数列专题(已知Sn求an)答

数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06 数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．【答案】(1)证明见解析：； (2)78-．解析：(1)解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=-- ⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022年全国甲卷理科·第17题2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】(1)证明见解析； (2)9．解析：(1)设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．（2）由(1)知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国II 卷·第17题3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．【答案】(1)()12n n n a +=(2)见解析解析：(1)∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111nn n an a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；(2)()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2022新高考全国I 卷·第17题4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】解析:(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-．(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214262n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．【答案】122,5b b ==；300．解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，故2223k k a a +=+即13n n b b +=+即13n n b b +-=所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-．(2)设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++ ，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=- ，所以()20241820210S a a a a =++++- ()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第17题6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】(1)2nn a =；(2)100480S =．解析：(1)由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2nn a =，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．(2)由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,,0,15 ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31 ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63 ，则3233635b b b ==== ，即有52个5；6465100,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,,0,100 ，则64651006b b b ==== ，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．【答案】(1)2nn a =；(2)2382(1)55n n +--解析：(1)设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=．(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第18题的8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析；(2)()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．解析：(1)由已知212n n S b +=得221n nn b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以12112222121n b b b b b +⋅=--，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列;(2)由(1)可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+,22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S nn n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩．【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前n 项和与项的关系，数列的前n 项积与项的关系，其中由1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,得到1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，进而得到111221n n n nb b b b +++=-是关键一步；要熟练掌握前n 项和，积与数列的项的关系，消和(积)得到项(或项的递推关系)，或者消项得到和(积)的递推关系是常用的重要的思想方法．【题目栏目】数列\等差、等比数列的综合应用【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第19题9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】答案见解析解析：选①②作条件证明③：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=，所以是等差数列．选②③作条件证明①：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去．综上可知{}n a 为等差数列．【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第18题10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】(1)2-；(2)1(13)(2)9nn n S -+-=．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；(2)设{}n na 前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=．【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】(1)25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+．解析：(1)由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+，证明如下：当1n =时，13a =成立；假设n k =时，21k a k =+成立．那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立．则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；的(2)由(1)可知，2(21)2n nn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2nn n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+．【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．【答案】()1见解析；()21122n n a n =+-，1122n n b n =-+.【官方解析】()1由题设得114()2()n n n n a b b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为111a b +=，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为111a b -=，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．()2由()1知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【分析】()1可通过题意中的1434n n n a b a +=-+以及1434n n n b a b +=--对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；()2可通过()1中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果.【解析】()1由题意可知，，，，所以，即111()2n n n n a b a b +++=+，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为等差数列，.()2由()1可知，112n n n a b -+=，，所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+.【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.【题目栏目】数列\数列的综合应用\数列的综合问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【答案】【官方解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=由已知得424q q =，解得0q =(舍去)，2q =-或2q =故()12n n a -=-或12n n a -=(2)若()12n n a -=-，则()123mm S --=，由63m S =，得()2188m-=-，此方和没有正整数解若12n n a -=，则21m m S =-，由63m S =，得264m =，解得6m =综上，6m =．1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-111a b +=111a b -=1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-{}n n a b +112(112n n n a b -+=()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-112n n n n a b a b ++=-+-{}n n a b -12的21n n a b n -=-21n n a b n -=-【民间解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，534a a =可得42141q q ⨯=⨯⨯，所以24q =所以2q =±当2q =时，1112n n n a a q --==；当2q =-时，()1112n n n a a q --==-(2)由(1)可知2q =±当2q =时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即126312m-=-，即62642m ==，所以6m =；当2q =-时，由()1163631m m a q S q-=⇒=-即()126312m--=+，即()2188m-=-，无解综上可知6m =．【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的综合应用【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．【答案】解析：(1)设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-．由17a =得2d =，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-．(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.【答案】(Ⅰ)11(11n n a λλλ-=--;(Ⅱ)1λ=-.【解析】(Ⅰ)由题意得1111a S a λ==+,故1λ≠,111a λ=-,10a ≠.由1n n S a λ=+,111n n S a λ++=+得11n n n a a a λλ++=-,即1(1)n n a a λλ+-=.由10a ≠,0λ≠得0n a ≠,所以11n n a a λλ+=-.因此{}n a 是首项为11λ-,公比为1λλ-的等比数列,于是11()11n n a λλλ-=--.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1()1n n S λλ=--,由53132S =得5311(132λλ-=-,即51()132λλ=-,解得1λ=-.【题目栏目】数列\等比数列\等比数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】(1)[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==；(2)1893．【解析】(1)设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得1d =．所以数列{}n a 的通项公式为n a n =．[]1lg10b ==，[]11lg111b ==，[]101lg1012b ==．(2)因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000,n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893⨯+⨯+⨯=．【题目栏目】数列\等差数列\等差数列的前n 项和【题目来源】2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和【答案】(Ⅰ)21n +(Ⅱ)11646n -+分析：(Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)根据(Ⅰ)数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和．解析：(Ⅰ)当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，n b =1111((21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[((()]235572123n n -+-++-++ =11646n -+．考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【题目栏目】数列\数列的求和\裂项相消法求和问题【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第17题18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：12111na a a ++<…+【答案】解析：(Ⅰ)由131n n a a +=+，得1113(22n n a a ++=+，且11322a +=所以{}12n a +是首相为32，公比为3的等比数列。

