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沪教版数学高一下册5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切(2)—诱导公式教案设计设计

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§5.4.2 两角合与差的余弦、正弦和正切（2）——诱导公式
[教学目标]
1． 知识与技能 掌握第五、第六、第七、第八组诱导公式并能进行简单的化简与计算. 2． 过程与方法 掌握第五、第六、第七、第八组诱导公式的推导过程. 3． 情感态度与价值观 体会数学知识的内在联系，体会由未知到已知转化过程. [教学重点]
利用诱导公式进行简单的化简与计算. [教学难点]
诱导公式的推导与记忆. [教学过程] 一．复习
1．三角比在各象限内的符号；2．前四组诱导公式；3．()cos αβ± 二．诱导公式推导
1．几个特殊值：sin 00,sin 1,cos 01,cos
02
2
π
π
====
2．推导： （1）第五组：
cos cos cos sin sin sin 222πππαααα⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭
用α代替上式中的
2
π
α-，则上式中的
2
π
α-成为α，得
cos sin 222πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 2παα⎛⎫
⇒-= ⎪⎝⎭
sin 2tan cot 2cos 2παπααπα⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭
，cot tan 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（2）第六组：用α-代替α cos sin ,sin cos 22ππαααα⎛⎫⎛⎫+=-+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cot ,cot tan 22ππαααα⎛⎫⎛⎫
+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（3）第七组： 3sin sin sin cos 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦；3cos sin 2παα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭； 3tan cot 2παα⎛⎫-=
⎪⎝⎭；3cot tan 2παα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（4）第八组： 3333sin cos ,cos sin ,tan cot ,cot tan 2222ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-+=+=-+=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3．诱导公式的记忆 “奇变偶不变，符号看象限” 如()2sin sin sin 2ππααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭；3sin cos 2παα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
三．诱导公式的应用 例1 求值：
（1）(
)sin120sin 9030cos30︒=︒+︒=︒=；
注意代换的数学思想
注意“奇、偶”的含义；正负看左边的
使学生熟悉诱导公式的简单应用
（2）(
)cos135cos 4590sin 45︒=︒+︒=-︒=； （3
）2tan tan cot 3626ππππ⎛⎫⎛⎫
=+=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（4
）193cos cos 4cos sin 44424ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
=+=+=-= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
例2 化简：
()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫
---+ ⎪
⎝⎭
解：原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42π
αααπαπαπαπαπα⎡⎤
⎛⎫---+-
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤
⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎢⎥
⎣⎦⎝⎭⎣
⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2παααπαααα⎡⎤
⎛⎫--- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪
⎣⎦⎝⎭
sin tan cos ααα
-==-.
练习1 化简：
()()cos 2sin 2cos 25sin 2πααππαπα⎛
⎫- ⎪
⎝⎭⋅-⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
例3 ,,A B C 为三角形的内角，化简()()sin ,cos B C A B ++ 解：()()()sin sin sin sin B C A B C A A A π+=++-=-=
()()()cos cos cos cos A B A B C C C C π+=++-=-=-.
例4 已知点()0.6,0.8A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转
2
π
至'OA ，求点'A 的坐标. 解：设以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角为θ
，1OA =，所以有
cos 0.6,sin 0.8θθ==， 'cos ,sin 22A ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
cos sin 0.82sin cos 0.62
πθθπθθ⎧⎛⎫
+=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+== ⎪⎪⎝⎭⎩ ()'0.8,0.6A ∴-.
四．布置作业
各组诱导公式的综合应用
A B C π++=
逆时针旋转θ为加
θ角。

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沪教版(上海)2019-2020学年高一数学下两角和与差的正弦导学案(学生版)

沪教版(上海)2019-2020学年高一数学下两角和与差的正弦导学案(学生版)

5.4两角和与差的余弦，正弦和正切第2课时 两角和与差的正弦学习目标1.理解两角和的正弦公式的推导过程，熟练掌提两角和与差的正弦公式。

2.能灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式解决三角式的求值、化简和证明问题。

3.能正用、适用、变形应用两角和与差的正弦公式。

温故知新 知识链接1. 两角差的余弦公式cos(α-β)=__________.2. Cos(2π-α)=___,sin(2π-α)=___,cos(2π+α)=____,sin(2π+α)=____, 3. 化简cos65°cos35°+sin65°sin35°的结果是 ( ) A. cos100° B.sin100° C.23 D.21 预习导学。

两角和与差的正弦公式Sin(α+β)=________________________________;sin(α-β)=____________________________________.【问题」如何快速记忆两角和与差的正弦公式？课堂讲义要点一给角求值问题【例1】化简下列各式：(1)sin140cos160+sin760cos740;.(2)sin12[规律方法]解含非特殊角的三角式的求值问题，(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值；(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值. 跟踪演练1化简下列各式： (1)sin45°cos15°-cos135°sin165°; (2)cos(3π+a)+sin(6π+a).要点二给值求值问题 【例2】已知434παβπ<<<,cos(a -B)=1312，sin(a+B)=53-,求sin2a 的值.[规律方法]本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系，常见角的变换为： (1)2a+B=(a+B)+a,2a -B=(a -B)+a; (2)）（）（βαβαβα-2-2-2=+ ，）（）（βαβαβα++=2-22-； (3) ）（）（）（βαπβπαπ++=+++244; (4) ）—（）—（）（βαπβπαπ+=++244. 跟踪演练2已知），，（），，（ππβπα220∈∈且sin(βα+)=6533,cos β=135-,求sin α.要点三 给值求角问题 【例3】已知sina=55,cosB=1010,且a,B 为锐角，求a -B 的值.[规律方法]求角的大小，要解决两个问题：(1)确定所求角的范围；(2)求角的某一三角比的值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角比，求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大（小）,导致求出的角不合题意或者漏解.跟踪演练3若），（），，（0,220πβπα-∈∈且cos(βα-)=53,sin β=102-,试求角α的大小.要点四化简证明问题 【例4】化简：)cos(2sin )2sin(βααβα---.[规律方法]处理本类问题应注意分析角如何变化，以及公式的正用、逆用和变形应用。

