沪教版高一数学上册1.1 区间的表示方法和集合相关概念 讲义

沪教版高一数学上册 1.1 区间的表示方法和集合相关概念讲义第一讲：集合与区间的概念及其表示法知识点一、区间的概念设a，b 是实数，且a＜b，满足a≤x≤b 的实数x 的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，即，[,]{|}=≤≤。

如图：a b x a x ba，b 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．全体实数也可用区间表示为(－∞，＋∞)，符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，即R=-∞+∞。

(,)知识二、元素与集合：指定对象的全体叫“集合”，简称“集”，用大写英文字母A、B、C等表示，其中的每个对象叫“元素”，用小写英文字母a、b、c表示1.集合元素的特性：集合中元素的从属性要明确反例：大树、好人集合中元素必须能判定彼此反例：2，2集合中元素排列没有顺序如：{1,2,3}{2,1,3}=例1、判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式的解；x+>320若mm +-11 ∈{m},求实数m 的值。

练习5.已知集合M={2，a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N,求a,b 的值。

2.集合与元素的关系：若a 属于A ，记作a ∈A ；若b 不属于A ，记作b ∉A .“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。

[规定]（1）集合中相同元素只写一个代表；如：方程2(2)0x -=的解集{2}（2）集合与元素的关系（属于belong to ，不属于not belong to ）符号：a A ∈，a A ∉二者必居其一3.常见数集及其符号表示 数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N *或N ＋ Z Q R例4、用符号或填空：（1）2______ （2______ （3）0____∈∉N 2Q ∅（4）0______ （5）______ （6）0______ 练习6．0与集合{0}是什么关系？∅与集合{∅}呢？练习7、用符号或填空：（1） （2）（3） （4）4.集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

第一单元 集合和命题1.1集合及其表示法【学习要点】1、 了解集合的定义，熟知集合元素的三大特性；2、 掌握∉∈和的含义；3、 熟练掌握各种常用数集的符号；4、 理解有限集和无限集的意义，会用∅表示空集；5、 能够熟练利用列举法和描述法表示集合。

【学法指导】例1、以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形解析：集合中元素具有三大特征：确定性、互异性和无序性，它是我们解决数学集合问题的依据。

本题主要考查集合元素的确定性。

答案：B例2、已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则 （ ）A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A解析：∉∈和是表示集合中元素和集合之间关系的，根据a 和b 的大小与可32作比较，答案为：C例3、下列写法是否正确？（1）0∅∈； （2）}{∅∈∅； （3）0N ∈ （4）0 Z ∉解析：（1）因为∅中没有任何元素，所以是错误的；（2）}{∅表示集合中只有一个元素∅，所以是正确的；（3）根据N 的含义，正确；（4）根据Z 的含义，错误。

例4、集合M (){}R y R x xy y x ∈∈≥=,,0|, 是指（ ）A 第一象限内的点集B 第三象限内的点集C 在第一、第三象限内的点集D 不在第二、第四象限内的点集解析：这是用描述法表示集合，注意代表元是(x,y)，所以集合表示的是坐标平面内的点，根据0≥xy 的含义可知，集合表示的是第一、三象限的点和坐标轴上的点。

