^m+ 尹=s,2m+影t2mn m+ n '其中s, m, n都是正数，且m^ n,• •屯—t2< 0,即t r V t2.从而知甲比乙先到达指定地点.应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论.2 .某人乘出租车从A地到B地，有两种方案.第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米 1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例， 在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？解：设A 地到B 地的距离为m 千米.起步价内行驶的路程为 a 千米.显然当m w a 时，选起步价为 8元的出租车比较合适.当m>a 时，设m = a + x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为 P(x)元.乘坐起步价 为8元的出租车费用为 Q(x)元，贝U P(x)= 10+ 1.2x , Q(x) = 8+ 1.4x. •/ P(x) — Q(x) = 2 — 0.2x = 0.2(10 — x)•••当x>10时，P(x)<Q(x)，此时选择起步价为 10元的出租车较为合适. 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选择起步价为 8元的出租车较为合适. 当x = 10时，P(x)= Q(x)，两种出租车任选，费用相同.、选择题 1.下列关系中对任意 a v b v 0的实数都成立的是(2 .2A . a v b b C . a>1解析：■/ a v b v 0, •— a> — b>0.2 2 (—a) >( — b) >0. 即 a 2>b 2>0. b 2 • a2v 1.b 2又 lg b 2— Ig a 2= Ig^v Ig 1 = 0. a• lg b 2v Ig a 2答案：B1 o2.已知P =?++!，Q= a 2— a +1，那么P 、Q的大小关系是()A . P>Q C . P >Q解析：2 21 — (a — a + 1 f a + a + 1 } P — Q = 24 i 2—++T ，YING YONG课下训练经撫化.贵在鮭类旁通P18][对应学生用书)2 2B . lgb <ig aB . P<QD .>3 (A C A D4 A C56a 2 a 1 0a 4 a 2 0P Q 0. QP.m主彩石⑴w p wm n>p B m>n p n> m>pD n m>pB C.n.D.(ab k a k b) (a k 1 b k 1)(k N )(ab k a "b) b k (a b) a k (b a) b k 1a>0 b>0 a>b (a b)(b k a k ) a k >b k(a b)(b k a k )<0 a<ba k <b k(a b)(b k a k )<o.2 2(x y )(x y) N (x y )(x y) MN 2, 、 z 2 . 2X z 、 x y 0 M M N (x y 2)(x y) (x 2y 2)(x y)(x y)[(x 2y 2) (x y)2]2xy(x y)x<y<0 xy 0 x y<0.2xy(x y)>0 M N>0. M>N. M>N0<x<1a换b 1 X c 匕得c>b，知c最大.答案：c17.如果a>0, b>0，则下列两式的大小关系为lg(1 + Vab) _______ 艮lg(1 + a) + lg(1 +b)].(填不等关系符号)解析：T (1 + a)(b+ 1) = 1 + a+ b+ ab,1•- 2[lg(1 + a) + lg(1 + b)]=lg 1 + a+ b+ ab.T (1 + ：.；ab)2 —(-；”；1 + a+ b + ab)?= 2 ■'ab —(a + b),又 a + b》2、.；ab,.°. 2・..；ab —(a + b)w 0.1•- lg(1 + ■.ab)w 2【lg(1 + a) + lg(1 + b)].答案：w&一个个体户有一种商品，其成本低于^■器元.如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%,如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_______________________ 出售(填“月初”或“月末”).解析：设这种商品的成本费为a元.月初售出的利润为L1= 100+ (a+ 100) X 2.5% ,月末售出的利润为L2= 120-2%a,则L1-L2= 100 + 0.025a+ 2.5- 120 + 0.02a=0.045 a-...av3器，•. L1<L2，月末出售好.答案：月末三、解答题9.已知a> 1,求证.a+ 1 - '.a< ,a- .a —1,证明：•/ ( a + 1 - .a) —( a —a- 1)= 1 -1.a+ 1 + \ a .a + a- 1m 0/什昇1 ) 0 f(a) f(b)a 3b 3 剧（a 2 b 2）a p a &a 並）b 乐（伍翻（帝佝［（佝5（W ）5］a by/a y/b（回5（W ）5（击承）［（W ）5 （W ）5］ 0 a ＜b 羽＜训 （诉）5＜（托）5b a<0.a 1b 1m b a (a1 • 1<0f (a)<f(b )m•— >0 f(a)>f(b) a 1 b 12 2 2 2a 22x b 2 1 x 2 2x>a 2 a>0 b>0a 3b 3 何a 211m R a>b>1 mxf(x)'丿x 1f(a)f(a) f(b) ma 1a 1mb m b ab 1(a1 b1.a>b>1b a<0 a 1>0 b 1>0（⑴ 佝（何（何］＞0.f(b)m>0m<0b>a.c b — x) 5^)产>01 x 1 x 1 xI -a + 1 + \a+ \; a—1 i,a+ 1 - .a<, a —, a- 1.10.设a, b是非负实数，求证：a3+ b3> ab(a I 2+ b2).什昇1) 0 f(a) f(b)m 0 /。