沪教版数学高一下册-5.4两角和与差的余弦、正弦和正切- 两角和与差的余弦公式(第一课时)课件(共12张PPT)

沪教版数学高一下册-5.4两角和与差的余弦、正弦和正切- 两角和与差的余弦公式(第一课时)课件(共12张PPT)

) sin sin( )
3
3
例4：已知 , 为锐角，且 cos 1 ，
cos( ) 11
，求
7 cos 的值。
14
课堂小结：
1、方法 2、结论 3、其他
作业： 1、见打印
2、思考题： 下列四个命题中的假命题是（ ）
(A)存在, 使得cos( ) cos cos sin sin
择决定命运，环境造就人生！
cos( ) OM
P1
A
OB BM .
OAcos AP sin
C P
cos cos sin sin.
O
BM
x
两角和的余弦公式
设 , 是两个任意角
y y
(cos , sin ) A
A(cos( ),sin( ))
x
B(cos( ),sin( ))
B(1,0) x
| AB |2 (cos cos( ))2 (sin sin( ))2
(B) 不存在无穷多个, 使得cos( ) cos cos sin sin
(C) 对任意的 , 使得 cos( ) cos cos sin sin (D) 不存在 , 使得cos( ) cos cos sin sin
方法二：
如图，设角 ，为锐角，且 ，
作PM x轴，PA OP1， y
两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
再探：两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
公式应用：
例1.利用两角和与差的余弦公式求 cos15 的值
例2：设 cos 4 ,
5
sin 12
13
且 为第二象限角， 为第四象限角，求 cos( )
沪教版(上海)高中数学高一下册5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切课件

沪教版(上海)高中数学高一下册5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切课件


sin 2 cot 1 cos2
常规化简方法： 降幂（升幂）公式：
ex3、(1)化简 1 cos x 1 cos x，x (0， )；
(2)化简 1 1 1 1 cos2， ( ， )．
2 22 2
ห้องสมุดไป่ตู้
22
例6、 设sin x : sin x 8 : 5，求cosx值．
2
例7、 若2 3是方程x2 (tan cot )x 1 0的一个根， 求 sin 2和cos4．
教学目标：
1、掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式及其推导 过程．
2、能正确运用上述公式化简三角式，求某些三角比 的值和证明三角恒等式．
3、通过上述公式的推导，掌握公式的来龙去脉，对 公式形成自然的记忆．
教学重点与难点：
教学重点：二倍角公式的推导及应用． 教学难点：二倍角公式的逆用和变形．
教学方法：启示．
教学手段：多媒体辅助教学． 教学过程：
一、复习引入
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
二、二倍角公式
二倍角的正弦公式： 二倍角的余弦公式：
二倍角的正切公式：
三、例题与练习
例1、若cos 4 (0 )，求sin 2、cos2、tan 2.
5
2
ex1、若cos 5 ，( )，求tan 2的值.
13 2
例2、求值：
(1) sin18 cos36 ；
(2) cos 20 cos 40 cos80 ．
例3、试用c os x表示c os3x． ex2、试用sin x表示sin 3x．
ex3、(1)
沪教版数学高一下册-5.4两角和和差的余弦、正弦和正切-两角和和差的正切 学案(无答案)

沪教版数学高一下册-5.4两角和和差的余弦、正弦和正切-两角和和差的正切 学案(无答案)

《5.4（3）两角和与差的正切》学案一、 旧知链接 ()cos αβ-= ()sin αβ-= ()cos αβ+= ()sin αβ+= 三角比定义：sin α= cos α= tan α= （成立条件： ）tan α= （商数关系）二、新课引入1、如何求0tan 752、公式推导()tan αβ+能否类比()tan αβ+的公式推导()cot αβ+的公式？三、巩固提升第一关：小试身手（公式直接应用）（1）0tan15= ；（2）已知tan 2α=，求()0tan 45α+=（3）tan ,tan αβ是方程2420x x -+=的两个根，则()tan αβ+的值。

第二关：再接再厉（初步学会逆用公式） （1）0000tan17tan 431tan17tan 43+-=变式1：0000tan 45cot 751tan 45cot 75+-=变式2：001tan151tan15+=-0 变式3：0000cos15sin15cos15sin15+=- 总结提升：1tan 1tan αα+=- 1tan 1tan αα-=+★第三关：各显神通----变形用例题1： 0000tan1tan 44tan1tan 44++⋅总结：tan tan αβ+=tan tan αβ-= 特殊到一般：猜想045αβ+=，求tan tan tan tan αβαβ++⋅=变式1：若045αβ+=，结论：()()1tan 1tan αβ++=变式2：()()()()00001tan11tan 21tan 441tan 45++++L =拓展研究：在ABC ∆中，证明tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅学生总结： 你学会了吗？1、公式推导：2、 公式成立的条件：3、 公式代数结构的记忆：4、 公式的灵活用法：（1） 正用：（2） 逆用：（3）变形用：。