【自主学习】1、在“①难解的题目；②方程012=-x 在实数集内的解；③直角坐标平面内第四象限的一些点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（ A ）A ②B ①③C ②④D ①②④2、集合}12{的实数且小于大于-=M ，则下列关系式正确的为 （ D ） A M ∈5 B M ∉0 C M ∈1 D M ∈-2π3、设},,,0{},1,,b ab a b a R b a =+∈，集合｛则b – a = ( B ) A. 1 B. - 1 C. 2 D.- 24、 给出下列关系：①12R ∈； ②Q ；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ C ）.A. 1B. 2C. 3D. 45、下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ B ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．【针对训练】一、填空题1、用描述法表示被5除余1的整数的集合 ．2、用∈或∉填空1_______N ， -3________N ， 0_______N *π_______R ，227_____Q ，cos300_______Z 3、已知集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，6－a ∈A ，则a ＝ ．4、下列研究的对象能构成集合的是① 某校个子较高的同学；② 倒数等于本身的实数③ 所有的无理数④ 讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的大城市5、用列举法表示下列集合：(1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数}(3) {x|x 为不大于10的正偶数}(4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}6、用描述法表示下列集合：(1) 奇数的集合；(2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的合.7、已知 x 2 ∈{1,0,x}，则实数x 的值8、用列举法和描述法表示方程x 2 -1=0所有实数解构成的集合 9、方程组 的解集为 10、已知集合A={x ︱ax 2 +4x+4=0 }只有一个元素， 则a 的值 11、写出不等式组 表示的整数解的集合为 二、选择题12、下列关于空集Φ的叙述：①0∈Φ；②Φ∈{Φ}；③Φ＝{0}．正确的个数是（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3．13、 有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<的元素的个数是有限个. 其中正确的说法是（ C ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对14、下列各组集合M 与N 中，表示相等的集合是（ ）（A ）M ＝{(0，1)}，N ＝{0，1}； （B ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(1，0)}；（C ）M ＝{(0，1)}，N ＝{(x ，y )|x ＝0且y ＝1}； （D ）M ＝{π}，N ＝{3.14}．15、数集{1，2，x 2-3}中的x 不能取的数值的集合是 （ ）A.{2，5}B.{-2，-5}C.{±2,±5}D.{2,- 5}三、解答题16、 试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合. 解：（1）{|2}y y ≥；（2）{|x x ≠42121{>+-≥+x x x 11{-=-=+y x y x17、当a，b满足什么条件时，集合A＝{x|ax＋b＝0}是有限集、无限集、空集？解：18、已知集合A＝{x|2ax＋3x＋1＝0，x∈R}，（1）若A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解：。

1.1集合及其表示法一、教学内容分析集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，乃至在尔后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。

本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方式，和集合之间的关系和大体运算，初步把握大体的集合语言，了解集合的大体思想方式和集合的进展历史，能用集合的思想去观看、试探、表述和解决一些简单的实际问题。

二、教学目标设计明白集合的意义，明白得集合的元素及其与集合的关系符号；熟悉一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义. 三、教学重点及难点教学重点：集合的大体概念；教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。

四、教学流程设计五、教学进程设计 一、数学史引入（1）“物以类聚，人以群分”； （2）我校高一年级的全部学生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）……二、学习新课1．概念辨析（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看做一个整体，那个整体就叫做集合，简称集。

咱们既要研究集合那个整体，也要研究那个整体中的个体。

咱们称集合中的各个对象叫做那个集合的元素； 集合的分类：有限集、无穷集；实例引入概念辨析 巩固练习 总结提炼作业及反馈 拓展与思考集合中元素的特性：“确信性”；“互异性”；“无序性”；（2）集合的表示方式：集合的符号表示：集合经常使用大写英文字母A 、B 、C ……表示，集合中的元素经常使用小写英文字母a 、b 、c ……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），而且写在大括号内，这种表示集合的方式叫做列举法；描述法：在大括号内先写出那个集合的元素的一样形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所一起具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方式叫做描述法.（3）特殊集合的表示：经常使用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包括零）、不包括零的自然数集*N ； 空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难明白得，能够通过一些例题来加深对描述法这种表示方式的明白得。

沪教版数学：1.1.1《集合的概念》教案（高一）课题：___集合的概念___教学任务教学目标[来源:学科网]知识与技能目标理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义，集合间的交、并、补运算[来源:学科网ZXXK][来源:/doc/8577ef209f3143323968011ca300a 6c30c22f18c.html ]过程与方法目标学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中掌握集合的有关概念，发展由概念出发推理的能力，体会数形结合和分类讨论的思想.情感,态度与价值观目标在探究活动中，培养学生独立的分析和探索精神重点能通过定义合情推理解决问题，从而巩固基本概念。

