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数列与函数的综合运用练习题在数学中，数列和函数是常见且重要的概念。
数列是按照特定的规律排列的一系列数值的集合，而函数是一种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
数列和函数的综合运用能够帮助我们更好地理解数学问题，并提供解决问题的方法。
本文将通过一系列练习题来展示数列与函数的综合运用。
1. 已知数列的通项公式为an = 3n + 1，求该数列的前10项。
解析：根据题目中给出的通项公式，我们可以依次计算出数列的前10项：a1 = 3*1 + 1 = 4，a2 = 3*2 + 1 = 7，以此类推，计算出a3到a10的值。
答案：该数列的前10项分别为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31。
2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求f(2)的值。
解析：对于函数f(x)，要求f(2)的值，只需要将x替换为2，然后计算出f(2)的结果。
答案：f(2) = 2*(2^2) + 3*2 - 1 = 14。
3. 设数列的前n项和为Sn，已知数列的通项公式为an = n^2，求Sn。
解析：由数列的通项公式可知，每一项的值都是n的平方，因此前n项和Sn可以表示为Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2。
答案：Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。
4. 已知函数g(x) = 3x - 2，求满足g(x) = 10的x的值。
解析：要求满足函数g(x) = 10的x的值，即求解方程3x - 2 = 10。
答案：解方程3x - 2 = 10，可以得到x = 4。
通过以上练习题的解答，我们可以看到数列和函数在数学问题中的应用。
数列可以描述一系列数值的排列规律，而函数则提供了一种映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
通过运用数列和函数的相关概念和公式，我们可以解决各种数学问题，并获得准确的答案。
需要注意的是，在解决问题时，我们要仔细理解题目中给出的条件和要求，并根据题目类型选择合适的数列或函数的公式进行计算。
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。
- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。
根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。
2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。
- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。
由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。
那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。
3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。
- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。
4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。
5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。
- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。
二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。
- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m + a_n=a_p + a_q。
2023届高考复习数学易错题专题（数列）汇编1．已知数列{a n }是等比数列，a 5＝4，a 9＝16，则a 7＝( )A ．8B ．±8C ．－8D ．12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（ ）A. 22S =B. 24144S =C. 31243S =D. 60660S =3．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或124. 设数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=，求{}n na 的前n 项和（ ） A. ()121n n -- B. ()121n n -+ C. ()1121n n ++- D. ()1121n n +++ 5. 1232482n n n S =++++= （ ） A. 22n n n - B. 1222n n n +-- C. 1212n n n +-+ D. 1222n n n +-+ 6. 已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈L ，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A. 202120212⋅ B. 202220212⋅ C. 202120222⋅ D. 202220222⋅7．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 2ꞏa 6ꞏa 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 2＋b 101－a 3ꞏa 9的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－ 38．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程之和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米9. 已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：1*112233(1)22()n n n a b a b a b a b n n N ++++⋯+=-⋅+∈，若{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，11()3n n c -=-，则数列n n a c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和是（ ）A. 1(41)(3)16nn -+- B. 13(41)16n n ++ C. 1(32)(3)16n n -+- D. 13(32)16n n ++ 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋tn (n ≤2 020)，若数列{a n }为递减数列，则t 的取值范围是________．11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 11|＝________.12．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 17＝______. 13．数列{a n }满足1a n ＋2＝2a n ＋1－1a n ，a 1＝1，a 5＝19，b n ＝2na n ，则数列{b n }的前n 项和为S n ＝________. 14. 已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n n ++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若192n S =-，则n =__________.15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝4n －3，则数列{a n }的通项公式为________． 16. 若数列{}n a 的前n 项和1n n S n-=，则其通项公式为_______． 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，求这个数列的通项公式.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，15n n a S +=+，则5S =______． 19. 已知等比数列{}n a 中，12a =，36S =，求3a 和q ．20. 数列{}n a 是首项14a =的等比数列，且324,,S S S 成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. 21. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()lg 1n S n -=（n ∈N ，1n ≥），求{}n a 的通项公式．22. 已知数列{}n a 中，满足()1212,,n n n a a a b a k a a ++===+对任意*n ∈N 都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1a b ==，且{}1n n a a ++是等比数列，求k 的值，并求n S ．。