1.2 基本不等式1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.[基础·初探]教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1.定理1设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2如果a ，b 为正数，则a ＝b 时，等号成立.这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时，我们称a ＋b2为正数a ，b 的算术平均值，称ab 为正数a ，b 的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.定理3如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.4.定理4如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A.a <b <ab <a ＋b2 B.a <ab <a ＋b2<b C.a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【解析】∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A ，C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B. 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c 都是正数，求证：a b ＋b c ＋c a ≥a ＋b ＋c .【导学号：38000004】【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系.【自主解答】∵a>0，b>0，c>0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2 b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明.2.当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到.[再练一题]1.设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0.证明：(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3.【证明】因为m＞0，n＞0，则m2＋n4≥2mn2，m4＋n2≥2m2n，所以(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3，当且仅当m＝n＝1时，取等号.(1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值.【精彩点拨】根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件.【自主解答】(1)因为x＋2y＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当2y x ＝xy ，x ＋2y ＝1，即 x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立.所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取最小值3＋2 2. (2)xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋7y 22＝135⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝207，当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值207.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况.[再练一题]2.若将本例(1)的条件改为“已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1”，试求x ＋y 的最小值.【解】∵x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时等号成立.又1x ＋9y ＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？【精彩点拨】(1)可先通过m ＝0时，x ＝1求出常数k ，再根据条件列出y 关于m 的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.【自主解答】(1)依题意得m ＝0时，x ＝1，代入x ＝3－k m ＋1，得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1.年成本为8＋16x ＝8＋16⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1(万元)， 所以y ＝(1.5－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－m －16m ＋1(m ≥0).(2)由(1)得y ＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋1)＋16m ＋1≤29－2(m ＋1)·16m ＋1＝21.当且仅当m ＋1＝16m ＋1，即m ＝3时，厂家的年利润最大，为21万元.设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――→“＝”成立的条件结论[再练一题]3.某工厂建一底面为矩形(如图1-2-1)，面积为162 m 2，且深为1 m 的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m ，如果池外围四壁建造单价为400 元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248 元/m 2，池底建造单价为80 元/m 2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.图1-2-1【解】设污水池的宽为x m ，则长为162xm ，则总造价 f (x )＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋12 960.由限制条件，知⎩⎨⎧0＜x ≤16，0＜162x ≤16，得818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫818≤x ≤16，因为g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤818，16上是增函数，所以当x ＝818时⎝ ⎛⎭⎪⎫此时162x ＝16，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，f (x )min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元).