第6讲 通项公式的求解策略:Sn 与an 关系一．选择题（共1小题）1．（2021•蒙阴县校级期中）已知数列满足，且对任意都有，则的取值范围为 A ．，B ．，C ．，D ．，二．填空题（共3小题）2．（2021•道里区校级期中）设是数列的前项和，，当时，有，则使成立的正整数的最小值为 ．3．设数列的前项和为，若且当时，，则数列的通项公式 ．4．（2021•冀州市校级模拟）已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．三．解答题（共36小题）5．（2021•浙江模拟）已知数列前项和为满足，．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）设，求证：．6．已知数列的前项和为，，求的前3项，并求它的通项公式．7．已知数列的前项和是，求数列的前3项，并求它的通项公式．8．（2021•武进区校级模拟）已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有．（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间，内的个数，记数列的前项和为，求．9．在数列中，，是的前项和，当时，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；{}n a 21232(*)n n a a a a n N ⋯=∈*n N ∈12111n t a a a ++⋯+<t ()1(3)+∞1[3)+∞2(3)+∞2[3)+∞n S {}n a n 13a =2n …1122n n n n n S S S S na --+-=122021m S S S ⋯⋯…m {}n a n n S 13a =2n …12(*)n n n a S S n N -=⋅∈{}n a n a ={}n a 1a t =n n S 212n n S S n n ++=+*n N ∀∈1n n a a +<t {}n a n n S 12S =132(*)n n S S n N +=+∈n a (*)n n na b n N S =∈12121332n b b b n ++⋯+-……{}n a n n S 2n S n n =+{}n a {}n a n 2132n S n n =++{}n a n n S 11a =1a 2a 2S 2n …11230n n n S S S +--+={}n a m b 1{}na (014](*)m m N -∈2{(1)}m mb -⋅m m W 20W {}n a 11a =n S {}n a n 2n …112n n n n S S S S ---=1{}nS {}n a（3）设，求数列的前项和．10．（2021春•宣威市月考）已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当时，总是与的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，，求；（Ⅲ）设，是数列的前项和，，试证明：．11．（2021春•崂山区校级期中）已知是数列的前项和，当时，，且，．（1）求数列的通项公式；（2）等比数列满足，求数列的前项和．12．（2021•安徽月考）已知数列的前项和为，满足，为常数）．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和为．13．（2021•浦城县期中）已知数列的前项和是，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求的取值范围．14．（2021•永昌县校级月考）已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若的前项和，求的取值范围．15．（2021•沈阳四模）已知数列中，，其前项和满足．（1）求；（2）记，求数列的前项和．112(23)n n n C n a ++=-{}n C n n T 12a =n n S *n N ∈2n …n a 34n S -1522n S --{}n a (1)n n b n a =+n T {}n b n *n N ∈n T 13423n n n n na c a -=⋅-⋅n P {}n c n *n N ∈32nP <n S {}n a n 2n (11)22n n n S S S +-++=10S =24a ={}n a {}n b 22331b a b a =={}n n a b g n n T {}n a n n S 11a =1()(2n S n t n t =+{}n a 1(1)()n n n n b lg a a +=-⋅{}n b n n T {}n a n n S 1n n S a +=*0()n a n N ≠∈{}n a 2log (1)(*)n n b S n N =-∈12231111n n n T b b b b b b +=+++n T {}n a 12a ={}n b 25b =11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-{}n a {}n b 11{}n n b b +n n T n T {}n a 11a =n n S *11()n n a S n N +=+∈n S 11n nn n n S S b S S ++-={}n b n n T16．