3.数列中已知前n项和Sn求an

数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。

例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。

例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。

答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。

例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。

答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。

例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。

答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。

例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。

答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。

例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。

答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。

等差数列sn和an的关系
等差数列是指数列中相邻两项的差是一个常数的数列。

其中，Sn表示等差数列的前n项和，An表示等差数列的第n项。

首先，我们来看Sn和An的关系。

1. Sn的计算公式：
等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算，Sn = n/2 (a1 + an)，其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

2. An的计算公式：
等差数列的第n项An可以通过以下公式计算，An = a1 + (n-1)d，其中n表示项数，a1表示首项，d表示公差。

从上述公式可以看出，Sn和An之间的关系在于Sn是An的累
加和。

换句话说，Sn是前n项An的和。

另外，我们还可以从几何角度来理解Sn和An的关系。

1. Sn的几何意义：
等差数列的前n项和Sn可以表示为一个由n个相邻矩形组
成的图形的总面积。

其中，每个矩形的长是等差数列的项，宽是1。

2. An的几何意义：
等差数列的第n项An可以表示为一个以a1为首项，公差为d，共有n项的等差数列的最后一项。

综上所述，Sn和An之间的关系可以从代数和几何两个角度来
理解。

在代数上，Sn是An的累加和；在几何上，Sn可以表示为一
系列矩形的总面积，而An则表示等差数列的最后一项。

希望这些解
释能帮助你更好地理解Sn和An的关系。

第6讲 通项公式的求解策略:Sn 与an 关系一．选择题（共1小题）1．（2021•蒙阴县校级期中）已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为 A ．，B ．，C ．，D ．，二．填空题（共3小题）2．（2021•道里区校级期中）设是数列的前项和，，当时，有，则使成立的正整数的最小值为 ．3．设数列的前项和为，若且当时，，则数列的通项公式 ．4．（2021•冀州市校级模拟）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．三．解答题（共36小题）5．（2021•浙江模拟）已知数列前项和为满足，．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）设，求证：．6．已知数列的前项和为，，求的前3项，并求它的通项公式．7．已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式．8．（2021•武进区校级模拟）已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间，内的个数，记数列的前项和为，求．9．在数列中，，是的前项和，当时，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；{}n a 21232(*)n n a a a a n N ⋯=∈*n N ∈12111n t a a a ++⋯+<t ()1(3)+∞1[3)+∞2(3)+∞2[3)+∞n S {}n a n 13a =2n …1122n n n n n S S S S na --+-=122021m S S S ⋯⋯…m {}n a n n S 13a =2n …12(*)n n n a S S n N -=⋅∈{}n a n a ={}n a 1a t =n n S 212n n S S n n ++=+*n N ∀∈1n n a a +<t {}n a n n S 12S =132(*)n n S S n N +=+∈n a (*)n n na b n N S =∈12121332n b b b n ++⋯+-……{}n a n n S 2n S n n =+{}n a {}n a n 2132n S n n =++{}n a n n S 11a =1a 2a 2S 2n …11230n n n S S S +--+={}n a m b 1{}na (014](*)m m N -∈2{(1)}m mb -⋅m m W 20W {}n a 11a =n S {}n a n 2n …112n n n n S S S S ---=1{}nS {}n a（3）设，求数列的前项和．10．（2021春•宣威市月考）已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，，求；（Ⅲ）设，是数列的前项和，，试证明：．11．（2021春•崂山区校级期中）已知是数列的前项和，当时，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足，求数列的前项和．12．（2021•安徽月考）已知数列的前项和为，满足，为常数）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．13．