所以当长为16 m ，宽为818 m 时，总造价最低， 为38 882元.[探究共研型]探究1 在基本不等式a ＋b2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?【提示】对于不等式a ＋b2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义.探究2 你能给出基本不等式的几何解释吗？【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立.因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.探究3 利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？【提示】利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值.(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小.条件满足：“一正、二定、三相等”.求下列函数的值域. (1)y ＝x 2＋12x ；(2)y ＝2x x 2＋1.【精彩点拨】把函数转化为y ＝ax ＋b x 或y ＝1ax ＋b x 的形式，再利用基本不等式求解.【自主解答】(1)y ＝x 2＋12x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴y ≥1；当x ＜0时，－x ＞0，－x ＋1－x ≥2，x ＋1x ≤－2，∴y ≤－1，综上函数y ＝x 2＋12x 的值域为{y |y ≤－1或y ≥1}.(2)当x ＞0时，y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. 因为x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x≤12，所以0＜y ≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立； 当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，所以0＞1x ＋1x≥－12，所以－1≤y ＜0，当且仅当x ＝－1时，等号成立； 当x ＝0时，y ＝0.综上，函数y ＝2xx 2＋1的值域为{y |－1≤y ≤1}.形如y ＝cx 2＋ex ＋fax ＋b 型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为y ＝t＋Pt ＋C (P ，C 为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t 的取值范围.[再练一题]4.求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值.【导学号：38000005】【解】因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2x ＋7x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，等号成立. 所以当x ＝4时，y min ＝8.[构建·体系]1.函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.∵x >3，∴x －3>0，∴1x －3>0，∴y ≥2(x －3)·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时等号成立.【答案】 A2.下列函数中最小值为4的是( ) A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C.y ＝3x ＋4×3-xD.y ＝lg x ＋4log x 10【解析】A 项，当x ＜0时，y ＝x ＋4x ＜0，故A 项错误；B 项，当0＜x ＜π时，sin x ＞0，∴y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4，当且仅当sin x ＝4sin x，即sin x ＝2时取等号，但sin x ≤1，B 项错误；C 项，由指数函数的性质可得3x ＞0，所以y ＝3x ＋4·3－x ≥24＝4，当且仅当3x ＝2，即x ＝log 32时取得最小值4，故C 项正确；D 项，当0＜x ＜1时，lg x ＜0，log x 10＜0，所以y ＝lg x ＋4log x 10＜0，故D 项错误.【答案】C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )【导学号：38000006】A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2【解析】A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab，则排除B ，C 选项；D 选项中，由b a >0，a b >0，得b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D.【答案】D4.不等式b a ＋a b >2成立的充要条件是________.【解析】由b a ＋a b >2，知b a >0，即ab >0， 又b a ≠a b ，∴a ≠b . 因此b a ＋a b >2的充要条件是ab >0且a ≠b .【答案】ab >0且a ≠b5.若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解】由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立.又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2， ∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。