（2021•福田区校级四模）已知数列的前项和为，，数列满足．（1）求；（2）设，求数列的前项和．17．（2021•温州模拟）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求，及通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项的和．18．（2021•厦门一模）在，与的等比中项，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知数列的前项和为，，且满足 _____，若，求使不等式成立的最小正整数．19．（2021•河南期末）已知数列的前项和满足，数列满足．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求的前项和．20．（2021•皇姑区校级期末）已知数列前项和为，且，，数列为等差数列，，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若，求的前项和．21．（2021•碑林区校级模拟）已知数列的前项和为，若，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．22．已知数列的前项和为，且．（1）证明为等比数列；（2）若，求的前项和．23．（2021•淮安期末）从条件①，，③，，中任{}n a n n S 2n n S a n n =+-{}n b 1n nb a =n a 1n n nc b b +=⋅{}n c n n T {}n a n n S 2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数2a 3a n a 1n n n b a a +=+1{2}n n b -⋅2n 2n T 1=+21n +n a 24(1)(0)n n n S a a =+>{}n a n n S 11a =11n n n b a a +=12919n b b b ++⋯+>n {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 221log log n n n b a a +=+{}n a {}n b {}n c n n n c a b ={}n c n n T {}n a n n S 13a =11n n S a +=-{}n b 24a b =257b b b +={}n a {}n b 1(2)n nn n a b c n b +=+{}n c n n T {}n a n n S 0n a >218a a =112n a +=n a n b ={}n b n n T {}n a n n S *24()n n S a n n N -=-∈{2}n S n -+11n n n n a b a a +-={}n b n n T 2(1)n n S n a =+(2)n a n +=…0n a >22nn n a a S +=选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前项和为，，_____．（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求正整数的值．24．（2021•连城县校级月考）已知正项数列的前项和为是与的等比中项，数列中，若，且．（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）若，记数列的前项和为，对，求使不等式恒成立的的最小正整数值．25．（2021•息县校级三模）已知在数列中，，，前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，求．26．（2016•荆州模拟）已知数列中，，，其前项和满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ） 若，设数列的前的和为，当为何值时，有最大值，并求最大值．27．（2016秋•儋州校级期末）已知数列满足，．（1）求证：数列为等差数列；（2）求的通项公式．28．（2021•河西区一模）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，，，，恰为等比数列的前3项．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．29．（2021春•瑶海区月考）已知数列的各项均为正数，，其前项和为，且当时，、{}n a n n S 11a ={}n a 1a k a 2k S +k {}n a n n S 142(1)n a +{}n b 11b a =123n n b b -=+{3}n b +3n n n a b =+ð{}n ðn n T *n N ∀∈302n T λ-+…λ{}n a 14a =0n a >n n S 2)n a n =…{}n a 11{}n n a a +n n T n T {}n a 13a =25a =n n S 12122(3)n n n n S S S n ---+=+…{}n a n a *22256log (1n n b n N a =∈-{}n b n n S n n S {}n a 11a =22(2)21nn n S a n S =- (1){}nS {}n a {}n a n n S 2124n n a S n +=++21a -3a 7a {}n b {}n a {}n b 111n n n n na a ab +-=g g ð{}n ðn n T {}n a 12a =n n S 2n …n S、构成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和为，求．