（2021•浦城县期中）已知数列的前项和是，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的取值范围．14．（2021•永昌县校级月考）已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若的前项和，求的取值范围．15．（2021•沈阳四模）已知数列中，，其前项和满足．（1）求；（2）记，求数列的前项和．112(23)n n n C n a ++=-{}n C n n T 12a =n n S *n N ∈2n …n a 34n S -1522n S --{}n a (1)n n b n a =+n T {}n b n *n N ∈n T 13423n n n n na c a -=⋅-⋅n P {}n c n *n N ∈32nP <n S {}n a n 2n (11)22n n n S S S +-++=10S =24a ={}n a {}n b 22331b a b a =={}n n a b g n n T {}n a n n S 11a =1()(2n S n t n t =+{}n a 1(1)()n n n n b lg a a +=-⋅{}n b n n T {}n a n n S 1n n S a +=*0()n a n N ≠∈{}n a 2log (1)(*)n n b S n N =-∈12231111n n n T b b b b b b +=+++n T {}n a 12a ={}n b 25b =11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-{}n a {}n b 11{}n n b b +n n T n T {}n a 11a =n n S *11()n n a S n N +=+∈n S 11n nn n n S S b S S ++-={}n b n n T16．（2021•福田区校级四模）已知数列的前项和为，，数列满足．（1）求；（2）设，求数列的前项和．17．（2021•温州模拟）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求，及通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项的和．18．（2021•厦门一模）在，与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知数列的前项和为，，且满足 _____，若，求使不等式成立的最小正整数．19．（2021•河南期末）已知数列的前项和满足，数列满足．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．20．（2021•皇姑区校级期末）已知数列前项和为，且，，数列为等差数列，，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．21．（2021•碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，若，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．22．已知数列的前项和为，且．（1）证明为等比数列；（2）若，求的前项和．23．（2021•淮安期末）从条件①，，③，，中任{}n a n n S 2n n S a n n =+-{}n b 1n nb a =n a 1n n nc b b +=⋅{}n c n n T {}n a n n S 2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数2a 3a n a 1n n n b a a +=+1{2}n n b -⋅2n 2n T 1=+21n +n a 24(1)(0)n n n S a a =+>{}n a n n S 11a =11n n n b a a +=12919n b b b ++⋯+>n {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 221log log n n n b a a +=+{}n a {}n b {}n c n n n c a b ={}n c n n T {}n a n n S 13a =11n n S a +=-{}n b 24a b =257b b b +={}n a {}n b 1(2)n nn n a b c n b +=+{}n c n n T {}n a n n S 0n a >218a a =112n a +=n a n b ={}n b n n T {}n a n n S *24()n n S a n n N -=-∈{2}n S n -+11n n n n a b a a +-={}n b n n T 2(1)n n S n a =+(2)n a n +=…0n a >22nn n a a S +=选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，，_____．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值．24．（2021•连城县校级月考）已知正项数列的前项和为是与的等比中项，数列中，若，且．（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，记数列的前项和为，对，求使不等式恒成立的的最小正整数值．25．（2021•息县校级三模）已知在数列中，，，前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求．26．（2016•荆州模拟）已知数列中，，，其前项和满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ） 若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值．27．（2016秋•儋州校级期末）已知数列满足，．（1）求证：数列为等差数列；（2）求的通项公式．28．（2021•河西区一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．29．