数列题库1.已知数列{a n }是递增的等差数列，37a =，且4a 是1a 与27的等比中项． （1）求a n ； （2）若n b ={b n }的前n 项和T n ．2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列，b n =2log 2(1+a n )－1． （l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原顺序组成数列{c n }，求c 1+c 2+…c 100的值． 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列，b n =2log 2(1+a n )－1． （l ）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }中去掉数列{a n }的项后余下的项按原顺序组成数列{c n }，求c 1+c 2+…c 100的值． 4.在递增的等比数列{a n }中，1632a a =，2518a a +=，其中n ∈*N . （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）记21log n n n b a a +=+，求数列{b n }的前n 项和T n . 5.若正项数列{a n }满足：1n na a +=a n +1﹣a n （n ∈N *）．则称此数列为“比差等数列”． （1）试写出一个“比差等数列”的前3项；（2）设数列{a n }是一个“比差等数列”，问a 2是否存在最小值，如存在，求出最小值：如不存在．请说明理由；（3）已知数列{a n }是一个“比差等数列”，S n 为其前n 项的和，试证明：S n ＞2542n n +-．6.已知数列}n 是等比数列，且129,36a a ==．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{}2n a n -的前n 项和S n ．7.若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项01>a ，且)(2*2N n a a S n n n ∈=- （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若0>n a ，令)()2(1*2N n a a b n n ∈+=，设数列{b n }的前n 项和T n ，比较T n 与43大小.8.已知数列{a n }满足121+-=+n n n na a a .（1）21=a ，求32,a a ，并猜想数列{a n }通项公式； （2）若31≥a ，用数学归纳法证明2+≥n a n42221--≥+⋅⋅⋅+++n a a a n n .9.已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记k n n n a a b +-=，k n n n a a c ++=（*∈N n ）.若对任意的正整数n 满足：1+≤n n b b ，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“)(k H ” 数列. （1）若数列{a n }的前n 项和为2n S n =，证明：{a n }为H (k )数列；（2）若数列{a n }为)1(H 数列，且5,1,1211=-==c b a ，求数列{a n }的通项公式； （3）若数列{a n }为)2(H 数列，证明：{a n }是等差数列. 10.已知数列{a n }中，122,3a a ==，其前n 项和S n 满足1121(2,)n n n S S S n n N *+-+=+≥∈. （1）求证：数列{a n }为等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{b n }的前n 项和T n . 11.已知公差不为零的等差数列{a n }的前4项和为10，且237,,a a a 成等比数列． （1）求通项公式a n ；（2）设b n =2n a ,求数列{b n }的前n 项和S n ． 12.(本小题满分12分) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且1232+=32a a a a -=,，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且34516b S ==,. （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，有点11(,0)P a 、22(,0)P a ……(,0)n n P a 、11(,0)n n P a ++,111(,)Q a b 、222(,)Q a b ……(,)n n n Q a b ，若记1n n n PQ P +∆的面积为c n ,求数列{c n }的前n 项和T n .13.已知等比数列{a n }满足条件a 2 + a 4=3(a 1+ a 3)，a 2n =3a n 2，n ∈N *，数列{b n }满足b 1=1，b n －b n -1=2n －1（n ≥2，n ∈N *）（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{c n }满足 312123nn nc c c c b a a a a ++++=，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n . 14.已知数列{a n }满足：12121222n n n n a a a a n ---++++=，*n N ∈。
数列通项公式—常见9种求法一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例3 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
例6 已知数列满足，求的通项公式。
解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
例8 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设⑥将代入⑥式，得整理得。
令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
通项：1，已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；2，设数列).(3,3,3}{*111N n n P P P b b b n n n n n n n ∈+===++且满足 （I ）求数列{b n }的通项公式；3，已知数列{a n }中，a n =2－11-n a ( n ≥2，n ∈N +)（1）若a 1=53，数列{b n }满足b n =11-n a ( n ∈N +)，求证数列{b n }是等差数列；4，已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （I ）求λ的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式a n ；5，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--= （Ⅰ）求证：数列}{n a 为等差数列，并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式；6，在数列{}n a 中，()113,2232,n n n a a a n n N *-=-=++≥∈且（1）设()32n n n a b n N *+=∈，证明：{}n b 是等差数列；7.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；8．已知),.(1,1*11N R ∈∈--==+n p n pa a a n n（I ）当p=1时，求数列}{n a 的通项公式；（II ）设p b n a b n n n求为等比数列若数列,}{,2--=的值。
