数列专题(已知Sn求an)

2023高考数列专题——数列的函数性质一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列； (2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( )A ．2B ．－6C ．3D ．1例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( )A ．425B ．428C ．436D ．437跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2三、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn的最小值为( )A ．293B ．47－1C ．485D ．274例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第 项． 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．63、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 0114、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．四、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0B ．252C ．21D ．42跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15 2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．3、 (2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．高考数列专题——数列的函数性质（解析版）一、数列的单调性解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法：根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列；(2)作商比较法：根据a n ＋1a n (a n>0或a n <0)与1的大小关系进行判断；(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断． 例1(2022·滕州模拟)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( B )A ．[1，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫－92，＋∞ 解： ∵数列{a n }是单调递增数列，∴对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋b (n ＋1)>n 2＋bn ，即b >－(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立，又n ＝1时，－(2n ＋1)取得最大值－3，∴b >－3，即实数b 的取值范围为(－3，＋∞)．例2 若数列{a n }满足a n ＝－2n 2＋kn －1，且{a n }是递减数列，则实数k 的取值范围为(－∞，6).解：解法一：由数列是一个递减数列，得a n ＋1<a n ，又因为a n ＝－2n 2＋kn －1，所以－2(n ＋1)2＋k (n ＋1)－1<－2n 2＋kn －1，k <4n ＋2，对n ∈N *，所以k <6.解法二：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，∵数列是递减数列，∴k 4<32，∴k <6.跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列解析：A 由a n ＝n 3n ＋1，可得a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，故选A ．2、请写出一个符合下列要求的数列{a n }的通项公式：①{a n }为无穷数列；②{a n }为单调递增数列；③0<a n <2．这个数列的通项公式可以是________．解析：因为函数a n ＝2－1n 的定义域为N *，且a n ＝2－1n 在N *上单调递增，0<2－1n <2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是a n ＝2－1n．答案：a n ＝2－1n(答案不唯一)3、(2022·绵阳模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式相减得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1na n＝3(n ≥2)，∵a 1＝1，∴1＝1＋12a 2，即a 2＝1，∴2·a 21·a 1＝2≠3．∴数列{na n }是从第二项开始的等比数列， ∴当n ≥2时，有na n ＝2×3n －2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n×3n －2，n ≥2.(2)存在n ∈N *使得a n ≤(n ＋1)λ成立⇔λ≥a nn ＋1有解，①当n ＝1时，a 12＝12，则λ≥12，即λmin ＝12；②当n ≥2时，a nn ＋1＝2×3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝2×3n －2n (n ＋1)，∴f (n ＋1)f (n )＝3nn ＋2>1，∴f (n )单调递增，∴f (n )min ＝f (2)＝13，∴实数λ的最小值是13．由①②可知实数λ的最小值是13．二、数列的周期性解决数列周期性问题的方法根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．例3、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 023项的乘积是( 3 )A ．2B ．－6C ．3D ．1解 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，同理可得a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…所以数列{a n }每四项重复出现，即a n ＋4＝a n ，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，而2 023＝505×4＋3，所以该数列的前2 023项的乘积是a 1·a 2·a 3·a 4·…·a 2 023＝1505×a 1×a 2×a 3＝3．例4 (2021·福建福清校际联盟期中联考)已知S n 为数列{a n }前n 项和，若a 1＝12，且a n ＋1＝22－a n(n ∈N *)，则6S 100＝( A )A ．425B ．428C ．436D ．437解： 由数列的递推公式可得：a 2＝22－a 1＝43，a 3＝22－a 2＝3，a 4＝22－a 3＝－2，a 5＝22－a 4＝12＝a 1，据此可得数列{a n }是周期为4的周期数列，则：6S 100＝6×25×⎝⎛⎭⎫12＋43＋3－2＝425． 跟踪练习1、(2022·福州模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2 023＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：B 由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n得a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，…，可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 023＝a 3×674＋1＝a 1＝12．