函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2

1.2.2函数的表示（第1课时）一、教学目标（一）核心素养通过本节课，让学生了解函数表示的必要性及多样性，丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象函数的函数概念.在数学运算、建模过程中初步体会数形结合这一重要数学方法。

（二）学习目标1.了解函数的三种表示方法及各自的优点与不足，在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.2.理解映射的概念，了解其与函数的区别，并能判断某些对应关系是否是映射.3.会画简单函数的图像,能根据要求求函数的解析式.（三）学习重点1.函数的三种表示法，根据具体问题选择合适的方法表示函数.2.了解映射的概念及其表示.3.会画简单函数图像，能根据要求求函数解析式.（四）学习难点1.根据具体问题选择合适的方法表示函数.2.函数解析式的求法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）填空：通过初中的学习我们应该知道函数的表示方法有_解析法、图像法、列表法___. （2）映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应A：”f→：为从集合A到集合B的一个映射.记作“BBAf→2.预习自测（1）函数的表示法中，能够直观反应函数变化情况的是图像法；可以不需计算直接看出函数值的是列表法；可以通过计算得出任一自变量对应的函数值的是解析法。

（2）下列对应:f A B→,不是从集合A到B映射的有___①②__① {},0,:;A R B x R x f x x ==∈>→ ②*,,:1;A N B N f x x ==→- ③{}20,,:.A x R x B R f x x =∈>=→ (二)课堂设计 1.知识回顾（1）函数的概念，函数的三要素。

（定义域、对应法则、值域） （2）初中画函数图像的方法是描点法，步骤是：列表、描点、连线. 2.问题探究探究一 函数的表示法●活动① 对比提炼三种表示法的优缺点我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法。