9．已知O 为C B A ,,三点所在直线外一点，且OC B OA μλ+=O 。
数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且111111n n n nn n a a b b a b λμμλ----=++⎧⎨=++⎩（2n ≥） (Ⅰ) 求μλ+；(Ⅱ) 令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；(III ) 当21=-μλ时，求数列{}n a 的通项公式．10.已知正项数列{}n a ，()2281+=n n a S ⑴求证：{}n a 是等差数列；11. 已知数列.2,,3,}{1*1=∈+-=+a N n n S a S n a n n n n 且项和为的前 （1）求数列}{n a 的通项；12.已知数列{}n a 中123,5a a ==，其前n 项和为满足12122(3)n n n n S S S n ---+=+≥．（1）试求数列{}n a 的通项公式．13.数列{}n a 的各项都是正数，11a =，11112n n n n a a a a +++=+ ，2n n n b a a =+ . （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式；14. 在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++ （I ）设n na b n =，求数列{}n b 的通项公式15.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列.（II ）求数列{}n a 的通项公式。
数列常用几种方法一.累加法适用于：()1n n a a f n +=+已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
二.累乘法适用于：()1n n a f n a +=已知数列{}n a 满足()()121n n n a n a ++=+，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
已知数列{}n a 满足1153nn n a a a +=⨯=，，求数列{}n a 的通项公式三.拆项求和法 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S求n S =*11111()121231234123n N n++++⋅⋅+∈++++++++++ 四.错位相减法 求和：135724816++++ (212)n n -+求数列a ，2a 2，3a 3，4a 4，…，na n ,，…(a 为常数) 的前n 项和五.倒序相加法已知()221x f x x=+，求()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）设()f x =()()87f f -+-+…()0f ++…()()89f f ++的值六.求差（商）法已知数列{}n a 满足12211125222n n a a a n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=+，求通项公式n a已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥七.分组求和法求数列112，124，138，1416，⋅⋅⋅⋅⋅⋅前n 项的和八.倒数变换法 已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。
已知an求sn的方法题型一、公式法1. 等差数列- 题目：已知数列{a_n}为等差数列，a_n=2n - 1，求S_n。
- 解析：- 对于等差数列a_n=a_1+(n - 1)d，这里a_n=2n - 1，当n = 1时，a_1=2×1 - 1=1。
- 公差d = 2（因为a_n=2n - 1的一次项系数就是公差）。
- 根据等差数列求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，a_n=2n - 1，则S_n=(n(1 + 2n - 1))/(2)=n^2。
2. 等比数列- 题目：已知数列{a_n}为等比数列，a_n=2×3^n - 1，求S_n。
- 解析：- 对于等比数列a_n=a_1q^n - 1，这里a_1=2（当n = 1时），q = 3。
- 根据等比数列求和公式S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}(q≠1)，所以S_n=frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3}=3^n-1。
二、分组求和法1. 题目：已知a_n=2n+3^n，求S_n。
2. 解析：- 因为a_n是由一个等差数列2n和一个等比数列3^n组成。
- 先分别求这两部分的和。
- 对于等差数列b_n=2n，b_1=2，公差d = 2，根据等差数列求和公式S_1=frac{n(b_1+b_n)}{2}=(n(2 + 2n))/(2)=n(n + 1)。
- 对于等比数列c_n=3^n，c_1=3，公比q = 3，根据等比数列求和公式S_2=frac{3(1 - 3^n)}{1 - 3}=frac{3^n + 1-3}{2}。
- 所以S_n=S_1+S_2=n(n + 1)+frac{3^n + 1-3}{2}。
三、裂项相消法1. 题目：已知a_n=(1)/(n(n + 1))，求S_n。
2. 解析：- 因为a_n=(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
已知数列{an}中，a1=1，{an}的前n项和Sn满足Sn+1=3S。
则数列{an}的通项公式为（）
解：S(n+1)=3Sn
S(n+1)/Sn=3，为定值
S1=a1=1，数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列
Sn=1×3^(n-1)=3^(n-1)
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3^(n-1)-3^(n-2)=2×3^(n-2)
n=1时，a1=2×3^(1-2)=2/3≠1
数列{an}的通项公式为
an=1 n=1
2×3^(n-2) n≥2
已知在数列{an}中,a1=-1,an+1=an+2n，则an=
解：a(n+1)-an=2n
所以an-a(n-1)=2(n-1)……a2-a1=2*1相加an-a1=2*[1+2+……+(n-1)]=2*n(n-1)/2=n²-na1=-1
所以an=n²-n-1
9．(2014年广东深圳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(nN*)．
(1)求a1，a2的值；
(2)求an；
(3)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.
(1)解：当n＝1时，有4×(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，
解得a1＝8.
当n＝2时，有4×(2＋1)(a1＋a2＋1)＝(2＋2)2a2，
解得a2＝27.
(2)解：方法一：当n≥2时，有4(Sn＋1)＝，
4(Sn－1＋1)＝.
①－，得4an＝－，
即＝.
＝＝＝…＝＝1.
an＝(n＋1)3(n≥2)．
方法二：根据a1＝8，a2＝27，猜想：an＝(n＋1)3.
当n＝1时，有a1＝8＝(1＋1)3，猜想成立．
假设当n＝k时，猜想也成立，即ak＝(k＋1)3.
那么当n＝k＋1时，
有4(k＋1＋1)(Sk＋1＋1)＝(k＋1＋2)2ak＋1，
即4(Sk＋1＋1)＝，
又 4(Sk＋1)＝，
①－，得4ak＋1＝－＝－，
解得ak＋1＝(k＋2)3＝(k＋1＋1)3 .