30．（2021春•平顶山期末）已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足．（Ⅰ）证明：数列为等差数列；（Ⅱ）求满足的最小正整数．31．（2021•邵东市校级月考）已知数列的各项均为正数，对任意的，它的前项和满足，并且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求．32．（2021•南通模拟）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，，，为等差数列，求的最大值．33．（2021•通州区学业考试）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）从数列中抽出个不同的项按一定次序组成新数列．①若，且，，成等差数列，求的值；②是否存在偶数，使得，，，，，成等差数列？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．214n a 1n S -{}n a {}n b (1)n n n b lnS =-{}n b n n T n T {}n a n n S 224(*)n n n a S a n N =+∈2{}nS 12n a <n {}n a *n N ∈n n S 2111623n n n S a a =++2a 4a 9a {}n a 11(1)n n n n b a a ++=-g n T {}n b n 2n T {}n a n n S 22211(1)(1)22m n m n S a S ++=+m n 2a 3a 4a {}n a {}n b (1)n n n b a =--1n b 2n b ⋯12(t n t b n n n <<⋯<*)t N ∈t {}n a n n S *11()2n n nS a n N a =+∈2{}nS 2{}nS k {}k b 13b …12b b 23b b 31b b 123b b b ++k 12b b 23b b 34b b ⋯1k k b b -1k b b k34．已知数列，对任意，都有．（1）若是首项为1，公差为1的等差数列，求数列的通项公式；（2）若是等差数列，是等比数列，求证：．35．（2021春•广东月考）已知数列满足：，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围．36．已知数列的首项，其前项和为，且满足；（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：对任意，都有．37．（2021春•内江期末）已知数列的前项和为，，且，数列满足，，对任意，都有．（1）求数列、的通项公式；（2）令．求证：；38．（2021•新罗区校级期中）已知数列满足对任意的都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．39．（2013秋•东胜区校级月考）已知数列满足，其中是的前项和，且，求（1）求的表达式；（2）求．40．（2021春•东湖区校级月考）已知等差数列的首项，公差，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列的第二项，第三项，第四项．{}n a {}n b *n N ∈112132122n n n n n a b a b a b a b n +--+++⋯+=--{}n a {}n b {}n a {}n b 112233111132n n a b a b a b a b +++⋯+<{}n a 123n n a a a a n a +++⋅⋅⋅+=-*n N ∈1a 2a {}n a (2)(1)n n b n a =--*n N ∈214n b t t +…t {}n a 1a a =n n S 2*13(1)()n n S S n n N ++=+∈{}n a 32a =*n N ∈2222232121111112n n a a a a -++⋯++<{}n a n n S 11a =(1)2(*)n n n a S n N +=∈{}n b 112b =214b =*n N ∈212n n n b b b ++={}n a {}n b 1122n n n T a b a b a b =++⋯+122n T <…{}n a *n N ∈0n a >33321212()n n a a a a a a ++⋯+=++⋯+{}n a 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S 1log (1)3n a s a >-n a {}n a 2*()n n S n a n N =∈n S {}n a n 11a =n a n S {}n a 11a =0d >{}n b（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数，均有，求的前项和．{}n a {}n b {}n c n 3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯+={}n c n n S。

