第四章 微分方程数学模型

第四章 微分方程模型在研究某些实际问题时，经常无法得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率之间的一些关系。

利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。

事实上，在微分方程课程中，解所谓应用题时已经遇到简单的建立微分方程模型问题，这些问题大多数是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表达出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案唯一的。

而本章介绍的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件，作出不同的假设，就得到不同的方程。

问题没有标准答案，求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。

第一节 人口模型问题：据考古学家论证，地球上出现生命距今已有20亿年，而人类的出现距今不足200万年。

纵观人类人口总数的增长情况，我们发现：1000年前人口总数为2.75亿，经过漫长的过程到1830年，人口总数为10亿。

又经过100年即1930年，人口总数达20亿。

30年之后，在1960年，人口总数为30亿，又经过15年，1975年的人口总数为40亿，12年之后即1987年，人口总数为50亿。

问：人类人口增长的规律是什么？如何在数学上描述这个规律。

⑴ Multhus 模型：18世纪末，英国神父Multhus 在研究了一百多年的人口统计资料之后，认为在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率-死亡率）为常数，于是提出了著名的Multhus 人口模型。

模型假设：①设)(t x 表示t 时刻的人口数，且)(t x 连续、可微； ②人口增长率r 是常数；③人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增长与减少取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个体都具有同样的生育能力和死亡率。

模型建立与求解：由假设在时间],[t t t ∆+内人口的增量为t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，于是有方程⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rx dt dx ，求解得rt e x t x 0)(=，即人口增长是按指数规律增长，其图形为模型评价：考虑二百多年来人口增长的实际情况，1961年世界人口总数为3.06⨯109，在1961~1970年这段时间内。

第四章微分方程模型一、微分方程模型的建立在实际问题中经常需要寻求某个变量y 随另一变量t 的变化规律：y=y(t)，然而常常不能直接求出。

有时容易建立包含变量及导数在内的关系式，即建立变量能满足的微分方程。

通过求解微分方程对所研究的问题进行解释说明。

因此，微分方程建模是数学建模的重要方法，微分方程模型应用也十分广泛。

建立微分方程模型时，经常会遇到一些关键词，比如“速率”、“增长”“衰变”，“边际”等，常涉及到导数，再结合问题所涉及的基本规律就可以得到相应的微分方程。

常用微分方程建立数学模型的方法有：（1）按规律直接列方程例1一个较热的物体置于室温为1800c 的房间内，该物体最初的温度是6000c ，3分钟以后降到5000c .想知道它的温度降到3000c 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？模型建立：根据牛顿冷却（加热）定律：将温度为T 的物体放入处于常温m 的介质中时，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差。

设物体在冷却过程中的温度为T (t )，t ≥0，T 的变化速率正比于T 与周围介质的温度差，成正比与即m T dtdT−。

建立微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=−−=.60)0(),(T m T k dt dT(4.1)其中参数k >0，m =18.求得一般解为ln(T －m )=－k t+c ,或,0,≥+=−t ce m T kt代入条件，求得c=42，k=－2116ln 31,最后得().0,42182116ln 31≥+=t et T t (4.2)结果：（1）该物体温度降至3000c 需要8.17分钟。

（2）10分钟以后它的温度是()102116ln 31421810e T +==25.870c（2）微元分析法该方法的基本思想是通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化情况,寻求一些微元之间的关系式。

例2一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.2米模型建立：首先对孔口的流速做两条假设：(1)t 时刻的流速v 依赖于此刻容器内水的高度h (t )。

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

微分方程数学模型和数学实验在实际生活中的应用举例微分方程数学模型和数学实验是数学在实际生活中应用的两种重要方法。

微分方程数学模型是将实际问题转化为微分方程形式，通过求解微分方程来研究问题的性质和解决问题。

数学实验则是通过建立合适的数学模型，并进行相应的实验、观测和数据分析，得出结论和预测。

下面以三个不同领域的实例来阐述微分方程数学模型和数学实验在实际生活中的应用。

1.化学反应动力学模型化学反应动力学研究的是反应速率和反应机理的关系。

数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述化学反应过程中物质浓度随时间的变化。

例如，考虑一个简单的一级反应动力学模型，即物质的浓度随时间的变化速率与其本身的浓度成正比。

设化学反应速率为r，物质浓度为C，时间为t，则化学动力学微分方程可以表示为：dC/dt = -kC，其中k为反应速率常数。

通过求解这个微分方程，可以得到物质浓度随时间的变化规律，从而预测反应的进行过程和反应速率的变化。

根据实验测得的浓度数据，可以通过数学实验，进行拟合和参数估计，从而获得更准确的反应动力学模型。

2.疾病传播模型疾病传播是流行病学研究的重要内容之一、数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述疾病在人群中的传播过程。

一个常用的模型是SIR模型，即将人群分为易感者(Susceptible)，感染者(Infected)和康复者/免疫者(Recovered)三个状态。

设人群总数为N，易感者数量为S，感染者数量为I，康复者数量为R，时间为t，则SIR模型的微分方程可以表示为：dS/dt = -βSI/NdI/dt = βSI/N - γIdR/dt = γI其中β和γ分别表示感染率和康复率。

