3.数列中已知前n项和Sn求an(20200706120351)

微专题数列之三由数列的前n 项和S n 求其通项公式一、备考基础——查清对于题目中给出n a 和n S 关系的，一定要注意公式1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的正用和逆用．已知S n 求a n ，常用的方法是利用a n ＝S n －S n －1（n ≥2），将已知等式转化为关于a n 的递推关系，再求数列的通项公式.要注意验证a 1是否满足a n .二、热点命题——悟通例1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为（ ）A .a n ＝2n －3B .a n ＝2n ＋3C .a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D .a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥2[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－2＋2＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3.又a 1＝1不适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.变式训练： 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k （k ∈N *）项满足5<a k <8，则k ＝（ ）A.7B.6C.9D.8[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－9＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n)－[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10. 又a 1＝－8适合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10.由第k 项满足5<a k <8，得5<2k －10<8，解得 152<k<9,又因为k ∈N *，所以k ＝8.例2．设数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1＝12，S n ＝n 2a n ，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式；解：(1)S n ＝n 2a n ，①当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，②①－②，得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×13×24×35×…×n －1n ＋1＝1n （n ＋1），∴a n ＝1n （n ＋1），n ∈N *.例3．设数列{}n a 满足21*12333...3()3n n n a a a a n N -++++=∈，求n a例4．（2013山东）设等差数列的前项和为,且,(Ⅰ)求数列的通项公式 (Ⅱ)设数列满足,求的前项和解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝12n .所以b n a n ＝12n ，n ∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n .三、迁移应用——练透1.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．[解析] 由a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，得a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减，得a n ＝3n .2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列.解：(1)由S n ＝3n 2－n2，得a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2，a 1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2.(2)证明：要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1·a m ，即(3n －2)2＝1·(3m －2)，即m ＝3n 2－4n ＋2. 而此时m ∈N *，且m ＞n ，所以对任意的n ＞1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________________.解析：由已知可得S n ＝3n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1.当n ＝1时，2·3n －1＝2.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.4.[2015·四川卷] 设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝121－12n 1－12＝1－12n .5.[2015·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知，当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b nn， 所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ， 因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．6.[2015·湖北部分高中调研] 已知数列{a n }为等差数列，a 1＝1，公差d >0，数列{b n }为等比数列，且a 2＝b 1，a 6＝b 2，a 18＝b 3.(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意正整数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝12a 2n ，若m 为正整数，求所有满足不等式102<c 1＋c 2＋…＋c m <103的m 的值．解：(1)由已知可知a 2，a 6，a 18成等比数列，∴a 26＝a 2a 18，即(a 1＋5d )2＝(a 1＋d )(a 1＋17d )， 8d 2－8a 1d ＝0.∵d >0，a 1＝1，∴a 1＝d ＝1，∴a n ＝n .由b 1＝2，b 2＝6，b 3＝18，{b n }为等比数列，得b n ＝2×3n －1.(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝12n 2，∴当n ＝1时，c 1b 1＝12，∴c 1＝1.当n ≥2时，c 1b 1＋…＋c n －1b n －1＝12(n －1)2，∴c n ＝(2n －1)·3n －1.易知当n ＝1时也满足c n ＝(2n －1)·3n －1，∴c n ＝(2n －1)·3n －1.又c n ＝(2n －1)·3n －1>0，c 1＝1，c 1＋c 2＝10，c 1＋c 2＋c 3＝55，c 1＋c 2＋c 3＋c 4＝244，c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5＝973，c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5＋c 6＝3646，∴m ＝4或5. 7.[2015·广东湛江调研] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋3n －12(n ∈N *)． (1)试说明数列{a n －3}为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋3－12，∴a 1＝9.当n >1时，S n －S n －1＝a n ＝2a n ＋3n －12－2a n －1－3(n －1)＋12＝2a n －2a n －1＋3，∴a n －3＝2(a n －1－3)，∴{a n －3}是以6为首项，2为公比的等比数列，∴a n －3＝6×2n －1，∴a n ＝6×2n －1＋3.(2)b n ＝na n ＝6n ×2n －1＋3n ，∴T n ＝6×[1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ·2n －1]＋3×(1＋2＋…＋n )．令K n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ·2n －1，则2K n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，两式相减得－K n ＝1×20＋21＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1＋2－2n －1×21－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴K n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝6(n －1)·2n ＋6＋32(n 2＋n )．。