1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念整体设计教学分析函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．三维目标1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．重点难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．课时安排2课时教学过程第1课时作者：高建勇导入新课问题：已知函数y＝1,,0,,xx∈⎧⎨∈⎩RQQð请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)给出下列三种对应：(幻灯片)①一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.②近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．图1根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：f：t→S，t∈A，S∈B.③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.以上三个对应有什么共同特点？(2)我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.(3)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？(4)函数有意义又指什么？(5)函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(5)C ⊆B .应用示例例题 题已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2， (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使x ＋3和1x ＋2有意义的自变量的取值范围.x ＋3有意义，则x ＋3≥0，1x ＋2有意义，则x ＋2≠0，转化为解由x ＋3≥0和x ＋2≠0组成的不等式组． (2)让学生回想f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23表示什么含义？f (－3)表示自变量x ＝－3时对应的函数值，f ⎝⎛⎭⎫23表示自变量x ＝23时对应的函数值．分别将－3，23代入函数的对应法则中得f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫23的值．(3)f (a )表示自变量x ＝a 时对应的函数值，f (a －1)表示自变量x ＝a －1时对应的函数值．分别将a ，a －1代入函数的对应法则中得f (a )，f (a －1)的值．解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，解得－3≤x ＜－2或x ＞－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1；f ⎝⎛⎭⎫23＝23＋3＋123＋2＝333＋38. (3)∵a ＞0，∴a ∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f (a )，f (a －1)有意义．则f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1. 点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f (x )的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．f (x )是表示关于变量x 的函数，又可以表示自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f (x )没有什么意义．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算．例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；若x 为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＋5，f [g (x )]＝[g (x )]2－g (x )＋5等等．符号y ＝f (x )表示变量y 是变量x 的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y 等于f 与x 的乘积．符号f (x )与f (m )既有区别又有联系：当m 是变量时，函数f (x )与函数f (m )是同一个函数；当m 是常数时，f (m )表示自变量x ＝m 对应的函数值，是一个常量．已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．(3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．1．已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)f (9)＝________. 解析：∵f (p ＋q )＝f (p )f (q )，∴f (x ＋x )＝f (x )f (x )，即f 2(x )＝f (2x )．令q ＝1，得f (p ＋1)＝f (p )f (1)，∴f (p ＋1)f (p )＝f (1)＝3. ∴原式＝2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＋2f (10)f (9)＝2(3＋3＋3＋3＋3)＝30. 答案：302．若f (x )＝1x的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( ) A ．A ∪B ＝B B ．A B C ．A ⊆B D ．A ∩B ＝解析：由题意得A ＝{x |x ≠0}，B ＝{x |x ≠0，且x ≠－1}．则A ∪B ＝A ，则A 错；A ∩B ＝B ，则D 错；由于B A ，则C 错，B 正确．答案：B拓展提升问题：已知函数f (x )＝x 2＋1，x ∈R .(1)分别计算f (1)－f (－1)，f (2)－f (－2)，f (3)－f (－3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．活动：让学生探求f (x )－f (－x )的值．分析(1)中各值的规律，归纳猜想出结论，再用解析式证明．解：(1)f (1)－f (－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；f (2)－f (－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；f (3)－f (－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.(2)由(1)可发现结论：对任意x ∈R ，有f (x )＝f (－x )．证明如下：由题意得f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )．∴对任意x ∈R ，总有f (x )＝f (－x )．课堂小结本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f (x )的理解．作业课本习题1.2A 组 1,5.设计感想本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．第2课时作者：刘玉亭复习1．函数的概念．2．函数的定义域的求法．导入新课思路1．当实数a ，b 的符号相同，绝对值相等时，实数a ＝b ；当集合A ，B 中元素完全相同时，集合A ＝B ；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．思路2．我们学习了函数的概念，y ＝x 与y ＝x 2x是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．推进新课新知探究提出问题①指出函数y ＝x ＋1的构成要素有几部分？②一个函数的构成要素有几部分？③分别写出函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的定义域和对应关系，并比较异同.④函数y ＝x ＋1和函数y ＝t ＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：①函数y ＝x ＋1的构成要素为：定义域R ，对应关系x →x ＋1，值域是R . ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．③定义域和对应关系分别相同．④值域相同．⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．应用示例例题 题下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？(1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x. 活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．解：函数y ＝x 的定义域是R ，对应关系是x →x .(1)∵函数y ＝(x )2的定义域是[0，＋∞)，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 的定义域不相同，∴函数y ＝(x )2与函数y ＝x 不相等．(2)∵函数y ＝3x 3的定义域是R ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝3x 3＝x ，∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 的对应关系也相同．∴函数y ＝3x 3与函数y ＝x 相等．(3)∵函数y ＝x 2的定义域是R ，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的定义域相同．又∵y ＝x 2＝|x |，∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 的对应关系不相同．∴函数y ＝x 2与函数y ＝x 不相等．(4)∵函数y ＝x 2x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 的定义域不相同， ∴函数y ＝x 2x与函数y ＝x 不相等． 点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )图2 A ．① B ．①③④C ．①②③D ．③④答案：B2．函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是[1,2]，则函数y ＝f (2x －1)的值域是________． 答案：[1,2]3．下列各组函数是同一个函数的有________．①f (x )＝x 3，g (x )＝x x ；②f (x )＝x 0，g (x )＝1x 0； ③f (x )＝－2x ，g (u )＝－2u；④f (x )＝－x 2＋2x ，g (u )＝－u 2＋2u . 答案：②③④拓展提升问题：函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有几个交点？探究：设函数y ＝f (x )定义域是D ，当m ∈D 时，根据函数的定义知f (m )唯一，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点仅有一个(m ，f (m ))，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 仅有一个交点；当m D 时，根据函数的定义知f (m )不存在，则函数y ＝f (x )的图象上横坐标为m 的点不存在，即此时函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 没有交点．综上所得，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 有交点时仅有一个，或没有交点．课堂小结(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；(2)判断两个函数是否是同一个函数．作业1．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )图3答案：B2．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．答案：增加 函数3．函数y ＝x 2与S ＝t 2是同一函数吗？答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y ＝x 2与S ＝t 2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的． 设计感想本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．备课资料【备选例题】【例1】已知函数f (x )＝11＋x，则函数f [f (x )]的定义域是________． 解析：∵f (x )＝11＋x ，∴x ≠－1.∴f [f (x )]＝f ⎝⎛⎭⎫11＋x ＝11＋11＋x. ∴1＋11＋x ≠0，即x ＋2x ＋1≠0.∴x ≠－2.∴f [f (x )]的定义域为{x |x ≠－2，且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2，且x ≠－1}【例2】已知函数f (2x ＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f (2x －3)的定义域．解：由函数f (2x ＋3)的定义域得函数f (x )的定义域，从而求得函数f (2x －3)的定义域．设2x ＋3＝t ，当x ∈[－4,5)时，有t ∈[－5,13)，则函数f (t )的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x －3＜13，得－1≤x ＜8，即函数f (2x －3)的定义域是[－1,8)．【知识拓展】函数的传统定义和近代定义的比较函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，0，－1， x >0，x ＝0，x <0，用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．。