通过求解这个微分方程，可以得到疾病传播的规律，从而帮助制定合理的防控措施。

通过与实际流行病数据的对比，进行数学实验，可以对感染率和康复率进行估计和优化，从而更好地预测和控制疾病的传播。

3.经济增长模型经济增长是宏观经济学研究的核心问题之一、数学可以通过建立微分方程数学模型，来描述经济增长的动态过程。

第四章 常微分方程与数学模型微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。

一、什么是微分方程例1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如()dyu x dx=，其中()y f x =为未知函数，()u x 为已知函数。

满足上述方程的函数()y f x =称为微分方程的解。

求下列微分方程满足所给条件的解： （1）2(2)dyx dx=-，20x y ==； （2）2232d x dt t =，11t dx dt ==，11t x ==。

二、分离变量法※例2：求微分方程y xy '=的通解。

解： 变形为：dy xy dx =， 分离变量：1dy xdx y=（此时漏掉解0y =）， 两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：211ln 2y x C =+， 22111122x C x C y ee e+==，从而22111222x x C y e eC e =±=，其中12CC e =±，为任意非零常数，但0y =亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：212x y Ce=，C 为任意常数。

上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：两边同时积分：1dy xdx y =⎰⎰， 得：21ln ln 2y x C =+， 从而 2211ln 22xx C y e e Ce==这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。

例3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况）。

命()T t 表示在时刻t 物体的温度，c T 表示周围环境的温度（假定是常数），建立微分方程并求解，得出()T t 的变化规律。

(2)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30时测量体温为18℃，7:30时再测一次为16℃，室外温度为10℃（假定不变），人正常体温为37℃，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为0t ，则0()37T t =，时刻6:30计算时看成6.5）例4：人口预测记时刻t 的人口为()P t ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，()P t 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将()P t 视为连续、可微函数．记初始时刻(0)t =的人口为0P ，假设人口增长的速度（即增长率）与t 时刻的人口数量()P t 成正比，利用下表中数据为20世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相符合吗？解：设比例系数为μ（即增长率），则()P t 满足的微分方程为：0,(0)dPP P P dtμ==. 解出 0()tP t Pe μ= ， 表明人口将按指数规律随时间无限增长(0μ>)．上式称为人口指数增长模型，也称为马尔萨斯人口模型．以1900年为初始时刻，0(0)=1650P P =，得()1650tP t e μ=， 以1910年数据估计μ，即10(10)16501750P e μ==，解11750l n .0584101650μ=≈，即增长率约为0.6%，增长模型为0.005884()1650t P t e =若以1950年为初始时刻，为20世纪后50年建模，则0=2560P ，得()2560tP t e μ=，以1960年数据估计μ，即10(10)25603040P e μ==，解13040l n 0.017185102560μ=≈，即增长率约为1.7%，增长模型为0.017185()2560t P t e =但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小．看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设．2．人口阻滞增长模型（Logistic 模型）分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大．所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的．阻滞作用体现在对人口增长率μ的影响上，使得μ随着人口数量P 的增加而下降。

