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一、选择题 1．函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选B.由对数的定义知x －1>0，故x >1.2．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A.∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0.则f (2 013)的值为() A ．－1 B ．0C ．1D ．2解析：选B.∵当x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，∴f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )为周期为6的周期函数，∴f (2 013)＝f (6×335＋3)＝f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－log 2(1－0)＝0.4．(2012·高考课标全国卷)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图象为B.5．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ， x ≥g (x )，则f (x )的值域是( ) A ．[－94，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)解析：选D.由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，y >2；当x >2时，y >8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤y ≤0. ∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]． 综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)． 二、填空题6．函数f (x )＝1sin x ＋x －3＋lg(4－x )的定义域为________． 解析：由sin x ≠0知x ≠k π，k ∈Z ，又⎩⎪⎨⎪⎧ x －3≥0，4－x >0， ∴3≤x <4，∴x ∈[3，π)∪(π，4)．答案：[3，π)∪(π，4)7．(2011·高考北京卷改编)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ， (A ，C 为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是________．解析：∵C A ＝15，故组装第4件新产品所用时间为C 4＝15，∴C 2＝30，解得C ＝60，A ＝16.答案：60,168．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是________． 解析：y ＝(x －32)2－254.结合图象， 当x ＝32时，y ＝－254； 当x ＝0或x ＝3时，y ＝－4.由x ∈[0，m ]时，y ∈[－254，－4]，知m ∈[32，3]． 答案：[32，3] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1－a a －x(x ∈R 且x ≠a )．当f (x )的定义域为[a ＋13，a ＋12]时，求f (x )的值域．解：f (x )＝－(a －x )＋1a －x ＝－1＋1a －x. 当a ＋13≤x ≤a ＋12时，－a －12≤－x ≤－a －13，－12≤a －x ≤－13，－3≤1a －x≤－2， 于是－4≤－1＋1a －x≤－3， 即f (x )的值域为[－4，－3]．10．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域． 解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9， 解得1≤x ≤3，即定义域为[1,3]．∴0≤log 3x ≤1.又y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋log 3x 2＋2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3，∵0≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝0，即x ＝1时，y min ＝9－3＝6，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝42－3＝13.∴y 的值域为[6,13]．11．(探究选做)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域． 解：(1)当m ＝0时，y ＝22，定义域为R .当m ≠0时，y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8定义域为R ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ≤0 解得0<m ≤1，∴0≤m ≤1，即m 的取值范围是[0,1]．(2)当m ＝0时，y min ＝22＝f (m )．当0<m ≤1时，y min ＝f (m )＝m ·32－6×3m ＋m ＋8＝8(1－m )，即f (m )＝8(1－m )(0≤m ≤1)，∴f (m )∈[0,22]．。
第02节 函数的定义域和值域【考纲解读】【知识清单】函数的定义域和值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. 对点练习1：【2017山东枣庄】已知函数()f x 的定义域为[]0,2，域为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】由题意，得022820xx ≤≤⎧⎨-≥⎩，解得01x ≤≤，故选A ．对点练习2：设函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【考点深度剖析】函数的定义域、值域是构成函数的要素，从近几年高考命题看，专门的考题我省尚未有，但在其他省市高考命题中屡有出现.在研究函数图象和性质过程中，要严格遵循“定义域优先”的原则.【重点难点突破】考点一函数的定义域【1-1】【2016全国Ⅱ卷】)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y＝1 x【答案】D【解析】函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，故选D.【1-2】【2017山东理1】设函数x 2y=4-的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】试题分析：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<I ，选D.【1-3】【2017安徽淮北一中最后一卷】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数()2134f x y x x +=--+的定义域是__________．【答案】(-1,1)【1-4】已知函数21()f x x mx m=++的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（ ）A.04m <<B.04m ≤≤C.04m ≤<D.4m ≥ 【答案】A【解析】()x f 定义域为R ,即02>++m mx x 恒成立,40042<<⇒<-=∆∴m m m ,故选A.【领悟技法】1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； 第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 【触类旁通】 【变式一】函数)1(log 4)(22-+-=x x x f 的定义域是（ ）A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞ 【答案】A【变式二】已知函数(43)f x -的定义域是[1,5]，则函数()21f x +的定义域 【答案】[4,4]-【解析】由题意可知[][][][]21,5431,1711,174,4x x x x ∈∴-∈∴+∈∴∈-考点二 函数的值域 【2-1】求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－1x 2＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋1x －1(x ＞1)；(4)y ＝1x －x 2。
高考数学一轮复习课件：函数的定义域和值域ppt
第二节函数的定义域和值域
2.偶次根式函数被开方式.
