数列极限的定义

大学数列的极限知识点归纳总结数列是数学中常见且重要的概念之一，它含有很多有趣而具有挑战性的性质。

其中，数列的极限是数学分析中的重要内容之一，它在微积分、实变函数等领域中有广泛的应用。

本文将对大学数列的极限知识点进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、数列的定义及性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一串数字。

2. 数列的记法：一般用 {an} 表示数列，其中 an 表示数列的第n项。

3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的。

二、数列极限的概念1. 数列极限的定义：对于数列 {an}，如果存在一个常数A，使得对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε，那么称数列的极限为A，记作lim (n→∞) an = A。

2. 数列极限的几何解释：数列的极限可以理解为当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于某个常数。

三、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：对于一个数列，如果其极限存在，则该极限是唯一的。

2. 数列极限与数列项的关系：如果数列的极限存在，那么对于任意大于极限的数M，存在正整数N，使得当n>N时，an>M。

3. 数列极限与数列的有界性的关系：如果数列的极限存在，那么这个数列一定是有界的。

四、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于等差数列 {an} = a1, a1+d, a1+2d, ...，其中a1为首项，d为公差，其极限为lim (n→∞) an = a1。

2. 等比数列的极限：对于等比数列 {an} = a1, a1r, a1r^2, ...，其中a1为首项，r为公比（r≠0），其极限存在的条件是|r|<1，极限为lim(n→∞) an = 0。

3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列 {Fn} = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，其中每一项等于前两项之和。

斐波那契数列的极限不存在，即lim (n→∞) Fn 不存在。

数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.注：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n limn1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;∞→n lim（a n ·b n ）=a ·b ; ∞→n limnnb a =ba （b ≠0）.●点击双基1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0③∞→n limnnn n 3232+-=－1 ④∞→n lim C =C （C 为常数）D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B2. ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51） (1)21+n ）］等于 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51） (1)21+n ）］=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×21++n n ］=∞→n lim22+n n=2. 答案:C ●典例剖析【例1】 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ;（2） ∞→n lim （nn +2－n ）;（3）∞→n lim （22n +24n +…+22nn ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因nn +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.解:（1）∞→n lim757222+++n n n =∞→n lim 2275712nn n +++=52.（2）∞→n lim （nn +2－n ）= ∞→n limnn n n ++2=∞→n lim1111++n=21.（3）原式=∞→n lim22642n n++++ =∞→n lim2)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)75(lim )72(lim 22+++∞→∞→n n n n n =∞∞=1,②∵∞→n lim （2n 2+n +7）, ∞→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： ①∞→n lim （nn +2－n ）=∞→n limnn +2－∞→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞→n limnn +2－∞→n lim n =∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞→n lim 22n +∞→n lim24n +…+∞→n lim22n n =0+0+…+0=0这样的错误.【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ； （2）求∞→n lim1122+-+-n n n n a a 的值．解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －1.∴S n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠>--=).10(1)1(3)1(3c c cc c nn 且（2） ∞→n lim1122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim nnn n c c 323211+---.①当c =2时，原式＝－41;②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim ccc n n 3)2(23)2(11+⋅---＝－c 1;③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim11)2(32)2(31--⋅+-n n cc c ＝21.评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线ϕ:y =（x －1）2,又l 与M 交于点A 、B ，l 与ϕ交于点C 、D ，求∞→n lim22||||CD AB .剖析:要求∞→n lim22||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则d 2=1)1(22+-n n .又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=218n n +.设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2），由⎩⎨⎧-==-2)1(0x y ny x ⇒nx 2－（2n +1）x +n =0, ∴x 1+x 2=nn 12+, x 1·x 2=1.∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2）2=（n x 1－nx 2）2=414nn +,∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2 =41n （4n +1）（n 2+1）.∴∞→n lim22||||CD AB =∞→n lim225)1)(14(8++n n n =∞→n lim2)11)(14(8nn ++=2.评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求22||||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.∴121+++⋅⋅n n n n a a a a =nn a a 2+=nn cc 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.∴nn b b 2+=132+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c ,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列,∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞→n lim （b 2+b 4+…）=c c -+11+cc-12≤3.解得c ≤31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤31或－1＜c ＜0.故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,31］.评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.