《函数的概念及其表示》教案第一课时： 函数的概念（一）教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：一、复习准备：. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量变量之间有什么关系.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，此时是的函数，是自变量，是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法.;二、讲授新课：.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例：.一枚炮弹发射，经秒后落地击中目标，射高为米，且炮弹距地面高度（米）与时间（秒）的变化规律是21305h t t =-..近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书页图）.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量变量的变化范围分别是什么两个变量之间存在着这样的对应关系 三个实例有什么共同点归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集中的每一个，按照某种对应关系，在数集中都与唯一确定的和它对应，记作：:f A B →》③定义：设、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合到集合的一个函数（），记作：(),y f x x A =∈.其中，叫自变量，的取值范围叫作定义域（），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（）.④讨论：值域与的关系构成函数的三要素一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域 ⑤练习：2()23f x x x =-+，求()、()、()、(－)的值。

1.2.1函数的概念（第1课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用． （二）学习目标 1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法．3．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（三）学习重点 1．体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念．2．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（四）学习难点1．体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”．2．符号“y=f (x )”的含义． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：设B A ,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y =，A x ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域． （2）写一写：区间(设a ＜b ){x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a ＜x ≤b } 半开半闭区间 (a ，b ] {x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ，＋∞) {x |x ＞a } 开区间 (a ，＋∞) {x |x ≤a } 半开半闭区间 (－∞，a ] {x |x ＜a } 开区间(－∞，a )2．预习自测(1)()x f 与()a f 的区别与联系？答：()a f 表示当a x =时函数()x f 的值，是一个常量，而()x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量；()a f 是()x f 的一个特殊值．(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？答：基本要素有定义域、对应关系、值域。

１．２．１函数的概念一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生认识函数的构成要素；明确函数的定义；理解定义域、对应关系、值域的含义；掌握判断两个函数是否相等的方法；正确使用区间表示定义域、值域； 教学目的：引导学生树立函数思想研究变量之间的关系。

教学意义：培养学生通过观察事物的表象，分析事物变化的本质，揭示变量之间内在相互联系、相互制约的关系。

二、教学过程１．在背景材料下，引出函数的定义：一般地，设Ａ，Ｂ是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合Ａ中的任意一个数x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围Ａ叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合Ｂ的子集。

注意：两个非空数集；一对一或多对一；集合Ａ中的任意一个数已知R x ∈，在解析式x y x y x y 2,|||,|2===中，哪些可以成为函数的解析式？ ２．一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域。

３．函数相等具备的条件：定义域、对应关系完全一致。

４．对应关系常见形式：①解析法②图象法③列表法５．理解和正确使用区间符号：),(],,(),,(),,[),,(),,[],,(],,[b b a a b a b a b a b a -∞-∞+∞+∞ 注意：对区间[,],(,],[,),(,)a b a b a b a b 来说，(前提条件b a <)６．求函数定义域：①由问题的实际背景确定；②能使解析式有意义的实数的集合。

