函数的值域ppt课件

函数图像是另一种有力的工具，它可以直观地展 示定义域和值域，并帮助我们理解函数的特征。
定义域和值域的应用举例
1
金融投资
在金融投资中，定义域可以表示投资
天气预报
2
的风险等级，值域可以表示预期收益。
在天气预报中，定义域可以表示温度
范围，值域可以表示天气状况。
3
医学诊断
在医学诊断中，定义域可以表示各种 病症，值域可以表示不同的诊断结果。
常见的函数类型及其定义域和值域
线性函数
定义域为整个实数集，值域也为整个实数集。
二次函数
定义域为整个实数集，值域根据二次函数的 开口方向有所不同。
指数函数
定义域为整个实数集，值域为正实数集。
对数函数
定义域为正实数集，值域为整个实数集。
定义域和值域的图示表示
矩形坐标系
函数图像
矩形坐标系是描述定义域和值域的常用工具之一。 它可以帮助我们可视化函数的输入和输出范围。
定义域与值域ppt课件
在这个课件中，我们将探讨定义域和值域的概念，以及如何确定函数的定义 域和值域。我们还将介绍常见函数类型的定义域和值域，并通过图示表示和 实际应用举例，帮助您理解定义域和值域的重要性。
定义域和值域的概念
定义域是函数中所有可能输入的集合，值域是函数中所有可能输出的集合。它们是用来描述函数的输入 和输出范围的重要概念。
如何确定函数的定义域和值域
1 分析函数表达式
通过分析函数的表达式，我们可以确定函数的定义域和值域。例如，根据根式函数的定 义域和非负实数相关联。
2 考虑约束条件
有时候，函数的定义域和值域受到一些约束条件的限制。通过考虑这些约束条件，我们 可以确定函数的实际范围。

考生应重视通过建立函数求值域解决变量 的取值范围的问题.
3
一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域：当a
＞0时，值域为②
［
4ac 4a
b
2
，
;当) a＜0时，
值域为③
(，4ac 4a
b2
.
］
4
3. 反比例函数y=kx (x≠0，k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0，y∈R} .
因此当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，
当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，
因此函数的值域是［-1，3］.
23
(因2)此由当f (xx) (12，(1x)x3时2 1，) f
0，可得x=1. ′(x)＜0，
2
因此f(x)在区间 (1，1) 上是减函数，
2
同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.
C
)
C. [1，1)?
D. [13， )
3
3
0
1 x2 1
1
1
1 3
1 x2 1
1， 3
故选C.
9
3.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数 y=f(x-10)+π的值域是( B )
A. ［-π,10］
B. ［0,π+10］
C. ［-π-10,0］ D. ［-10,π］ 由于y=f(x) 向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度
s2in(α+
).4
由于α∈［0,π］，
因此 ［ , 5 ］, 因此sin( )［ 2 ,1］，

综合（2019江苏）
设函数 f(x)
x
(xR)
，区间
1 x
M=[a，b](a<b)，集合N={ yyf(x),xM}
则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
练习：求下列函数的值域
1、y= 2x +1 1-2x
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y
x 的值域
适用于一 次分式
x1
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分 母 除以 分子
y

1
x
1 1
图象法： y1 如 何 平 y 移 11
2 a log a 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。 例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],
？把2改写成 以a为底的指
数和对数
求g(x)=f(x+a)+f(x-a)(其中-1/2<a≤0) 的定义域。
综合2： 设函数 f(x ) lo 2x x g 1 1 lo 2 (x g 1 ) lo 2 (p g x ) ⑴求f(x)的定义域；
3、y= 1 x2 -4
2、y= sinx+1 1-sinx
y x 4,求满足下列条件的 值函 域数 x
①x≠0
三、Δ法(适用于二次分式) 其它：图象法
重要不等式
分类讨论
单调性
②x∈（0,+∞） ③x∈[1，5]
引申：

复合函数
由内到外逐层分析，确保每层 函数在对应定义域内有意义。
图像法求定义域
01
观察函数图像，找出图像上所有 点的横坐标集合，即为函数的定 义域。
02
适用于直观易懂的函数图像，如 一次函数、二次函数等。
实际问题中定义域确定
根据实际问题的背景 和条件，确定自变量 的取值范围。
需要结合具体问题进 行具体分析，灵活应 用数学知识。
对于形如$y=a(x-h)^2+k$的 复合函数，可以通过配方的方 法将其转化为顶点式，进而求 得值域。
对于形如$y=ax^2+bx+c/x$ 的复合函数，可以通过判别式 的方法求得值域。首先将原式 化为关于$x$的二次方程，然 后根据判别式$Delta geq 0$ 求得$y$的取值范围。
对于某些特殊的复合函数，可 以通过求其反函数的方法求得 值域。例如，对于形如 $y=log_a[f(x)]$的复合函数， 可以先求出其反函数$x=a^y$， 然后根据反函数的定义域求得 原函数的值域。
取并集
将各区间定义域取并集， 得到分段函数的定义域。
注意分段点
分段点应包含在定义域内， 除非分段点处函数无定义。
分段函数值域求解
分别求解各区间值域
注意最值点
根据各区间内解析式的性质，分别求 解各区间的值域。
在各区间内和分段点处寻找最值点， 以确定值域的上下界。
取并集
将各区间值域取并集，得到分段函数 的值域。
05 分段函数定义域与值域
分段函数概念及性质
01
02
03
分段函数定义
在不同区间上，用不同解 析式表示的函数。
分段函数性质
各区间内函数性质可能不 同，如单调性、奇偶性等。