P24][ P24]() ()[1] |x 1| |x|<2.[] 3x 1x 1 x<2 一<x 1 2 1<x<0 x 1x<21<x<0x 1 x<2x<2.不等式的基木性质解不等式p 1元一次不等式含绝对值的不等式一元二次不等式因此，原不等式的解集为# —2<x<1匚法二：利用方程和函数的思想方法.令f(x) = |x+ 1|+ 凶一22x—1 x> 0 ,1=—1 —K x<0 ,—2x — 3 x<—1 .作函数f(x)的图象(如图),3 1知当f(x)<0 时，一2<x<?.3 1故原不等式的解集为X1 — 3<x<1 .法三：利用数形结合的思想方法.由绝对值的几何意义知，x+ 11表示数轴上点P(x)到点A(—1)的距离，|x|表示数轴上点P(x)到点0(0)的距离.由条件知，这两个距离之和小于 2.3 1 |--------------- 1作数轴(如图)，知原不等式的解集为吠一3 v x</ .2 2丿3-1 0 1L.~2T 法四：利用等价转化的思想方法.原不等式？ 0W|x+ 1|<2 —|x|,•••(x+ 1)2<(2 —|x|)2，且|X|<2,即0<4|x|<3—2x,且xi<2.• 16x <(3 —2x),且—2<x<2.3 1 3 1、解得—2<x<2・故原不等式的解集为<x|—2v x<2 r.［例2］已知f(x) =|ax+ 1|(a € R),不等式f(x) < 3 的解集为｛x|—2< x< 1｝.(1) 求a的值；⑵若f(x 一2f $ j w k恒成立，求k的取值范围.［解］(1)由|ax+ 1|w 3 得—4w ax w 2.又f(x) w 3的解集为｛x|—2w x w 1｝，所以当a w 0时，不合题意.当a>0 时，一4w x w2，得 a = 2.a a(2) 法一：记h(x) = f(x)—2fQ ,kk 1.B 2 .3 D 4 . 31.5(1x 1 」 4x 31<x< h(x) <【11 x212k 1.2|x 1||[3]0<x<21 cos 2x 8sin 2x22cos x8sin 2x 1 .. f(x)- 2sin xcos x 丄4ta n x. tan xI r 、 1x! P n 丿 tan x>0 tan x>0.f(x)1 4ta n x2 1 4ta nxtan x、:tan x[]C[4]xm11164.2014k (m 0) x 3(k )m 120148|h(x)| 1 k1| 1f(x) 2fg) k⑴将2014年该产品的利润y 万元(利润=销售金额—生产成本—技术改革费用 )表示为技术改革费用 m 万元的函数;⑵该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大? ［解］ ⑴由题意可知，当 m = 0时，x = 1(万件)， 1 = 3— k.「. k = 2.「. x = 3 — _2—m + 1 每件产品的销售价格为 1.5 X 8±^6X (元),X ••• 2014年的利润16⑵「m >0，• mV (m +1)》216=8,• y w 29 — 8= 21.16当 =m + 1，即 m = 3, y max = 21. m +1•该企业2014年的技术改革费用投入 3万元时，厂家的利润最大证明不等式是近几年新课标高考的一个热点考向，常以解答题的形式出现，常与函数、 数列等知识交汇命题，常用到的证明方法有:1. 比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是： 不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论•其中，变形是证明 推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析， 可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.［例 5］已知 a > b>0,求证：2a 3 — b 3 >2ab 2— a 2b. ［证明］2a 3— b 3— (2ab 2— a 2b) =2a(a 2— b 2) + b(a 2— b 2)22=(a — b )(2 a + b) =(a — b)(a + b)(2a + b).因为 a > b>0 ,所以 a — b >0, a + b>0,2a + b>0,从而(a — b)(a + b)(2a + b) > 0, 即 2a ‘— b ‘》2ab ?— a ^b.y = x • 1.5X8 + 16xx —(8 + 16x)— m -16m + 1卜 m + 1 + 29(m > 0).2. 综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推” 件（由因导果），最后推导出所要证明的不等式成立.综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论： 证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式（已知或已证）成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误、如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件， 即对重要不等式中“当且仅当…时，取等号”的理由要理解掌握.［例 6］ 设 x>0 , y>0 , z>0,求证： ,x 2+ xy + y 2 + y 2 + yz + z 2>x + y + 乙 >x +y ,① 7y 2+ zy + z［z+ 2/+ 4y 2 >z + 2,②•••由①②得：x 2 + xy + y 2 + y 2 + zy + z>x + y + 乙 3. 分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论•分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件（执果索因），最后得到的充分条件是已知 （或已证）的不等式.当要证的不等式不知从何入手时， 可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论 复杂的题目往往更为有效.由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法•一般来 说，对于较复杂的不等式， 直接用综合法往往不易入手， 因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用.［例 7］已知 a>0, b>0，且 a + b = 1,求证:［证明］即证 a + b + 1 + 2，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条［证明］8]2 .2 a2 1a孑<21 1 1112 12 31 1 1[ ] 1 23 <k 1 2 •2小11)2n<3.a>0 b>0 a b 1.