●闯关训练 夯实基础 1.已知a 、b 、c是实常数，且∞→n lim cbn can ++=2, ∞→n lim bcn cbn --22=3,则∞→n limacn can ++22的值是 C.21解析:由∞→n limcbn c an ++=2,得a =2b .由∞→n lim bcn cbn --22=3,得b =3c ,∴c =31b .∴ca =6.∴∞→n lim a cn c an ++22=∞→n lim 22nac n ca ++=ca =6.答案:D 2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2)23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于A.2411B.2417C.2419D.2425 解析:a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++--+--------),(22323),(2)23(23为偶数为奇数n n n n nn n n n n 即a n =⎪⎩⎪⎨⎧--).3),(2(为偶数为奇数n n nn∴a 1+a 2+…+a n =（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）. ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=411213132122221-=-+-----+91191-=.2419答案:C3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（na ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞→n lim2)1(+n a n =__________________.解析:由题意得na －1-n a =3 （n ≥2）.∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3.∴na =3+（n －1）·3=3n .∴a n =3n 2.∴∞→n lim 2)1(+n a n=∞→n lim 12322++n n n =∞→n lim21213nn ++=3.答案:34.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－21,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=38,则a 1=_________________.解析:∵q =－21,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4111-a =38.∴a 1=2.答案:25.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51,a n +a n +1=156+n ,n ∈N *,则∞→n lim（a 1+a 2+…+a n ）等于 A.52 B.72 C.41D.254 解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］+a n =51+[256+356+…+n56]+a n . ∴原式=21［51+511256-+∞→n lim a n ］=21（51+103+∞→n lim a n ）.∵a n +a n +1=156+n ,∴∞→n lim a n +∞→n lim a n +1=0.∴∞→n lim a n =0. 答案:C6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）.（1）求{b n }的通项公式； （2）求∞→n lim （212-b +213-b +214-b +…+21-n b ）的值.解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=11-+k k （a k －1）=11-+k k （2k 2－k －1）=11-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）.∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2. （2）∞→n lim （212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161+…+2212-n ）=21∞→n lim［311⨯+421⨯+…+)1)(1(1+-n n ］=41∞→n lim［1－31+21－41+…+11-n －11+n ］=41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 培养能力7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且∞→n limnn b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+nn b a 1）的值.解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2. 又∞→n limnn b a =∞→n lim21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =21,即d 2=2d 1,∴d 1=2,d 2=4.∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴nn b a 1=)24()12(1-⋅+n n =41（121-n －121+n ）. ∴原式=∞→n lim41（1－121+n ）=41. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞→n lim1-n nS S .解:S n =p p a n --1)1(1+qq b n --1)1(1,.1)1(1)1(1)1(1)1(1111111qq b p p a q q b p p a S S n n n n n n--+----+--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜pq ＜1,上式分子、分母同除以p n －1，得.1])(1[1)11(1)1(1)1(11111111111qp q pb p p a q pq p b p p p a S S n n n n nn n n n --+----+--=-------∴∞→n lim1-n n S S =p .当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞→n lim 1-n n S S =qbp a q bp a -+--+-11111111=1.探究创新9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =221--+n n a a ,求∞→n lim a n .解:由a n =221--+n n a a ,得2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2. ∴a n －32=－21（a n －1－32）.∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32的等比数列.∴a n －32=－32×（－21）n －1.∴a n =32－32×（－21）n －1.∴∞→n lim a n =32. ●思悟小结1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：（1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.2.熟练掌握如下几个常用极限：（1） ∞→n lim C =C （C 为常数）; （2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）; （3） ∞→n lim dcn b an k k ++=c a （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）; （4） ∞→n lim q n =0（|q |＜1）.●教师下载中心教学点睛1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,00等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.拓展题例【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞→n lim （q a +11－q n ）=21,求首项a 1的取值范围. 解: ∞→n lim （q a +11－q n ）=21, ∴∞→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1. 当q =1时，21a －1=21,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞→n lim （q a +11－q n ）=21得q a +11=21,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠21. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠21或a 1=3.。