五、数列的最大(小)项求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1 (n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2)确定最小项；(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1＞a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1)；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫或a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1＜a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．例5(2022·金陵质检)已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( C )A ．293B ．47－1C ．485D ．274解： 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝28＋2＋4＋…＋2(n －1)＝28＋n (n －1)＝n 2－n ＋28，∴a n n ＝n ＋28n －1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28 ]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293．例6已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，则数列{a n }中的最大项是第9、10项．解： 解法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.解法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119. 跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －22n －11，前n 项和为S n ，则当S n 取得最小值时n 的值为________．解析：当a n ＝n －22n －11>0⇒n ＝1或n ≥6，∴a 2＝0，a 3<0，a 4<0，a 5<0，故当S n 取得最小值时n 的值为5．2、已知递增数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0．对于任意的正整数n ，不等式t 2－a 2n －3t －3a n ≤0恒成立，则正数t 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：C 因为数列{a n }是递增数列，又t 2－a 2n －3t －3a n ＝(t －a n －3)(t ＋a n )≤0，t ＋a n >0，所以t ≤a n＋3恒成立，即t ≤(a n ＋3)min ＝a 1＋3＝3，所以t max ＝3．3、(2022·重庆模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且满足S 2 018>0，S 2 019<0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为( )A ．1 008B ．1 009C ．1 010D ．1 011解析：C 因为S 2 018>0，S 2 019<0，所以a 1＋a 2 018＝a 1 009＋a 1 010>0，a 1＋a 2 019＝2a 1 010<0，所以a 1 009>0，a 1 010<0，且a 1 009>|a 1 010|，因为对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，所以k ＝1 010，故选C ．4、(多选)已知数列{a n }满足a n ＝n ·k n (n ∈N *,0<k <1)，下列命题正确的有( )A ．当k ＝12时，数列{a n }为递减数列B ．当k ＝45时，数列{a n }一定有最大项C ．当0<k <12时，数列{a n }为递减数列D ．当k1－k为正整数时，数列{a n }必有两项相等的最大项解析：BCD 当k ＝12时，a 1＝a 2＝12，知A 错误；当k ＝45时，a n ＋1a n ＝45·n ＋1n ，当n <4时，a n ＋1a n>1，当n >4时，a n ＋1a n <1，所以可判断{a n }一定有最大项，B 正确；当0<k <12时，a n ＋1a n ＝k n ＋1n <n ＋12n ≤1，所以数列{a n }为递减数列，C 正确；当k 1－k 为正整数时，1>k ≥12，当k ＝12时，a 1＝a 2>a 3>a 4>…，当1>k >12时，令k 1－k ＝m ∈N *，解得k ＝mm ＋1，则a n ＋1a n ＝m (n ＋1)n (m ＋1)，当n ＝m 时，a n ＋1＝a n ，结合B ，数列{a n }必有两项相等的最大项，故D 正确．故选B 、C 、D ．5、已知数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，若a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为________．解析：a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5．六、数列与函数的综合问题例7（2022·珠海模拟)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( C )A ．0B ．252C ．21D ．42解： 由函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，又{a n }是等差数列，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21，则{a n }的前21项之和为21．故选．跟踪练习1、(2022·青岛模拟)等比数列{a n }的各项均为正数，a 5，a 6是函数f (x )＝13x 3－3x 2＋8x ＋1的极值点，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝( )A ．3＋log 25B ．8C ．10D ．15解析：D f ′(x )＝x 2－6x ＋8，∵a 5，a 6是函数f (x )的极值点，∴a 5，a 6是方程x 2－6x ＋8＝0的两实数根，则a 5·a 6＝8，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 5·a 6)5＝5log 28＝15，故选D ．2、已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．[解] (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)． (2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34，因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34．3、(2022·东莞模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差为d ，前n 项和为S n ．若S n ≤S 8恒成立，则公差d 的取值范围是________．解析：根据等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ≤S 8恒成立，可知a 8≥0且a 9≤0，所以1＋7d ≥0且1＋8d ≤0，解得－17≤d ≤－18．答案：⎣⎡⎦⎤－17，－18。

