04第四章 微分方程(1)
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爱启航在线考研第四章常微分方程4.1答案:应选(C )解析:原方程写成23e 0+'+=yxyy ,分离变量有23e d =e d y x y y x --,积分得232e 3e --=x y C ,其中C 为任意常数.4.2答案:应填sin e=C xy ,其中C 为任意常数.解析:原方程分离变量,有d cos d ln sin =y xx y y x,积分得1ln |ln |ln |sin |ln =+y x C ,通解为ln sin =y C x 或sin e=C x y ,其中C 为任意常数.4.3答案:应填()2112e-=x y x 解析:原方程化为d 1d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x y x .积分得通解211ln ||ln ||2y C x x =-,即122ex y Cx -=.由初值(1)1=y 解出12e C =得特解.故答案为:()2112e-=x y x .4.4答案:应选(B )解析:原方程求导得()2()'=f x f x ,即()2()'=f x f x ,积分得2()e =x f x C ,又(0)ln 2=f ,故ln 2=C ,从而2()e ln 2=x f x .故应选(B ).4.5解:曲线()=y f x 在点(,)x y 处的切线方程为()'-=-Y y y X x ,令0=X ,得到切线在y 轴截距为'=-xy y xy ,即(1)'=-xy y x .此为一阶可分离变量的方程,于是d 11d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x y x ,两边积分有1ln ||ln =-y C x x ,得爱启航线考研到e =x Cx y .又()11e y -=,故1=C ,于是曲线方程为e =xx y .4.6解:22d d 11+y y y x x x x =∆=+,得2d d 1=+y y x x ,变量分离2d 1d 1=+y x y x.两边积分得1ln arctan y x C =+.可得arctan exy C =又()0y =π,则C =π.所以arctan πexy =,()πarctan141πeπe y ==.4.7解:令=yu x,即=y ux ,则y u x u ''=+,又由题给表达式可得2y u u '=,即有u x u '+2u u =-d 1d 22=-x xu u ,两边积分得1ln 1ln ln u x C -=+,即ln(1ln ln 1=-+⇒-=⇒-=y Cu x C x xy C x x.4.8答案:应填2(ln ||)=+x y y C 解析:将x 看成未知函数,原方程改写为2d 1d 222+==+x x y x y xy y x这是一个伯努利方程,令2=z x ,有d 1d -=z z y y ,得11d d 2e ed (ln ||)-⎛⎫⎰⎰==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰y y y y x z y C y y C .故答案为:2(ln ||)=+x y y C ,其中C 为任意常数.4.9答案:应填()cos +x C x解析:属于一阶非齐次线性方程,直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案.故答案为:()cos +x C x ,其中C 为任意常数.4.10答案:应填1爱启航在线考研解析:()2d 2d 22e 4e d e4ed x x xxy x x C x x C--⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰222e (21)e (21)e x x xx C x C --⎡⎤=-+=-+⎣⎦.当0=x 时,1=-y ,则0=C .可得21=-y x ,则()11=y .故答案为1.4.11答案:应填1解析:由11()()'+=y P x y Q x 及22()()'+=y P x y Q x 得()()1212()()()αββαβ'+++=+y y P x ay y Q x .又因12αβ+y y 满足原方程,故应有()()()β+=a Q x Q x ,即1αβ+=.故答案为1.4.12解:()sin d sin d e cos e d -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x gx x x C ()cos cos e cos ed -=+⎰xxx x C又()00g =,故()()cos cos cos 0e cos ed cos ed limlime lim xxxx x x x x Cx x Cg x xxx--→→→++==⋅=⎰⎰cos 0e lim cos e 1x x x -→⋅=.4.13解:2d 1d 2y x x y =-,则2d 2d x x y y =-,即2d 2d x x yy-=-()()2d 2d 222222111e e d e e d e 224yy y y y x y y C y y C y y C --⎛⎫⎰⎰⎡⎤=-+=-+=+++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰.4.14解:令=tx u ,则u t x d d =,则代入到题给表达式101()d ()d xf tx t f u u x =⎰⎰,可得20()d 2()xf u u xf x x =+⎰.两边求导得()2()2()2f x f x xf x x '=++,则()2()2f x xf x x '+=-.从而11131d d 2222222()e (1)ed 33x x x x f x x C x x C x Cx ---⎛⎫⎛⎫⎰⎰=-+-+=-+ ⎪⎝ ⎝⎭=⎪⎭⎰.爱启航在线考研4.15解:将原方程改写成211cos sin y x x yy '+=-,并令1z y =,则21z y y ''=-,且原方程化为sin cos z z x x '-=-.d de (sin cos )e d x x z x x x C -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰e (sin cos )e d x x x x x C -⎡⎤=-+⎣⎦⎰()e sin ed cose d xxx x x x x C --=-+⎰⎰,其中()sin e d sin d e sin e e cos d x x x x x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰,故()e sin e e sin x x x z x C C x -=-+=-,即1e sin x C x y=-为所求通解.4.16答案:应选(C )解析:因原方程阶数为2,通解中应包含两个任意常数(可求出通解为3126++x C C x );特解中不含有任意常数(3*6=x y 为特解);36+x Cx 满足原方程,为原方程的解,故选项(A ),(B ),(C )都不对,应选(C ).4.17解:(1)令y p '=,则d d p y x ''=,从而2d 1d pp x=+,则2d d 1p x p =+积分得p arctan 1arctan p x C =+,故()1d tan d yp x C x=+=,则两边对x 积分1d tan()d y x C x =+⎰⎰,得()1121sin()d ln cos cos()x C y x x C C x C +==-+++⎰.