变式3-1
已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R)． (1)若函数的值域为[0，+∞)，求a的值； (2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)=2-a|a+3|的值域．
2. 值域与最值的关系
若函数y=f(x)的最大值为b，最小值为a，那么y=f(x)的值 域必定是集合[a，b]的________；若f(x)可以取到[a，b]中的
一切值，那么其值域就是________． 基础梳理答案：
1. (1)f(x)≤f(x0) ymax=f(x0) (2)f(x)≥f(x0) ymin=f(x0) 2. 子集 [a，b]
x
在[2，+∞)上是增函数，
∴f(x)min=f(2)=6.
(2)当a= 1 时，f(x)=x+
2
数，
∴f(x)min=f(1)=
.7
2
+1 2，易知f(x)在[1，+∞)上为增函
2x
(3)函数f(x)=x+ +a 2在(0， ]上a 是减函数，在[ ，+a∞) 上是增 x
函数．
若 a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，+∞)上先减后增， ∴f(x)min=f( )=a 2 +2a； 若 a≤1，即0<a≤1时，f(x)在区间[1，+∞)上是增函数， ∴f(x)min=f(1)=a+3.
(1)y=3x2-x+2，x∈[-1,3]；
(2) y2x 12x;
(3) y2x2 2x x11x1 2.
解∵对：称(1轴)yx==3x12∈-x[+-12,=33]，x
1 6
2
23, 12
∴函数在x=
6
1 处取得最小值．即ymin=
2 1
23.
结合函数的单6 调性知函数在x=3处取得最大值，即ymax=26.
.∵2x≥1，∴x=log2(1+
)2 ．
(2)当t∈[1,2]时，
2 t 2 2 t2 1 2 t m 2 t2 1 t 0 ,
即m(22t-1)≥-(24t-1)．∵22t-1>0，∵m≥-(22t+1)．
∵t∈[1,2]，∴-(1+22t)∈[-17，-5]，
∴m的取值范围是[-5，+∞)．
∴ 164∈x[0,4)．
4. [-1,1) 解析： y 1∵xx222+11≥1，
∴-2≤
2 <0，
x2 1
∴-1≤y<1，即值域为[-1,1)．
5. 4
解析： x2
x
1
x
1
2
2
3 4
3, 4
3
f (x)
1 3
4, 3
f
(x)max
4. 3
4
经典例题
题型一 求函数的值域
【例1】 求下列函数的值域．
题型三 函数最值的综合应用
【例3】 已知函数f(x)=2x- 1 .
2x
(1)若f(x)=2，求x的值；
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解:(1)当x<0时，f(x)=0；当x≥0时，f(x)=2x- 1 ，
由2x-1
2x
=2，得2x=1±2
2x
第三节 函数的值域与最值
基础梳理
1. 函数的最值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A， (1)如果存在x0∈A，使得对于任意x∈A，都有________，那 么称f(x0)为y=f(x)的最大值，记为________． (2)如果存在x0∈A，使得对于任意x∈A，都有________，那 么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为________．
t
t
t 1 1 2 t 1 1
2t 2
2t 2
21, 2
当且仅当 t ，1 即t= 时等2 号成立， 2t
∴y≥ 2 ，1
2
∴原函数的值域为
2
1 2
,
Байду номын сангаас
变式1-1
求下列函数的值域． (1) y4 32xx2; (2) y2x 12x; (3) y4x12x3.
解析：(1)(配方法)由3+2x-x2≥0，得-1≤x≤3. ∵y=4- x1，24 ∴当x=1时，ymin=2； 当x=-1或3时，ymax=4.
32上, 单调 递增．
∴y≥ f =32 5 ，因此函数的值域为[5，+∞)
题型二 求函数的最值
【例2】 已知函数f(x)= x2 2，x xa∈[1，+∞)．
x
(1)当a=4时，求f(x)的最小值；
(2)当a= 1 时，求f(x)的最小值；
2
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解：(1)当a=4时，f(x)=x+ 4 +2，易知f(x)在[1,2]上是减函数，
的 1值域为________．
1
5.
函数f
(x)x2
的1 最大值为________．
x1
基础达标答案：
1. (2,3] 解析：∵1<x≤2，∴2<x+1≤3，
∴值域为(2,3]．
2. [0，+∞) 解析：当x≥2时，f(x)=(x-1)2-1≥(2-1)2-1=0，
故值域为[0，+∞)．
3. [0,4) 解析：∵4x>0，∴0≤16-4x<16，
∴函数的值域为[2,4]．
(2)(换元法)令t= 1(t≥2x0)，
则x= 1 t 2 .
2
∴yt2t1t1 225 4,
∴当t= 1 ，即x=
2
时3 ，ymax=
8
，5 无最小值．
4
∴函数的值域为
,.
5 4
(3)(单调性法)∵f1(x)=4x-1和f2(x)= 2均x 为3增函数，
∴f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域
∴函数的值域为
23 12
,
2
6
(2)方法一：令1 2x=t(t≥0)，则
∴y=1-t2-t= t
1 2
2
.
5 4
x 1 t2 2
∵二次函数对称轴为t= 1 ，
∴在[0，+∞)上y=
t
2
1 2
2
是减5函数，
4
∴ymax=0122
5 4
1
故函数有最大值1，无最小值，其值域为(-∞，1]．
基础达标
1. (必修1P25练习7(3)改编)f(x)=x+1，x∈(1,2]的值域为
________．
2. (必修1P25练习7改编)f(x)=(x-1)2-1，x∈[2，+∞)的值域为
________．
3. (2010·重庆改编)函数 y 16的值4x域是________．
4. 函数y
x2 x2
方法二：∵y=2x与y= 12x均为定义域上的增函数，
∴y=2x- 1 2是x 定义域为
上的, 12增函数，
∴ymax=
21 2
12，无1最1 小值．
2
∴函数的值域为(-∞，1]．
(3)令2x-1=t(t>0)，则 x t， 1
2
2 (t 1)2 t 1 1 1 t2 1 t 1
y
4
2
2
2