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

第6讲 通项公式的求解策略:Sn 与an 关系一．选择题（共1小题）1．（2021•蒙阴县校级期中）已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为 A ．，B ．，C ．，D ．，二．填空题（共3小题）2．（2021•道里区校级期中）设是数列的前项和，，当时，有，则使成立的正整数的最小值为 ．3．设数列的前项和为，若且当时，，则数列的通项公式 ．4．（2021•冀州市校级模拟）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．三．解答题（共36小题）5．（2021•浙江模拟）已知数列前项和为满足，．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）设，求证：．6．已知数列的前项和为，，求的前3项，并求它的通项公式．7．已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式．8．（2021•武进区校级模拟）已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间，内的个数，记数列的前项和为，求．9．在数列中，，是的前项和，当时，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；{}n a 21232(*)n n a a a a n N ⋯=∈*n N ∈12111n t a a a ++⋯+<t ()1(3)+∞1[3)+∞2(3)+∞2[3)+∞n S {}n a n 13a =2n …1122n n n n n S S S S na --+-=122021m S S S ⋯⋯…m {}n a n n S 13a =2n …12(*)n n n a S S n N -=⋅∈{}n a n a ={}n a 1a t =n n S 212n n S S n n ++=+*n N ∀∈1n n a a +<t {}n a n n S 12S =132(*)n n S S n N +=+∈n a (*)n n na b n N S =∈12121332n b b b n ++⋯+-……{}n a n n S 2n S n n =+{}n a {}n a n 2132n S n n =++{}n a n n S 11a =1a 2a 2S 2n …11230n n n S S S +--+={}n a m b 1{}na (014](*)m m N -∈2{(1)}m mb -⋅m m W 20W {}n a 11a =n S {}n a n 2n …112n n n n S S S S ---=1{}nS {}n a（3）设，求数列的前项和．10．（2021春•宣威市月考）已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，，求；（Ⅲ）设，是数列的前项和，，试证明：．11．（2021春•崂山区校级期中）已知是数列的前项和，当时，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足，求数列的前项和．12．（2021•安徽月考）已知数列的前项和为，满足，为常数）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．13．（2021•浦城县期中）已知数列的前项和是，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的取值范围．14．（2021•永昌县校级月考）已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若的前项和，求的取值范围．15．（2021•沈阳四模）已知数列中，，其前项和满足．（1）求；（2）记，求数列的前项和．112(23)n n n C n a ++=-{}n C n n T 12a =n n S *n N ∈2n …n a 34n S -1522n S --{}n a (1)n n b n a =+n T {}n b n *n N ∈n T 13423n n n n na c a -=⋅-⋅n P {}n c n *n N ∈32nP <n S {}n a n 2n (11)22n n n S S S +-++=10S =24a ={}n a {}n b 22331b a b a =={}n n a b g n n T {}n a n n S 11a =1()(2n S n t n t =+{}n a 1(1)()n n n n b lg a a +=-⋅{}n b n n T {}n a n n S 1n n S a +=*0()n a n N ≠∈{}n a 2log (1)(*)n n b S n N =-∈12231111n n n T b b b b b b +=+++n T {}n a 12a ={}n b 25b =11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-{}n a {}n b 11{}n n b b +n n T n T {}n a 11a =n n S *11()n n a S n N +=+∈n S 11n nn n n S S b S S ++-={}n b n n T16．（2021•福田区校级四模）已知数列的前项和为，，数列满足．（1）求；（2）设，求数列的前项和．17．（2021•温州模拟）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求，及通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项的和．18．（2021•厦门一模）在，与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知数列的前项和为，，且满足 _____，若，求使不等式成立的最小正整数．19．（2021•河南期末）已知数列的前项和满足，数列满足．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．20．（2021•皇姑区校级期末）已知数列前项和为，且，，数列为等差数列，，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．21．（2021•碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，若，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．22．已知数列的前项和为，且．（1）证明为等比数列；（2）若，求的前项和．23．（2021•淮安期末）从条件①，，③，，中任{}n a n n S 2n n S a n n =+-{}n b 1n nb a =n a 1n n nc b b +=⋅{}n c n n T {}n a n n S 2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数2a 3a n a 1n n n b a a +=+1{2}n n b -⋅2n 2n T 1=+21n +n a 24(1)(0)n n n S a a =+>{}n a n n S 11a =11n n n b a a +=12919n b b b ++⋯+>n {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 221log log n n n b a a +=+{}n a {}n b {}n c n n n c a b ={}n c n n T {}n a n n S 13a =11n n S a +=-{}n b 24a b =257b b b +={}n a {}n b 1(2)n nn n a b c n b +=+{}n c n n T {}n a n n S 0n a >218a a =112n a +=n a n b ={}n b n n T {}n a n n S *24()n n S a n n N -=-∈{2}n S n -+11n n n n a b a a +-={}n b n n T 2(1)n n S n a =+(2)n a n +=…0n a >22nn n a a S +=选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，，_____．