注意：通过解析式求定义域，无需化简，应注意自变量取值的等价性。

7.掌握常数函数、一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的值域情况。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．已知函数15)(2+=x x x f ，若2)(=a f ，则=a 。

1.2.2函数的表示法（第一课时）学习目标：1.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想. 学习重点:函数的三种表示方法学习难点：对函数解析法的理解学习过程：（一）导入新课我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（二）师生互动，新课讲解(1)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.(2)图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.(3)列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1点评：本题主要考查函数的三种表示法.解析法的特点是:简明、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域;图象法的特点是:直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的某些性质,图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股市走势图等;列表法的特点是:不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值,列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用,如银行利率表、列车时刻表等等.但是并不是所有的函数都能用解析法表示,只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时,这样的函数才可能有解析式,否则写不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:张丹的年龄n(n∈N*)每取一个值,那么他的身高y(单位:cm)总有唯一确定的值与之对应,因此身高y是年龄n的函数y=f(n),但是这个函数的解析式不存在,函数y=f(n)不能用解析法来表示.注意：①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等;②解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;③图象法:根据实际情境来决定是否连线;④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势.解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大;赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意：本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.例3.将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y 表示为x 的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去. 解：设矩形一边长为x,则另一边长为21(a-2x),则面积y=21(a-2x)x=-x 2+21ax. 又⎩⎨⎧>>0,2x -a 0,x 得0<x<2a ,即定义域为(0,2a).由于y=-(x 4a -)2+161a 2≤161a 2, 如图1-2-2-4所示,结合函数的图象得值域为(0,161a 2］.图1-2-2-4例4.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=________.分析:由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x f(x)2f(-x)2,3x f(-x)2f(x)把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程即得. (三)课堂练习1.向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图1-2-2-5所示,那么水瓶的形状是( )图1-2-2-5 图1-2-2-6答案：B2.2007宁夏银川一模,理14已知f(x x +-11)=2211x x +-,则f(x)=________.分析:可设x x +-11=t,则有x=tt+-11, 所以f(t)=22)11(1)11(1t t t t +-++--=212t t +, 所以f(x)=212x x+.答案：212xx+ 3.已知函数f(x)=273++x x ，写出函数的定义域和值域.（换元法）注意：讨论函数的值域要先考虑函数的定义域，换元后马上写出新元的取值范围 （四）课堂小结：本节课学习了函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数. （五）作业：1.车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次,其中电动车保管费是每辆一次0.5元,自行车保管费是每次一辆0.3元.(1)若设自行车停放的辆次数为x,总的保管费收入为y 元,试写出y 关于x 的函数关系式;(2)若估计前来停放的3 500辆次自行车中,电动车的辆次不小于25%,但不大于40%,试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围.2.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图1-2-2-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图1-2-2-9丙所示(至少打开一个水口).图1-2-2-9给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水;其中一定正确的论断是( )A.①B.①②C.①③D.①②③3.求值域y=x4+ x2-2(六)教学反思：。