（2021春•瑶海区月考）已知数列的各项均为正数，，其前项和为，且当时，、{}n a n n S 11a ={}n a 1a k a 2k S +k {}n a n n S 142(1)n a +{}n b 11b a =123n n b b -=+{3}n b +3n n n a b =+ð{}n ðn n T *n N ∀∈302n T λ-+…λ{}n a 14a =0n a >n n S 2)n a n =…{}n a 11{}n n a a +n n T n T {}n a 13a =25a =n n S 12122(3)n n n n S S S n ---+=+…{}n a n a *22256log (1n n b n N a =∈-{}n b n n S n n S {}n a 11a =22(2)21nn n S a n S =- (1){}nS {}n a {}n a n n S 2124n n a S n +=++21a -3a 7a {}n b {}n a {}n b 111n n n n na a ab +-=g g ð{}n ðn n T {}n a 12a =n n S 2n …n S、构成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求．30．（2021春•平顶山期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足．（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求满足的最小正整数．31．（2021•邵东市校级月考）已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前项和满足，并且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求．32．（2021•南通模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，，，为等差数列，求的最大值．33．（2021•通州区学业考试）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）从数列中抽出个不同的项按一定次序组成新数列．①若，且，，成等差数列，求的值；②是否存在偶数，使得，，，，，成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．214n a 1n S -{}n a {}n b (1)n n n b lnS =-{}n b n n T n T {}n a n n S 224(*)n n n a S a n N =+∈2{}nS 12n a <n {}n a *n N ∈n n S 2111623n n n S a a =++2a 4a 9a {}n a 11(1)n n n n b a a ++=-g n T {}n b n 2n T {}n a n n S 22211(1)(1)22m n m n S a S ++=+m n 2a 3a 4a {}n a {}n b (1)n n n b a =--1n b 2n b ⋯12(t n t b n n n <<⋯<*)t N ∈t {}n a n n S *11()2n n nS a n N a =+∈2{}nS 2{}nS k {}k b 13b …12b b 23b b 31b b 123b b b ++k 12b b 23b b 34b b ⋯1k k b b -1k b b k34．已知数列，对任意，都有．（1）若是首项为1，公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（2）若是等差数列，是等比数列，求证：．35．（2021春•广东月考）已知数列满足：，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．36．已知数列的首项，其前项和为，且满足；（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：对任意，都有．37．（2021春•内江期末）已知数列的前项和为，，且，数列满足，，对任意，都有．（1）求数列、的通项公式；（2）令．求证：；38．（2021•新罗区校级期中）已知数列满足对任意的都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．39．（2013秋•东胜区校级月考）已知数列满足，其中是的前项和，且，求（1）求的表达式；（2）求．40．（2021春•东湖区校级月考）已知等差数列的首项，公差，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列的第二项，第三项，第四项．{}n a {}n b *n N ∈112132122n n n n n a b a b a b a b n +--+++⋯+=--{}n a {}n b {}n a {}n b 112233111132n n a b a b a b a b +++⋯+<{}n a 123n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+=-*n N ∈1a 2a {}n a (2)(1)n n b n a =--*n N ∈214n b t t +…t {}n a 1a a =n n S 2*13(1)()n n S S n n N ++=+∈{}n a 32a =*n N ∈2222232121111112n n a a a a -++⋯++<{}n a n n S 11a =(1)2(*)n n n a S n N +=∈{}n b 112b =214b =*n N ∈212n n n b b b ++={}n a {}n b 1122n n n T a b a b a b =++⋯+122n T <…{}n a *n N ∈0n a >33321212()n n a a a a a a ++⋯+=++⋯+{}n a 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 1log (1)3n a s a >-n a {}n a 2*()n n S n a n N =∈n S {}n a n 11a =n a n S {}n a 11a =0d >{}n b（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数，均有，求的前项和．{}n a {}n b {}n c n 3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯+={}n c n n S。