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

课题浅谈数列中ａn与S n的递推公式的应用数列中an与Sn的关系对于任意一个数列，当定义数列的前n项和通常用S n表示时，记作S n＝a1+ａ2+…＋a n,此时通项公式a n＝错误!．而对于不同的题目中的ａn与S n的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n=S n－Ｓｎ－１（n≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n与S n相关的问题：归纳起来常见的角度有:角度一：直观运用已知的Sｎ，求aｎ；角度二：客观运用a n＝S n—Ｓn—1(n≥２),求与a n,S n有关的结论；角度三:a n与S n的延伸应用。

角度一：直观运用已知的Sｎ，求a n方法：已知S n求ａn的三个步骤（此时Ｓn为关于n的代数式）：(1）先利用a1=S１求出a1;(2）用n—1替换S n中的n得到一个新的关系，利用ａSｎ－S n-1（n≥2)便可求出当ｎ≥2时ａｎ的表达式;...文档交ｎ＝流仅供参考...(3）对n＝1时的结果进行检验,看是否符合n≥２时ａn的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合,则应该分n=1与n≥２两段来写....文档交流仅供参考...同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n项和”的实际意义，对“和的式子"有本质的认识,这样才能更好的运用S n求解。

如：a１＋2a2+３a3＋…+na n＝2n－1，其中a1＋2a２+３a3+…+na n表示数列{na n}的前n项和．...文档交流仅供参考...1．已知数列{a n}的前n项和Ｓn=n2-2n+2，则数列｛aｎ｝的通项公式为( )Ａ．ａn＝2n－3 B.ａｎ=2ｎ＋3C．a n＝错误!Ｄ。

ａn=错误!...文档交流仅供参考...【解析】当n≥２时，ａn=S n-Sｎ－１＝２n-3。

当n＝１时,ａ1＝S1=1，不满足上式。

【答案】C2．（２0１5·河北石家庄一中月考)数列{a n｝满足:ａ１+3a２＋5a３＋…＋（2n－１)·ａｎ＝（n—1）·３n+1＋3(n ∈N＊）,则数列的通项公式a n= ....文档交流仅供参考...【解析】当n≥2时，a1＋3ａ2+5ａ3＋…+(2ｎ－3）·a n-1=（n－2）·3n+3；则用已知等式减去上式得（2n-１）·ａｎ－1)·3n,得aｎ＝3n；当n=1时,ａ1＝3，满足上式; n＝(2故aｎ=３n。