(2)()10xy xy C '''=⇒=,即1y xC '=,故12ln y C x C =+.4.18解:由21e x y =,得212e x y x '=,()22124e x y x ''=+;由22e x y x =,得222(12)e x y x '=+,()22364e x y x x ''=+.因爱启航在线考研()()()22222211144224e 42e 42e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=.()()()()222232222244264e 412e 42e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-++-=.故1y 与2y 都是方程的解.又因21y x y =不等于常数,故1y 与2y 线性无关.于是方程的通解为()2112212e x y C y C y C C x =+=+.4.19答案:应选(A )解析:根据高阶线性微分方程根的形式可知,选(A ).4.20答案:应选(B )解析:由题意可知,-1是特征方程二重特征根,1是特征方程的特征根,故特征方程为()()2110+-=r r ,即3210+--=r r r .故三阶常系数齐次线性方程为0y y y y ''''''+--=.故选(B ).4.21答案:应选(C )解析::特征方程为2220++=r r 即2(1)1+=-r ,解得特征根为1,21i r =-±.而()e sin x f x x -=,i 1i w ±=-±λ是特征根,故特解的形式为*e (cos sin )x y x a x b x -=+.4.22答案:应填()*22e xy x ax bx c dx =+++解析:特征方程为220-=r r ,特征根10r =,22r =.对21()1=+f x x ,10λ=是特征根,所以()*21y x ax bx c =++.对22()exf x =,22λ=也是特征根,故有*22e =x y dx .从而***12=+y y y 就是特解.故答案为()*22e x y x ax bx c dx =+++.4.23解:所给微分方程的特征方程为256(2)(3)0++=++=r r r r ,特征根为12=-r ,23=-r .于是,对应齐次微分方程的通解为2312)e e xx y x C C --=+.爱启航在线考研设所给非齐次方程的特解为*e xy A -=.将*()y x 代入原方程,可得1A =.由此得所给非齐次方程得特解*e xy -=.从而,所给微分方程得通解为2312()e e e xx x y x C C ---=++,其中1C ,2C 为任意常数.4.24答案:应选(C )解析:将()()000y y '==代入3e xy py qy '''++=,得()01''=y .()()()()()22000ln 122limlimlimlim 2x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+===='''.故选C.4.25答案:应填12e(cos sin )e xxC x C x ++解析:所给微分方程的特征方程为22201i -+=⇒=±r r r ,从而齐次通解为12e (cos sin )x C x C x +,设特解为e x A ,代入方程得e 2e 2e e 1x x x x A A A A -+=⇒=,即得特解为e x .非齐次通解为12e(cos sin )e xx C x C x ++.。
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
第四章常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一.基本概念1.常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,若未知函数是一元函数则称为常微分方程,而未知函数是多元函数则称为偏微分方程,我们只讨论常微分方程,故简称为微分方程,有时还简称为方程。
2.微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3.微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解;通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解;通解有时也称为一般解但不一定是全部解;不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4.微分方程的初始条件要求自变量取某定值时,对应函数与各阶导数取指定的值,这种条件称为初始条件,满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5.积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线;而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6.线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项,而且它们的系数只是自变量的函数或常数,则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项,自由项为零的线性方程称为线性齐次方程;自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二.变量可分离方程及其推广1.变量可分离的方程(1)方程形式:()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy(注:在微分方程求解中,习惯地把不定积分只求出它的一个原函数,而任意常数另外再加)(2)方程形式:()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M2.变量可分离方程的推广形式(1)齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=, 则()u f dxdu x u dx dy =+=()c x c x dxu u f du +=+=-⎰⎰||ln(2)()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++, 则()u bf a dxdu+=()c x dx u bf a du+==+⎰⎰(3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形,先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ,β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形,令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dxdy λ令y b x a u 11+=, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