3.一次函数、二次函数的定义域均为.
一、常见基本初等函数的定义域.
1.分式函数中分母.
不等于零
大于或等于0R4.y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.
5.y＝tanx 的定义域
为.
6.函数f(x)＝x0 的定义域为.
7.实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.R{x|x≠kπ＋，k∈Z}{x|x≠0}二、基本初等函数的值域
1.y＝kx＋b(k≠0)的值域是.
2.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0 时，值域为
；当a0 且a≠1)的值域是.
5.y＝logax(a>0 且a≠1)的值域是.
6.y＝sinx，y＝cosx 的值域是.
7.y＝tanx 的值域是.{y|y>0}RR[－1,1] 函数的最值与值域有何联系？
提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.。
第2讲函数的定义域和值域教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源矩谋梳理,1.常见函数定义域的求法(1) ___________________________ 分式函数中分母.⑵偶次根式函数被开方式大于或等于°.(3)—次函数、二次函数的定义域为_________ .(4)j=«x(a>0 且“Hl), j = sin x, j = cos x,定义域均为十、丄砧宀兀兀Hi+=，kWTL、(5)j=tanx的定义域为 ___________ 2______ J2・基本初等函数的值域(l)y=也+方仇H0)的值域是只(2)j=«x2+Z>x+c(a#:0)的值域是:当。
＞0时，值域为^4ac—b2\当a VO时，值域为(3)y=£伉HO)的值域是W".(4)j=«x(«>0 且a^l)的值域是W". (5妙=10耐@>0且a^l)的值域是R(6)j=sin x, y=cosx的值域是[_1, 1].(7)j=tanx的值域是R ・1.求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数兀的集合.(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.2.求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域.⑶换元法：形如y=ax-\-b±\^cx-\-d(a, b, c f〃均为常数，且aHO)的函数常用换元法求值域，形如y= ax-}-yJa—bx2的函数用三角函数代换求值域.(4)分离常数法：形如的函数可用此法求值域.(5)单调性法：函数单调性的变化是求值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求值域.(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域.1. （2016•杭州模拟）函数y=y]16-4x的值域是（C ） A. [0, +8)D ・(0, 4) 解析：因为4x >0,所以0W16—4”V16, 所以0WyV4.双基自测B. [0, 4] C ・[0, 4)的定义域是(cA.(一8, -l)u(-l, 0)B.(一8, 0)U (0, +8)C.(0, 1)U(1, 4-oo)D.(—8, 0)解析：要使函数有意义，需要解得x>0且兀工1, 所以函数的定义域为(0, 1)U(1, +8).3.(必修1 P17例1(1)改编)函数j=^+l+-i-的定义域2—x [-L 2)U(2, +8)4.若4有意义，则函数y = x2— 6x+7的值域是[―1, +°°) _________________ •解析：因为*—4^意义,所以X—4^0,即x^4.又因为y=x2—6x+ 7= (x—3)2—2,所以Jmin— (4 — 3)2 — 2= 1 —2=— 1.所以其值域为[一1, +°°).考点一求函数的定义域(高频考点)典例剖析号考点突破d 名师导悟以例说法函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度:(1)求分式型函数的定义域;(2)求无理型函数的定义域;(3)求对数型函数的定义域;(4)求抽象函数的定义域•典洌IS(1)(2015-高考湖北卷)函数f(x) = ^4-lxl +x 2— 5兀+6“ 亠 “ ,q 、rlg -------- 的定义域为(C ) A. (2, 3)(2)函数心)=0_T 的定义域为"2(1，2]X —1B. (2, 4]C. (2, 3)U (3, 4]D. (-1, 3)U (3, 6]（3）（2016-莱芜模拟）已知函数/（力的定义域为［3,切，贝!|函数尸心）（2-x）的定义域为（3B.