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值．24．（2021•连城县校级月考）已知正项数列的前项和为是与的等比中项，数列中，若，且．（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，记数列的前项和为，对，求使不等式恒成立的的最小正整数值．25．（2021•息县校级三模）已知在数列中，，，前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求．26．（2016•荆州模拟）已知数列中，，，其前项和满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ） 若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值．27．（2016秋•儋州校级期末）已知数列满足，．（1）求证：数列为等差数列；（2）求的通项公式．28．（2021•河西区一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．29．（2021春•瑶海区月考）已知数列的各项均为正数，，其前项和为，且当时，、{}n a n n S 11a ={}n a 1a k a 2k S +k {}n a n n S 142(1)n a +{}n b 11b a =123n n b b -=+{3}n b +3n n n a b =+ð{}n ðn n T *n N ∀∈302n T λ-+…λ{}n a 14a =0n a >n n S 2)n a n =…{}n a 11{}n n a a +n n T n T {}n a 13a =25a =n n S 12122(3)n n n n S S S n ---+=+…{}n a n a *22256log (1n n b n N a =∈-{}n b n n S n n S {}n a 11a =22(2)21nn n S a n S =- (1){}nS {}n a {}n a n n S 2124n n a S n +=++21a -3a 7a {}n b {}n a {}n b 111n n n n na a ab +-=g g ð{}n ðn n T {}n a 12a =n n S 2n …n S、构成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求．30．（2021春•平顶山期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足．（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求满足的最小正整数．31．（2021•邵东市校级月考）已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前项和满足，并且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求．32．（2021•南通模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，，，为等差数列，求的最大值．33．（2021•通州区学业考试）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）从数列中抽出个不同的项按一定次序组成新数列．①若，且，，成等差数列，求的值；②是否存在偶数，使得，，，，，成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．214n a 1n S -{}n a {}n b (1)n n n b lnS =-{}n b n n T n T {}n a n n S 224(*)n n n a S a n N =+∈2{}nS 12n a <n {}n a *n N ∈n n S 2111623n n n S a a =++2a 4a 9a {}n a 11(1)n n n n b a a ++=-g n T {}n b n 2n T {}n a n n S 22211(1)(1)22m n m n S a S ++=+m n 2a 3a 4a {}n a {}n b (1)n n n b a =--1n b 2n b ⋯12(t n t b n n n <<⋯<*)t N ∈t {}n a n n S *11()2n n nS a n N a =+∈2{}nS 2{}nS k {}k b 13b …12b b 23b b 31b b 123b b b ++k 12b b 23b b 34b b ⋯1k k b b -1k b b k34．已知数列，对任意，都有．（1）若是首项为1，公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（2）若是等差数列，是等比数列，求证：．35．（2021春•广东月考）已知数列满足：，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．36．已知数列的首项，其前项和为，且满足；（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：对任意，都有．37．（2021春•内江期末）已知数列的前项和为，，且，数列满足，，对任意，都有．（1）求数列、的通项公式；（2）令．求证：；38．（2021•新罗区校级期中）已知数列满足对任意的都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．39．（2013秋•东胜区校级月考）已知数列满足，其中是的前项和，且，求（1）求的表达式；（2）求．40．（2021春•东湖区校级月考）已知等差数列的首项，公差，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列的第二项，第三项，第四项．{}n a {}n b *n N ∈112132122n n n n n a b a b a b a b n +--+++⋯+=--{}n a {}n b {}n a {}n b 112233111132n n a b a b a b a b +++⋯+<{}n a 123n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+=-*n N ∈1a 2a {}n a (2)(1)n n b n a =--*n N ∈214n b t t +…t {}n a 1a a =n n S 2*13(1)()n n S S n n N ++=+∈{}n a 32a =*n N ∈2222232121111112n n a a a a -++⋯++<{}n a n n S 11a =(1)2(*)n n n a S n N +=∈{}n b 112b =214b =*n N ∈212n n n b b b ++={}n a {}n b 1122n n n T a b a b a b =++⋯+122n T <…{}n a *n N ∈0n a >33321212()n n a a a a a a ++⋯+=++⋯+{}n a 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 1log (1)3n a s a >-n a {}n a 2*()n n S n a n N =∈n S {}n a n 11a =n a n S {}n a 11a =0d >{}n b（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数，均有，求的前项和．{}n a {}n b {}n c n 3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯+={}n c n n S。