数列n s 与n a 关系知识点1.等差数列前n 项和公式:n da n d d n n na a a n S n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=2. 等比数列前n 项和公式: ⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111)1(1111q q q a a q q a q na S n n n3.数列{}n a 是等差数列⇔q p n q pn a n ,),1(≥+=为常数b a n bn an S n ,),1(2≥+=⇔为常数(没有常数项的二次函数)数列{}na 是等比数列⇔n a =m ap (a ≠0)⇔n ns ap r =+(a+r=0) 4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n a n S )12(12-=-5. 数列n s 与n a关系:⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21,11n S S n S a S n n n n训练题A 组1.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为( A ) A.15 B.16 C.49 D.642.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,)1(13≥-=n S n n ,则=n a ( A ) A.132-⋅n B.46-n C.432-⋅n D.n32⋅3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，2211=S 则=6a ( B ) A.1 B.2 C.3 D.44.数列6.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若102,a a 是方程08122=-+x x 的两个根， 那么11S 的值为 ( D )A.44B.-44C.66D.-665.若两个等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3233+-=n n B A n n , 则=66b a ( C ) A.23 B.1 C.56 D.23276.（2010辽宁文数）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =( B )A.3B.4C.5D.67.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若==5935,95S S a a ( A ) A.1 B.-1 C.2 D.21 8.{}n a 的前n 项和为n S ，)1(12≥+=n n S n ，则=n a ⎩⎨⎧≥-=21211n n n9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,))(1(31*N n a S n n ∈-=,则=n a n )21(- 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且.35-=n n S a 则{}n a 的通项公式是1)41(43--n 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,)2(122,121≥-==n S S a a n n n ,则=n S121-n12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若，147=S 则=4a 2 13.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,r S n n +=3,则=r -114.数列}{n a 的前n 项和为n S ,且,1≥n 时22nn S n +=(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求992199111S S S T +⋅⋅⋅++=的值. (1))1(≥=∴n n a n(2) 22n n S n +=,)111(2)1(21+-=+=∴n n n n S n⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++=∴)1001991()3121()211(2111992199S S S T 5099)10011(2=-=15.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn16.数列{}n a 满足条件11131,1--⎪⎭⎫⎝⎛+==n n n a a a ),3,2( =n(1)求;n a(2)求.321n a a a a ++++解:（1）∑∑=--=+=-+=nk k k k nk n a a a a 21121)31(1)(11)31(2123311])31(1[311---=--+=n n(2)43)31(4323])31(4343[23311)31(212123.321-+=--=-⋅--=++++n n n n n n n a a a a17．（2012广东文）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分训练题B 组1.数列}{n a 的前n 项和为n S ,当,1≥n 32-=n n a S 则n a = 123-⋅n2.等差数列{}n a 中，已知74a =，则13s= 523.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 241494.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,14n n S r -=+,则=r 14- 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1114S =，则61411a =22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(1+S n )=n+1,求数列的通项公式. 解 S n 满足log 2(1+S n )=n+1,∴1+S n =2n+1,∴S n =2n+1-1.∴1=n 时,311==S a ,2≥n 时,a n =S n -S n-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,∴{a n }的通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=).2(2),1(3n n n7.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1(12≥-=n a S n n ,数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2 (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 数列{}n b 的前n 项和为n T ,求n T . (1)11221--=⋅=∴n n n a (2) 121+=∴-n n b)12()12()12(11021++⋅⋅⋅++++=+⋅⋅⋅++=∴-n n n b b b T 122121)222(11-+=+--=++⋅⋅⋅++=-n n n n nn8.数列{}n a 的前n 项和为)()1(*2N n n n a n S n n ∈+++= （1）求通项n a ; （2）设),1111(321nn S S S S T +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-=求证：1<n T 解:(1) n a n 2-=∴(2)nn n n n n S n n S n a n n n 111)111()1(11),1(,2-+=+--=+-=∴+-=∴-= 1111+-=-∴n n S n )11111(1321nn n S S S S S T ++⋅⋅⋅+++-=∴-n T ∴=1111)111()111()3121()211(<+-=+-+--+⋅⋅⋅+-+-n n n n n *N n ∈ ∴1<n T9.已知等差数列{}n a 中,11=a ,前n 项和nS 满足条件12412+-=-n n SS nn ,( n=1,2,3,┅) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn S b 1=，求数列{}n b 的通项公式； （3）数列{}n b 的前n 项和为n T ,若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,求λ的取值范围. 解：（1） 等差数列{}n a 中11=a ，12412+-=-n n SS nn 对于任意正整数都成立， 所以，当n=2时，有21222423=+-⨯=SS ，设数列{}n a 的公差为d ，则d d a S 333313+=+=，d d a S +=+=22212，所以)2(233d d +=+，解得公差1=d ，所以n n a n=-+=)1(11（2）因为()22121nn d n n na S n +=-+=，n n b n +=∴223）由n n b n+=22=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+111212n n n n ，得()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯+⨯=114313212112n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-=111413*********n n 121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 若1+<n n a T λ对一切∙∈N n 都成立,即)1(12+<+n n n λ，∙∈N n 恒成立， 所以2)1(2+>n nλ，而212122212)1(22=+≤++=+nn n n ， （当且仅当n=1时取等号） 所以，λ的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21.10.已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． （1）12n n a -=,21n b n =-． （2）数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 11.已知数列{}n a 满足21=a ,241+=-n n a S (n=2,3,4,...). (1)证明数列{}n n a a 21-+成等比数列;(2)证明数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n a 2成等差数列;(3)求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S .（1）{}n n a a 21-+是首项为4，公比为2的等比数列， （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列. （3）n n n a 2⋅=,12)1(2+⋅-+=n n n S12.已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列； (Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