[解析]⑴要使函数/(x)=^4-lxl+lg^_3有意义，只需即函数/(兀)的定义域为(2, 3)U(3, 4].故选C ・(2)由 亠今 亠 今OWx 1或1 <xW2.所以/(兀) kHl [x^l的定义域为[0, 1)U(1, 2].x 2—5x+6 x —3>0,所以—4WxW4,X>2 日& 3 解得 2<r<3 或 3<rW4,356I* 3logj (2-x) >^y今3WXV2.故选 R2lo<2—x<l(3)要使函数y =f (2x)有意义，需满足Q互动探究本例⑵变为函数/(©=x_1c<* 且G HI),结果如何?工°今0<rW2,故所求函数的定义域为(°, 2]%>o 且1 — lx—11^0 10 WxW 2a — 1^ 0 今解：由函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.⑶已知/(兀)的定义域是[a, b]f求/(g(x))的定义域，是指满足aWggWb的x的取值集合,而已知f(g(x))的定义域是[偽耐,指的是xG[a, b].通关练习 1.(1)(2016-中山一模)函数 f(x)=\llg (l-2x) 的定义域为(A )(2)函数尸學(2二+(x -1)°的定义域为\12+x-x 2 {x\—3<x v2 且兀 Hl} B. （一8, 0）解析：(1)要使函数有意义，应满足 1一加>°' 解得炖，故选A.lg (1—2x) MO, x<2,得* ~3<X <4,所以一3<xv2 且 xHl,故所求函数的定义域为{xl —3<r<2且兀工1}2-x>0,(2)由* 12+x —x 2>0,1H0考点二求函数的值域(l)j=x 2 +2x(x^ [0, 3])；(3) j =x+~(x<0).求下列函数的值域.(2)J = l+x 2；[解]⑴(配方法) y=x2+2x=(x+l)2—1,因为J = (x+1)2-1在[0, 3]上为增函数,所以0WyW15,即函数J=X2+2X(X€[0, 3])的值域为[0, 15].1—x22(20=匸壬=頁7—1，因为1+戏$1,2所以0V匸寸W2・2所以一iv iwi•即1, 1].所以函数的值域为(一1，1].(3)因为兀VO,所以x+-=—(-X v 一2时等号成立，所以丁丘(一8, —4].所以函数的值域为(一8, —4]-x—4,当且仅当x=求值域的常用方法⑴观察法；⑵配方法；（3）换元法；（4）分离常数法；⑸单调性法；（6）数形结合法.［注意］求函数值域的关键是重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.2•求下列函数的值域.(1)J = 兀+1’x2—x(2》=x+1 x+1 因为±工0,所以1一一 工1,x+1 x+1即函数的值域是｛y\y G R,尸钉｝.x ~" 3二pp 得w+尸工一3.解得兀=罟7,所以丿工1,解：⑴法一：尸兀一3 x+1-4法二由y= 4 x+f1-J即函数的值域是｛y\y e R,咛1｝._x2—x+1—1_ 1"2" x2—x+1 1 x2—x+1* 因为x2—x+l=(x—+ 詩扌’所以ov?三1所以一§WyVl,即函数的值域为［一? J考点三与函数定义域、值域有关的参数问题tv* 1已知函数尸再二：丄帘的定义域为R，求实数k兀十十1实数兀的集合.tv*—I—［［解］函数尸叨E的定义域即使氐空+3也+1工0的k的值.由函数的定义域为R，得方程疋＜+3也+1= 0无解•Ir^r—I—[当E=0时，函数尸氐2J+3滋石=1，函数的定义域为R，因此k=0符合题意;当佥工0时，k2x2+3kx-bl= 0无解，即/=9疋一4疋=5疋＜0,不等式不成立• 所以实数无的值为0.已知函数的定义域或值域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法.转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解.如本题中将求参问题转化为方程无解的问题.跟踪训练3•已知函数于（兀）=厂吕二一1的定义域是⑷b］（a,1x1 十2bEQ,值域是［0, 1］,则满足条件的整数数对0, “）共有5 个.解析：由0W希—1W1，即1W話尹，得0W* 2,满足条件的整数数对有(一2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (0,2), (-1, 2),共5 个.拓展升华触类旁通考题溯源——求函数的定义域(2015•高考重庆卷)函数/(x)=log2(x2 + 2x- 3)的定义域是(° )A. [-3, 1]B.(—3, 1)C.(一8, -3]U[1, +8)D.(一8, — 3)U(1, +8)[解析]要使函数有意义，只需x2+2x—3>0即(x+3)-(x—1)>0, 解得X—3或兀＞1•故函数的定义域为(一8, —3)U(1, +8)."求下列函数的定义域：(l)j=log 5(l —x)； (2)j=1题变更1 .函数尸叫U + 1的定义域是（D ） *+1 x A. [7 0)U(0, 1) 本题源于教材人教A 必修1 P73练习T2,1 10g2XnB.[T，0) U (0,1]C.(T，0) U (0,1]D.(-L0)U(0,1)1—x>0,解析：由题意得< 兀+1>0，解得一1<X<O或0<rvl.2.若函数/*&）=勺2以+加i —1的定义域为R,则“的取值解析：函数加：）的定义域为R,所以2以+加一一&0对用R 恒成立，即2门+加—"$1, x 2+2ax —a^0恒成立， 因此有/ =（加r+4«W0,解得一lWaWO.范围为 [―I ，0]闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