第四章 微分方程§4. 1 微分方程的基本概念导入:(8分钟)函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.引例 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3) 其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解):y =x 2+1.几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 , y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x , y (n ) +1=0, 一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0. y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上, F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如 x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 . 一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线.§4. 2 一阶微分方程导入:(8分钟)1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得y =x 2+C .一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解.因为y 是未知的, 所以积分⎰dx xy 22无法进行, 方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为xdxdy y 212=, 两边积分, 得C x y +=-21, 或Cx y +-=21, 可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=ϕ(x , y )能写成g (y )dy =f (x )dx形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G (y )=F (x )+C ,由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0在这种方程中, 变量x 与y 是对称的.若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有),(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有),(),(y x P y x Q dy dx -=. 一、可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=ϕ(x )ψ(y ))的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程? (1) y '=2xy , 是. ⇒y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ⇒dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是.(4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ⇒y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ⇒10-y dy =10x dx . (6)xyy x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法:第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式;第二步 两端积分:⎰⎰=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y )G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得xdx dy y21=, 两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21,即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2112x C C xe e e y ±=±=+.因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解2x Ce y =.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM . 由于铀的衰变速度与其含量成正比, 故得微分方程M dtdM λ-=, 其中λ(λ>0)是常数, λ前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少. 即0<dtdM . 由题意, 初始条件为M |t =0=M 0.将方程分离变量得dt MdM λ-=. 两边积分, 得⎰⎰-=dt M dM )(λ, 即ln M =-λt +ln C , 也即M =Ce -λt . 由初始条件, 得M 0=Ce 0=C ,所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M =M 0e -λt .例3 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零. 求降落伞下落速度与时间的函数关系.解 设降落伞下落速度为v (t ). 降落伞所受外力为F =mg -kv ( k 为比例系数). 根据牛顿第二运动定律F =ma , 得函数v (t )应满足的方程为kv mg dtdv m-=, 初始条件为v |t =0=0.方程分离变量, 得mdt kv mg dv =-, 两边积分, 得⎰⎰=-mdt kv mg dv ,1)ln(1C m t kv mg k +=--, 即t m k Ce k m g v -+=(ke C kC 1--=),将初始条件v |t =0=0代入通解得kmg C -=, 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e km gv --=. 例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解. 解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=, 分离变量得dx x dy y )1(112+=+, 两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112, 即C x x y ++=221arctan .于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=.例5 有高为1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面面积为1cm 2. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律. 解 由水力学知道, 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算:gh S dtdV Q 262.0==, 其中0. 62为流量系数, S 为孔口横截面面积, g 为重力加速度. 现在孔口横截面面积S =1cm 2, 故gh dtdV 262.0=, 或dt gh dV 262.0=. 