Sn 与an 的关系典型题1 .数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.分析：本题主要考查求数列的通项、等差等比数列的概念和性质、不等式、函数的单调性，综合运送知识分析问题和解决问题的能力.转化（化归）的思想答案：（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立∴ （n ≥ 2）②①--②得∴∵均为正数，∴ （n ≥ 2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，， 解得=1 ∴.()（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n ，总有≤. ∴ (Ⅲ)解：由已知 ， {}n a n S n *N n ∈2,,n n n a S a {}n a {}n b n n T 2ln n n n a x b =(]e x ,1∈e e ⋅⋅⋅n n T <{}n c ())(,*11N n c a n n n ∈=++{}n c *N n ∈22n n n S a a =+21112n n n S a a ---=+21122----+=n n n n n a a a a a ()()111----+=+n n n n n n a a a a a a 1,-n n a a 11=--n n a a {}n a 21112S a a =+1a n a n =*N n ∈(]e x ,1∈2ln n n n a xb =21n()n n n T n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤ 21211131212111<-=--++-+-+=nn n 221212=⇒==c c a 54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得猜想 n≥2 时，是递减数列.令 ∵当 ∴在内为单调递减函数.由. ∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , ∴数列中的最大项为.2．已知各项均为正数的数列的前项和满足，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证： .分析：本小题主要考查数列、不等式、数学归纳法、二项式定理等基本知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.转化（化归）思想，分类讨论的思想（Ⅰ）解：由，解得或.由假设，因此.又由，得，即或.因，故不成立，舍去. 因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为.（Ⅱ）证法一：由可解得 从而. 12234,...c c c c c <>>>{}n c ()()22ln 1ln 1,ln x x x x x x x f x x x f -=-⋅='=则().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时，[)+∞,3()x f ()11ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知{}n c ln {}n c 12c c <{}n c 323=c }{n a n n S 11>S +∈++=N n a a S n n n ),2)(1(6}{n a }{n b 1)12(=-n b n a n T }{n b n +∈+>+N n a T n n ),3(log 132)2)(1(611111++==a a S a 11=a 21=a 111>=S a 21=a )2)(1(61)2)(1(611111++-++=-=++++n n n n n n n a a a a S S a 0)3)((11=--+++n n n n a a a a 031=--+n n a a n n a a -=+10>n a n n a a -=+131=-+n n a a }{n a }{n a 13-=n a n 1)12(=-n b n a 133log )11(log 22-=+=n n a b n n )1335623(log 2215-⋅⋅⋅=+++=n n b b b T n n因此. 令，则 .因，故. 特别地，从而，即.证法二：同证法一求得及.由二项式定理知，当时，不等式成立. 由此不等式有 . 证法三：同证法一求得及.下面用数学归纳法证明：.当时，，因此，结论成立.假设结论当时成立，即，则当时，. 因，故.从而.这就是说当时结论也成立. 综上对任何成立.]232)1335623[(log )3(log 13322+⋅-⋅⋅⋅=+-+n n n a T n n 232)1335623()(3+⋅-⋅⋅⋅=n n n n f 233)23)(53()33()2333(5323)()1(+++=++⋅++=+n n n n n n n n f n f 079)23)(53()33(23>+=++-+n n n n )()1(n f n f >+12027)1()(>=≥f n f 0)(log )3(log 1322>=+-+n f a T n n )3(log 132+>+n n a T n b n T 0>c c c 31)1(3+>+3332)1311()511()211(2log 13-+++=+n T n )3(log )23(log )132358252(log )1311()531)(231(2log 2222+=+=-+⋅⋅⋅⋅=-+++>n a n n n n n b n T )3(log 132+>+n n a T 1=n 5log )3(log ,427log 1321221=+=+a T )3(log 132+>+n n a T k n =)3(log 132+>+k k a T 1+=k n )3(log 313)3(log 13121121+-++=+-+++++k k k k k a b T a T 2321122)23)(53()33(log 3)3(log )3(log +++=++-+>++k k k b a a k k k 079)23)(53()33(23>+=++-+k k k k 0)23)(53()33(log 232>+++k k k )3(log 13121+>+++k n a T 1+=k n )3(log 132+>+n n a T +∈N n。