专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。

例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。

专题01 数列求通项（n S 法、n T 法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1对于数列{}n a ，前n 项和记为n S ； ①1231n n n S a a a a a -=++++；②11231(2)n n S a a a a n --=+++≥①-②：1(2)n n n S S a n --=≥2对于数列{}n a ，前n 项积记为n T ； ①1231n n n T a a a a a -=；②11231(2)n n T a a a a n --=≥①÷②：1(2)nn n T a n T -=≥二、典型例题n S 法：角度1：用1n n S S --，得到n a例题1．（2022·湖北·黄冈中学二模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()12N n n a S n *+=∈.求数列{}n a 的通项n a ；感悟升华（核心秘籍）1、使用n S 法注意两步：①1n =②2n ≥2、在本例中化简1n n S S --后，得到13(2)n na n a +=≥，特别提醒，在化简后需跟上（2n ≥），此时需要验证1n =是否符合，如本例2123a a =≠，则此时，数列{}n a 是从第二项开始成以3为公比的等比数列【答案】(1)21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；又由题意知作 差，又因为：所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，下结论解答：解：当1n =时，2122a S ==，当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，上述两个等式作差得12n n n a a a +=-，可得13n n a a +=，且213a a ≠，所以，数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则223n n a -=⋅，因为11a =不满足223n n a -=⋅，故21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩.n S 法：角度2：将题意中的n a 用1n n S S --替换例题2．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，且11n n n S a S ++=-．求数列{}n a 的通项公式；由思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用替换题目中的由约分，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，，又当时，也满足上式，所以解答过程化简再用作差法感悟升华（核心秘籍）1、已知1n a +与1n n S S ++，使用n S 法时，用1n n S S +-替换1n a +作为核心秘籍记忆；2、当遇到1(2)n n n a S S n -=≥，使用n S 法时，用1n n S S --替换n a 作为核心秘籍记忆；【答案】21n a n =-依题意，111n n n n n S S a S S ++++==-，故()()111n n n nn n S S S S S S ++++=-+，因为10n n S S ++>，所以11n n S S +-=，又111S a ==，所以{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n S n =，2n S n =．当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 又当n ＝1时，11a =也满足上式，所以21n a n =-．n S 法：角度3：已知等式中左侧含有：1ni i i a b =∑例题3．（2022·湖北十堰·三模）已知数列{}n a 满足()()1233521131n n a a a n a n ++++-=-+.求{}n a 的通项公式；①当时思路点拨：根据题意：，用类似作差法②当时：，所以.又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.解答过程检验 作差感悟升华（核心秘籍）已知等式中左侧含有：1ni i i a b =∑，如本例：()()1233521131n n a a a n a n ++++-=-+解题密码类似“1n n S S --”；【答案】13-=n n a 解：因为()()1233521131n n a a a n a n ++++-=-+，① 当1n =时11a =，当2n ≥时，()()112313523231n n a a a n a n --++++-=-+，②①-②得()()()()()11211312312132n n n n n a n n n n --⎡⎤⎡⎤-=-+--+=-≥⎣⎦⎣⎦.所以()132-=≥n n a n .又因为当1n =时，上式也成立，所以{}n a 的通项公式为13-=n n a .n T 法：角度1：已知n T 和n 的关系例题4．（2022·湖北·模拟预测）已知数列{}n b 的前n 项之积()(1)*22N n n n T n +=∈.求{}nb 的通项公式.感悟升华（核心秘籍）使用n T 法本质：1(2)nn n T a n T -=≥其中： ①1231n n n T a a a a a -=；②11231(2)n n T a a a a n --=≥①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；当时，上式也成立，所以.检验解答过程【答案】2nn b =解：由(1)22n n nT +=，当1n =时，112b T ==， 当2n ≥时，12n nn n T T b -==， 当1n =时，上式也成立，所以2nn b =.n T 法：角度2：已知n T 和n a 的关系例题5．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且121n na T +=.