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第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 定理2（叠加原理）如果12(),(),,()k x t x t x t 是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合1122()()()k k c x t c x t c x t +++ 也是（4.2）的解，这里12,,,k c c c 是任意常数。
特别地，当k n =时，即方程（4.2）有解1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.4）它含有n 个任意常数。
在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n 阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基()Wronsky 行列式等概念。
设12(),(),,()k x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的函数，如果存在不全为零的常数12,,,k c c c ，使得恒等式1122()()()0k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当120k c c c ==== 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。
由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组n y y y ,,21中如果有一个函数为零，则n y y y ,,21在),(b a 上线性相关.2)如果两个函数21,y y 之比21y y 在),(b a 有定义，则它们在),(b a 上线性无关等价于比式21y y 在),(b a 上不恒等于常数. 例1函数组x x e y e y -==,1在任意区间上都是线性无关的.解 比式21y y =x x xe ee 2=-不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组1,cos ,sin 32221===y x y x y 在区间),(+∞-∞上线性相关. 解 若取1,1,1321-===c c c 则01)1(cos 1sin 122=-+⋅+⋅x x 故已知函数组在),(+∞-∞上线性相关.设函数12(),(),,()k x t x t x t 在区间a t b ≤≤上均有1k -阶导数,行列式[]12(),(),,()()k W x t x t x t W t ≡ 12'''12(1)(1)(1)12()()()()()()()()()k k k k k k x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---≡称为这些函数的伏朗斯基行列式。
定理3 若函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡。
证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数12,,,n c c c ，使得1122()()()0,n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤ （4.6） 依次对t 微分此恒等式，得到'''1122''''''1122(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++≡⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ （4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是[]12(),(),,()n W x t x t x t ，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即()0W t = ()a t b ≤≤。
反之，其逆定理一般不成立。
例如函数21 10()0 0 1 t t x t t ⎧-≤<=⎨≤≤⎩和 120 10() 0 1 t x t t t -≤<⎧=⎨≤≤⎩在区间11t -≤≤上，12[(),()]0W x t x t ≡，但在此区间上却是线性无关的。
因为，假设存在恒等式1122()()0 11c x t c x t t +≡-≤≤ （4.8）则当10t -≤<时，可知10c =；当01t ≤≤时，可知20c =.即当且仅当120c c ==时，(4.8)式对一切11t -≤≤成立.故12(),()x t x t 是线性无关的.推论1 如果函数组12(),(),,()n x t x t x t 的朗斯基行列式()W t 在区间[,]a b 上某一点0x 处不等于零，即0)(0≠x W ，则该函数组在[,]a b 上线性无关.但是，如果12(),(),,()n x t x t x t 是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性无关，则[]12(),(),,()n W x t x t x t 在这个区间的任何点上都不等于零，即()0W t ≠ ()a t b ≤≤。
证明：采用反证法。
设有某个0t ，0a t b ≤≤，使得0()0W t =。
考虑关于12,,,n c c c 的齐次线性代数方程组1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200()()()0()()()0()()()0n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（4.9）其系数行列式0()0W t =，故（4.9）有非零解12,,,n c c c 。
现以这组常数构造函数1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++ a t b ≤≤根据叠加原理，()x t 是方程（4.2）的解。
注意到（4.9），知道这个解()x t 满足初始条件'(1)000()()()0n x t x t x t -==== （4.10）但是0x =显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。
由解的唯一性，即知()0x t ≡ ()a t b ≤≤，即1122()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ a t b ≤≤因为12,,,n c c c 不全为0，这就与12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的假设矛盾，定理得证。
推论2 设12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）定义在[,]a b 上的n 个解，如果存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≡x W , 则该解组在[,]a b 上线性相关.推论3 方程（4.2）的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 在其定义区间[,]a b 上线性无关的充要条件是，存在0[,]x a b ∈，使得它的朗斯基行列式0)(0≠x W . 定理5 n 阶齐线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解。
定理6（通解结构定理） 如果12(),(),,()n x t x t x t 是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为1122()()()n n x c x t c x t c x t =+++ （4.11） 其中，12,,,n c c c 是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。
证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有n 个任意常数。
这些常数是彼此独立的。
事实上，[]12'1212(1)(1)(1)12(),(),()0n n n n n n nx x x c c c x x x c c c W x t x t x t x x x c c c ---∂∂∂∂∂∂''∂∂∂∂∂∂≡≠∂∂∂∂∂∂()a t b ≤≤因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。