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

专题19 常见数列通项公式的求解一,题型选讲 题型一, 公式法若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求,即可.例1,已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,且2344026a a S ⋅==，． 则数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】31n a n =-．【解析】 因为数列{}n a 是正项等差数列,设首项为1a ,公差为(0)d d >,所以111()(2)40,4(41)426,20.a d a d d a d ++=⎧⎪-⎪+=⎨⎪>⎪⎩ 解得123a d =⎧⎨=⎩,所以31n a n =-．题型二,之间的关系与s a nn用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2,将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题,则考虑转化为仅含有S n 的关系式,特别注意当n≥2时,S n －S n －1＝a n ,.例2,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)题型二,累加法若已知连续两项差的形式,形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2).则运用累加法进行求数列的通项.即：n ≥2时,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1．例3,(2019南京学情调研)在数列{a n }中,已知a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *),则a 10的值为________．【答案】1910【解析】 由a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）得a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1,故a 2－a 1＝1－12,a 3－a 2＝12－13,a 4－a 3＝13－14,…,a 10－a 9＝19－110,所以a 10＝1910.例4, 已知数列{}n a 满足11a =,21a =-,当3n ≥,n N *∈时,1312(1)(2)n n a a n n n n --=----． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【解析】 ∵当3n ≥,n N *∈时,13113()12(1)(2)21n n a a n n n n n n --==-------, ∴3213(1)212a a -=-,34113()3223a a -=-,…,1113()1221n n a a n n n n --=-----． 把上面1n -个等式左右两边分别相加,得1213(1)11n a a n n --=---,整理,得25n a n =-． 当2n =时,满足．∴ 2.1,1,25,n n a n n =⎧=⎨-⎩≥题型三,叠乘法若已知连续两项的商的形式,形如a na n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2),则运用叠乘法进行求数列的通项.即 ：n ≥2时,a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1．例5,(2018徐州期末)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝2n a n －1(n ∈N *且n ≥2),则a n ＝ ． 【答案】a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．解析由题意,a na n －1＝2n ,a n －1a n －2＝2n －1, …, a 2a 1＝22, 叠乘得a n a 1＝2n ·2n －1·…·22＝2(n －1)(n ＋2)2, 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2(n ≥2),a 1＝1也符合． 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．题型四,构造法若一个数列既不是等差数列页不是等比数列,则考虑次数列加减一个实数或者变量,或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列.形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N*且n ≥2,p ≠1) 化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋qp －1)形式．令b n ＝a n＋qp －1,即得b n ＝pb n －1,转化成{b n }为等比数列,从而求数列{a n }的通项公式． 例6,设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 【解析】2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. ∴ 321112(1)(2)2333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- . ①∴当2n ≥时,1(1)(1)2(1)3n n n n n S n a =-+=--. ②由①—②,得 1122(1)(1)n n n n S S na n a n n -+-=---+.1222n n n a S S -=-,12(1)(1)n n n a na n a n n +∴=---+.111n n a a n n +∴-=+,∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()21112nn a n n a n n n，∴=+⨯-=∴=≥ . 当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈. 例7,已知数列{a n }中,a 1＝1,且a n ＋1＋3a n ＋4＝0,n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列？若存在,求满足条件的项；若不存在,说明理由．规范解答 (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1),n ∈N *.(2分) 其中a 1＝1,所以a 1＋1＝2≠0,可得a n ＋1≠0,n ∈N *.(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3,n ∈N *,所以{a n ＋1}是以2为首项,－3为公比的等比数列．(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1,即a n ＝2(－3)n －1－1,则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1－1,n ∈N *.(8分) (2)若数列{a n }中存在三项a m ,a n ,a k (m <n <k )符合题意,其中k －n ,k －m ,n －m 都是正整数．(9分) 分以下三种情形：①a m 位于中间,则2a m ＝a n ＋a k ,即2＝2(－3)n －1－1＋2(－3)k －1－1, 所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2＝(－3)n －m ＋(－3)k －m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；②a n 位于中间,则2a n ＝a m ＋a k ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)k －1－1,所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2(－3)n －m ＝1＋(－3)k －m,即1＝2(－3)n －m －(－3)k－m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；③a k 位于中间,则2a k ＝a m ＋a n ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)n －1－1, 所以2(－3)k ＝(－3)m ＋(－3)n ,两边同时除以(－3)m ,得2(－3)k －m＝1＋(－3)n －m ,即1＝2(－3)k－m－(－3)n －m ,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去．(15分)综上可得,数列{a n }中不存在三项满足题意．(16分)题型五,总体代入形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n ) 列出⎩⎨⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作差得a n ＝f (n )－f (n －1)n(n ∈N *且n ≥2),或者列出⎩⎨⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作商得a n ＝f (n )f (n －1) (n ∈N *且n ≥2),例8,(2019镇江期末)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1＝2,a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n,都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. (1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．. 