；(3)j=vfc -【思路分析】求/仗)的定义域，只需使解析式有意义列不等式组即可求得.「2 —IxIHO, [xH±2,【解】⑴由2心"得=r “[x —1^0, kw —1 或xMl.・••函数的定义域为(一8, -2)U(-2, -1]U[1,2)U(2, +8). p>-i 4x+3>0,⑵由* 4x+3Hl,得< xH—*,、5x-4H0, Il咗・••函数的定义域为3 1 id 4(_玄，_RU(—㊁，U(5, +8).(3)由1—e x>0,得eLl,即e x<e°, x<0.・••函数的定义域为{xlx<0}.【领悟归纳】务必使解析式有意义的不等式列完备，如(2)中易丢掉兀工一舟；(3)中易错写为1 一£$0・考点2抽象函数的定义域血（兀）啲定义域为0 b]9指的是x的取值范围为0 码而不是g（Q的取值范围为S b].⑴已知函数沧）的定义域为[1,5],求函数y =A2x）+/（5 —兀）的定义域；⑵已知函数/仗+5）的定义域为©4],求函数尸冷）的定义域.【思路分析】⑴中视“2x”与“ 5 -x ”为一整体适合/匕）的定义域.⑵中兀+5的取值与/⑴的定义域是相同的.【解】⑴•••/⑵的定义域为[1，5],•••{;;;'得鬥,IW5 血£.•.fwxW 多，•'•y=f(^x)+f(5—x)的定义域为{xl*0w|}. ⑵・・・/3+5)的定义域为[0,4],即0WrW4, ・・・50+5£9,・・・/(兀)的定义域为[5,9].【领悟归纳】本例中的题目有本质的区别⑴已知/⑴的定义域，求尬3）啲定义域.（2）已知馆（兀）啲定义域，求/⑴的定义域.两个题目中都要视gd）为一整体，g（Q是复合函数的中间变量.跟踪训练1-本例(2)中题设条件不变，求y=/(lgx)的定义域. 解：由上述解答可知/仗)的定义域为[5,9],•••5WlgxW9, A105^x^l09,•V(lg对的定义域为[诃109].考点3函数的值域求函数的值域时，应首先分析函数解析式的结构特征，以确定求函数值域的方法：配方法、反函数法、判别式法、换元法、基本不等式法、函数单调性法、数形结合法等.函数的最大（小）值就是函数值域中的最大（小）值，与此函数图象的最高（低）点对应.但并非每个函数都有最值.求最值时, 结合后面将要复习的导数，与极值区分开.求下列函数的值域:X 2(2)y=x—\ll—2x；X v(3)J=7+1・【思路分析】（1）是分式型可考虑分离常数法，配方法或者判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性法.（3）可结合反函数求解.【解】(1)法一：(配方法)••了 =1-兀2_；+］，TO X 2—x + l=(x ••ov^—l+W ，法二：(判别式法)2_ 由丿=兀二兀；1，得(y —l)r 2+(l —J )X +J =O.Vj= 1 时，兀丘0,XVxGR, .\A=(l-j)2-4y(y-l)>0.2 2+4>l ・・・一：WyVl ・・・・值域为・・・一冀応1・・・・円，・•・函数的值域为［吕，1)（2）法一：（单调性法）定义域｛兀»,函数尸兀，y=—yll —2x 均在法二：（换元法） I ----[—广 令V\—2x=t,贝且x=~2~.⑶由尸 Ve x >0,即芒〕0,解得一lvyvl.・・・函数的值域为｛yl-l<j<l ｝.・"=一 ％++1W 0), 1"|;上递增 故丿宅―1 2 X V e —1 用得,【领悟归纳】(1)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知项兀2,则常用此法.通常去掉分母转化为一元二次方程, 再由判别式A^O,确定丿的范围，即为原函数的值域.要注意自变量X是否属于R-(2)若原函数的值域不易直接求解，可以考虑求其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如j =ax+b(oHO)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法.跟踪训练*2 I [2•在例3中，对于⑴变为函数~2_ -,对于⑵变为丿=伍-A/2x-l.如何求它们的值域.