另一方面, 设在微小时间间隔[t , t +d t ]内, 水面高度由h 降至h +dh (dh <0), 则又可得到dV =-πr 2dh ,其中r 是时刻t 的水面半径, 右端置负号是由于dh <0而dV >0的缘故. 又因222200)100(100h h h r -=--=,所以 dV =-π(200h -h 2)dh . 通过比较得到dh h h dt gh )200(262.02--=π,这就是未知函数h =h (t )应满足的微分方程.此外, 开始时容器内的水是满的, 所以未知函数h =h (t )还应满足下列初始条件:h |t =0=100.将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得dh h h gdt )200(262.02321--=π.两端积分, 得⎰--=dh h h g t )200(262.02321π,即 C h h g t +--=)523400(262.02523π,其中C 是任意常数. 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π,5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ.因此)310107(262.0252335h h gt +-⨯=π.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系.二、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程. 提问:下列方程各是什么类型方程? (1)y dxdy x =-)2(⇒021=--y x dx dy是齐次线性方程.(2) 3x 2+5x -5y '=0⇒y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dxdy+=10, 不是线性方程.(5)0)1(32=++x dxdy y ⇒0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 1、齐次线性方程的解法: 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程. 分离变量后得dx x P ydy)(-=, 两边积分, 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰,或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-, 这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数). 例6 求方程y dxdyx =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得2-=x dx y dy , 两边积分得ln|y |=ln|x -2|+lnC ,方程的通解为y =C (x -2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dxx P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---, 化简得⎰='dxx P e x Q x u )()()(,C dx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(,于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-,或 dx e x Q e Ce y dxx P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例7 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得12+=x dx y dy , 两边积分得ln y =2ln (x +1)+ln C ,齐次线性方程的通解为y =C (x +1)2.用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ⋅(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u ,两边积分, 得C x u ++=23)1(32. 再把上式代入y =u (x +1)2中, 即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=. 例8 有一个电路如图所示, 其中电源电动势为E =E m sin ωt (E m 、ω都是常数), 电阻R 和电感L 都是常量. 求电流i (t ).解 由电学知道, 当电流变化时, L 上有感应电动势dtdi L-. 由回路电压定律得出 0=--iR dtdi LE , 即LE i L R dt di =+. 把E =E m sin ω t 代入上式, 得t LE i L R dt di m sin ω=+. 初始条件为i |t =0=0.方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程, 其中 L R t P =)(, t LE t Q m s i n )(ω=.由通解公式, 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R+⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ω t L R mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω. 其中C 为任意常数.将初始条件i |t =0=0代入通解, 得222 L R LE C mωω+=,因此, 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-. 总结:1、微分方程的相关概念a 、微分方程的阶b 、微分方程的通解与特解 2、可分离变量的微分方程a 、可分离变量的微分方程b 、可转化为可分离变量的微分方程 3、一阶线性微分方程a 、一阶线性齐次微分方程b 、一阶线性非齐次微分方程c 、常数变易法 教学后记:作业:。
第四章 微分方程初步我们已经学习了代数方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程。
还学习了超越方程如指数方程、对数方程、三角方程等,在实际问题中还经常遇到另一类方程一一微分方程。