规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0),因为a 1＝2,a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64,解得q ＝2,则a n ＝2n .(1分) 当n ＝1时,a 1b 1＝2,则b 1＝1；(2分)当n≥2时,a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2 ①, a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②, ①－②得a n b n ＝n·2n ,则b n ＝n. 综上,b n ＝n.(4分)题型六,通项公式中奇偶性的讨论形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1),两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n ),即找到隔项间的关系．例9, 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11(1)(1)6()n n n a a a a S n ，+=++=+,*∈N n ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对于n *∀∈N ,都有(31)n S n n +≤成立,求实数a 取值范围． 解 (1)当1n时,121(1)(1)6(1)a a S ,故25a ；当2n ≥时,11(1)(1)6(1)n nn a a S n ,所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n nnnna a a a S n S n ）,即11(1)()6(1)n nn na a a a ,又0na ,所以116nna a , 所以216(1)66k a a k ka,25+6(1)61ka k k ,*kN ,故**33, ,,31, ,.nn a n n a n n n N N 为奇数为偶数二,达标训练1,(2018盐城三模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a =▲ ．【答案】：12n-【解析】：因为2n n S a n=+,当1n =时,11121a S a ==+,即11a =-；当2n ≥时,()()111221221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ,即121n n a a -=- ,所以()1121n n a a --=- ,即1121n n a a --=- ,所以数列{}1n a -为首项112a -=- ,公比2q =的等比数列,所以1122n n a --=-⨯,即12n n a =-.2,(2019无锡期末)设等比数列{a n }的公比为q(q>0,q≠1),前n 项和为Sn,且2a 1a 3＝a 4,数列{b n }的前n 项和Tn 满足2Tn ＝n(bn －1),n ∈N *,b 2＝ 1.(1) 求数列 {a n },{b n }的通项公式； 解：(1) 因为2a 1a 3＝a 4,所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3, 所以a 1＝q 2,所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n (b n －1),n ∈N * ① 所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1),n ∈N ②②－①,得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ,n ∈N *. 所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n . 所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1,n ∈N *, ③(4分) 所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1,n ∈N , ④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ,n ∈N * 所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1,n ∈N *,所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1, 所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ,所以{b n }为等差数列． 因为n ＝1时b 1＝－1,又b 2＝1. 所以公差为2,所以b n ＝2n －3.(6分)3,(2018南京学情调研)已知数列{a n }的各项均为正数,记数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n}的前n 项和为T n ,且3T n ＝S 2n ＋2S n,n ∈N *. (1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 由3T 1＝S 21＋2S 1,得3a 21＝a 21＋2a 1,即a 21－a 1＝0.因为a 1＞0,所以a 1＝1.(2分)(2) 因为3T n ＝S 2n ＋2S n , ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②②－①,得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )a n ＋1＋2a n ＋1,因为a n ＋1＞0,所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2, ③(5分) 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2, ④④－③,得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1,即a n ＋2＝2a n ＋1, 所以当n≥2时,a n ＋1a n＝2.(8分)又由3T 2＝S 22＋2S 2,得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2),即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0,所以a 2＝2,所以a 2a 1＝2,所以对n ∈N *,都有a n ＋1a n＝2成立,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1,n ∈N *.(10分)4,(2018扬州期末)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n ＝a 2n ＋a n ,数列{b n }满足b 1＝12,2b n ＋1＝b n ＋b na n.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式； 规范解答 (1) 2S n ＝a 2n ＋a n ①,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1 ②,②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.因为{a n }是正数数列,所以a n ＋1－a n －1＝0,即a n ＋1－a n ＝1,所以{a n }是等差数列,其中公差为1. 在2S n ＝a 2n ＋a n 中,令n ＝1,得a 1＝1, 所以a n ＝n.(2分)由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列,其中首项为12,公比为12,所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ,即b n ＝n2n .(5分)5,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)6, 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a = ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-= (n ∈N *)．(1)求证：1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项n a ．解 (1)因为111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-=,所以1111112n n n n n n S S a a a a +++-+-=, 即111112n n n n S S a a ++++-=, 所以数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项,12为公差的等差数列．(2)由(1)可知112(1)2n n S n a +=+-⋅,即,31()22n n n S a +=+ ． ① 当n ≥2时, 111(1)2n n nS a --+=+． ②①－②得,13222n n n n n a a a -++=-． 即1(1)(2)n n n a n a -+=+,所以121n n a an n -=++ (n ≥2),所以2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列,且为13,所以1(2)3n a n =+．。