专题4 如何由数列前n 项和Sn 求数列通项公式an一、单选题1．（2020·贵州省高三期末）设等比数列的前项和为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】当时，；当时，，解得.故选C.2．（2020·陕西省西安中学高三期末）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，则5S =（ ） A ．3116B ．312C ．132D ．3132【答案】D【解析】2n ≥时，1111n nn n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，两式相减，整理得12n n a a -=， ∵112a =，∴112n n a a -=，所以{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，∴55111223113212S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-，故选D.3．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ） A ．201821- B ．201836-C ．20181722⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．201811033⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题意可得：()11323,3231n n n n S a n S a n ++=-=-+，两式作差可得：113223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=--，()1121n n a a ++=-+， 结合1113233S a a =-=可得：113,12a a =-+=-，则数列{}1n a +是首项为2-，公比为2-的等比数列， 据此有：()()2017201820181222a +=-⨯-=，2018201821a ∴=-.本题选择A 选项.4．（2020·海南省高三）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*125n n S S n n n N++=-+∈，则1213aa +等于（ ） A ．2- B ．0 C ．2 D ．4【答案】C【解析】因为()2*125n n S S n n n N++=-+∈，所以当2n ≥时，21(1)25(1)n n S S n n -+=--+-，两式相减得1262(2)n n a a n n ++=-≥，令12n =，得12132a a +=.故选：C. 5．（2020·河南省高三期末）已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C 【解析】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.二、填空题6．（2020·山西省高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122n n S +=-，则n a =______.【答案】2n n a =-【解析】11122222+22(2)n n n nn n n n S S S a n ++-⇒=-=-=--≥=-当1n =时，112a S ==- 满足通项公式，故答案为2nn a =-7．（2020·黑龙江省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足，32n n S a =-.数列{}n na 的前n 项和为n T ，则满足100n T >的最小的n 值为______． 【答案】7【解析】根据题意，数列{a n }满足S n ＝3a n ﹣2，① 当n ≥2时，有S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2，②，①﹣②可得：a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，变形可得2a n ＝3a n ﹣1， 当n ＝1时，有S 1＝a 1＝3a 1﹣2，解可得a 1＝1，则数列{a n }是以a 1＝1为首项，公比为32的等比数列，则a n ＝（32）n ﹣1， 数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1+232⨯+3×（32）2+……+n ×（32）n ﹣1，③则有32T n 32=+2×（32）2+3×（32）3+……+n ×（32）n ，④③﹣④可得：12-T n ＝1+（32）+（32）2+……×（32）n ﹣1﹣n ×（32）n ＝﹣2（132nn -）﹣n ×（32）n ，变形可得：T n ＝4+（2n ﹣4）×（32）n， 若T n ＞100，即4+（2n ﹣4）×（32）n ＞100，分析可得：n ≥7，故满足T n ＞100的最小的n 值为7．8．（2020·湖南省长郡中学高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为()1121,4,41n n n S a S a a a n +==+++≥，则n a =______．【答案】14,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】当2n ≥时，由1214n n S a a a +=+++，得1124n n S a a a -=+++，∴1144n n n S S a -+=-，即14n n a a +=，∴14(2)n na n a +=≥， 又111214,44S a a a a ==+=， ∴212a =，∴当2n ≥时，2112434n n n a --=⨯=⨯． 又14a =，不满足上式，所以所求通项公式为14,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩． 故答案为14,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩． 9．（2020·广东省高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S .若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a =______；5S =______．【答案】1 121 【解析】由2121214a a a a =+⎧⎨+=⎩，解得11a =，23a =，当2n ≥时，由已知可得：121n n a S +=+，①121n n a S -=+，②①－②得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，又213a a =， ∴{}n a 是以11a =为首项，以3q =为公比的等比数列．∴5511312113S -⨯==-.故答案为:3,12110．（2020·江苏省海安高级中学高三）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）（n ∈N *），且a 2＝11，则S 20的值为_____．【答案】1240【解析】由S 2＝a 1+a 2＝2a 2﹣3×2（2﹣1），a 2＝11，可得a 1＝5． 当n ≥2时，由S n ＝na n ﹣3n （n ﹣1）＝n （S n ﹣S n ﹣1）﹣3n （n ﹣1）， 可得（n ﹣1）S n ﹣nS n ﹣1＝3n （n ﹣1）， ∴131n n S S n n --=-，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项151S =，公差为3的等差数列， ∴2020S =5+3×19＝62，∴S 20＝1240.故答案为：1240. 11．（2020·河南省南阳中学高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n N ∈在函数22y x x =+的图像上，则数列的通项公式为 .【答案】41n a n =- 【解析】由题意可得：，当n=1,113,2,41n n n a n a S S n -=≥=-=- ,13,a =13,a =满足，41n a n ∴=-.12．（2020·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*123n n n S a n N =-∈，2020S =_______________.