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第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。
利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。
事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。
而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。
问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。
纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。
又经过100年即1930年，人口总数达20亿。
30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。
问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。
⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。
模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。
模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。
第四章微分方程模型一、微分方程模型的建立在实际问题中经常需要寻求某个变量y 随另一变量t 的变化规律：y=y(t)，然而常常不能直接求出。
有时容易建立包含变量及导数在内的关系式，即建立变量能满足的微分方程。
通过求解微分方程对所研究的问题进行解释说明。
因此，微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程模型应用也十分广泛。
建立微分方程模型时，经常会遇到一些关键词，比如“速率”、“增长”“衰变”，“边际”等，常涉及到导数，再结合问题所涉及的基本规律就可以得到相应的微分方程。
常用微分方程建立数学模型的方法有：（1）按规律直接列方程例1一个较热的物体置于室温为1800c 的房间内，该物体最初的温度是6000c ，3分钟以后降到5000c .想知道它的温度降到3000c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？模型建立：根据牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。
设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差，成正比与即m T dtdT−。
建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT(4.1)其中参数k >0，m =18.求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,或,0,≥+=−t ce m T kt代入条件，求得c=42，k=－2116ln 31,最后得().0,42182116ln 31≥+=t et T t (4.2)结果：（1）该物体温度降至3000c 需要8.17分钟。
（2）10分钟以后它的温度是()102116ln 31421810e T +==25.870c（2）微元分析法该方法的基本思想是通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,寻求一些微元之间的关系式。
例2一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米模型建立：首先对孔口的流速做两条假设：(1)t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t )。
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程数学模型和数学实验在实际生活中的应用举例微分方程数学模型和数学实验是数学在实际生活中应用的两种重要方法。
微分方程数学模型是将实际问题转化为微分方程形式，通过求解微分方程来研究问题的性质和解决问题。
数学实验则是通过建立合适的数学模型，并进行相应的实验、观测和数据分析，得出结论和预测。
下面以三个不同领域的实例来阐述微分方程数学模型和数学实验在实际生活中的应用。
1.化学反应动力学模型化学反应动力学研究的是反应速率和反应机理的关系。
数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述化学反应过程中物质浓度随时间的变化。
例如，考虑一个简单的一级反应动力学模型，即物质的浓度随时间的变化速率与其本身的浓度成正比。
设化学反应速率为r，物质浓度为C，时间为t，则化学动力学微分方程可以表示为：dC/dt = -kC，其中k为反应速率常数。
通过求解这个微分方程，可以得到物质浓度随时间的变化规律，从而预测反应的进行过程和反应速率的变化。
根据实验测得的浓度数据，可以通过数学实验，进行拟合和参数估计，从而获得更准确的反应动力学模型。
2.疾病传播模型疾病传播是流行病学研究的重要内容之一、数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述疾病在人群中的传播过程。
一个常用的模型是SIR模型，即将人群分为易感者(Susceptible)，感染者(Infected)和康复者/免疫者(Recovered)三个状态。
设人群总数为N，易感者数量为S，感染者数量为I，康复者数量为R，时间为t，则SIR模型的微分方程可以表示为：dS/dt = -βSI/NdI/dt = βSI/N - γIdR/dt = γI其中β和γ分别表示感染率和康复率。
通过求解这个微分方程，可以得到疾病传播的规律，从而帮助制定合理的防控措施。
通过与实际流行病数据的对比，进行数学实验，可以对感染率和康复率进行估计和优化，从而更好地预测和控制疾病的传播。
3.经济增长模型经济增长是宏观经济学研究的核心问题之一、数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述经济增长的动态过程。