数列sn求an教案教案标题：数列S_n求a_n教案教学目标：1. 学生能够理解数列S_n的概念，并能够根据给定的数列求解数列的前n项和。

2. 学生能够理解数列a_n的概念，并能够根据给定的数列求解数列的第n项。

教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学投影仪等教学工具。

2. 学生准备纸和笔。

教学过程：Step 1: 引入概念 (5分钟)1. 教师向学生介绍数列S_n的概念，解释数列S_n是前n项的和。

2. 举例说明数列S_n的概念，例如：S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n。

Step 2: 数列S_n的求解方法 (15分钟)1. 教师通过示范，解释如何求解数列S_n。

2. 提醒学生要注意数列的规律，例如：等差数列的前n项和公式为S_n = (a_1+ a_n) * n / 2。

3. 给学生几个练习题，让他们尝试求解数列S_n。

Step 3: 引入数列a_n的概念 (5分钟)1. 教师向学生介绍数列a_n的概念，解释数列a_n是数列的第n项。

2. 举例说明数列a_n的概念，例如：a_n = 2n。

Step 4: 数列a_n的求解方法 (15分钟)1. 教师通过示范，解释如何求解数列a_n。

2. 提醒学生要注意数列的规律，例如：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。

3. 给学生几个练习题，让他们尝试求解数列a_n。

Step 5: 综合练习 (10分钟)1. 教师提供一些综合练习题，要求学生综合运用数列S_n和数列a_n的求解方法。

2. 学生独立完成练习题，并互相讨论解题思路和答案。

Step 6: 总结与拓展 (5分钟)1. 教师与学生共同总结本节课所学的内容，强调数列S_n和数列a_n的求解方法。

2. 鼓励学生在课后进行更多的练习，巩固所学知识。

教学延伸：1. 学生可以尝试解决更复杂的数列问题，例如等比数列或斐波那契数列的求解。

2. 学生可以自主寻找数列应用的实际问题，并尝试解决。

第2讲 已知nS 求na一．选择题（共6小题）1．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n n a = B ．3122n n n a n =⎧=⎨⎩C ．D ．【解析】解：由2log (1)1n S n +=+，得，当1n =时，113a S ==； 当2n 时，12n n n n a S S -=-=，所以数列{}n a 的通项公式为3,12,2n n n a n =⎧=⎨⎩．故选：B ．2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =-，1n n a S +=，那么5(a = ) A ．B ．C ．16-D ．32-【解析】解：2n 时，1n n a S +=，1n n a S -=，可得：1n n n a a a +-=，化为12n n a a +=． 1n =时，212a a ==-．数列{}n a 从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么352216a =-⨯=-． 故选：C ．3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．*2()n a n n N =∈B ．*2()n n a n N =∈C ．*2()n a n n N =+∈D ．2*()n a n n N =∈【解析】解：因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，*(1)()2nn n a S n N +=∈， 当2n =时，22121(21)22a S a a a +==+⇒=； 把1n =代入检验，只有答案A B 成立，排除CD ； 当3n =时，；排除B ； 故选：A ．4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14121n n S a n +-=-，11a =，*n N ∈，则{}n a 的通项公式(n a = )A ．nB ．1n +C ．21n -D ．21n +【解析】解：14121n n S a n +-=-， 1(21)41n n n a S +∴-=-①，1(23)41(2)n n n a S n -∴-=-②，①②得：1(21)(23)4(2)n n n n a n a a n +---=， 整理得：121(2)21n n a n n a n ++=-， ，又11a =，符合上式， 21n a n ∴=-．故选：C ．5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，若对任意的*n N ∈，恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．(-∞，2]B ．(-∞，1]C ．1(,]4-∞D ．【解析】解：22a =，2121(*)n n a S n n N +=++∈，2n ∴时，22112()121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1． 11n a n n ∴=+-=．．对任意的*n N ∈，恒成立， 122λ∴，解得14λ． 实数λ的取值范围为(-∞，1]4．故选：C ．6．已知数列{}n a 满足：12a =，，其中n S 为{}n a 的前n 项和．若对任意的n 均有恒成立，则的最大整数值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：当1n 时，由条件， 可得21(1)n n n nS S S S +--=-，整理得，化简得：121n n n S S S +=-， 从而111n n nS S S +--=-， 故， 由于：1111S =-， 所以：数列1{}1n S -是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列， 则：11n n S =-， 整理得：1n n S n+=， 依题只须，12(1)(1)(1)()n S S S f n n++⋯+=，则12(1)(1)(23)1()1(1)n n S f n n n f n n n ++++==>++， 故， 3max∴=，故选：B ．二．填空题（共11小题）7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22(*)n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a = n ．