微分方程数学模型应用举例
1. 生物学模型：微分方程可以用于描述生物系统中的各种动态过程。

例如，Lotka-Volterra模型是一种描述捕食者和被捕食者之间相互作用的微分方程模型，可以用于研究食物链中物种的数量和相互关系。

2. 经济学模型：微分方程可以用于描述经济系统中的各种变化和趋势。

例如，Solow增长模型是一种描述经济增长和资本积累的微分方程模型，可以用于分析国家经济发展的长期趋势。

3. 物理学模型：微分方程可以用于描述物理系统中的各种动态过程。

例如，带有阻尼和驱动力的简谐振动可以用二阶线性常微分方程来描述，可以用于研究机械系统中的振动现象。

4. 化学反应动力学模型：微分方程可以用于描述化学反应中物质浓度随时间变化的关系。

例如，化学反应速率方程可以用一阶或二阶线性微分方程来描述，可以用于研究化学反应速率的变化规律。

5. 环境科学模型：微分方程可以用于描述环境系统中的各种变化和相互作用。

例如，Black-Scholes模型是一种描述金融市场中期权价格变化的微分方程模型，可以用于分析金融市场的波动和风险。

6. 工程科学模型：微分方程可以用于描述工程系统中的各种动态过程。

例如，控制系统中的传递函数可以用微分方程表示，可以用于研究系统的稳定性和响应特性。

这些只是微分方程在数学模型中的一些应用举例，实际上微分方程在各个学科领域中都有广泛的应用。

第四章 微分方程模型§4.1利用平衡原理和微元法建模进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ∆+内, 酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅∝∆)(, 即t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ∆, 并令0→∆t , 则得到,d d kx tx-= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.模型求解容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到kt x t x -=e )(0则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得17.04056e 40e 56e 25030=⇒=⇒⎩⎨⎧==--k x x k kk 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈⋅=⇒=⨯⨯-x x >80故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是29︒C, 当时环境温度是21︒C . 一小时后尸体温度下降到27︒C , 若人的正常体温是37︒C , 估计死者的死亡时间.解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=tα-e, 这里0T 是当0=t 时尸体的温度, 也就是所求的死亡时间时尸体的温度, 将题目提供的参数代入:⎩⎨⎧=-+=-++--27e)2137(2129e )2137(21)1(t t αα 解得: 168e=-tα 和 166e)1(=+-t α 则34e =α求得:)(409.2)12(,2877.0h Ln t ≈-=≈αα 这时求得的t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:35.例3在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象． 解：记B 的浓度为时间t 的函数y(t )，A 的浓度为x(t )．一、假设1．1mol A 分解后产生n mol B ． 2．容体的体积在反应过程中不变． 二、建立模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立其中k 为比例系数． 设反应开始时t = 0，A 的浓度为x0，．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-)0(d d x x kx tx得 kt x t x -=e )(0 它应满足当t = 20（分）时，A 的浓度为021)20(x x =020021e )20(x x x k ==⨯- 解得 2ln 201=k所以得 )2ln 200e )(（tx t x -=由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e1(]e[)(2ln 2002ln 2000ttnx x x n t y ---=-=三、作图（如图4.1）图4.1§4.2范. 梅格伦（Van Meegren ）伪造名画案一、背景第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.V ermeer 的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。

微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。

通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。

本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。

基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。

微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。

通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。

常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。

解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。

解析解是指能够用数学公式精确表示的解。

解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。

一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。

数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。

第四章 微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。

还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等，在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。

微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.§4.1 微分方程的基本概念定义1 凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨论常微分方程，以下简称微分方程或方程.例如，方程20y y x '+-=,4dy xdx =,04=-''y 和02=-'+''y y y 等都是微分方程.定义2 微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶. 例如，方程12+=-'x y y 和2x ydx dy =+都是一阶微分方程，方程x y y y ln 23=+'-''和04=-''y 都是二阶微分方程，方程1)5(=y 是五阶微分方程.定义3 如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，2x y =和c x y +=2(c 为任意常数)都是微分方程x y 2='的解;x x y +=22和2122c x c x y ++= (1c 、2c 为任意常数) 都是微分方程04=-''y 的解.由此可见，若微分方程有解，则有无穷多个解.定义 4 微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线，该曲线称为微分方程的积分曲线，而这无穷多个解所对应的一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族.定义5 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解，称为微分方程的特解.例如2x y =和c x y +=2分别是方程x y 2='的特解和通解; x x y +=22和2122c x c x y ++=分别是方程04=-''y 的特解和通解.一般来说，特解是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这种用来确定特解的条件，称为初始条件.设微分方程中的未知函数为)(x y y =，通常一阶微分方程的初始条件为 00y yx x ==即()00y x y =其中0x 、0y 都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为 00y yx x ==，000y y x x '='=即()00y x y =与()00y x y '=' 其中0x 、0y 和0y '都是给定的值. 例如，对于方程x y 2='，它通解是c x y +=2,由初始条件00==x y 可确定其通解中的任意常数0=c ，从而得到其特解2x y =.通常，我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题. 例如，求一阶微分方程),(y x f y ='满足初始条件00y y x x ==的特解这样一个问题，称为一阶微分方程的初值问题，记作⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x二阶微分方程),,(y y x f y '=''满足初始条件00y yx x ==，000y y x x '='=的初值问题，记作 ⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==0000,),,(y y y y y y x f y x x x x例1 验证函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 的通解，并求满足初始条件21==x y 的特解.解 将所给函数的一阶导数23cx y =' 代入方程左边，得033332=-⋅=-'cx cx x y y x所以函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 解.又因这个解中含有一个任意常数，因此函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 的通解. 将初始条件21==x y代入通解，有312⋅=c ，故 2=c . 因此所求特解为32x y =. 例2 验证函数xxec e c y 221-+=(1c 、2c 为任意常数)为二阶微分方程02=-'+''y y y 的通解，并求方程满足初始条件000==x y ， 10='=x y 的特解.解 由已知xxec e c y 221-+=得xxe c e c y 2212--='及xx ec e c y 2214-+=''，将y ，y '，y ''代入原方程左边，得=-'+''y y y 2x x e c e c 2214-++(x x e c e c y 2212--')-2(x x e c e c 221-+)=0)224()2(2222111=--+-+xxe c c c e c c c所以函数xxec e c y 221-+=是所给微分方程的解.由于它含有两个相互独立的任意常数，与方程的阶数相同，所以它是原方程的通解.将初始条件000==x y， 10='=x y 代入y 及y '，得021=+c c 及1221=-c c ，解之，得,31,3121-==c c 故所求的特解为 .31312xx e e y --=§4.2可分离变量的微分方程定义1 形如()()y g x f dxdy= （4-1） 的微分方程，称为可分离变量的微分方程.方程（4-1）可化为()()dx x f y g dy= ()()0≠y g 的形式。