体播种就是将浸种催芽后的胡萝卜种子配制成悬浮液，然后用专用播种机或喷壶等将悬浮液播种下去，这是播种小粒种子采用的新方法，比传统的撒播、条 播等效果好。 [] 流体播种方法：①催芽。先搓去种子上刺，用～℃温水烫种，水温降至室温时再浸泡～个小时，漂去空瘪粒后捞出催芽。种子露白后，芽长 不超过mm时即可播种。②配制保水剂； QQ业务乐园 https:// QQ业务乐园 ；胶状悬浮液。根据不同保水剂的吸水程度，采用不同用量，原 则上以种子均匀悬浮起来为准则，再加入.%的%久效磷、.%的%多菌灵粉剂、.%抗旱剂号及适量的激素。③播种方法。首先，把催芽种子置于保水剂胶状 悬浮液中，以～粒/cm为宜。然后，用单行或三行流体播种机按～粒/m种子密度播种，无流体播种机时，可把种子的悬浮液倒入铝壶中，流播于事先开好的 播种沟内。最后，覆土～.cm厚。 [] ⑶穴点播种法 定穴距播种具有省种、苗匀、规格和省工的优点。按照计划留苗密度确定穴距位置，一般穴距的见方标准 多是cm×cm、cm×cm、8cm×8cm、cm×cm四种。每穴点播～粒种子，覆土.～.cm。 [] 苗期管理 胡萝卜需要间苗，一般分三次进行。第一次当真叶长 到～片时间苗，间隔～cm；第二次在～片时进行间苗，间隔～cm；第三次视情况而定，最终间隔～cm。 [8] 胡萝卜根肥大，与相邻植株的间隙即栽培密度 关系很大。如果一次性按定苗间距播种或者仅通过一次间苗就定苗，苗子太小、太细会因风大而倒伏，造成根型不整。另外，栽培密度若突然降低，会引起 过量的生育，容易形成心部粗大，表皮粗燥，裂根也会增多。相反间苗过晚密度太大则是形成短根的原因。结合生育进城合理密植，根据生长状况最好要进 行两次间苗是科学的。 [8] 覆土 胡萝卜的覆土分三次进行。第一次在定植后，胡萝卜高～cm进行覆土；第二次在胡萝卜成长期间，胡萝卜达到直径cm时进 行覆土；第三次在采收前期进行覆土。 [8] 浅水与施肥 胡萝卜播后天内要防止干旱，注意适度灌水。故有“播后浇三水，保苗齐苗旺”的说法。“三水”即 播时浇水，不干时再浇水，幼芽顶土时浇水。特别是真叶～片时遇到干旱对根系下扎影响较大，裂根率也随之上升。因此要保持适当的湿度，过湿会促进病 害的发生，增加须根率。 [8] 根据胡萝卜前期以吸氮为主，初期吸磷、钾对根膨大影响最大，吸钙低于钾、氮，高于磷、镁的吸肥规律，着重施足基肥，适 时追肥。 [8] 基肥 每亩地施腐熟基肥和人粪尿～公斤，有机肥、有机-无机复混肥公斤，施基肥应在播种前结合耕地进行，

三：换元法

通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为 代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例2 求函数 的值域:

注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复 y=x+ 1-x 杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后 新元的取值范围。
求下列函数的值域： （ 1） y = x +
解：设 t =
1 x
y 1
1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4

o x
5 由图知： y 4
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
1、求下列函数的值域：
（1）y = 1 －2x R 值域为 ________________ －1, 0, 1 } 值域为 { _________
会生活。
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写 A．电话 C．电报 B．汽车 D．火车 ( )
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。 答案：D
[典题例析] [例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江 居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 A．江南制造总局的汽车 B．洋人发明的火车 ( )
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析]
由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民
到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。 [答案] C
[题组冲关] 1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输