设211(1)nn n n n a b a a ++=-，则数列{}n b 的前n 项和n T = ． 【解析】解：22(*)n S n n n N =+∈，212(1)1(2,*)n S n n n n N -∴=-+-∈，两式相减得：22n a n =，即(2)n a n n =， 又212112a =+=，11a ∴=，也符合上式， n a n ∴=；又2112111(1)(1)(1)()(1)1nn n n n n n a n b a a n n n n +++=-=-=-+++，1111111(1)()()(1)()223341n n T n n ∴=-+++-+-⋯+-++，．故答案为：n ；．8．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，若11a =，12n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式n a = ． 【解析】解：当2n 时，12n n S a -=①，12n n S a +=②， ②①得12n n n a a a +=-，即13n n a a +=．故数列{}n a 从第二项起为等比数列，又22a =，则223n n a -=⨯． 当1n =时，11a =，故2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⨯∈⎩． 故答案为：．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，则数列{}n a 的通项公式n a = n ． 【解析】解：数列{}n a 的的前n 项和为n S ，且①， 当2n 时，②， ①②得， 所以(1)2n n n S +=， 故1(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-=-=-=（首项1符合通项）． 故n a n =． 故答案为：n10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231122n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．【解析】解：231122n S n n =++，可得113a S ==；当2n 时，，则数列{}n a 的通项公式3,131,2n n a n n =⎧=⎨-⎩．故答案为：．11．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，均有n a ，n S ，2n a 成等差数列，则n a = n ．【解析】解：各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，总有n a ，n S ，2n a 成等差数列，22n n n S a a ∴=+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，得22112n n n n n a a a a a --=+--，111()()n n n n n n a a a a a a ---∴+=+-，又n a ，1n a -为正数，11n n a a -∴-=，2n ， {}n a ∴是公差为1的等差数列，当1n =时，21112S a a =+，得11a =，或10a =（舍)， n a n ∴=．故答案为：n ．12．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足，且2a ，5a ，14a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，不等式3()362n T k n +-恒成立，则实数k 的取值范围是 ．【解析】解：，2n ∴时，，可得：22144n n n a a a +-=+，可得，0n a >，可得12n n a a +=+，数列{}n a 是等差数列，公差为2， ，解得11a =．12(1)21n a n n ∴=+-=-． 123b a ∴==，259b a ==．等比数列{}n b 的公比3q =． 数列{}n b 的前n 项和．对任意的*n N ∈，不等式3()362n T k n +-恒成立，． 令243nnn -=，则10c <，20c =，3n 时，． 且11124224100333nn n n n n n n c +++----=-=>，因此单调递减． 3227k c ∴=． 实数k 的取值范围是：． 故答案为：．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2*42()n nn S a a n N =+∈，则n a = 2n ． 【解析】解：由题意知，2*42()n nn S a a n N =+∈， 当1n =时，211142S a a =+， 解得12a =或10a =（舍去），当2n 时，242n nn S a a =+，① 211142n n n S a a ---=+，②，①②得，2211422n n n n n a a a a a --=+--，则22112()0n n n n a a a a ----+=，所以11()(2)0n n n n a a a a --+--=， 因为数列{}n a 各项均为正数， 所以120n n a a ---=，即12n n a a --=， 则数列{}n a 是以2为首项、公差的等差数列， 所以22(1)2n a n n =+-=， 故答案为：2n ．14．数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，其前n 项和为n S ，则 （1）13599a a a a +++⋯+= 50 ； （2）4n S = ．【解析】解：（1）1(1)21n n n a a n ++-=-，21241n n a a n +∴+=-，22143n n a a n --=-．两式相减得21212n n a a +-+=．则312a a +=，752a a +=，，99972a a +=， 1359925250a a a a ∴+++⋯+=⨯=；（2）由（1）得，312a a =-，23212n n a a +++=，*2321212122(2)()n n n n a a a a n N ++--∴=-=--=∈．当*2()n k k N =∈时，；当*21()n k k N =-∈时，41431k k a a a +-==⋯=． 由已知可得414285k k a a k --+=-，．