难点能结合概念利用数学思想方法――分类讨论、数形结合解决实际问题。

教学流程说明活动流程图活动内容和目的活动1 课前热身－练习重温概念与性质活动2 概念性质－反思深刻理解定义与性质活动3 提高探究－实践挖掘定义性质的内涵与外延活动4 归纳小结－感知让学生在合作交流的过程总结知识和方法活动5 巩固提高－作业巩固教学、个体发展、全面提高教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1课前热身（资源如下）1、用集合符号填空：0 {0，1}；{a，b} {b，a}；0 φ；2、用列举法表示{y|y=x2－1，|x|≤2，x∈Z}= .{(x,y)|y=x2－1，|x|≤2，x∈Z}= .3、M={x|x2＋2x－a=0，x∈R}≠φ，则实数a的取值范围是…（）∈，=，?，{}3,01-()()()()(){}2,3,2,3,1,0,1,0,0,1---C熟悉集合概念，能从中回忆起集合、子集的概念，了解空集、属(A)a≤－1 (B) a≤1 (C) a≥－1 (D) a≥1.4、已知集合A={x|x2－p x＋15=0}，B={x|x2－5x ＋q=0}，如果A∩B={3}，那么p＋q= .5、已知集合A={x|－1≤x≤2}，B={x|x＜a}，如果A∩B=A，那么a的取值范围是 .6、已知集合A={x|x≤2}，B={x|x＞a}，如果A ∪B=R，那么a的取值范围是 .7、集合元素具有的三大特征是：、、；集合的表示方法：、、；元素与集合只有两种关系：、；[来源:学科网ZXXK][来源:Z。

1.1 集合与集合的表示方法【教学目标】1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．【教学重点】重点是集合的概念及集合的表示．【教学难点】难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.【教学过程】一、引入观察:（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3， (9)（2）满足3x– 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．二、集合的概念：1、把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集；集合中的各个对象叫做这个集合的元素；2、集合的符号表示：集合常用大写英文字母A 、B 、C ……表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……表示；3、元素与集合的关系：属于∈与不属于∉如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ，读作“a 属于A ”． 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A ，读作“a 不属于A ”．【例1】判断下列各组对象能否组成集合： （1）我班中身高较高的同学；( × ) （2）直线21y x =-上所有的点； ( √ ) （3）晴朗的夜空明亮的星星； ( × ) （4）与1接近的数；( × ) （5）周长为20cm 的三角形； ( √ ) （6）不等式320x +>的解；( √)4、集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．（3）无序性5、空集：不含任何元素的集合，记作∅．6、集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．7、集合的表示方法①列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；②描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.③图示法：数轴、韦恩图等（主要用于描述集合之间的关系） 8、特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；空集∅（例：方程220x +=的实数解集为∅）.【例2】用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x 2 = x 的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有质数组成的集合.解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A 可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x 2 = x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B = {0，1}. （3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么 C = {2，3，5，7，11，13，17，19}.【例3】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x 2 –2 = 0的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.解答：（1）设方程x 2 – 2 = 0的实数根为 x ，并且满足条件x 2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x ∈R | x 2 –2 = 0}.方程x 2 –2 = 0有两个实数根2，2-，因此，用列举法表示为A = {2，2-}. （2）设大于10小于20的整数为 x ，它满足条件x ∈Z ，且10＜x ＜20. 因此，用描述法表示为B = {x ∈Z | 10＜x ＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.【例4】已知由l ，x ，x 2，三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件. 解答：根据集合元素的互异性，得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠2211xx x x ，所以x ∈R 且x ≠±1，x ≠0．【例5】用、∉填空．①π Q ；②3 Z ；③3 R ；④0 N ；⑤0 N*；⑥0 Z ． 解答：①∉；②∉；③∈；④∈；⑤∉；⑥∈.备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}；②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |99x-∈N}；（2）B = {99x-∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件99x-也是自然数；集合B中的元素是自然数99x-，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =pq，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x-=1，3，9也是自然数.∴A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴C = {2，5，6}.（4）点{x，y}满足条件y = –x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：0,1,2,6,5, 2. x x xy y y===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩∴D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则0,1,2,3,4,5,4,3,2, 1. p p p p pq q q q q=====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩x要满足条件x =Pq，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.【分析】–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a–1 = –3，当a–3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}，当2a– 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得a.。

集合及其表示方法学习目标1、理解集合的概念；2、掌握集合的表示方法；3、培养逻辑思维能力，渗透抽象概括能力。

课前导学【材料阅读】1、仔细阅读高一年级第一学期数学课本目录前面的插页《编者的话》，体会高中数学要义。

2、仔细阅读高一年级第一学期数学课本第5页到第7页的例题2结束为止．找到集合的概念、表示方法、几个常见的数集、元素与集合间的关系。

【自我感知】尝试完成课本第7页上练习1.1的四道题目，找到自己困惑的地方。

课堂交流【承旧启新】观察下列研究的各个整体:（1）我校2018学年高一（1）班全体学生；（2）所有的锐角三角形；（3）申花队所有现役球员；（4）古华公园内所有好看的花。