fmin=f(1)=-4 a 5 x fmax=f(-3)=12
例4：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少？
y
(3)当a5时
-3 o 1
fmin=f(1)=-4
fmax=f(a)= a2-2a-3
5a x
例4：二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少？
2x-1 x≥2
解:定义域为R
fxmin3
∴值域是{y|y≥3 }.
y
3 2
1
x -2 -1 O 1 2
练习：求函数y = | x + 1 | －| x － 1 |的值域
解：由y = | x + 1 | －| x －1 |
当 x ≤－ 1 时， y = －( x + 1 ) + ( x －1 ) = －2
评注：此题属于“轴定区间动”的问题， 看作区间沿x轴移动的过程中,函数最值 的变化,实质是讨论对称轴与区间的两个 端点的位置关系。
三、不同函数的值域:
(4) 分段函数: 分段函数的定义域是各段定义域的 并集，值域是各段值域的并集。
-2x+1 x≤-1
例5:求函数f(x)= 3
-1<x<2 的值域.
(2)y x 1 x
解:(1) 值域是[-1，5]
(2) yx111
x
x
1 0 ∴y≠1
x
即函数的值域是 { y| y1}
三、不同函数的值域:
(1) 一次函数:y=kx+b(k≠0)
当k>0时，x越大， y越大；
当k=0时，y=b，值域为{b}；
当k<0时，x越大， y越小。

THANKS
感谢观看
反表示法
定义与特点
定义
反表示法是通过将原函数转化为反函 数的形式，进而求出原函数的值域的 方法。
特点
反表示法适用于一些可以通过简单变 量替换或整理转化为反函数的函数， 通过求反函数的定义域即可得到原函 数的值域。
适用范围
适用于可以转化为反函数的函数，如幂函数、指数函数、 对数函数等。
对于一些复合函数或含有多个变量的函数，反表示法可能 不适用。
07
数形结合法
定义与特点
定义
数形结合法是一种通过将函数的代数表达式 与几何图形相结合，从而直观地确定函数值 域的方法。
特点
数形结合法直观、形象，能够快速准确地求 出函数的值域，尤其适用于一些难以通过代 数方法求解的函数。
适用范围
适用于能够通过几何图形表示的函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
• 通过进一步化简，得到$y = t + \frac{1}{t} - 2$。
示例解析
• 根据不等式性质，当$t > 0$时， $y \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} - 2 = 0$。
• 当且仅当$t = 1$时取等号，因此 $y$的值域为$\lbrack 0, +\infty)$ 。
首先将函数配方为$f(x) = (x^2 frac{1}{2})^2 + frac{3}{4}$，由
于平方项的最小值为0，因此 $(x^2 - frac{1}{2})^2 geq 0$， 所以$f(x) geq frac{3}{4}$，即函
数的值域为$[frac{3}{4}, +infty)$。
04
特点
直观、简单、易于掌握，适用于一些简单的函数。

达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.

层，那些也可能被视为出天王星上的云带。然而，碳氢化合物集中在在天王星平流层阴霾之上的高度比其他类木行星的高度要低是值得注意的。增温层天王 星大气层的最外层是增温层或晕，有着均匀一致的温度，大约在8至8K。仍不了解是何种热源支撑着如此的高温，虽然低效率的冷却作用和平流层上层的碳 氢化合物也能贡献一些能源，但即使是太阳的远紫外； 老域名：：老域名购买 ；线和超紫外线辐射，或是极光活动都不足以提供所需 的能量。除此之外，氢分子和增温层与晕拥有大比例的自由氢原子，她们的低分子量和高温可以解释为何晕可以从行星扩展至,公里，天王星半径的俩倍远。 这个延伸的晕是天王星的一个独特的特点。他的作用包括阻尼环绕天王星的小颗粒，导致一些天王星环中尘粒的耗损。天王星的增温层和平流层的上层对应 着天王星的电离层。观测显示电离层占据,至,公里的高度。天王星电离层的密度比土星或海王星高，这可能肇因于碳氢化合物在平流层低处的集中。电离层是 承受太阳紫外线辐射的主要区域，它的密度也依据太阳活动而改变。极光活动不如木星和土星的明显和重大。带状结构、风和云在98年，旅行者号发现可见 的天王星南半球可以被细分成两个区域：明亮的极区和暗淡的赤道带状区。两这区的分界大约在纬度-°的附近。一条跨越在-°至-°之间的狭窄带状物是在 行星表面上能够看见的最亮的大特征，被称为南半球的"衣领"。极冠和衣领被认为是甲烷云密集的区域，位置在大气压力.至帕的高度。很不幸的是，旅行者 号抵达时正是盛夏，而且观察不到北半球的部分。不过，从世纪开始之际，北半球的"衣领"和极区就可以被哈勃太空望远镜和凯克望远镜观测到。结果，天 王星看起来是不对称的：靠近南极是明亮的，从南半球的"衣领"以北都是一样的黑暗。稍后可能出现在天王星上的季节变化，将会被详细的讨论。天王星可 以观察到的纬度结构和木星与土星是不同的，他们展现出许多条狭窄但色彩丰富的带状结构。除了大规模的带状结构，旅行者号观察到了朵小块的亮云，多 数都躺在"衣领"的北方