【答案】202011443-⋅ 【解析】当1n =时有11123a a =-得113a =-，当2n ≥时，111123n n n S a ---=-①，又123n n n S a =-②，②－①得1111233n n n n n a a a --=-+-整理得123n n n a a -+=；于是2n =得21223a a +=，4n =得43423a a +=，6n =得65623a a +=，…，20182017201823a a +=，20202019202023a a +=；101020202462016201820202202012222221119211133333334319S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 故答案为：202011443-⋅．三、解答题13．（2020·山西省高三期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2Nn n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值.【答案】（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】（I ）由2n n S a n =-① 当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n nn n a a +=⇒=-所以2121121412n n n a --=-=⋅-记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144 (414)3n n n --+++==-所以()()4412411233nnnT n n --=⋅-=- 14．（2020·安徽省六安一中高三月考）已知数列{}n a 前n 项和为113,2,(1)(2)n n n n S a S S n a n +==+++.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）3nn a n n =⋅-（2）1(21)3(1)3424n n n S n n +-+=-+【解析】（1）由题知1n a +=()1312n n n a S S n n +⎛⎫-=++⎪⎝⎭， 即1321n n a an n+=⨯++，即11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭， 111,130a a =∴+=≠，10na n∴+≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列，13n na n∴+=，3n n a n n ∴=⨯-； （2）由（1）知，3nn a n n =⨯-，n S ∴221312323333n n n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-221323333123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-----，设221323333n n M n =⨯+⨯+⨯++⨯， ①()23131323133n n n M n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯ ②①-②得，()123111233(13)323333331322n n n n n n n M n n +++---=++++-⨯=-⨯=--， ()1213344n nn M +-∴=+，()11232n n n +-----=-，()()121313424n nn n n S +-+∴=-+.15．（2020·山东省高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-()*n ∈N ，数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++()*n ∈N . （I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <. 【答案】（Ⅰ）12n na ；（Ⅱ）见解析【解析】（I ）由12n n S a a =-，当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列，而16b =，得11a =，{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232n n n b -=++， 即()()111121121212121n n n n n n b ---==-++++， 所以0112111111111112121212121212212n n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16．（2020·福建省高三期末）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）.因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②， 由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭ 17．（2020·海南省高三）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()132n n S a -=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设3311log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =；（2）1n nT n =+ 【解析】（1）因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a ++=-. 相减得()1132n n n n S S a a ++-=-，所以()1132n n n a a a ++=-，所以13n n a a +=.又()111312S a a ==-，解得13a =，所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n nn a a -=⋅=， 即{}n a 的通项公式为3nn a =.（2）由（1）可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+.所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 18．（2020·北京市十一学校高三月考）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”.（1）①前n 项和为2nn S =的数列{}n a 是否是“回归数列”?并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”?并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n N *=+∈成立，请给出你的结论，并说明理由.【答案】（1）①是；②是；（2）1-；（3）见解析.【解析】（1）①当2,n n *≥∈N 时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，当2,n n *≥∈N 时，1n n S a +=，1m n ∃=+，所以数列{}n a 是“回归数列”；②因为2n b n =，所以前n 项和2n S n n =+，根据题意22n n m +=， 因为2(1)n n n n +=+一定是偶数，所以存在(1)2n n m +=，使得n m S a =， 所以数列{n b }是“回归数列”； （2）设{}n a 是等差数列为1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，由题意可知：对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，公差0d <，所以2m ∴<，又*,1,1m N m d ∈∴=∴=-； （3）设等差数列n a =1(1)a n d +-，总存在两个回归数列111(1),(1)()n n b a n a c n a d =--=-+，显然{}n b 和{}n c 是等差数列，使得()n n n a b c n N *=+∈，证明如下：111(1)(1)(1)n n n b c a n a n a n d a +=--+-+-=，数列{n b }前n 项和11(1)2n n n B ma a -=-，1,1;2,1n m n m ==== 3n ≥时，(3)22n n -+为正整数，当(3)22n nm -=+时，m n b B =， 所以存在正整数(3)22n nm -=+，使得m n b B =，所以{n b }是“回归数列”，数列{n c }前n 项和n C =1(1)()2n n a d -+，存在正整数(1)12n n m -=+，使得n m C c =，所以{n c }是“回归数列”，所以结论成立.。