424118587k k a k a k a --∴=--=-+，44118381k k a k a k a -=-+=--．．设*4342414166()n n n n n b a a a a n n N ---=+++=-∈， 则{}n b 为首项为10，公差为16的等差数列． 241216(1)10822n n n n S b b b n n n -∴=++⋯+=+=+． 故答案为：（1）50；（2）282n n +．15．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意*n N ∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且1()()0n n a p a p +--<恒成立，则实数p 的取值范围是 ． 【解析】解：由1(1)32n n n n S a n =-++-，得134a =-； 当2n 时，111111(1)3(1)(1)322n n n n n n n n n a S S a n a n ----=-=-++------+ 11(1)(1)12n n n n na a -=-+--+． 若n 为偶数，则，为正奇数）； 若n 为奇数，则， 13(2n na n =-为正偶数）． 函数为正奇数）为减函数，最大值为134a =-，函数13(2n na n =-为正偶数）为增函数，最小值为．若1()()0n n a p a p +--<恒成立， 则12a p a <<，即． 故答案为：．16．设数列{}n a 前n 项和n S ，且11a =，为常数列，则n a = 2(1)n n + ．【解析】解：2{}n n S n a -为常数列，2n ∴时，2211(1)n n n n S n a S n a ---=--，，12321213451(1)n n n a n n n n --∴=⋯=++． 故答案为：2(1)n n +．17．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意2n ，均有34n S -、n a 、13122n S ---成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．【解析】解：数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和， 对任意2n ，均有34n S -、n a 、13122n S ---成等差数列， 当2n 时，131234222n n n a S S -=-+-+，33(2)n n a S n ∴=-．223(1)3a a ∴=+-，解得20a =， 33(2)n n a S n =-，，113n n n a a a ++∴=-， 12n n a a +∴=-，2n ，20a =，0n a ∴=，2n ， 1,10,2n n a n =⎧∴=⎨⎩． 故答案为：．三．解答题（共9小题）18．设a R ∈，函数()f x lnx ax =-．（1）若3a =，求曲线在(1,3)P -处的切线方程； （2）求函数()f x 单调区间．【解析】解：（1）当3a =时，()3f x lnx x =-，函数的定义域为(0,)+∞，且113()3xf x x x-'=-=， f ∴'（1）， 过点P 的切线方程为，即为210x y ++=； （2）11()(0)axf x a x x x-'=-=>， 当0a 时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得1x a >，故函数在1(0,)a单调递增，在单调递减． 综上，当0a 时，函数()f x 的增区间为(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的增区间为1(0,)a，减区间为．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22(*)n n S a n N =-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log ()n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：． 【解析】解：（1）由22(*)n n S a n N =-∈得1122(2)n n S a n --=-， 1111222a S a a ==-∴=，1122n n n n n a S S a a --=-=-1122(2)nn n n a a a n a --=∴=， 数列{}n a 是首项12a =且公比2q =的等比数列，（2）证明：根据（1），，12n n b b -∴-=， 数列{}n b 是等差数列，11()(2)2n n T n b b n n =+=+，故原命题成立．20．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22()0nn S n n S -+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：．【解析】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足22()0nn S n n S -+=①． 当1n =时，解得12a =，当2n 时，2211[(1)(1)]0n n S n n S ----+-=②，①②得：12n n n a S S n -=-=，（首项符合通项）， 故2n a n =．证明：（2）由（1）得， 所以21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，． （1）若2a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是等差数列，11n n n a b n S ++=，数列的前n 项和为n T ，是否存在*n N ∈，使得13(1)n n n T S a +=+？若存在，求出所有满足条件的n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）当2a =时，23n S n n =++． 当1n =时，115a S ==； 当2n 时，12n n n a S S n -=-=． 经检验，15a =不符合上式，故数列{}n a 的通项公式5,12,2n n a n n =⎧=⎨⎩．（2）当1n =时，113a S a ==+； 当2n 时，12n n n a S S n -=-=． 因为数列{}n a 是等差数列， 所以32a +=，解得1a =-， 因为2n a n =，． 