求数列{}n T 的通项公式；【答案】21n T n =+，*n N ∈ 当1n =时，113T a == 当2n ≥时，1n n n T a T -=∴11n n nT a T -= 由121n n a T +=得121n n nT T T -+=即12n n T T -+= ∴12n n T T --=，∴{}n T 是以3为首项，2为公差的等差数列，∴21n T n =+，*n N ∈ ①当时，思路点拨：根据题意：，已知和的关系，用替换题目中②当时，∴代入已知条件，得即解答过程下结论∴12n n T T --=∴{}n T 是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴21n T n =+，*n N ∈三、题型归类练1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））数列{}n a 满足31232n a n a a a +++=+()121n n -⋅+，则7a =（ ）A ．64B ．128C ．256D ．512【答案】A当2n ≥时，由31232n a n a a a +++=+()121n n -⋅+，①得()1231231n a a a n a -++++-=()1221n n --⋅+，②①－②，得()121n n na n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦()1221n n -⎡⎤--⋅+⎣⎦12n n -=⋅()2n ≥，所以()122n n a n -=≥，则764a =．故选：A ．2．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+，则{}n a 的前n 项和（ ） A ．21n - B ．21n + C ．2n D ．121n +-【答案】C解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=，两式相减得，1112n n a -=，即12n na ，综上，12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=-，故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）若数列{}n a 前n 项和为123n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =______．【答案】1132n -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭123n n S a =+①，当1n =时，11123a a =+，解得：13a =，当2n ≥时，11123n n S a --=+②，①-②得：11133n n n a a a -=-，解得：112n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为3，公比是12q =-的等比数列，所以1132n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，经检验，符合要求故答案为：1132n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭4．（2022·江苏江苏·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项均为正数的数列{}n b 的前n 项积为n T ，且21n n S a =-，11b a =，()n n n n T a b =.(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：{}n b 为等比数列. 【答案】(1)12n na (2)证明见解析(1)解：当1n =时，1121a a =-，11a =，当2n ≥时，()()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 所以12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以12n na ；(2)证明：1110a b ==≠，()12nn n n T b -=，当2n ≥时，()()122112111222nn n nn n n n n n n n n n b T b b T b b --------===，则122112n n n n n b b ----=， 由于0n b >，则()1124n n b b n -=≥，所以数列{}n b 是等比数列.5．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，22n n a S -=成立.求证：数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； 【答案】(1)证明见解析，n a n =； 在22n n a S -=中令1n =得12a =．因为对任意正整数n ，22n n a S -=成立，所以1122n n a S ++-=， 两式相减得120n n a a +-=，所以12n n a a +=，即12n na a +=，所以{}n a 为等比数列， 所以1222n nn a -=⋅=.6．（2022·福建福州·高二期中）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2412n n n S a a -=+．求数列{}n a 的通项公式； 【答案】(1)21n a n =-当1n =时，由2412n n n S a a -=+得2111412a a a -=+，11a =． 当2n ≥时，由2412n n n S a a -=+得2111412n n n S a a ----=+，两式相减可得2211422n n n n n a a a a a --=+--，化简得()()1120n n n n a a a a --+--=，由条件得10n n a a ->+，故()122n n a a n -=+≥， 得数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 从而数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列{}n a 的首项为11a =，且1533+=+a a a ，数列{}n b 满足1122(21)31,2n n n n a b a b a b n *-⋅++++=∈N ．