微分方程是研究函数变化规律的有力工具,在科技、工程、生态、环境、人口、交通、经济管理等各个领域有着广泛的应用.本章主要介绍微分方程的基本概念及几种常见类型微分方程的解法.§4.1 微分方程的基本概念定义1 凡含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章仅讨论常微分方程,以下简称微分方程或方程.例如,方程20y y x '+-=,4dy xdx =,04=-''y 和02=-'+''y y y 等都是微分方程.定义2 微分方程中出现的未知函数导数(或微分)的最高阶数,称为微分方程的阶. 例如,方程12+=-'x y y 和2x ydx dy =+都是一阶微分方程,方程x y y y ln 23=+'-''和04=-''y 都是二阶微分方程,方程1)5(=y 是五阶微分方程.定义3 如果一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式,则称这个函数为该微分方程的解.例如,2x y =和c x y +=2(c 为任意常数)都是微分方程x y 2='的解;x x y +=22和2122c x c x y ++= (1c 、2c 为任意常数) 都是微分方程04=-''y 的解.由此可见,若微分方程有解,则有无穷多个解.定义 4 微分方程的每个解都对应着平面内的一条曲线,该曲线称为微分方程的积分曲线,而这无穷多个解所对应的一族积分曲线称为微分方程的积分曲线族.定义5 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数,这样的解称为微分方程的通解;不含任意常数的解,称为微分方程的特解.例如2x y =和c x y +=2分别是方程x y 2='的特解和通解; x x y +=22和2122c x c x y ++=分别是方程04=-''y 的特解和通解.一般来说,特解是由给定的条件代入通解,确定出任意常数的特定值后得到的,这种用来确定特解的条件,称为初始条件.设微分方程中的未知函数为)(x y y =,通常一阶微分方程的初始条件为 00y yx x ==即()00y x y =其中0x 、0y 都是给定的值;二阶微分方程的初始条件为 00y yx x ==,000y y x x '='=即()00y x y =与()00y x y '=' 其中0x 、0y 和0y '都是给定的值. 例如,对于方程x y 2=',它通解是c x y +=2,由初始条件00==x y 可确定其通解中的任意常数0=c ,从而得到其特解2x y =.通常,我们把求微分方程满足初始条件的特解的这类问题称为初值问题. 例如,求一阶微分方程),(y x f y ='满足初始条件00y y x x ==的特解这样一个问题,称为一阶微分方程的初值问题,记作⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x二阶微分方程),,(y y x f y '=''满足初始条件00y yx x ==,000y y x x '='=的初值问题,记作 ⎪⎩⎪⎨⎧'='='=''==0000,),,(y y y y y y x f y x x x x例1 验证函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 的通解,并求满足初始条件21==x y 的特解.解 将所给函数的一阶导数23cx y =' 代入方程左边,得033332=-⋅=-'cx cx x y y x所以函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 解.又因这个解中含有一个任意常数,因此函数3cx y =是微分方程03=-'y y x 的通解. 将初始条件21==x y代入通解,有312⋅=c ,故 2=c . 因此所求特解为32x y =. 例2 验证函数xxec e c y 221-+=(1c 、2c 为任意常数)为二阶微分方程02=-'+''y y y 的通解,并求方程满足初始条件000==x y , 10='=x y 的特解.解 由已知xxec e c y 221-+=得xxe c e c y 2212--='及xx ec e c y 2214-+='',将y ,y ',y ''代入原方程左边,得=-'+''y y y 2x x e c e c 2214-++(x x e c e c y 2212--')-2(x x e c e c 221-+)=0)224()2(2222111=--+-+xxe c c c e c c c所以函数xxec e c y 221-+=是所给微分方程的解.由于它含有两个相互独立的任意常数,与方程的阶数相同,所以它是原方程的通解.将初始条件000==x y, 10='=x y 代入y 及y ',得021=+c c 及1221=-c c ,解之,得,31,3121-==c c 故所求的特解为 .31312xx e e y --=§4.2可分离变量的微分方程定义1 形如()()y g x f dxdy= (4-1) 的微分方程,称为可分离变量的微分方程.方程(4-1)可化为()()dx x f y g dy= ()()0≠y g 的形式。
第四章微分方程
考纲要求
1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程.
4.会用降阶法解下列微分方程:()
()n y
f x =,(,)y f x y ′′′=和(,)y f y y ′′′=.
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.
6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,比会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
8.会解欧拉方程.
9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.一、基本概念
1微分方程的基本概念
考纲要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.微分方程:含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式.
微分方程的阶(order):微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解:满足微分方程的函数.
微分方程的通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.定解条件:确定微分方程通解中任意常数的值的条件(初始条件和边界条件).微分方程的特解:确定了通解中任意常数的值后所得到的解.初值问题(Cauchy 问题):求微分方程满足初始条件的特解.一阶微分方程初值问题:
(,,)0F x y y ′=,00()y x y =.
二阶微分方程初值问题:
(,,,)0F x y y y ′′′=,00()y x y =,00
()y x y ′′=.微分方程的积分曲线:微分方程的解的图形(通解的图形是一族曲线).二、一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是:(,,)0F x y y ′=,解出y ′:
(,)dy
f x y dx
=,考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程、伯努利方程的解法.求解微分方程的步骤是:
判断方程的类型并用相应的方法求解.1.可分离变量的微分方程:
()()dy
g x h y dx
=解法分离变量:
()()dy g x dx h y =;两端积分:()()
dy
f x dx h y =∫∫.
2.齐次型方程:
dy y dx x ϕ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠
解法令y u x =
,则y xu =,dy du u x dx dx =+,代入方程,得()du u x u dx
ϕ+=并求解.▲可化为齐次型的方程:
11
111()a b dy ax by c dx a x b y c a b
++=≠++.
3.若
4.1.3.
5.⎩7.0)2(2=+−xdy dx y xy 8.4
252+−−−=
′y x x y y 9.当0→∆x 时,α是比x ∆高阶的无穷小,α++∆=∆2
1x
x
y y ,π=)0(y ,求)1(y .【4π
πe 】
10.设e x
y =是微分方程()xy P x y x ′+=的一个解,求此微分方程满足条件ln 20x y ==的特解.