1.2 函数及其表示我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在.这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律.函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么，进而解决实际问题．因此，学习函数知识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义．教科书采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打了感性基础，而且注重培养了学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.函数的表示是本节的主要内容之一.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识.在本节中，教科书从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用；在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.本教科书将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，并让学生将更多的精力集中于理解函数的概念，同时，也体现了特殊到一般的思维过程.1.2.1 函数的概念（1）从容说课函数是中学数学的一个重要概念，也是高中数学的一条主线.函数在初中已学过，不过较肤浅，本课主要是从两集合间对应来描绘函数的概念，是一个抽象过程，学生学习可能有所不适应.教学中宜逐步设计合理的阶梯，从实际问题逐步建构函数的初步定义，对于“对应”二字宜进行适当解释.函数概念的引入，一般有两种方式，一种方式是先学习映射，再学习函数；另一种方式是通过具体实例，体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（单值对应），即函数．考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，教材采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念．《标准》对函数概念的处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法.三维目标一、知识与技能1.了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素.2.了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示.二、过程与方法1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想.三、情感态度与价值观1.能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考.2.函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，通过本节的学习，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点.教学重点在对应的基础上理解函数的的概念.教学难点对函数概念的理解.教具准备多媒体.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化，请大家看（多媒体播放：把教科书上的三个实例制成多媒体）镜头1：教科书P17实例（1）.（旁白：随着时间t的变化，炮弹距地面的高度h在变化）镜头2：教科书P17实例（2）.（旁白：南极上空臭氧层空洞的面积随着时间的变化而变化）镜头3：教科书P18实例（3）.（旁白：我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少）……师：这些都说明了当时间变化时，另一个量也随之变化.（多媒体播放）镜头4：某人1元钱买1件商品，另一个人2元钱买1件商品.（旁白：不同的钱数买不同量的商品）镜头5：一只盒子有6只乒乓球，拿出10盒子，再拿出20盒子.（旁白：盒子增多球量增大）师：这些变化着的现象，说明当一个变量变化时，另一个变量随之变化.同学们能否再举出类似事例来?生1：我们的身高随着我们的岁数变化.生2：不对，20岁后，我们身高不长了.师：不错，但身高随着年龄的变化而变化是一个事实，这里变化是一个抽象的概念，说对应更确切.其实在初中我们已初步用函数来刻画和描述两个变量之间的依赖关系，今天我们进一步研究函数的知识.（板演函数的概念）二、讲解新课与学生共同分析、归纳上面的几个例子，寻求它们的共性，发现：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f：A→B.由此得出函数的概念.1.函数的概念（1）函数的传统定义设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.（2）函数的近代定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合｛f （x ）|x ∈A ｝叫做函数的值域.我们所熟悉的一次函数y =ax +b （a ≠0）的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有唯一的数y =ax +b （a ≠0）和它对应.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的定义域是R ，值域是B .当a ＞0时，B ={y |y ≥ab ac 442-}；当a ＜0时，B ={y |y ≤ab ac 442-}.对于R 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一的数y =ax 2+bx +c（a ≠0）和它对应.对函数概念的理解（老师和学生共同探讨得出以下结论）：①函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合与对应的观点出发.这样，就不难得知函数实质是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应.函数的近代定义更具有一般性，例如函数f （x ）=⎩⎨⎧,0,1 ,,是无理数时当是有理数时当x x 如果用运动变化的观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.②函数的三要素：定义域、值域和对应关系f .其中核心是对应关系f ，它是函数关系的本质特征.y =f （x ）的意义是：y 等于x 在关系f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带，所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系，这是无关紧要的.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应关系在实质上（不必在形式上）分别相同.③函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.忽视了函数的定义域，我们将寸步难行，由此，我们也往往把函数的定义域称之为函数的“灵魂”.