求n a 和n b ；【答案】(1)n a n =；123n n b -=⋅因为{}n a 是等差数列，设其公差为d .因为1533+=+a a a ，所以111342a d d a a +=+++． 因为11a =，所以等差数列{}n a 的公差1d =， 所以1(1)n a a n d n =+-=． 因为1122(21)312n n n n a b a b a b -⋅++++=，所以112a b =，所以12b =．当2n ≥时，11(21)31(23)312322---⋅+-⋅+=-=⋅n n n n n n n a b n ， 结合n a n =可知123n n b -=⋅．经检验：12b =也适合上式.所以123n n b -=⋅．8．（2022·湖北·模拟预测）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为)*1,1,,2n n S a a n N n =∈≥.求证；数列是等差数列，并求{}n a 的通项公式；【答案】(1)证明见解析，21n a n =-因为n a 所以当2n ≥时，1n n S S --=即=而0n a >0>()12n =≥所以数列1=为首项，公差为1的等差数列； ()111n n +-⨯=，则2,n S n =当2n ≥时，121n a n n n =+-=-，又11a =满足上式， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.9．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）数列{}n a 满足2313123n na a a a n++++=-．求n a ； 【答案】(1)123n n a n -=⋅解：因为2313123n na a a a n++++=-， 当1n =时，11312a =-=，当2n ≥时，1231131231n n a a a a n --++++=--， 两式相减得113323n n n na n--=-=⋅， 所以123(2)n n a n n -=⋅≥，又12a =符合上式，所以123n n a n -=⋅．10．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)12,N,2n a a n n =∈≥ ；(1)求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)2,123,2,N n n a n n n *=⎧⎪=⎨+≥∈⎪⎩由题意正项数列{}n a 的前n 项和为n S ， 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ，故1n n n a S S -=-=22=-，1=，所以 1为公差的等差数列，(1)1n n -= ，所以11123,(2)n a n n n n =+-=+≥ ，即23n a n =+，但12a =不适合上式，故2,123,2,N n n a n n n *=⎧⎪=⎨+≥∈⎪⎩； 11．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11S =，2n a =（2N*n n ≥∈， ），求数列{}n a 的通项公式n a ； 【答案】11882n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，， ∵an ＞0，当2n ≥时，∵2n a =，∴2n a ==Sn ﹣Sn ﹣1=，∴2， 又∵1=，∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴()221n S n =- ，当2n ≥ 时，()()221212388n n n a S S n n n -=-=---=- ，111a S == 不满足该式，∴an 11882n n n =⎧=⎨-≥⎩，，； 12．（2022·广东·高三阶段练习）已知正项数列{}n a 满足11,a =前n 项和n S满足*22,)n a n n N =≥∈.求数列{}n a 的通项公式；【答案】(1)1,121,24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩由*22,)n a n n N =≥∈可得)*22,n a n n N =≥∈ 即：())*122,n n S S n n N --=≥∈ 0n a >0n S ∴>，0>2=12，∴1=为首项，公差为12的等差数列211,22nn nS++⎛⎫= ⎪⎝⎭当2n≥时，1214n n nna S S-+=-=当1n=时，11a=所以：1,121,24nna nn=⎧⎪=⎨+≥⎪⎩13．（2022·湖北恩施·高二期中）记n b为数列{}n a的前n项积，已知13a=，121n na b+=.证明：数列{}n b是等差数列.由题意可得1(2)nnnba nb-=，因为121n na b+=，所以121(2)nn nbnb b-+=，即12(2)n nb b n-+=，所以12(2)n nb b n--=.又11121a b+=，13a=，所以13b=，故{}n b是以3为首项，2为公差的等差数列.14．（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））设数列{}n a的前n项积为n T，且()*22n nT a n=-∈N.求证数列1nT⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；因为数列{}n a的前n项积为n T，且()*22n nT a n=-∈N，∴当n=1时，11122T a a==-，则123a=，1132T=.当n≥2时，1121222nnn n nTTT T T--=-⇒=-，∴11112n nT T--=，所以1nT⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1132T=为首项，12为公差的等差数列；15．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）在数列{}n a中，若12a=-且12(2)n n na S S n-=≥.求数列{}n a的通项公式。