则， 故 ，所以13113(1)(2)(1)(2)()(2)(1)2122n n n n T S n n n n n n +++=++--=-+-+++．令13(1)n n n T S a +=+，整理得23760n n --=，所以3n =， 故存在3n =满足题意．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S 和通项公式n a ； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得715n T >的最小正整数n ． 【解析】解：（1），① ，2n ，②①②两式相减得nS n n=，2n 故2n S n =，2n ，又11S =，从而2n S n =，*n N ∈ 易得， 21n a n ∴=-．（2）由（1）得， 故． 由715n T >得7n >， 又当*n N ∈时，n T 单调递增， 故所求最小正整数n 为8．23．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n N ∈都有2232n n n S a a =+-．数列{}n b 各项都是正整数，11b =，24b =，且数列12,b b a a ，3,,n b b a a ⋯是等比数列． （1）证明：数列{}n a 是等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式n b ； （3）求满足124n n S b <+的最小正整数n ．【解析】解：（1）当1n =时，2111232a a a =+-，即，11(32)(1)0a a +-=， 由10a >得11a =；（1分）当2n 时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-， 所以两式相减得，所以1113()()n n n n n n a a a a a a ----+=+，（3分） 由0n a >知10n n a a -+> 所以113n n a a --=， 所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列．（5分）（2）由（1）得1121(1)333n a n n =+-=+，由12141,2b b a a a a ====，所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列 所以12nn b a -=，（7分）又1233n b n a b =+，所以，即．（10分） （3）由21()1(5)26n n n a a S n n +==+， 所以，（12分）设25()292n nn S n n f n b +==+⨯， 则221222(1)5(1)(1)7612692(1)5()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⨯===++++⨯， 令得222761,360210n n n n n n++>+-<+即， 由*n N ∈得1n =，所以f （1）f <（2）f >（3）f >（4）()f n >⋯>>⋯，（14分） 又因为11611(1)21834S f b ===>+，221471(2)236184S f b ===>+，332411(3)27234S f b ===>+，44361(4)21444S f b ===+，5550251(5)22881444S f b ===<+，所以当5n 时，1()4f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5．（16分） 24．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的*n N ∈，都有． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值． 【解析】解：（1）对任意的*n N ∈，都有． 当2n 时，，化为11()(2)0n n n n a a a a --+--=， 又{}n a 各项均为正数， 12n n a a -∴-=，又2114(1)a a =+，解得11a =． 数列{}n a 是等差数列， ．（2）对任意的*n N ∈恒成立，则2{}nmin e t n．令2n n e b n =，2()1n n +单调递增，2n 时，． 1b e =，224e b =，．24e t ， 实数t 的最大值为24e ．25．已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有3322n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】解：（1）由已知得3322n n S a =-，当2n 时，113322n n S a --=-；113322n n n n S S a a ---=-，即13322n n n a a a -=-，当2n 时，13n n a a -=；数列{}n a 为等比数列，且公比3q =； 又当1n =时，113322S a =-，即113322a a =-，13a ∴=；3n n a ∴=．（2）33log log 3n a =n n =， ；{}n b ∴的前n 项和．26．已知各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n s 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，有222()n n n s pa pa p p R =+-∈．（1）求常数p 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式．【解析】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n s 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*n N ∈，有222()n nn s pa pa p p R =+-∈． 当1n =时，211122a pa pa p =+-， 解得：1p =； （2）由于1p =， 则：2221n n n S a a =+-①，当2n 时，2111221n n n S a a ---=+-②， ①②得：， 整理得：112n n a a --=（常数）， 故：数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，则：11(1)2na n=+-，整理得：12nna+=．。