已知sn求an的典型例题
已知数列的通项公式，求出数列的某一项是一种常见的问题类型。

其中，已知数列的首项和公差，求出数列的某一项的问题较为简单，可以直接利用公式进行计算。

但是，当已知数列的首项以及数列的递推关系，求出数列的任意一项时，就需要进行数学推导和迭代计算。

下面是一个典型的例题：
已知数列的递推关系为：an = an-1 + 3，其中 a1 = 2，求出数列的第n项。

解题思路如下：
首先列出前几项的具体数值：a1 = 2，a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5，a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8，...
可以观察到数列的每一项都是前一项加上3。

根据这个规律，我们可以得到第n项的递推公式：
an = a1 + 3(n-1)
将题目给出的已知条件代入公式，即为：
an = 2 + 3(n-1)
化简得到：
an = 3n - 1
所以，数列的第n项可以表示为3n - 1。

通过这个例题，我们可以看到，在已知数列的递推关系的情况下，通过观察数列的规律，我们可以得到数列的通项公式。

这个通项公式可以帮助我们快速计算数列的任意一项，而不需要逐个计算。

这种方法在解决数列问题时非常有用，可以大大提高计算效率。

17、 【2014高考广东卷文第19题】设各项均为正数得数列得前项与为,且满足,、(1)求得值;(2)求数列得通项公式;(3)证明:对一切正整数,有、【答案】(1);(2);(3)详见解析、【解析】(1)令得:,即,,,,即;(2)由,得,,,从而,,所以当时,,又,;9、广东19、(本小题满分14分)设数列得前项与为,满足,且成等差数列。

(1)求得值;(2)求数列得通项公式。

(3)证明:对一切正整数,有【解析】(1) 相减得:成等差数列(2)得对均成立得:122112123(2)3(2)3(2)32n n n n n n n n n n a a a a a -----+=+=+==+⇔=-L(3)当时,当时,由上式得:对一切正整数,有16、江西16、(本小题满分12分)已知数列{a n }得前n 项与,且S n 得最大值为8、(1)确定常数k ,求a n ;(2)求数列得前n 项与T n 。

16、(本小题满分12分)解: (1)当时,取最大值,即,故,从而,又,所以（1） 因为, 所以21211111222144222222n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-L 28四川20、(本小题满分12分) 已知数列得前项与为,且对一切正整数都成立。

(Ⅰ)求,得值;(Ⅱ)设,数列得前项与为,当为何值时,最大？并求出得最大值。

[解析]取n=1,得 ①取n=2,得 ②又②-①,得 ③(1)若a2=0, 由①知a1=0,(2)若a2, ④由①④得:…………………5分(2)当a1>0时,由(I)知,当, (2+)a n-1=S2+S n-1所以,a n=所以令所以,数列{b n}就是以为公差,且单调递减得等差数列、则b1>b2>b3>…>b7=当n≥8时,b n≤b8=所以,n=7时,T n取得最大值,且T n得最大值为T7=…………………………12分[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查、第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题与解决问题得能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想、、【考点定位】本题以二次方程得形式以及与得关系考查数列通项得求解,以及利用放缩法证明数列不等式得综合问题,考查学生得计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题、19、【2014高考湖南卷文第16题】已知数列得前项与、(1)求数列得通项公式;(2)设,求数列得前项与、【答案】(1) (2)21、【2014高考江西文第17题】已知数列得前项与、（1）求数列得通项公式;（2）证明:对任意,都有,使得成等比数列、而此时,且所以对任意,都有,使得成等比数列、考点:由与项求通项,等比数列。