当n＝k＋1时，猜想也成立．
因此，由数学归纳法证得an＝(n＋1)3成立．
(3)证明：bn＝＝<＝－，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＋＋＋…＋＋
<＋＋＋…＋＋
＝＋＋＋…＋＋
＝＋－<.
容器A中盛有12％的食盐水300克,容器B中盛有6％的食盐水300克,从A、B中分别取出100克食盐水,将A中取出的倒入B中, 将B中取出的倒入A中,这样进行一次,叫做一次“操作”.
(1)操作一次后,A、B中含食盐各多少克?
(2)操作n次后, A、B中含食盐的浓度分别为an％和bn％,证明an+bn为定值.并求an和bn.
解：设每次操作后的盐水都混合均匀，那么
第一次操作后，A中浓度变为a1%=(2*12%+6%)/3,B中浓度变为b1%=(12%+2*6%)/3;
第二次操作后，A中浓度变为a2=(2*a1+b1)/3,B中浓度变为b2=(a1+2*b1)/3;
依此类推，第n次操作后，A中浓度变为an=(2*a(n-1)+b(n-1))/3,B中浓度变为bn=(a(n-1)+2*b(n-1))/3;
故an+bn=a(n-1)+b(n-1)=a(n-2)+b(n-2)=……=a1+b1=12+6=18.
已知在数列{an}中,a1=-1/2,2an=a n-1-n-1（n≥2，n∈N*）,设bn=an+n
（1）证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列｛nbn｝的前n项和Tn；
（3）若Cn=（）n-an.Pn为数列｛｝的前n项和，求不超过P2014的最大的整数。
十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是________
解析:
由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋－＝4 039.
若a，log927，b(a,b∈R)成等比数列，数列｛an｝的前n项和Sn=（2/3ab）n2-1/2n,则1/a1a2+1/a2a3+…+1/anan+1=
已知数列{an}前n项和sn,a1+a2=16且sn=2sn-1+n+4(n≥2,n∈n*)
（1）求an通项公式。
（2）令bn=nan,求{bn}的前n项和Tn
1.
n=2时，S1=a1 S2=a1+a2=16
S2=2S1+2+4
2a1+6=16
2a1=10
a1=5 S1=5
n≥2时，
Sn=2S(n-1)+n+4
Sn+(n+1)+5=2S(n-1)+2n+10=2[S(n-1)+n+5]
[Sn+(n+1)+5]/[S(n-1)+n+5]=2，为定值。
S1+2+5=5+2+5=12
数列{Sn+ (n+1)+5}是以12为首项，2为公比的等比数列。
Sn +(n+1)+5=12×2^(n-1)=3×2^(n+1)
Sn=3×2^(n+1)-n-6
n≥2时，S(n-1)=3×2ⁿ-(n-1)-6=3×2ⁿ-n-5
an=Sn-S(n-1)=3×2^(n+1)-n-6-3×2ⁿ+n+5=3×2ⁿ-1
n=1时，a1=3×2-1=5，同样满足通项公式。
数列{an}的通项公式为an=3×2ⁿ-1
2.
bn=nan=n(3×2ⁿ-1)=3×(n×2ⁿ) -n
Tn=b1+b2+...+bn
=3×(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)-(1+2+...+n)
=3×(1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ)- n(n+1)/2
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ，
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Cn=(n-1)×2^(n+1) +2
Tn=3Cn- n(n+1)/2
=3(n-1)×2^(n+1) +6 -n(n+1)/2
中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2012年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2013年开始到2022年每年人口比上年增加万人，从2023年开始到2032年每年人口为上一年的99%．
（Ⅰ）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2013年为第一年）；
（Ⅱ）若新政策实施后的2013年到2032年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2032年后是否需要调整政策？
【答案】
（1）；（2）到2032年不需要调整政策.
【解析】
试题分析：（1）由题意可知，当时，数列是首项为，公差为的等差数列，
当时，数列是以公比为的等比数列，又
因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万元）的表达式为
(2)设为数列的前项和，则从2013年到2032年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
万
(说明：)新政策实施到2032年年人口均值为万
由，故到2032年不需要调整政策.
试题解析：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，
2分
当时，数列是以公比为的等比数列，又
4分
因此，新政策实施后第年的人口总数（单位：万元）的表达式为
6分
(2)设为数列的前项和，则从2013年到2032年共年，由等差数列及等比数列的求和公式得：
万10分
(说明：)
新政策实施到2032年年人口均值为万12分
由，故到2032年不需要调整政策．13分
考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.等差、等比数列的前n项和公式的应用.。