思考：分析上述研究对象是否确定．1、概念学习：集合集合的元素2、集合中元素的三个特性：1）元素的_______性；2）元素的________性；3）元素的_______性。

3、集合、元素的表示：集合通常用_______字母表示，集合中的元素通常用_______字母表示；若a是集合A的元素，则记作_________；若a不是集合A的元素则记作__________。

4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：________，正整数集________，整数集__________，有理数集___________，实数集________。

正有理数集________，正实数集_______，负有理数集_______，负实数集_______。

集合的分类：有限集与无限集特殊的集合：空集。

5、集合的表示方法有哪些？举出一些数学中、生活中的集合例子。

掌握程度自我评价：（A ） （B ） （C ）【巩固新知】【例1】判断下列能否组成集合，为什么？（1）20元左右的书；（2）数学成绩名列前茅的学生； （3）身高低于1米的小孩；（4）《福布斯》2010全球20大富豪。

【例2】用符号∈或∉填空：（1）0_______{0}； （2）0_______∅； （3）0_______N ；（4）0_______Z ； （5）2_______Q ； （6）2-_______Z ．【例3】将下列用描述法表示的集合，改为用列举法来表示：（1）{|3}x x x Z <∈且； （2）2{|1,2}y y x x x Z =-≤∈且；（3）**{(,)|5,,}x y x y x N y N +=∈∈； （4）*6{|,}x N x Z x∈∈且；变式：*6{|,}2x N x Z x ∈∈-且【应用提高】【例4】用适当的方法表示下列集合（1）组成中国国旗的颜色名称的集合A ；（2）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合B ；（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C ；（4）全体偶数组成的集合D ；变式1：全体奇数组成的集合D ；变式2：被3除余2的自然数全体组成的集合D ；【例5】已知集合2{2,3,42}A a a =++，集合2{0,7,42,2}B a a a =+--，且A ∈7，求集合B 。

1.1集合及其表示法一、教学内容分析集合是一种数学语言，是对数学的进一步抽象，它将贯穿在整个高中数学内容中，甚至在今后的数学学习中，将集合的概念和理论渗透到数学的各类分支中，会有利于提高学生的数学素养。

本章是高中数学的第一个章节，学习集合的有关概念和表示方法，以及集合之间的关系和基本运算，初步掌握基本的集合语言，了解集合的基本思想方法和集合的发展历史，能用集合的思想去观察、思考、表述和解决一些简单的实际问题。

二、教学目标设计知道集合的意义，理解集合的元素及其与集合的关系符号；认识一些特殊集合的记号，会用“列举法”和“描述法”表示集合；体会数学抽象的意义.三、教学重点及难点教学重点：集合的基本概念；教学难点：用“列举法”和“描述法”表示集合。

四、教学流程设计五、教学过程设计一、数学史引入（1）“物以类聚，人以群分”；（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）……二、学习新课1．概念辨析（1）集合的有关概念：集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。

我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。

我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的分类：有限集、无限集；集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”； “无序性”； （2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A 、B 、C ……表示，集合中的元素常用小写英文字母a 、b 、c ……表示；元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p =满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；空集∅（例：方程220x+=的实数解集为∅）.[说明] 描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深对描述法这种表示方法的理解。

2014高中一年级第一学期数学暑期辅导（1）集合及其表示法【典例分析】例1：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。

（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）young 中的字母； （4）所有高一年级个子高的同学；（5）大于100的数； （6）小于0的正数。

（7）大于3小于11的偶数； （8）我国的小河流；（9）非负奇数； （10）方程x 2+1=0的解；（11）某校2011级新生； （12）血压很高的人；（13）著名的数学家； （14）平面直角坐标系内所有第三象限的点例2：用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

例3：已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

例4：求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?例5：用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程2x x =的所有实数根组成的集合；⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。

例6：用描述法表示下列集合：（1）由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;（2）到定点距离等于定长的点的集合;（3）方程220x -=的所有实数根组成的集合（4）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（5）由被5除余2的全体自然数组成的集合。