高考数学数列专题：前n 项和或积计算通项公式主编：宁永辉知识点一：通过数列的前n 项和计算通项公式。

假设：数列}{n a 的前n 项和为n S 。

n n n a a a a a S +++++=-1321...①；13211...--++++=n n a a a a S ②；①-②得到：n n n a S S =--1。

注意：当1=n 时：0111111S S S S a S S a n n n -=-=⇒-=--。

因为：0S 不存在；所以：1--=n n n S S a 不能计算首项1a 。

计算首项1a 的方法：11S a =（1S 指的是前1项和，也就是只加了首项1a ）。

结论：1S ，1=n=n a 1--n n S S ，2≥n 知识点二：通过数列的前n 积和计算通项公式。

假设：数列}{n a 的前n 项积为n T 。

n n n a a a a a T ⋅⋅⋅⋅⋅=-1321...①；13211...--⋅⋅⋅⋅=n n a a a a T ②；①/②得到：n n na T T =-1。

注意：当1=n 时：0111111T TT T a T T a n n n ==⇒=--。

因为：0T 不存在；所以：1-=n n n T T a 不能计算首项1a 。

计算首项1a 的方法：11T a =（1T 指的是前1项积，也就是只乘了首项1a ）。

结论：1=n n a 1-n 2≥n 题型一：2021年高考数学全国乙卷第19题：记n S 为数列}{n a 的前n 项和，n b 为数列}{n S 的前n 项积，已知212=+nn b S 。

（1）证明：数列}{n b 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式。

本题解答：（1）n b 为数列}{n S 的前n 项积1-=⇒n nn b b S 。

)(21221212212212212212111111-------=⇒-=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=+⇒=+n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b S ⇒=-⇒-211n n b b 数列}{n b 是等差数列。

已知an求sn的方法题型一、公式法1. 等差数列- 题目：已知数列{a_n}为等差数列，a_n=2n - 1，求S_n。

- 解析：- 对于等差数列a_n=a_1+(n - 1)d，这里a_n=2n - 1，当n = 1时，a_1=2×1 - 1=1。

- 公差d = 2（因为a_n=2n - 1的一次项系数就是公差）。

- 根据等差数列求和公式S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}，a_n=2n - 1，则S_n=(n(1 + 2n - 1))/(2)=n^2。

2. 等比数列- 题目：已知数列{a_n}为等比数列，a_n=2×3^n - 1，求S_n。

- 解析：- 对于等比数列a_n=a_1q^n - 1，这里a_1=2（当n = 1时），q = 3。

- 根据等比数列求和公式S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}(q≠1)，所以S_n=frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3}=3^n-1。

二、分组求和法1. 题目：已知a_n=2n+3^n，求S_n。

2. 解析：- 因为a_n是由一个等差数列2n和一个等比数列3^n组成。

- 先分别求这两部分的和。

- 对于等差数列b_n=2n，b_1=2，公差d = 2，根据等差数列求和公式S_1=frac{n(b_1+b_n)}{2}=(n(2 + 2n))/(2)=n(n + 1)。

- 对于等比数列c_n=3^n，c_1=3，公比q = 3，根据等比数列求和公式S_2=frac{3(1 - 3^n)}{1 - 3}=frac{3^n + 1-3}{2}。

- 所以S_n=S_1+S_2=n(n + 1)+frac{3^n + 1-3}{2}。

三、裂项相消法1. 题目：已知a_n=(1)/(n(n + 1))，求S_n。

2. 解析：- 因为a_n=(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。