若设 r=(x —护一扌；则坨[—£ o )u (o, +8), oo, —4]U(0, +°°), Al+|e (-oo, -3]U(1, +8), 的值域为(一8, —3]U (1, +°°).解: (1)J =x 2—兀+1(2)尸伍-円=伍+注.•・•定义域为百，+8),弘=伍+寸2兀_1在+8)上为增函数,^.u=y]^+yj2x—l^l9•••OvyWl.•“的值域为(OJ]・m已知函数/(x) = log3-8),值域为[0,2],求实数加、【思路分析】设中间变量2为R,且求加，1!X2+8x + nx2 + l的定义域为（一8, + n的值.zwx2+8x+n=x2+l,根据U>Q的解集x 2 + l^(w —/w)x 2—8x+(w —n)=0>Vx^R,且设 u —/nHO,/• A=(—8)2—4(w —/n)(w —n)^O,即 w 2 — (/w+n)w +(/MW —16)^0. 由1W“W9知，关于u 的一元二次方程w 2—(zw+n)-w + (/wn — 16)=0的两根为1和9,由根与系数的关系得,若“一加=0,即u=m = 5时，对应x=0,符合条件, .\m=n = 5为所求.【误区警示】 本题转化为二次方程后，易丢掉"一加=0的讨论. mx 2+8x+n 【解】 m+n=l + 9, inn—16 = 1X9.解得m = n=5.方法技巧1.求定义域的步骤⑴写出使函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式组；(3)写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出).2.对于复合函数求定义域问题，若已知/仗)的定义域[a, b]f 其复合函数/lg(x)啲定义域应由不等Aa<g(x)<b解出.若已知/妝x)啲定义域为[加，n]f冷)的定义域是当兀日加，n]时g(x)的值域.3.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围，利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.4.函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“成立的条件.失误防范1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.2.求解有关函数定义域、值域问题时，易忽略函数定义要求的定义域，值域为非空数集.3.求复合函数定义域问题时，忽视中间变量的取值.命题预测在高考中本节内容是考查的重点，或者直接考查，或者以本节内容为背景结合其他知识点进行考查，例如定义域与反函数结合，定义域与根式函数，对数、指数函数及集合的运算相结合，解析式与求函数值结合, 值域与求最值结合.2012年的高考中，单独考查函数定义域的省份不多，单独考查值域的也不多.预测2014年的高考中主要是(1)与不等式的考查相结合，以选择、填空题的形式考查定义域的求法；(2)与函数的单调性相结合，考查函数的值域或最值的求法，一般出现在解答题中.规范解答兀(单位：元/千克)满足关系式10(x—6)2,其中3<r<6,为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.⑴求。
的值;(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格兀的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解】⑴因为兀=5时，j = ll, 所以号+10=11, a = 2.(3 分)2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量J=—+10(x-6)2e所以商场每日销售该商品所获得的利润/(X)=(X-3)疋〒 +103—6)2=2+ 10(x—3)(x—6)2,3<x<6e从而，f f (x)=10[(x—6)2+2(x—3)(x—6)] = 30(x—4)(x—6). (6分)于是，当兀变化时，f f(X), /(对的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数仗）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点.所以，当兀=4时，函数/仗）取得最大值，且最大值等于42.（10 分）即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.（12分）【名师点评】本题主要考查函数的实际应用，求最值的能力以及解决实际问题，处理数据的能力.本题也是现代生活人们关心的问题，题目的设计内容对考生是公平的.第(1)问是基础，提醒考生首先求a的值，第(2)问先求表达式再求最值，即可用求导法，难度属于中档，易出错和不规范的地方是没有求a值的过程，特别是不写定义域，造成了得不到满分的现象.点击进入本部分内容讲解结束。