例7：下列各式中错误的是 （ ）（1）{奇数}={|21,}x x k k Z =-∈ （2）{|*,||5}{1,2,3,4}x x N x ∈<= （3）1{(,)|}2x y x y xy +=⎧⎨=-⎩ {(2,1),(1,2)}=-- （4）33N --∈ 例8：已知2{2,,},{2,2,}M a b N a b ==，且M N =，求,a b 的值例9：已知集合{}2210,R A x ax x x =--=∈，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．课后巩固练习一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21B.2∈{x |x ≥3}C.|-3|∉N* ∉Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素；(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N ,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅5.已知集合M={m |8-m ∈N,m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.96.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π∉Q ；③0∈N ；④0∉φ其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.47.方程组 的解组成的集合是( )A.｛2,1｝B.｛-1,2｝C.（2,1）D.｛（2,1）｝8.把集合｛x|-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝9.下列说法正确的是( )A.｛0｝是空集B. ｛x ∣x 6∈Z,x ∈Q ｝是有限集C.｛x ∣x 2+x+2=0,x ∈Q ｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合二、填空题⎩⎨⎧=-=+13y x y x6.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N,5______N,16______N.7.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,x∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.9.集合{x|x>3}与集合{t|t>3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x|2<x<a,x∈N},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_________. 11．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数12．集合A＝{x|43x-∈Z，x∈N}，则它的元素是。

高一数学必修一区间知识点区间是数学中一个重要的概念，涉及到数轴、不等式、函数和图像等多个方面。

本文将详细介绍高一数学必修一中与区间相关的知识点，包括区间的定义、表示方法、运算规则以及应用等内容。

一、区间的定义区间是指数轴上的一段连续的数值区域。

它可以是有限区间，也可以是无限区间。

在数轴上，我们以有向线段表示一个区间，其中线段的两个端点分别属于区间内的数值。

如果区间包括了端点的数值，则称为闭区间；如果不包括端点的数值，则称为开区间。

二、区间的表示方法1. 端点表示法：用方括号 [ ] 或圆括号 ( ) 表示。

例如，[a, b] 表示一个闭区间，(a, b) 表示一个开区间，[a, b) 或 (a, b] 表示一个半开半闭区间。

2. 不等式表示法：用不等式符号表示。

例如，a ≤ x ≤ b 表示闭区间，a < x < b 表示开区间，a ≤ x < b 或a < x ≤ b 表示半开半闭区间。

三、区间的运算规则1. 区间的加法：两个区间的和是指两个区间的并集。

例如，[a,b] + [c, d] = [a, d]，(a, b) + (c, d) = (a, d)。

2. 区间的减法：两个区间的减法是指从第一个区间中减去第二个区间的交集部分。

例如，[a, b] - [c, d] = [a, c) ∪ (d, b]，(a, b) - (c, d) = (a, c] ∪ [d, b)。

3. 区间的乘法：两个区间的乘法是指两个区间的交集。

例如，[a, b] × [c, d] = [max(a, c), min(b, d)]，(a, b) × (c, d) = (max(a, c),min(b, d))。

4. 区间的除法：两个区间的除法是指第一个区间除以第二个区间的闭包。

例如，[a, b] ÷ [c, d] = [a, b] × [1/d, 1/c]，其中 c > 0，d > 0。

（高一）（一）集合的概念教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念及特征，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析：把集合的初步知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合。

本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主教科书给出的“一般地，某些指定”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：一、回顾复习1．你知道数集的发展吗？质数与合数？奇数与偶数？最大公约数和最小公倍数？（1）质数（素数）：2,3,5,7，。

，合数：4,6,8,9，。

在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数。

这种整数叫做质数，质数又叫做素数。

（2）n为整数形如2n的整数叫做偶数，形如2n+1的数叫做奇数，全体偶数的集合叫做偶数集．（3）9与12的最大公约数是 3 ；最小公倍数36 ；2．用不同的语言描述坐标平面上的一条直线吗？自然语言：坐标平面上过原点，且与x 轴正方向夹角为45o 的直线。

解析语言：函数y x =的图像图像语言：集合语言：{(,)/,}x y y x x =为一切实数3．“物以类聚”，“人以群分”；把能够指定的一些对象放在一起研究，便于讨论它们共同的性质，这是集合的由来。

（备用）4．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；二、讲解新课：军训前学校通知：8月20日上午8点，高一年级在文体中心集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。