(1)(ab1 1ab 2(a b) 4 114.] 22.212a12aaa2 4[9]22 )<1 +1 +1+ 步+ {+ …+ 十=1=3 — 2°-1V 3.爪匚'■■叭[对应学生用书P26] 一、选择题A . [ — 1,4) D . (— 1,4)解析：A = {x|x — 1|>2} = {x|x>3 或 x< — 1},2B = {x|x — 6x + 8<0} = {x|2<x<4}, •••(?u A) n B = {x|2<x w 3}. 答案：C12. a>1 ”是“才<1 ”成立的（ ）A .充分不必要条件B •必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件1 1 一 a解析：当一<1时，有 <0,即a<0或a>1, a a 1所以a>1 ”是“丄<1”成立的充分不必要条件.a 答案：A 3.已知a ,b ,c 满足c<b<a 且a>0, ac<0,则下列选项中不一疋能成立的是（）c b A . -<aa ab — a B . >0c .2 2b a c.—> —c ca — c D . <0 ac解析：由b>c , a>0,即丄>0,可得->c ,故A 恒成立.a a a-b<a ，…b — a<0.b _ a又c<0,•—厂>0,故B 恒成立.c -c<a ,・• a — c>0.1.已知全集 U = R ，且 A = {x|X — 1|>2}, B = {x|x 2— 6x + 8<0}，则(?u A) n B 等于( B . (2,3) C . (2,3]ac<0 ----------- <0 Dac b 2 a 1b 2>a 2 c<0.2 2b a <—c cC4 |x 2| |x 3|>a x RA ( 5)B [0,5)C (1) D [0,1]A B A B |x 2| X 3|5Aa b不肩也何2占曙|x 1| |x 3|M >N6()x|ax 2|<3!x —I 33l32 a5一3 7a 71- 336 a引X132|x 2| |x 3|5 AB5a<5. A( 3)B(2)5.[-2x — 2,(X W — 3 , *；4, (— 3<x<1 ,(2x + 2, (X 》1 .当 x < — 3 时，一2x — 2>6? x < — 4; 当 x > 1 时，2x + 2>6? x >2; 当一3<x<1时，4W 6，舍去. 故不等式的解集为{x|x > 2或x < — 4}. 答案：{x|x > 2 或 x <— 4}1 , ,8.已知 a>0，贝U ---- , ~: ----- , ---------- 从大至U 小的顺序为2如 2pa + 1 >/a+p a + 1 解析：T a>0, — 2、a<• J a +、a + 1<2 .j a + 1 1 ______ 1 _______ 12 H a a + a + 1 2 ；：a + 1 1 1 _______ 12 ja a + \：a + 1 2\： a + 1 三、解答题(1)证明：对n 》2总有x n 》,a ; ⑵证明：对n 》2总有X n 》X n + 1.证明：(1)由x 1 = a>0，及X n + 1 = 1X n +旦可以归纳证明21 X n 丿X n • = a(n € N +)，所以当n 》2时，x *》a 成立. X n (2)当 n 》2 时，因为 X n 》a>0 , X n + 1= 2 X n + X ， 所以 x n +1 — x n =# 、 21 , a 1 a — x n= 1X n +X n —冷=2 - X n 仝故当n 》2时,Xn 》Xn + 1成立.10.已知关于x 的不等式 |ax — 1|+ |ax — a|》1(a>0).(1)当a = 1时，求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为 R ，求实数a 的取值范围. 解: (1)当 a = 1 时，得 2|x — 1|》1, 13 1••• ix -1》2 x 》3或 x < 2,•••不等式的解集为 *| x < 1或X 》2 .答案:9.某数列由下列条件确定:1 X 1 = a>0, xn + 1=-刈+x n ， Xn >0,从而有 X n +1= £1-0(2) |ax 1| |ax a| |a 1|b a 小 C・a a 2b 2 ab ab a 2 A B|a| |b| 0 |a b| 0.Ra 2 a 0. |a 1| 1a[2 ) 11 (1) x(x 1)(x 21)(x 31) 8x(2) x R(x 1)(x 2 1)(x 3 1) 8x 3xx 12五 12 x 2xx 31 2品(x 1)(x 21)(x 3 1)2乐 2x 2欢8x 3(⑵ x R(x 21)(x1)(x 3 31) 8x 3(1)x>0x 0 8x 3 0.(x 1)(x 2 1)(x 3 1)(x 1)2(x 21)(x 2 x 1)(x 1)2(x 2 1)[(x 2）刃P49]1090120 ) 50 )A a 2 b 2B ab b 2 D |a||b| |a b|ABCD b a 0? ai |b|.a>0 a 2. (1) x答案：D2.设 a , b , c € R J 则"abc = 1” 是"芈 + -1 +-1 < a + b + c ” 的（ p aQ b A /CA .充分条件但不是必要条件B •必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件 解析：当a = b = c = 2时，有辛+¥ a + b + c ,但abc 丰1,所以必要性不成立; a . b . c当 abc = 1 时，"a * I * 1广J " * ac * ab ， a* b 土 *2* c a * c > ab * bc * ac ,所以充分性成立, a * b * c ”的充分不必要条件. 答案：A x > 0,3.不等式3 -x 2 — x 的解集是（）> | |3* x 2*X A . (0,2) B . (0,2.5) C . (0, .6) D . (0,3)5解析：用筛选法，容易验证 x = 2是不等式的解，否定A ; x = 5不是不等式的解，否定D ; X=V 6使汙％ 瓷!取 “ = ”，7 V 2,故否定 B.3十x 2十X | 2 答案：C4•若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 () 1 1 A . a * b>b *a b b * 1B.a 诂 112a * b aC .a -b>b -aD .O *十航解析：a>b>0?右〉1〉。