数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。

证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。

(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。

（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。

3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。

推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

数列极限定义数列极限是数学中一个非常重要的概念。

它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

数列极限的定义是指在某一序列中，当最大值或最小值不断接近某确定的值，最终在整个序列中被认为是收敛的，那么这个确定的值就叫做此序列的极限值。

首先要解释的是，极限是一种抽象概念，即无限接近某个特定值，而且在数列中不可能达到这个特定值。

即使数字在接近时不断变化，但它也不可能达到这个特定值。

而且，在任何一个具体极限值之前，必须先存在一种极限概念，它必须经过一定的程序才能到达最终的极限值。

不仅如此，在计算极限时，还必须考虑数列中的渐进现象。

渐进现象指的是数列中的值在接近最终值时不断变化，但是最终还是会达到最终值。

而当数列中的值不断变化时，极限值就会出现。

在计算极限时，还需要考虑以下情况：（1）对称性：对称性是指，如果两个数的差距越来越窄，那么它们的差距最终也可以假定为零。

（2）连续性：连续性是指在连续数列中，每一项的和和上一项的和之差也越来越小，最终可以假定为零。

（3）可数性：可数性是指当一个数列重复某一特定值时，它们的差距最终会变为零。

（4）可计算性：可计算性是指在只有有限个值的数列中，当它们的差距越来越小时，最终会变为零。

（5）极限类型的定义：只有当指定的数列重复接近某一定值时，才可以将其定义为极限。

例如，当一个数列的值接近但不等于零时，这个数列可以被定义为极限。

数列极限定义中还包括了一些其他概念，如极小、极大以及极大临界数，它们都是以极限为基础，能够帮助我们更好地了解数列。

极小就是指极限值降低，极大就是指极限值增加，而极大临界数就是极大值到达最大值的点，就像一个可以逆转数列的垂直线一样。

总的来说，数列极限定义是一个重要的概念，它可以帮助我们理解数列中的模式，并且可以用来计算数列中的值。

此外，在计算极限时，还必须考虑的一系列其他概念，如对称性、连续性、可数性和可计算性，这些概念可以帮助我们更深入地理解数列。

数列极限定义
，
数列极限定义是指从一组数的序列出发，当数列中的每一项都趋
向某个特定的数时，这个特定的数就被称为该数列的极限。

例如，设
有一组数据序列 1,2,3...，当我们对其进行求和操作时，求和结果将
不断逼近某个数，这个极限数即定义为该数列的极限。

从几何角度来看，极限有一种共性——它总是出现在两个离散点
连接上边界上，这也是极限的共有定义。

动态地，极限可以被视作一
类特殊函数，可以用来表示不同的数据过程的最终趋势或模式。

有了
极限的定义，我们可以利用它来更好地理解数据的数学规律，有助于
精准地把握数据的变化趋势，从而可以更有效地进行数据分析。

极限也具备一个重要特点—非唯一性，即一个数列可以有多个极限。

I这意味着，当不同的序列求和时，有可能出现完全不同的最终
结果，但它们也可以有相似的极限。

这个特点在一定程度上也决定了
数据分析的具体步骤，同时也提示了我们要注意结果的真实性。

总的来说，极限有很多应用，它的定义不仅有助于理解数据的趋势，而且也提醒我们要时刻关注结果的真实性。

只有精确地分析数据，才可以对数据进行有效的分析。

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。

数列极限的定义证明一、引言数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，数列极限是数列理论中的基本概念之一。

在数学分析中，数列极限的定义是数学推理的重要基础，也是许多数学定理的核心。

二、数列极限的定义数列极限的定义是指当数列的项趋向于某个值时，数列的极限就是这个值。

换句话说，对于数列{an}，如果对于任意给定的正实数ε，存在正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε，那么数列的极限就是a。

三、数列极限的重要性1. 在微积分中，数列极限是导数和积分的基础。

在求导和积分的过程中，我们需要用到极限的性质和定义来推导出相应的公式和定理。

2. 在数学分析中，数列极限是许多重要定理的基础，如泰勒级数展开、函数极限和级数收敛等。

3. 数列极限的概念也被广泛应用于物理学、工程学和经济学等应用科学领域，用于描述各种现象和模型。

四、数列极限的例子1. 递推数列：考虑递推数列{an}，其中an=an-1+2，且a0=1。

我们想要求出数列的极限。

根据递推关系，我们可以得到a1=3，a2=5，a3=7，以此类推。

显然，数列的项随着n的增大而无限增大，所以数列没有极限。

2. 有界数列：考虑数列{an}，其中an=(-1)^n/n。

我们想要求出数列的极限。

当n为偶数时，an=1/n；当n为奇数时，an=-1/n。

显然，数列的项在n趋于无穷大时趋近于0，所以数列的极限是0。

3. 收敛数列：考虑数列{an}，其中an=1/n。

我们想要求出数列的极限。

对于任意给定的正实数ε，我们可以找到一个正整数N=1/ε，使得当n>N时，|an-0|<ε。

因此，数列的极限是0。

五、数列极限的性质1. 数列极限的唯一性：如果一个数列的极限存在，那么它是唯一的。

2. 数列极限的保号性：如果数列的极限大于（小于）0，那么数列中的项大于（小于）0的项的索引之后的所有项。

3. 数列极限的有界性：如果数列的极限存在，那么数列是有界的，即存在正整数M，使得对于所有的n，|an|<M。

数列极限定义极限是数学中一个重要的概念，在高等数学课程中，我们会经常遇到极限的概念。

大多数时候，极限通常指的是“数列极限”。

它是用来表示一个数列中某个数值的概念，也就是说，它是用来表示某个数列以及其所有元素的极限。

比如，如果一个数列的某个数字是a，那么它的极限就是a。

而它的极限，则是指当n趋近于无穷大的时候，a的趋势仍然是稳定的，也就是说a的值不会有太大的变化。

这样，如果我们对一个数列求极限，就是求这个数列在n趋近于无穷大的时候，a的值最终会稳定在什么地方。

具体来说，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2,a3, ..., an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。

下面是一个关于数列极限的数学证明。

设给定的数列为：a1, a2, a3,, an，那么当n无限大的时候，极限L存在，设L = a1 + (a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an - an-1)，则有：L = a1 + [a2 - a1 + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a1) + (a3 - a2) + + (an-1 - an-2)] + (an - an-1)= a1 + [(a2 - a2) + + (an-1 - an-1)] + (an - an-1)= a1 + (an - an-1)= L由上述公式可知，当n无限大的时候，极限L存在，而且有L = a1 + (an - an-1) 。

再考虑极限的定义，极限L应当是数列中所有元素的极限，即当n趋近于无穷大的时候，所有的元素的值都会趋近于L。

由以上证明可知，当n趋近于无穷大的时候，数列的极限L存在，并且有极限L = a1 + (an - an-1) 。

因此，可以得出结论，数列极限的定义是：如果给定一个数列{a1, a2, a3,, an}，那么当n无限大的时候，极限存在，并且有极限 L，当n趋近于无穷大的时候，该数列的所有元素都会趋近于L。