11.作变量替换2y u x =,求解x y y x y dx dy 2tan 212+=.【Cx x
y =2
sin 】
12.设()()()F x f x g x =,其中函数()f x ,()g x 在(,)−∞+∞内满足以下条件:()()f x g x ′=,
()()g x f x ′=,且(0)0f =,()()2x f x g x e +=.
13.1.2.3.特点:右端不显含x .解法:换元,化为一阶方程求解.步骤如下:
⑴令y p ′=,则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ′′=
==,方程化为(,)dp
p f y p dy
=(这是关于变量y ,p 的一阶方程)
;⑵解出p ;⑶再由y p ′=解出y .
例题
1.求微分方程(ln ln )xy y y x ′′′′=−的通解.【11111
12111
111e [e e ]C x C x C x y xd x C C C C +++=
=−+∫】2.求初值问题2
21,(1)1,(1)1yy y y y ′′′′=+==−的解.【2
1(45)2
y x x =
−+】▲二阶可降阶方程求特解过程中,任意常数出现一个,确定一个,有利于下一步求解.四、二阶常系数线性微分方程
二阶线性微分方程的一般形式:()()()y P x y Q x y f x ′′′++=,若()0f x ≡,则称方程是齐次的,否则称方程是非齐次的.1.线性微分方程解的性质
⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的两个解,则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的两个解,则12y y −是对应齐次方程
()()0y P x y Q x y ′′′++=的解.
⑶(解的叠加原理)设*
k y
是线性方程
()()()k y P x y Q x y f x ′′′++=的特解,则*
1
n
k k y =∑是
1
()()()n
k k y P x y Q x y f x =′′′++=∑的特解.
2.线性微分方程解的结构
定理1(齐次方程解的结构)如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的两个线性无关的特解,则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.
定理2(非齐次方程解的结构)设*
y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的一个特解,
1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y ′′′++=的通解,则*1122y y C y C y =++是此非齐次
方程的通解.
例题设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+′+′′的三个线性无关的解,则其通解为
.【
1121231()()y C y y C y y +−+−】
3二阶常系数线性齐次方程0
y py qy ′′′++=先求出它的特征方程2
0r pr q ++=的两个根,再根据特征根的三种不同情形写出通解(见下表).
41.2.1.求满足的解.【4
4】2.求2
sin y a y x ′′+=的通解,其中0>a .
3.求x x y y cos +=+′′的通解.【x x x x C x C y sin 2
1
sin cos 21+++=】4.x x y y sin 12
++=+′′的特解形式可设为
.【*
2
(cos sin )y ax bx c x A x B x =++++】
5.设()x ϕ是方程0y y ′′+=的满足条件(0)0y =,(0)1y ′=的解,证明0
()()x y t f x t dt ϕ=
−∫
是方程
()y y f x ′′+=的满足条件(0)(0)0y y ′==的解.
5欧拉方程2
()x y pxy qy f x ′′′++=(数学一)
令1.2.31.2.3.六、微分方程的应用:
关键是建立微分方程(包括初始条件).例题
1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线,),(y x M 为该曲线上任意一点,点C 为M
在x 轴上的投影,O 为坐标原点,若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为31
63+x ,求
)(x f 的表达式.【2)1()(−=x x f 】
2.设位于第一象限的曲线()y f x =
过点1
2
,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段
3.4.5.6.7..(假设注入液体前,容器内无液体)
⑴根据t 时刻液面的面积,写出t 与()y ϕ之间的关系;【2
()4t y ϕ=−】⑵求曲线()(0)x y y ϕ=≥的方程.【03-2,6
2y x e
π
=】
8.设有一高度为()h t (t 表示时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程222()
()()
x y z h t h t +=−(设长度
单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时?【01-1,100
t=】
9.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受的
平均压强为常数p,求桥墩的形状.【
()
2
g
y h
p
x ae
ρ
−−=】
10.桶内有清水100升,现在以每分钟3升的速度向桶内注入浓度为每升2克的食盐水,同时以每分钟4升的速度流出混合液,求30分钟后桶内液体的含盐量.
1.
2.
设
1.
2.
3.
4.
5.
6.
则。