【例1】 判断下列对应是否为函数：（1）x →x2，x ≠0，x ∈R ； （2）x →y ，这里y 2=x ，x ∈N ，y ∈R . 解：（1）对于任意一个非零实数x ，x 2被唯一确定，所以当x ≠0时，x →x2是函数，这个函数也可以表示为f （x ）=x2（x ≠0）. （2）当x ＝4时，y 由y 2=4给出，得y ＝2和y ＝－2，即给定一个x =4，有两个y 的值（±2）和它对应，所以x →y （y 2=x ）不是函数.（自己输入一个x 的值试一试）方法引导：判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一.【例2】 求下列函数的定义域：（1）f （x ）=1-x ；（2）g （x ）=11+x . 解：（1）因为当x －1≥0，即x ≥1时，1-x 有意义；当x －1＜0，即x ＜1时，1-x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≥1}.（2）因为当x ＋1≠0，即x ≠－1时，11+x 有意义；当x ＋1＝0，即x ＝－1时，11+x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≠－1，且x ∈R }.方法引导：求函数的定义域开偶次方其根号里面需非负，分母不为零. 2.区间研究函数时常用到区间的概念. （1）区间的概念设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为；［a ，b ］； ②满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）； ③满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；［a ，b ］，（a ，b ）.注意：按照国际标准前闭后开区间记作；［a ，b ），前开后闭区间记作（a ，b ］.区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”间隔开.（2）区间的端点和长度区间定义中的实数a 与b 叫做相应区间的端点，其中a 叫左端点，b 叫右端点.称b －a 为区间长度.注意：①区间是集合的又一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法（列举法，描述法）、不等式表示法和区间表示法.例如大于－1小于2的实数的集合可以表示为如下三种形式：｛x |－1＜x ＜2｝；－1＜x ＜2；（－1，2），至于用哪一种形式，可根据习惯或简明的原则来选用.在数轴上，区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，（如下表）在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.（3）无穷大的概念①实数集R 也可以用区间表示为（－∞，+∞），其中“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.注意：无穷大是一个符号，不是一个数.②关于用－∞，+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：特别说明： ①区间是集合；②区间的左端点必小于右端点；③区间中的元素都是点，可以用数字表示； ④任何区间均可在数轴上表示出来；⑤以“－∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 三、课堂练习 1.反比例函数y =xk（k ≠0）的定义域、对应关系和值域各是什么?请用上面的函数定义描述这个函数.2.教科书P 22练习题1.答案：1.定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），对应关系f ：y =xk（k ≠0），值域为（－∞，0）∪（0，+∞）.对于任意一个非零实数x ，x k 被唯一确定，所以当x ≠0时，y =xk（k ≠0）是函数.2.（1）因为4x +7≠0，得x ≠－47，所以，函数f （x ）=741+x 的定义域为{x ∈R |x ≠－47}. （2）因为1－x ≥0，且x +3≥0，得－3≤x ≤1，所以，函数f （x ）=x -1+3+x －1的定义域为{x ∈R |－3≤x ≤1}，定义域用区间也可表示为［－3，1］.四、课堂小结1.本节学习的数学知识：（1）函数的概念和函数的定义域、值域等概念；（2）区间与无穷大的概念. 2.本节学习的数学方法：观察与归纳的思想方法、定义法、渗透了静与动的辩证唯物主义观点. 五、布置作业1.教科书P 28习题1.2 A 组第1题.2.求下列函数的定义域.（1）f （x ）=21-x ； （2）f （x ）=23+x ； （3）f （x ）=1+x +x-21.板书设计1.2.1 函数的概念（1）函数的概念函数的传统定义函数的近代定义对函数概念的理解例1例2区间的有关概念课堂练习课堂小结。

《函数的概念》教学设计人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》第一章概述：《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析【教材内容分析】1.教材的地位及作用函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面研究的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，研究了本小节后，为以后研究其他类型的函数打下扎实的基础。

由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。

2.学情分析在学生研究用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。

由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

【教学目标分析】根据上述教材内容分析，并结合学生的研究心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：知识与技能：1、从集合与对应的观点动身，加深对函数观点的理解2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则3、理解函数符号的含义。

过程与方法：在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

《1.2.1函数的概念》
教学设计
《函数的概念》的教学设计
一、教学目标
知识与技能——通过函数概念这节课的学习，了解函数的定义及其三要素，掌握区间的符号表
示，会求简单函数的定义域和值域。

培养学生分析、判断、抽象、归纳概括的逻辑思维能力
过程与方法——通过函数定义获得的学习过程，体会由具体逐步过渡到符号化、代数化，特殊到
一般的数学思想。

情感态度与价值观—— 通过本节的学习，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主
义观点；树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

二、教学重点与难点
重点：了解函数定义及其三要素，掌握区间的符号表示方法，会求简单函数的定义域和值域。

难点：理解函数符号)(x f y 的含义，掌握区间的符号表示方法及无穷大的概念。